Парные равнобедренные треугольники на базе основных пифагоровых
Из каждого основного пифагорова треугольника (ОПТ) можно образовать два равнобедренных треугольника, линейные и угловые характеристики которых достойны внимания.
Пусть нечетный катет ОПТ равен a, четный — b,
гипотенуза — c, диаметр вписанной в треугольник окружности — d;
угол против нечетного катета обозначим через
α, угол
против четного — через β.
Начиная с вершины угла a,
продолжим катет b до размера b + a, а гипотенузу c —
до размера c + d.
Концы полученных отрезков соединим между собой. Поскольку b + a =
c + d, то образованный таким способом треугольник является
равнобедренным с углами γ1
при основании (рис. 1).
Рис. 1
Если, начиная с вершины угла β, «наращивать» до тех же размеров катет a и гипотенузу c, получим второй равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны имеют ту же длину a + b, но угол при основании другой — γ2 (рис. 2).
Рис. 2
Основания и опущенные на них высоты у каждого из такой пары равнобедренных треугольников иррациональны, зато высоты H1, 2, опущенные на боковые стороны, и отрезки x, y, на которые основания этих высот делят боковые стороны, а также площади S1,2 треугольников выражаются рациональными (но не целыми!) числами:
Из формул для площади равнобедренных треугольников следует:
Кроме того,
где m, n — взаимно простые натуральные числа разной четности и величины (m > n), с помощью которых определяются стороны ОПТ:
a = m2 – n2, b = 2mn, c = m2 + n2.
Неожиданным, на первый взгляд, кажется постоянство суммы углов при основаниях равнобедренных треугольников: γ1 + γ2 = 135°. Это значение — 135° — неизменно для любых пар равнобедренных треугольников, полученных из ОПТ указанным способом, в чем легко убедиться, если, например, выразить значения γ1 и γ2 через α и β:
