Избранные задачи олимпиады мехмата для старшеклассников

Условия, ответы и решения задач

Условия

1.  Из пункта A вышел пешеход. Одновременно навстречу ему из пункта B выехал велосипедист. Через час расстояние между ними равнялось 3 км, а еще через час — 23 км. Найдите расстояние от A до B.

2.  Существуют ли рациональные числа x, y u, v, удовлетворяющие уравнению

3.  В каждом подъезде нового дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. На восьмом этаже третьего подъезда вторая квартира имеет номер 107. Какой номер имеет первая квартира на третьем этаже шестого подъезда?

4.  Найдите минимальное значение функции

5.  Вписанная в равнобедренный треугольник ABC окружность касается его боковых сторон AB и BC в точках D и E соответственно. Отрезок AE пересекает окружность в точке F, а прямая DF пересекает основание AC в точке G. Найдите AG, если AC = 1.

6.  Ночью 7 художников по очереди изрисовали белую стену каждый своей краской, при этом следующий художник не видел, где рисовал предыдущий. Каждый закрасил k% площади стены. Если на какой-нибудь участок стены попали все 7 красок, то такой участок опять становился белым. При каких натуральных k хотя бы одна точка стены гарантированно будет белой?

7.  Докажите, что если то cos x + cos y + cos z ≤ 2.

8.  В четырехугольнике ABCD точки M и N — середины сторон AB и CD соответственно, причем AB = a, BC = b, CD = c, AN = CM. Найдите AD.

9.  Существуют ли числовые функции f и g, удовлетворяющие равенствам

f(g(x)) = x², g(f(x)) = x³ при всех x?

10.  Докажите равенство sin 1°sin 3°sin 5°...sin 87°sin 89° = 2^–44,5.

Ответы и решения

1. 17 км или 29 км.

Пусть x км/ч и y км/ч — скорости пешехода и велосипедиста соответственно, а искомое расстояние равно s км. Заметим, что пешеход и велосипедист непременно встретились в течение первых двух часов движения, поскольку за второй час расстояние между ними увеличилось. Если встреча произошла в течение первого часа, то получаем s = x + y – 3, причем по окончании второго часа расстояние между ними составило x + y + 3 = 23 км, откуда s = 17. Если же встреча произошла в течение второго часа, то s = x + y + 3, а по окончании второго часа расстояние между ними составило x + y – 3 = 23 км, так что s = 29.

Примечание. При решении этой задачи полезно изобразить на рисунке (схеме движения) положения пешехода и велосипедиста через 1 и через 2 часа после начала движения.

2.  Нет.

Предположим, что такие рациональные числа x, y, u, v существуют. Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

Это равенство возможно лишь если обе его части равны нулю (иначе получилось бы, что рациональное число равно иррациональному). Поэтому

x² + 2y² + u² + 2v² = 7 и 2xy + 2uv = 5.

Но тогда

что невозможно, поскольку Полученное противоречие означает, что чисел, удовлетворяющих условию задачи, нет.

3.  217.

Пусть в каждом подъезде x ≥ 8 этажей по y ≥ 2 квартир. Тогда в первых двух подъездах число квартир равно 2xy, а на первых семи этажах третьего подъезда — 7y. Составим уравнение: 2xy + 7y + 2 = 107, откуда y(2x + 7) = 105. По условию имеем:

2x + 7 ≥ 28 + 7 = 23,

а также 2x + 7 < 105. Поскольку 105 = 357, единственным его делителем из промежутка [23; 105) является 35, то есть 2x + 7 = 35. Поэтому x = 14, y = 3, а искомый номер квартиры равен 5xy + 2y + 1 = 217.

4. 5.

Преобразовав первое подкоренное выражение, получим:

Заметим, что значение данной функции в точке x равно сумме расстояний от точки (x; 2x) до точек (1; 6) и (5; 3), поэтому, в силу неравенства треугольника, оно больше или равно длине отрезка, соединяющего эти точки, то есть

Далее, все точки плоскости с координатами (x; 2x) образуют прямую, которая пересекает этот отрезок (см. рисунок), а сумма расстояний от точки пересечения до концов отрезка равна его длине. Таким образом, наименьшее значение исследуемой функции равно 5.

5. 

Сначала отметим, что DEAC. Действительно, BD = BE, угол B — общий для равнобедренных треугольников ABC и DBE, поэтому углы BDE и BAC при основании этих треугольников равны и являются соответственными при сечении прямых AC и DE прямой AB. По свойству угла между касательной и хордой получаем: ADG = DEF = EAC, а так как DAG = ECA, то треугольники ADG и CAE подобны. Обозначив середину AC через M (см. рисунок) получим:

поэтому

6. k = 1, ..., 14 или k = 86, ..., 100.

Если 1 ≤ k ≤ 14, то 7k ≤ 98, поэтому на стене найдется белый незакрашенный участок. При 86 ≤ k ≤ 100 каждый художник не закрасит своей краской не более 14% площади стены, поэтому незакрашенная хотя бы одной краской площадь стены составляет не более 98%, то есть на стене найдется белый, закрашенный всеми красками, участок. Покажем теперь, что при 15 ≤ k ≤ 85 художники смогут так раскрасить стену, чтобы белых участков на ней не осталось. Разобьем стену на 7 равных частей — по от общей площади каждая. Пусть художники последовательно закрашивают участки следующим образом: первый — начиная с первого, второй — со второго, ..., седьмой — с седьмого, причем, если при покраске достигнут конец седьмого участка, художник переходит в начало первого и продолжает свою работу. Тогда, поскольку и каждая точка стены будет покрашена и не покрашена хотя бы одной краской (так, первая часть покрашена первым художником, но не вторым, вторая часть покрашена вторым, но не третьим, и т.д.).

7.  Предположим противное, то есть что для некоторых x, y, z имеем

Возведем оба неравенства в квадрат и сложим:

sin² x + sin² y + sin² z + 2sin x sin y + 2sin y sin z +
+ 2sin x sin z + cos² x + cos² y + cos² z +
+ 2cos x cos y + 2cos y cos z + 2cos x cos z > 9.

Воспользовавшись трижды основным тригонометрическим тождеством и формулой косинуса разности, получим:

cos (x – y) + cos (x – z) + cos (y – z) > 3,

что невозможно.

8. 

Проведем отрезок AC и пусть AD = x, AN = CM = y, AC = z.

Тогда, поскольку CM и AN — медианы треугольников ABC и ACD соответственно (см. рисунок), по формуле для медианы получаем:

Вычитая уравнения, находим 2x² – 2b² = c² – a², откуда

Примечание. В данном решении формула для медианы m_c треугольника со сторонами a, b, c (см. рис.) записана в форме равенства параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон. Формулу

можно получить и с помощью теоремы синусов.

9.  Нет.

Предположим, что такие функции f и g существуют. Тогда при всех x получим:

f(x³) = f(g(f(x)) = f²(x).

Пусть x₁ = –1, x₂ = 0, x₃ = –1. Тогда

f(x_k) = f(x_k³) = f ³(x_k)

k = 1, 2, 3. Следовательно, f(x₁), f(x₂), f(x₃) — корни уравнения y = y², поэтому среди них непременно есть одинаковые. Значит, среди чисел g(f(x₁)), g(f(x₂)) и g(f(x₃)) также есть одинаковые, но g(f(x₁)) = –1, g(f(x₂)) = 0, g(f(x₃)) = 1 — противоречие.

10.  Преобразуем левую часть равенства: