«Жесткие» и «мягкие» математические модели. Окончание

4. Опасность многоступенчатого управления

Явление, описываемое в этом разделе, хорошо известно в теории управления техническими системами. Оно наблюдается в чрезвычайно общей ситуации, но здесь я опишу его в самой простой модели, заменяя лишь технические термины человеческими.

Пусть производство какого-либо продукта x управляется некоторым руководителем, принимающим решение о скорости производства:

В свою очередь, поведение руководителя y управляется руководителем второго ранга, принимающим решение о том, как нужно менять скорость производства:

В свою очередь, поведение руководителя второго ранга z управляется руководителем третьего ранга, и т.д. вплоть до генерального руководителя (ранга n).

Генеральный руководитель в нашей модели реализует обратную связь: его решение основывается не на желании выполнить приказ начальства (как у руководителей предыдущих рангов), а на интересах дела. Например, он может желать достичь уровня X величины x и будет влиять на руководителя предыдущего ранга в положительную сторону, если уровень x не достигнут, и в отрицательную — если он превзойден.

Например, для n = 3 простейшая модель этого рода имеет вид

Эту систему можно переписать в виде линейного дифференциального уравнения порядка n:

Уравнения этой (жесткой) модели легко решаются в явном виде. Устойчивость желаемого стационарного состояния (x = X, y = z = ... = 0) определяется тем, отрицательны ли вещественные части корней l характеристического уравнения

λⁿ = –k.

Эти корни — комплексные числа, изображенные на рисунке 10. Эти корни образуют на плоскости комплексного переменного λ вершины правильного n-угольника. Если n > 3, некоторые вершины обязательно лежат в (неустойчивой) правой полуплоскости (Re λ > 0). При n = 1 корень λ = –k лежит в устойчивой полуплоскости, а при n = 2 корни лежат на границе устойчивости.

Рис. 10. Неустойчивость многоступенчатого управления

Вывод. Многоступенчатое управление, описываемое нашей моделью при n > 3, неустойчиво. Двухступенчатое управление приводит к периодическим колебаниям, но не вызывает катастрофического нарастания колебаний, происходящего при трех- и более ступенчатом управлении.

Настоящую устойчивость обеспечивает только одноступенчатое управление, при котором управляющее лицо более заинтересовано в интересах дела, чем в поощрении со стороны начальства.

Эти выводы, сделанные выше на основании анализа простейшей жесткой модели, на самом деле выдерживают проверку на структурную устойчивость, исключая лишь случай n = 2: двухступенчатое управление может оказаться как устойчивым, так и неустойчивым, в зависимости от деталей организации дела, которыми мы выше пренебрегли при составлении нашей самой простой модели.

Длительное и, по-видимому, устойчивое функционирование системы многоступенчатого управления в СССР объяснялось, вероятно, неисполнением директивных указаний и существованием «теневой» системы заинтересовывания управляющих различных рангов в интересах дела. Без такой реальной заинтересованности (которая в современных условиях уже не обязательно обеспечивается коррупцией) многоступенчатое управление всегда ведет к разрухе.

К счастью, необходимость в независимости Центробанка уже хорошо понята, но многоступенчатое («административное») управление сохраняется во многих других случаях.

5. Математические модели перестройки

Самые простые и самые общие математические модели этой сильно нелинейной ситуации приводят здесь к выводам, которые могут показаться неожиданными для управленцев, привыкших иметь дело с линейными системами, в которых результаты пропорциональны усилиям.

Я воспроизведу здесь описание этих выводов из третьего издания моей книжки «Теория катастроф» (М.: Наука, 1990) (в предыдущих изданиях эти выводы поместить не удавалось по причинам, исчезнувшим — надеюсь, не только временно — вследствие самой перестройки).

Рис. 11. Перестройка с точки зрения теории перестроек

Рассмотрим нелинейную систему, находящуюся в установившемся устойчивом состоянии, признанном плохим, поскольку в пределах видимости имеется лучшее, предпочтительное устойчивое состояние системы ² (рис. 11).

Вот некоторые простейшие выводы:

1. Постепенное движение в сторону лучшего состояния сразу же приводит к ухудшению. Скорость ухудшения при равномерном движении к лучшему состоянию увеличивается.

2. По мере движения от худшего состояния к лучшему сопротивление системы изменению ее состояния растет.

3. Максимум сопротивления достигается раньше, чем самое плохое состояние, через которое нужно пройти для достижения лучшего состояния. После прохождения максимума сопротивления состояние продолжает ухудшаться.

