Какой угол больше?

В геометрии сравнение величин играет существенную роль. Даже если в явном виде вопрос о сравнении величин в задаче не ставится, то по ходу решения часто приходится это делать или учитывать.

В предлагаемой коллекции задач речь идет о сравнении углов. Умение ответить на вопрос: «Какой угол больше?», представляется важным для более глубокого и тонкого понимания ряда геометрических фактов. Такого рода задачи особенно полезны на начальном этапе изучения геометрии, в 7–9-х классах. Опыт решения таких задач весьма ценен в последующих «поединках» с куда более трудными конкурсными и олимпиадными задачами.

1. В треугольнике ABC AL — биссектриса угла A. Угол ALB равен ϕ .
Что больше: или ϕ?

Решение. Поскольку угол ϕ — внешний для треугольника ALC, то поэтому

2. Внутри треугольника ABC взята точка K. Угол BKC равен ϕ>. Что больше: ϕ или  A?

Решение. Продлим BK до пересечения с AC в точке N. Очевидно, 1 > A (он является внешним для треугольника ABN). Но ϕ > 1 (так как ϕ — внешний угол для треугольника CNK). Следовательно, ϕ > A.

3. В треугольнике ABC сторона AC = b, сторона AB = c. Известно, что b > c. Какой из углов больше: B или C?

Решение. Поскольку b > c, отложим на отрезке AC = b отрезок AD, равный c.
Тогда 1 = 2 и C < 1, так как 1 — внешний для треугольника BDC.
В то же время B > 2, так как 2 составляет лишь часть угла B. Значит, B > C.

Вывод. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

4.  Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке I. Пусть BIC = ϕ. Что больше: ϕ или 90°?

Решение. Из треугольника BIC находим ϕ:

Таким образом, ϕ > 90°.

5.  AB — диаметр окружности. Точка C находится вне окружности. ACB = ϕ. Сравнить угол ϕ с углом 90°.

Решение . Пусть BC пересекает окружность в точке T. Соединим точки A и T. ATB = 90° (вписанный, опирается на диаметр). Поскольку угол ATB является внешним для треугольника ACT, то ϕ< 90°. (Если точка C окажется на прямой AB, то ϕ= 0.)

6.  AM₁ — медиана треугольника ABC, в котором b > c. Какой из углов больше: 1 или 2? 3 или 4?

Решение. Удвоив медиану AM₁, получим параллелограмм ABDC. При этом

CD = AB = c, CDA = 2

(внутренние накрест лежащие). В треугольнике ACD против стороны b лежит угол 2, а против стороны c лежит угол 1. Следовательно, 2 > 1 (так как b > c).
Кроме того, 3 = 2 + B как внешний угол треугольника ABM₁, а 4 = 1 + C как внешний угол треугольника ACM₁. Поскольку 2 > 1 и B > C, то 3 > 4.

7.  В треугольнике ABC AH₁ и AL — соответственно высота и биссектриса. O — центр описанной около этого треугольника окружности. OAL = α, LAH₁ = β. Что больше: α или β?

Решение . Угол AOC и угол B — соответственно центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну дугу окружности, поэтому AOC = 2B (центральный угол).
Тогда OAC = OCA = 90° – B.

Из треугольника ABH₁ находим: BAH₁ = 90° – B.
Так как AL — биссектриса угла A и OAC = H₁AB, то α = β (если от равных углов отнять равные, то останутся равные углы).

Замечание . Покажите, что в случае тупоугольного треугольника все остается в силе.

8.  В параллелограмме против большей диагонали лежит больший угол. Докажите!

Решение. Пусть в параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали BD. Покажем, что ADC > BAD. Так как AO > OD (половины соответствующих диагоналей), то α > β
(из треугольника AOD). Аналогично из треугольника COD: γ > ϕ₁ (CO > DO). Однако ϕ₁ = ϕ₂ (внутренние накрест лежащие). Тогда α + γ > β + ϕ₂,
или ADC > BAD.

9.  В остроугольном треугольнике ABC точки O, I, H — соответственно центр описанной окружности, центр вписанной окружности и ортоцентр (точка пересечения высот). Сравните углы BOC, BIC, BHC.

Решение. Нетрудно показать, что каждый из указанных углов можно выразить через угол A:

 BOC = 2A,

(покажите!),

BHC = 180° – A.

Тогда очевидно, что при 0 < A < 60°:

BHC > BIC > BOC.

В случае, если A = 60°:

BHC = BIC = BOC.

При 60° < A < 90° верно следующее двойное неравенство:

BOC > BIC > BHC.

Замечание. 1. Отметим, что если A = 60°, то BOC = BHC = BIC = 120°. При этом точки B, H, I, O, C лежат на одной окружности.

2. Сравните углы BOC, BIC, BHC в случае, когда треугольник ABC — тупоугольный.

10.  Сравните углы B и C треугольника ABC,
в котором h_b и h_c — высоты к сторонам b и с соответственно, и h_b < h_c.

