Как научить применять теорему Виета

Как научить применять теорему Виета

При рассмотрении в школьном курсе темы «Решение квадратных уравнений» многие учителя редко используют метод решения уравнений с помощью формул Виета, останавливаясь только на традиционном методе — с помощью дискриминанта. Причина понятна: не каждый ученик может в течение двух уроков, отведенных по программе на рассмотрение формул Виета, освоить их использование. Причина трудностей в неумении подыскивать корни уравнения.

Предлагаемый ниже тренажер позволяет учителю справиться с этими проблемами. Однако желательно готовить учащихся к работе с формулами Виета с 6-го класса, например рассматривая тему «Делители». Делители чисел рекомендуется выписывать не в обычном порядке — по возрастанию, а в удобном — парами, начиная с делителя 1 и самого числа. Например: d(18): 1; 18; 2; 9; 3; 6.
При таком перечислении ученик не потеряет делители, у него будут формироваться навыки, необходимые для сокращения дробей, а также и для применения в дальнейшем формул Виета.

Вернемся к тренажеру. Он представляет из себя 150 различных уравнений. Первые 100 уравнений, разбитые на четыре блока, необходимы для отработки навыка подбора корней. Последние 50 — можно использовать для проведения самостоятельной работы (количество вариантов определяет учитель).

Каждый из четырех блоков начинается с самых популярных уравнений школьного курса, модули корней которых равны 1 и | q |. Например, уравнения № 1, 26, 51, 76 имеют корни, модули которых равны 1 и 2. У следующих за ними уравнений модули корней равны 1 и 3. Именно с пары 1 и | q | необходимо начинать подбор корней. Рассматривая второй, третий и четвертый блоки, ученик уже обращает внимание на знаки корней, самостоятельно определяет необходимые модули.

Обратим внимание, что у некоторых уравнений повторяется число q. Это не случайно. В этих мини-блоках рассматриваются все случаи получения в произведении числа | q |, причем последовательность нахождения пар множителей такая же, как и при перечислении делителей любого числа.

Например: d(12): 1; 12; 2; 6; 3; 4.

Тогда:

корнями уравнения № 12 будут числа 1 и 12;

корнями уравнения № 13 будут числа 2 и 6;

корнями уравнения № 14 будут числа 3 и 4.

Так как большинство приведенных уравнений школьного курса математики имеют целые корни и, следовательно, решаются с помощью формул Виета, описанная методика позволяет выработать у учащихся умение «видеть» корни уравнений и избавить их от многократного повторения алгоритма с использованием дискриминанта.

Уравнения x2 + px + q = 0	№ 1–25	№ 26–50	№ 51–75	№ 76–100
Коэффициенты	q > 0		q < 0
	– p > 0	– p < 0	– p > 0	– p < 0
Корни: x1x2 = q, x1 + x2 = –p	одного знака		разных знаков
	оба положительны	оба отрицательны	больший по модулю положителен	больший по модулю отрицателен

Тренажер по теме «Теорема Виета»