4. По мере приближения к самому плохому состоянию на пути перестройки сопротивление, начиная с некоторого момента, начинает уменьшаться, и как только самое плохое состояние пройдено, не только полностью исчезает, но система начинает притягиваться к лучшему состоянию.

5. Величина ухудшения, необходимого для перехода в лучшее состояние, сравнима с финальным улучшением и увеличивается по мере совершенствования системы. Слабо развитая система может пройти в лучшее состояние почти без предварительного ухудшения, в то время как развитая система, в силу своей устойчивости, на такое постепенное, непрерывное улучшение не способна.

6. Если систему удастся сразу, скачком, а не непрерывно, перевести из плохого устойчивого состояния достаточно близко к хорошему, то дальше она будет сама собой эволюционировать в сторону хорошего состояния.

С этими объективными законами функционирования нелинейных систем нельзя не считаться. Выше сформулированы лишь простейшие качественные выводы. Теория доставляет также количественные модели, но качественные выводы представляются более важными и в то же время более надежными: они мало зависят от деталей функционирования системы, устройство которой и численные параметры могут быть недостаточно известными.

Наполеон критиковал Лапласа за «попытку ввести в управление дух бесконечно малых» ³. Математическая теория перестроек — это та часть современного анализа бесконечно малых, без которой сознательное управление сложными и плохо известными нелинейными системами практически невозможно.

Теория мягкого моделирования — это искусство получать относительно надежные выводы из анализа малонадежных моделей. Ниже приведена еще одна модель, объясняющая довольно неожиданные наблюденные законы.

6. Статистика первых цифр степеней двойки и передел мира

Первая цифра числа 2ⁿ бывает единицей примерно в 6 раз чаще, чем девяткой. Так же распределены первые цифры населения и площади стран мира. (Я предполагаю, что и первые цифры, скажем, численностей или капиталов компаний подчиняются тому же распределению, но не располагаю нужными для проверки данными.)

Предлагаемое ниже объяснение превращается в теорему при фиксации простейшей жесткой модели (такие теоремы можно, по-видимому, доказать и для широкого класса других жестких моделей, так что вся теория, видимо, оправдывается и при мягком моделировании).

Последовательность первых цифр первых чисел 2ⁿ (n = 0, 1, 2, ...):

1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, ...

содержит очень много единиц. Можно проверить, продолжив вычисление, что единицы составляют асимптотически около 30% членов этой последовательности. Этот результат следует из теоремы Г. Вейля (доказанной около ста лет назад), согласно которой последовательность дробных долей {nx} чисел nx, где x — иррационально, равномерно распределена на отрезке от 0 до 1. (Дробная доля числа a — это разность {a} = a – [a] между a и наибольшим целым числом [a], не превосходящим a.)

Теорема Вейля означает, что если точка прыгает по окружности длины 1 шагами, несоизмеримыми с ее длиной (рис. 12), то доля времени, проводимого прыгающей точкой в каждой дуге, пропорциональна длине дуги (и не зависит от расположения дуги на окружности).

Первая цифра i числа определяется тем, в какой из отрезков между точками lg i и lg (i + 1) попадает дробная часть (мантисса) его логарифма (здесь и далее логарифмы десятичные).

Рис. 12. К теореме Вейля

Поскольку lg 2ⁿ = n lg 2, а число x = lg 2 — иррационально, теорема Вейля доставляет равномерное распределение точек {lg 2ⁿ} на отрезке от 0 до 1.
Следовательно, доля чисел 2ⁿ, имеющих первой цифрой десятичного разложения i, составляет длину p_i отрезка от lg i до lg (i + 1). Мы получаем таким образом следующую статистику первых цифр чисел 2ⁿ (в процентах):

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
100pi	30	17	12	10	8	7	6	5	5

Например, доля единиц составляет p₁ = lg 2 » 0,30103..., что примерно в 6 раз больше доли девяток.

Такое же распределение имеют первые цифры членов любой геометрической прогрессии (например, 3ⁿ). Исключение составляют, конечно, прогрессии ... и вообще прогрессии со знаменателями , где p и q — целые.

Лет двадцать назад Н.Н. Константинов обратил мое внимание на то, что первые цифры населения стран мира подчиняются тому же странному распределению: единиц примерно вшестеро больше, чем девяток. Вот мое тогдашнее объяснение этого явления. Рассмотрим последовательность, образованную численностями населения фиксированной страны в последовательные годы. Согласно теории Мальтуса, эти числа образуют геометрическую прогрессию. Согласно теореме Вейля, первые цифры распределены так же, как первые цифры степеней двойки. Перейдем теперь к статистике населения разных стран в один и тот же год. Согласно «эргодическому принципу» временные средние можно заменить пространственными: статистика первых цифр должна оказаться такой же, как для одной страны.

