Два десятка задач для подготовки к ЕГЭ-2009
Предлагаемая подборка задач адресована учащимся, готовящимся к ЕГЭ-2009. Статью такие учащиеся могут изучать самостоятельно с помощью учителя. Некоторые задачи сопровождаются указаниями. Некоторые задачи являются более сложными, чем те, которые имеются в демонстрационном варианте.
Задачи В7 проверяют умение выпускников использовать свойство периодичности функции. В предложенных задачах следует использовать также четность и нечетность функций.
1. Функция f(x) определена на всей числовой
прямой, является четной и периодической с периодом T = 8. При x
(37; 39) ее значения совпадают со значениями функции
Решение. f(2) = f(–2) = f(–2 + 8
5)
= f(38) = g(38) = 2.
Ответ: 2.
2. Функция f(x) определена на всей числовой
прямой, является нечетной и периодической с периодом T = 6. Известно, что
f(–2) = –3.
Найдите значение 4f(16) – 5f(14).
Решение . 4f(16) – 5f(14) = 4f(–2 + 63)
– 5f(2 + 62)
= 4f(–2) – 5f(2) = 4f(–2) + 5f(–2) = 9(–3)
= –27.
Ответ : –27.
3. Функция f(x) определена на всей числовой
прямой, имеет при всех x производную, является нечетной и периодической с
периодом T = 6. Известно, что при x
(12; 14)
ее значения совпадают со значениями функции g(x) = x2
– 13x. Найдите значение f'(–1).
Решение . Производная нечетной периодической функции
является четной периодической функцией, поэтому f'(–1)
= f'(1)
= f'(1
+ 62)
= f'(13)
= g'(13)
= 213
– 13 = 13.
Ответ: 13.
4. Функция f(x) определена на всей числовой
прямой, имеет при всех x производную, является четной и периодической с
периодом T = 6. Известно, что при x
(15; 17)
ее значения совпадают со значениями функции g(x) = x2
– 16x. Найдите значение f'(0)
+ f'(2).
Решение. Производная четной периодической функции является нечетной периодической функцией, поэтому
f'(0) + f'(2) = 0 + f'(–2) = f'(–2 + 63)
= f'(16)
= g'(16)
= 216
– 16 = 16.
Ответ : 16.
Следующие задачи соответствуют заданиям В8, в которых проверяется «умение решать уравнения с параметром, содержащие модуль». Решать эти задачи можно по-разному. В частности, на плоскости (x; a) следует построить график соответствующего уравнения и прочитать его.
1. Укажите наибольшее значение параметра a, при котором уравнение
(a – | x + 2 |)(a – x2) = 0
имеет ровно три различных решения.
2. Найдите значение параметра a, при котором
уравнение 
имеет единственный корень. Если таких значений несколько, запишите в
ответе их сумму.
3. Найдите сумму всех целых значений параметра a,
при каждом из которых уравнение 
имеет ровно два различных решения.
4. При каком значении параметра a уравнение | x – a | + x + a – 3 = 0 имеет бесконечно много решений?
Ответы : 1. a = 4. 2. a = 5. 3. a = 1. 4. a = 1,5.
В задачах С1 проверяется умение исследовать свойства сложной функции. В предлагаемых четырех задачах речь идет о множестве значений и области определения сложной функции.
1. Найдите все значения параметра a, при каждом из
которых множества значений функций f(x) = a sin x2
и 
совпадают.
2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множества значений функций f(x) = (a2 – 6a + 8)cos x–2 и g(x) = sin (a – 2)x совпадают.
3. Найдите все значения параметра a, при каждом из
которых области определения функций 
совпадают.
4. Найдите все положительные значения параметра a,
при каждом из которых область определения функции 
включает в себя область
определения функции 
Ответы : 1. a =
±1.
2. a = 2; 3; 
3. a = 10.
4. a (0; 3).
Задания С-3 и С-5 проверяют не только умение воспроизводить известные алгоритмы решения, но и умение рассуждать и мыслить творчески.
1. При каких значениях x наибольшее значение выражений x2 + 3x – 1 и 2x2 + x–1 не меньше числа 3?
2. При каких значениях x наименьшее значение выражений x2 + 3x – 1 и 2x2 + x–1 меньше числа 3?
3. Найдите все значения a, при каждом из которых
неравенству 
удовлетворяет ровно одно целое число.
4. Найдите все значения a, при каждом из которых
неравенство 
не имеет решений.
Ответы : 1. 
2. x
(–4; 1).
3. –2 ≤ a < –1.
4. a = 2.
В задачах С5 проверяется умение решать комбинированные уравнения.
1. Известно, что 
Определите, имеет уравнение 
при 
корни и если да, то сколько.
Решение. С помощью производной найдем, что множество
отрицательных значений функции g(x) — это отрезок 
причем
наибольшее значение эта функция принимает только при x = 1. Функция f(x)
непрерывна и возрастает, следовательно, множество значений функции f(g(x)) —
отрезок 
Поскольку 
, то данное в задаче уравнение имеет корень x = 1 и этот
корень единственный.
Ответ : один корень, x = 1.
2. Известно, что 
При каких значениях параметра a уравнение f(g(x)) – a2 = 0 имеет решение?
Решение. Функция f(x) определена при x
≥ 0.
Производная 
неотрицательна при 
Рассмотрим вспомогательную функцию 
на промежутке 
Ее производная 
имеет здесь одну критическую точку 
Эта точка минимума функции
Следовательно, функция h(x) положительна на этом
промежутке. Итак, производная fR(x)
положительна при x≥0 и поэтому f(x) строго возрастает в своей области определения.
Нас интересуют только неотрицательные значения функции g(x).
Следовательно, ax≥0. При этом условии 0≤g(x)≤| a |. Следовательно, множеством значений функции f(g(x))
является отрезок 
Данное в задаче уравнение имеет решение, если 
Отсюда получаем
ответ: | a | ≤ 1.
Ответ : –1 ≤ a ≤ 1.
3. Известно, что f (g(x)) = sin x + cos2 x, f'(x) = 1 – 2x, f(1) = 1.
Сколько корней имеет уравнение g(x) = 1 на промежутке [–π; 2π)?
Решение . Интегрируя, находим f(x) = 1 +
x – x2. Так как f(g(x)) = 1 + sin x
– sin2 x,
то g(x) = sin x. Корнями
уравнения sin x = 1 являются числа 
Из них только 
принадлежит промежутку [–π;
2π).
Ответ : один корень.