1.  x2 – 3x + 2 = 0. 2.  x2 – 4x + 3 = 0. 3.  x2 – 5x + 4 = 0. 4.  x2 – 6x + 5 = 0. 5.  x2 – 7x + 6 = 0. 6.  x2 – 5x + 6 = 0. 7.  x2 – 8x + 7 = 0. 8.  x2 – 9x + 8 = 0. 9.  x2 – 6x + 8 = 0. 10.  x2 – 11x + 10 = 0. 11.  x2 – 7x + 10 = 0. 12.  x2 – 13x + 12 = 0. 13.  x2 – 8x + 12 = 0. 14.  x2 – 7x + 12 = 0. 15.  x2 – 25x + 24 = 0. 16.  x2 – 14x + 24 = 0. 17.  x2 – 11x + 24 = 0. 18.  x2 – 10x + 24 = 0. 19.  x2 – 13x + 36 = 0. 20.  x2 – 16x + 48 = 0. 21.  x2 – 17x + 52 = 0. 22.  x2 – 27x + 72 = 0. 23.  x2 – 17x + 60 = 0. 24.  x2 – 13x + 42 = 0. 25.  x2 – 11x + 28 = 0.	51.  x2 – x – 2 = 0. 52.  x2 – 2x – 3 = 0. 53.  x2 – 3x – 4 = 0. 54.  x2 – 4x – 5 = 0. 55.  x2 – 5x – 6 = 0. 56.  x2 – x – 6 = 0. 57.  x2 – 7x – 8 = 0. 58.  x2 – 2x – 8 = 0. 59.  x2 – 9x – 10 = 0. 60.  x2 – 3x – 10 = 0. 61.  x2 – x – 30 = 0. 62.  x2 – 26x – 27 = 0. 63.  x2 – 6x – 27 = 0. 64.  x2 – 35x – 36 = 0. 65.  x2 – 16x – 36 = 0. 66.  x2 – 9x – 36 = 0. 67.  x2 – 5x – 36 = 0. 68.  x2 – 39x – 40 = 0. 69.  x2 – 18x – 40 = 0. 70.  x2 – 6x – 40 = 0. 71.  x2 – 3x – 40 = 0. 72.  x2 – 11x – 26 = 0. 73.  x2 – 3x – 54 = 0. 74.  x2 – 12x – 64 = 0. 75.  x2 – 2x – 80 = 0.	101.  x2 – 12x + 11 = 0. 102.  x2 + 14x + 13 = 0. 103.  x2 – 5x – 14 = 0. 104.  x2 + 9x – 22 = 0. 105.  x2 – 14x + 33 = 0. 106.  x2 – 3x – 70 = 0. 107.  x2 + 22x + 40 = 0. 108.  x2 – 20x + 51 = 0. 109.  x2 + 27x + 50 = 0. 110.  x2 – x – 72 = 0. 111.  x2 + x – 12 = 0. 112.  x2 – 12x + 27 = 0. 113.  x2 + 15x + 44 = 0. 114.  x2 – 6x – 72 = 0. 115.  x2 + 11x – 80 = 0. 116.  x2 – 12x + 20 = 0. 117.  x2 + 20x + 19 = 0. 118.  x2 – 9x – 70 = 0. 119.  x2 + 21x – 46 = 0. 120.  x2 – 46x + 88 = 0. 121.  x2 + 21x + 68 = 0. 122.  x2 – 4x – 21 = 0. 123.  x2 + 15x – 54 = 0. 124.  x2 – 22x + 96 = 0. 125.  x2 + 12x + 32 = 0.
26.  x2 + 3x + 2 = 0. 27.  x2 + 4x + 3 = 0. 28.  x2 + 5x + 4 = 0. 29.  x2 + 6x + 5 = 0. 30.  x2 + 10x + 9 = 0. 31.  x2 + 16x + 15 = 0. 32.  x2 + 8x + 15 = 0. 33.  x2 + 17x + 16 = 0. 34.  x2 + 10x + 16 = 0. 35.  x2 + 19x + 18 = 0. 36.  x2 + 11x + 18 = 0. 37.  x2 + 9x + 18 = 0. 38.  x2 + 21x + 20 = 0. 39.  x2 + 12x + 20 = 0. 40.  x2 + 9x + 20 = 0. 41.  x2 + 31x + 30 = 0. 42.  x2 + 17x + 30 = 0. 43.  x2 + 13x + 30 = 0. 44.  x2 + 11x + 30 = 0. 45.  x2 + 16x + 28 = 0. 46.  x2 + 17x + 42 = 0. 47.  x2 + 28x + 52 = 0. 48.  x2 + 18x + 72 = 0. 49.  x2 + 19x + 60 = 0. 50.  x2 + 14x + 45 = 0.	76.  x2 + x – 2 = 0. 77.  x2 + 2x – 3 = 0. 78.  x2 + 3x – 4 = 0. 79.  x2 + 4x – 5 = 0. 80.  x2 + 8x – 9 = 0. 81.  x2 + 14x – 15 = 0. 82.  x2 + 2x – 15 = 0. 83.  x2 + 47x – 48 = 0. 84.  x2 + 22x – 48 = 0. 85.  x2 + 13x – 48 = 0. 86.  x2 + 8x – 48 = 0. 87.  x2 + 2x – 48 = 0. 88.  x2 + 49x – 50 = 0. 89.  x2 + 23x – 50 = 0. 90.  x2 + 5x – 50 = 0. 91.  x2 + 12x – 45 = 0. 92.  x2 + 4x – 45 = 0. 93.  x2 + 5x – 14 = 0. 94.  x2 + 13x – 14 = 0. 95.  x2 + 2x – 35 = 0. 96.  x2 + 7x – 44 = 0. 97.  x2 + 14x – 32 = 0. 98.  x2 + 7x – 30 = 0. 99.  x2 + 5x – 24 = 0. 100.  x2 + 19x – 66 = 0.	126.  x2 + 10x – 39 = 0. 127.  x2 – 2x – 48 = 0. 128.  x2 + 18x + 77 = 0. 129.  x2 – 14x + 40 = 0. 130.  x2 + 3x – 28 = 0. 131.  x2 – 12x – 45 = 0. 132.  x2 + 13x + 36 = 0. 133.  x2 – 24x + 23 = 0. 134.  x2 + 9x – 90 = 0. 135.  x2 – 10x – 24 = 0. 136.  x2 + 11x + 28 = 0. 137.  x2 – 10x + 16 = 0. 138.  x2 + 2x – 80 = 0. 139.  x2 – 9x – 22 = 0. 140.  x2 + 11x + 24 = 0. 141.  x2 – 8x + 15 = 0. 142.  x2 + 5x – 36 = 0. 143.  x2 – 10x – 75 = 0. 144.  x2 + 13x + 42 = 0. 145.  x2 – 35x + 66 = 0. 146.  x2 + 8x – 33 = 0. 147.  x2 – x – 12 = 0. 148.  x2 + 12x + 64 = 0. 149.  x2 – 33x + 32 = 0. 150.  x2 + 3x – 10 = 0.

Каратеева С.