(Эргодический принцип — то же самое соображение, согласно которому для исследования эволюции дерева в лесу нет необходимости ждать, когда оно вырастет из семени и умрет, а можно просто посмотреть на деревья разных возрастов. Здесь мы применили этот принцип в обратную сторону, вычисляя статистику по странам на основании знаний об эволюции одной страны.)

Для контроля я сравнил числа страниц в книгах на полке в моей библиотеке, длины рек и высоты гор. Во всех этих случаях доли единиц и доли девяток среди первых цифр полученных чисел оказались близкими. Книги, горы и реки не растут в геометрической прогрессии, теория Мальтуса к ним неприменима. Поэтому различие статистик первых цифр в числах, выражающих численности населения и, скажем, длины рек, служит своеобразным подтверждением формулы Мальтуса (согласно которой население либо растет в геометрической прогрессии, либо убывает, как мы это сейчас наблюдаем в России).

Однако десять лет назад М.Б. Севрюк обнаружил, что не только население, но и площади стран мира подчиняются такому же странного закону распределения первых цифр, как степени двойки ⁴. К площадям теория Мальтуса, по-видимому, неприменима, так что возникает вопрос — как объяснить это поведение площадей:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
100pi	29	21	10	11	6	6	8	3	6

Оказывается, целый ряд моделей передела мира проводит именно к такому распределению. Простейшая модель (для которой установление указанного распределения — теорема) такова: за единицу времени страна с вероятностью 50% делится пополам, а с вероятностью 50% объединяется с другой страной такой же площади.

Эта жесткая модель допускает точное математическое исследование, показывающее, что доля времени, в течение которого первая цифра площади страны будет единицей (соответственно, i), составляет lg 2 ≈ 0,3... (соответственно, lg (i + 1) – lg i).

Компьютерные эксперименты (проведенные М.В. Хесиной в Торонто и Ф. Аикарди в Триесте летом 1997 г.) показывают, что такое же распределение устанавливается в большом числе других моделей. Например, можно предположить, что за единицу времени любая из стран (с площадями x_k) с вероятностью объединяется со случайно выбранной другой (образуя страну площади x_k + x_l), а с вероятностью половина делится на две равные части.

Начиная с сотни стран площадей, скажем, x_k = k, можно уже через сотню шагов получить хорошее приближение к нашему стандартному распределению.

Деление на равные части можно заменить делением на части площадей px_k и (1 – p)x_k (Квебек, Украина, ...), вероятности объединения и деления можно сделать различными — результаты численного эксперимента малочувствительны к этим изменениям модели. Можно даже ввести в рассмотрение географическое положение стран, разрешив объединение лишь с соседями (пренебрегая существованием в свое время Восточной Пруссии, а ныне — Калининградской области). Численные эксперименты приводят к тому же распределению (будем ли мы моделировать географию земного шара окружностью или сферой, отрезком или прямоугольником).

Таким образом, наше распределение является, по-видимому, свойством мягкой модели, но доказательство того, что оно устанавливается в ее конкретных реализациях в виде жестких моделей, — трудная и далеко не решенная математическая задача.

Математика, подобно физике, — экспериментальная наука, отличающаяся от физики лишь тем, что в математике эксперименты очень дешевы. Видимо, именно поэтому бюджет отделения математики в РАН в сорок раз меньше бюджета физических отделений (а следовательно, производительность наших математиков в соответствующее число раз выше).

7. Математика и математическое образование в современном мире

«No star wars — no mathematics», — говорят американцы. Тот прискорбный факт, что с (временным?) прекращением военного противостояния математика, как и все фундаментальные науки, перестала финансироваться, является позором для современной цивилизации, признающей только «прикладные» науки ⁵, ведущей себя совершенно подобно свинье под дубом.

На самом деле никаких прикладных наук не существует и никогда не существовало, как это отметил более ста лет назад Луи Пастер (которого трудно заподозрить в занятиях, не нужных человечеству). Согласно Пастеру, существуют лишь приложения науки.

Опыты с янтарем и кошачьим мехом казались бесполезными правителям и военачальникам XVIII в. Но именно они изменили наш мир после того, как Фарадей и Максвелл написали уравнения теории электромагнетизма. Эти достижения фундаментальной науки окупили все затраты человечества на нее на сотни лет вперед. Отказ современных правителей платить по этому счету — удивительно недальновидная политика, за которую соответствующие страны, несомненно, будут наказаны технологической и, следовательно, экономической (а также и военной) отсталостью.

Человечество в целом (перед которым ведь стоит тяжелейшая задача выживания в условиях мальтузианского кризиса) должно будет заплатить тяжелую цену за близоруко-эгоистическую политику составляющих его стран.