Решение. Поскольку высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам то, очевидно, b > c, а значит и B > C.

11.  В треугольнике ABC m_b и m_c — медианы к соответствующим сторонам и m_b < m_c. Что больше: B или С?

По формуле медианы

Так как m_b < m_c, то, очевидно, b > c, и B > C.

12.  Окружность, вписанная в остроугольный треугольник ABC, касается его сторон в точках K₁, K₂, K₃. Пусть j = K₂K₁K₃. Сравните ϕ и A.

Решение . Найдем величину угла j. Треугольник BK₁K₃ — равнобедренный (BK₁ = BK₃ — касательные к окружности, проведенные из одной точки) и

Аналогично рассуждая, получим

Тогда

Следовательно:

если 0 < A < 60°, то ϕ > A;

если A = 60°, то ϕ = A;

если 60° < A < 90°, то ϕ < A.

Понятно, что в случае тупоугольного треугольника ABC: ϕ < A.

13.  В остроугольном треугольнике ABC: A > B > C. H и M — соответственно ортоцентр и центроид (точка пересечения медиан) этого треугольника. Сравните углы: AHB и AMB; BHC и BMC.

Решение. Проведем в треугольнике ABC высоты AH₁ и CH₃ и медианы AM₁ и CM₃. Поскольку C < B, то точка M₁ находится между точками C и H₁. То есть высота AH₁ проходит внутри треугольника ABM₁.
Аналогично, M₃ находится между B и H₃ (так как B < A), и высота CH₃ расположена внутри треугольника ACM₃. Таким образом, ортоцентр H находится внутри треугольника AMM₃. Теперь очевидно, что AHB > AMB, так как точка H — внутри треугольника AMB (задача 2). А BMC > BHC, поскольку центроид M — внутри треугольника BHC.

14.  Из вершины A треугольника ABC выходят высота h_a, биссектриса l_a и медиана m_a. Какой угол больше: между высотой и биссектрисой или между биссектрисой и медианой?

Решение. Пусть ϕj₁ — угол между высотой и биссектрисой, ϕ₂ — угол между биссектрисой и медианой. По задаче 7 биссектриса угла A является также биссектрисой угла OAH₁. Тогда дополнительные комментарии к рисункам представляются излишними. Таким образом,

если A — острый угол, то угол между высотой и биссектрисой больше;

если A = 90°, то они равны;

если A > 90°, то больше угол между биссектрисой и медианой.

15. Дан остроугольный треугольник ABC, в котором A > B > C. Пусть:

α = (h_a; m_a), β = (h_b; m_b), γ = (h_c; m_c).

Какой из углов α, β и γ является наибольшим?

Поскольку A > B > C, то и a > b > c.

Сравним

b²(2(a² + c²) – b²) a²(2(b² + c²) – a²);

2a²b² + 2b²c² – b⁴ 2a²b² + 2a²c² – a⁴;

Но a² + b² > 2c² (так как a > c и b > c). Следовательно, cos α > cos β и α < β. Сравнив аналогичным образом cos β и cos γ, убеждаемся: cos β < cos γ и β > γ. Удивительно, что хотя B — средний из углов треугольника ABC, именно угол β = (h_b; m_b) оказался наибольшим!

16. Дан равнобедренный треугольник ABC (b = c). На прямой CB за точку B взята точка D. Что больше: ACB или ADB?

17.  В вершине A треугольника ABC проведена касательная AQ к описанной около него окружности. Сравните углы ACB и QAB.

18.  В четырехугольнике ABCD углы B и C равны. Известно, что CD > AB. Какой угол больше: A или D?

19.  На медиане AM₁ треугольника ABC взята точка K (произвольно). Известно, что b > c. Сравните углы ACK и ABK.

20.  Биссектрисы углов A, B, C треугольника ABC пересекают описанную около него окружность соответственно в точках W₁, W₂, W₃. Пусть W₂W₁W₃ = ϕ.
Что больше: ϕ или A?

21.  Сравните углы B и C треугольника ABC,
в котором l_b < l_c (l_b и l_c — биссектрисы углов B и C соответственно).

Указание. Воспользуйтесь формулой биссектрисы

22.  Известно, что в треугольнике ABC с ортоцентром H выполняется неравенство BH>CH. Что больше: B или C?

23.  Q — точка, симметричная ортоцентру H относительно середины стороны BC треугольника ABC. Пусть ϕ = BQC. Сравните ϕ и A.

24.  M — центроид треугольника ABC, в котором b > c. Что больше: AMB или AMC?

25.  Из медиан треугольника ABC составлен треугольник с углами α, β, γ (α — против стороны, равной медиане AM₁; β — против BM₂; γ — против CM₃). Известно, что в треугольнике ABCA > B > C. Сравните углы: A и α, B и β, C и γ.

Ануфриева Н., Филипповский Г.