Математическое общество несет свою долю ответственности за повсеместно наблюдаемое давление со стороны правительств и общества в целом, направленное на уничтожение математической культуры как части культурного багажа каждого человека и в особенности на уничтожение математического образования.

Выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой. Выросли целые поколения профессиональных математиков и преподавателей математики, умеющих только это и не представляющих себе возможности какого-либо другого преподавания математики.

Наиболее характерными приметами формализованного преподавания является изобилие немотивированных определений и непонятных (хотя логически безупречных) доказательств. Отсутствие примеров, отсутствие анализа предельных случаев и предела применимости математических теорий, отсутствие чертежей и рисунков — столь же постоянный недостаток математических текстов, как и отсутствие внематематических приложений и мотивировок понятий математики.

Уже Пуанкаре отмечал, что есть только два способа научить дробям — разрезать (хотя бы мысленно) либо пирог, либо яблоко. При любом другом способе обучения (аксиоматическом или алгебраическом) школьники предпочитают складывать числители с числителями, а знаменатели со знаменателями.

Математика является экспериментальной наукой — частью теоретической физики и членом семейства естественных наук. Основные принципы построения и преподавания всех этих наук применимы и к математике. Искусство строгого логического рассуждения и возможность получать этим способом надежные выводы не должно оставаться привилегией Шерлока Холмса — каждый школьник должен овладеть этим умением. Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования. Успех приносит не столько применение готовых рецептов (жестких моделей), сколько математический подход к явлениям реального мира. При всем огромном социальном значении вычислений (и computer science), сила математики не в них, и преподавание математики не должно сводиться к вычислительным рецептам.

В истории России был премьер-министр с математическим образованием (окончивший Санкт-Петербургский университет по математике в школе Чебышева). Вот как он описывает разницу между мягким и жестким математическим моделированием ⁶:

Между математиками есть двоякого рода люди:
1) математики-философы, т.е. математики высшей математической мысли, для которых цифры и исчисления есть ремесло; для этого рода математиков цифры и исчисления не имеют никакого значения, их увлекают не цифры и исчисления, а сами математические идеи. Одним словом, это математики, так сказать, чистой философской математики; 2) напротив, есть такие математики, которых философия математики, математические идеи не трогают, которые всю суть математики видят в исчислениях, цифрах и формулах...

Математики-философы, к которым принадлежу и я, относятся всегда с подозрением к математикам-исчислителям, а математики-исчислители, среди которых есть много ученых весьма знаменитых, смотрят на математиков-философов как на людей в известном смысле «тронутых».

Сейчас мы знаем, что описанные Витте различия имеют физиологическое происхождение. Наш мозг состоит из двух полушарий. Левое отвечает за умножение многочленов, языки, шахматы, интриги и последовательности силлогизмов, а правое — за пространственную ориентацию, интуицию и все необходимое в реальной жизни. У «математиков-исчислителей», по терминологии Витте, гипертрофировано левое полушарие, обычно за счет недоразвития правого. Это заболевание составляет их силу (вспомним «Защиту Лужина» Набокова). Но доминирование математиков этого типа и привело к тому засилью аксиоматическо-схоластической математики, особенно в преподавании (в том числе и в средней школе), на которое общество естественно и законно реагирует резко отрицательно. Результатом явилось повсеместно наблюдаемое отвращение к математике и стремление всех правителей отомстить за перенесенные в школе унижения ее изничтожением.

Мягкое моделирование требует гармоничной работы обоих полушарий мозга. После окончания университета Витте не нашел работы по специальности и принял предложение частной компании стать начальником дистанции на Юго-Западной железной дороге. Для занятия этого поста ему пришлось по неделе простажироваться в должности каждого из своих подчиненных (стрелочника, путевого обходчика, багажного раздатчика, билетного кассира, кочегара, машиниста, начальника станции...) — неоценимый опыт для будущего премьер-министра.

Однажды царский поезд, следующий в Крым, был замедлен по приказу Витте на его дистанции. Несмотря на возмущение Александра III, машинист подчинился не его приказу, а приказу своего начальника дистанции. Когда поезд перешел на следующую, уже не подчинявшуюся Витте, дистанцию, скорость была, естественно, повышена. Вскоре царский поезд сошел с рельсов и опрокинулся (катастрофа у станции Борок). Царь запомнил имя непокорного начальника дистанции, и Витте был назначен министром (кажется, путей сообщения), а впоследствии стал и премьер-министром. С его именем связана вся грандиозная эпоха «развития капитализма в России», в том числе строительство действующей и сейчас сети железных дорог.

Но Витте лучше разбирался в реальной жизни страны и в проблемах экономики и техники, чем в политических интригах (к которым большой талант имеют люди левополушарные). С приходом к власти деятелей типа Распутина он был отправлен в отставку. Витте вновь призывался к власти для ликвидации критических ситуаций, созданных политиками (русско-японская война, революция 1905 года), я даже предполагаю, что если бы Витте оставался руководителем России в течение следующего десятилетия, то наша история была бы совсем иной: не было бы ни мировой войны, ни революции и мы жили бы сейчас, как Финляндия или Швеция...

Конечно, сила Витте заключалась вовсе не в применении какой-либо математики («исчисления»), а в том способе мышления, который он называет «математикой-философией» и который заставляет человека с математическим образованием думать о всех реалиях окружающего мира с помощью (сознательного или бессознательного) мягкого математического моделирования.

Идея о необходимости этого рода мышления для успеха в любой экономической или производственной деятельности (исключая, может быть, политические интриги) была хорошо понята уже сто лет назад ⁷:

Не пользующаяся математическими символами человеческая логика зачастую запутывается в словесных определениях и делает вследствие этого ошибочные выводы — и вскрыть эту ошибку за музыкою слов иногда стоит огромного труда и бесконечных, часто бесплодных, споров.

К сожалению, и сейчас остаются актуальными слова классика математической экономики Парето ⁸:

Экономисты, не знающие математику, находятся в положении людей, желающих решить систему уравнений, не зная ни того, что она из себя представляет, ни того даже, что представляет из себя каждое входящее в нее единичное уравнение.

Выводы. Планируемое во всех странах подавление фундаментальной науки и, в частности, математики (по американским данным на это им потребуется лет 10–15) принесет человечеству (и отдельным странам) вред, сравнимый с вредом, который принесли западной цивилизации (и Испании) костры инквизиции.

Математическое образование должно составлять неотъемлемую часть культурного багажа каждого школьника. Но оно не должно никоим образом сводиться к рецептурам (будь то таблица умножения или Windows 95).

Основной целью математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира, умения, так хорошо описанного Витте в его характеристике «математики-философии» и так блестяще использованного им в вовсе не математической деятельности. Искусство составлять и исследовать мягкие математические модели является важнейшей составной частью этого умения.

1.  Арнольд В.И. Теория катастроф. — М.: Наука, 1990. — 128 с.
2.  Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. — М.: Мир, 1980. — 608 с.
3.  Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — 2-е изд. — М.: Наука, 1969. — 424 с.
4.  Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 5-е изд. — М.: Наука, 1982. — 331 с.
5.  Гутер Р.С., Янпольский А.Р. Дифференциальные уравнения. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1976. — 304 с.
6.  Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 2-е изд. — М.: Наука, 1985. — 448 с.
7.  Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. — М.: Наука, 1987. — 160 с.
8.  Векуа Н.П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения в механике. — М.: Наука, 1987. — 256 c.
9.  Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 6-е изд. — М.: Наука, 1970. — 279 с.
10.  Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями/ Пер. с англ. под ред. Н.Х. Розова. — М.: Мир, 1986. — 240 с.
11.  Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1971. — 240 с.

---

Автор благодарит Д.С. Шмерлинга за пополнение списка литературы.

* Эта статья представляет собой текст доклада, сделанного академиком В.И. Арнольдом в 1997 году на семинаре при Президентском Совете РФ.

² Сама по себе рыночная экономика — не панацея: согласно знаменитой теореме Дёбре она может в принципе приводить и не к устойчивости, а к любому хаосу.

³ Мои французские коллеги объяснили мне, что Лаплас, будучи министром, требовал, чтобы все счета сходились до копейки.

⁴ Это распределение может показаться менее странным, если заметить, что это — единственное распределение, не зависящее от того, в каких единицах измеряются площади (будь то квадратные километры, квадратные мили, квадратные футы, квадратные дюймы и т.д.).

⁵ Непрекращающееся финансирование псевдоспиритических наук вроде парапсихологии и антиисторического вздора академика А.Т. Фоменко (в 1997 г. — заместитель академика-секретаря отделения математики РАН) еще ждет своего объяснения.

⁶ Витте С.Ю. Воспоминания. Т. 3, гл. 5.

⁷ Арнольд В.Ф. Политико-экономические этюды. — Одесса: изд. Распопова, 1904, с. 5. — 113 с.

⁸ Pareto V. Anwendung der Mathematik auf Nationalökonimie. Encyclopedie der Mathematischen Wissenschaften, Band I, Heft 7, S. 1114.

Арнольд В.