Тема урока «Теорема Виета»

Цели урока:

• познакомить учищихся с теоремой Виета;
• научить применять теорему Виета для составления квадратных уравнений;
• сформулировать теорему, обратную теореме Виета, и научить применять ее к решению квадратных уравнений.

Оборудование: компьютер; мультимедийный проектор.

Ход урока

Проверка домашнего задания

Проверяем домашнюю работу (уравнения а–д) следующим образом:

Замените целые корни уравнений:

а) 5x² – 18x + 16 = 0;

б) 8x² + x – 75 = 0;

в) 4x² + 7x + 3 = 0;

г) x² – x – 56 = 0;

д) x² – x – 1 = 0,

на соответствующие буквы и отгадайте фамилию ученого, французского математика.

И	Н	В	Е	Т
3	1	2	–1	8

(Учитель делает краткое сообщение о Ф. Виете и формулирует тему урока.)

Актуализация знаний

Учащиеся отвечают на вопросы:

• Что значит решить уравнение?
• Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
• Заметили ли вы зависимость между корнями квадратного уравнения?

Учитель. На уроке мы с вами постараемся найти зависимость между корнями квадратного уравнения и познакомиться с новым методом решения квадратных уравнений.

Формирование новых знаний

Задание. Решить уравнение

Найти сумму и произведение корней уравнения.

Решение. D = 25 – 24 = 1; x₁ = –2, x₂ = –3.

x₁ + x₂ = –5, x₁ жx₂ = 6.

• Какое квадратное уравнение вы решили?

[Приведенное.]

• Какую зависимость между корнями и коэффициентами вы заметили?

(Учащиеся формулируют.)

Учитель. Да, действительно, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение — свободному члену. Вот в этом и заключается теорема Виета. Вы сами сделали открытие. Докажем теорему Виета для приведенных уравнений.

Дано: x² + px + q = 0.

Доказать: x₁ + x₂ = –p, x₁жx₂ = q.

(Для доказательства учащиеся заполняют таблицу.)

	D ≥ 0	D = 0
Дискриминант D	p2 – 4q	0
Корни x1 и x2
Сумма x1 и x2
Произведение x1 и x2

Докажем теорему Виета для квадратных уравнений общего вида:

ax² + bx + c = 0.

Равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид:

По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета. Сформулируйте это утверждение.

Теорема. Если числа m и n таковы, что их сумма равна а произведение равно то эти числа являются корнями уравнения

Формирование умений и навыков

1. (Устно.) Выберите среди данных уравнений приведенные:

а) 2x² + 3x – 1 = 0;
б) x² – x – 6 = 0;
в) 3x² + 5 = 0;
г) x² + 7x + 6 = 0.

2.  (Устно.) Чему равны сумма и произведение корней уравнения:

а) x² + 7x + 6 = 0;
б) x² – 8x + 12 = 0;
в) x² – x – 6 = 0?

3.  Пусть x₁ и x₂ — корни квадратного уравнения:

а) x₁ = 4, x₂ = –3;
б) x₁ = 5, x₂ = 2;
в) x₁ = –3, x₂ = – 6;
г) x₁ = 8, x₂ = 12.

Применяя теорему Виета, составьте квадратные уравнения.

4.  Определите корни квадратного уравнения, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета:

а) x² + 7x + 6 = 0;
б) x² – 8x + 12 = 0;
в) x² – x – 6 = 0;
г) x² – 15x – 16 = 0;
д) x² + 11x – 12 = 0.

Этап первичной проверки

Задания 1–2 учащиеся выполняют самостоятельно по группам. Учитель разбивает класс на 4 группы (4-я группа — сильные учащиеся). Каждая группа решает задания своего варианта. После окончания работы решения проверяются с помощью проектора.

Учитель. После решения уравнений полученные точки нанесите на координатную плоскость и последовательно соедините все точки отрезками. При правильном выполнении вы получите рисунок.

Вариант 1

1.  Пусть x₁ и x₂ — корни квадратного уравнения (x₁ < x₂). Решите уравнение (а–к), запишите корни уравнения в указанном порядке (при решении там, где это удобно, пользуйтесь теоремой, обратной теореме Виета).

а) x² – 25 = 0, (x₁, x₂);
б) x² – 3x = 0, (x₁, x₂);
в) x² – 5x + 6 = 0, (x₂, x₁);
г) x² – 12x + 35 = 0, (x₂, x₁);
д) x² – 6x = 0, (x₂, x₁);
е) x² – 2x – 35 = 0, (x₂, x₁);
ж) x² – x – 6 = 0, (x₂, x₁);
з) x² + 3x = 0, (x₂, x₁);
и) x² + 10x + 100 = 0, (x₁, x₂);
к) x² + 10x = 0, (x₁, x₂).

2.  Один из корней уравнения x² + px – 35 = 0 равен 7. Найдите другой корень уравнения и коэффициент p.

Вариант 2

1.  Пусть x₁ и x₂ — корни квадратного уравнения (x₁ < x₂). Решите уравнение (а–к), запишите корни уравнения в указанном порядке (при решении там, где это удобно, пользуйтесь теоремой, обратной теореме Виета).

а) x² – 4x – 21 = 0, (x₁, x₂);
б) x² – 10x + 21 = 0, (x₁, x₂);
в) x² – 7x + 12 = 0, (x₁, x₂);
г) x² – 6x = 0, (x₂, x₁);
д) x² + 4x – 32 = 0, (x₂, x₁);
е) x² + 6x – 55 = 0, (x₂, x₁);
ж) x² + 16x + 55 = 0, (x₂, x₁);
з) x² + 12x + 32 = 0, (x₂, x₁);
и) x² + 6x = 0, (x₁, x₂);
к) x² – x – 12 = 0, (x₁, x₂).

2.  Один из корней уравнения x² – 13x + q = 0 равен 12,5. Найдите другой корень уравнения и коэффициент q.

Вариант 3

1.  Пусть x₁ и x₂ — корни квадратного уравнения (x₁ < x₂). Решите уравнение (а–к), запишите корни уравнения в указанном порядке (при решении там, где это удобно, пользуйтесь теоремой, обратной теореме Виета).

а) x² – 5x + 4 = 0, (x₁, x₂);
б) x² – 5x + 6 = 0, (x₂, x₁);
в) x² – 8x + 15 = 0, (x₂, x₁);
г) x² – 9x = 0, (x₂, x₁);
д) x² – 6x + 5 = 0, (x₂, x₁);
е) x² + x – 2 = 0, (x₂, x₁);
ж) x² + 2x – 3 = 0, (x₁, x₂);
з) x² + 7x = 0, (x₁, x₂);
и) – 9x + x² = 0, (x₁, x₂);
к) x² – x – 2 = 0, (x₁, x₂).

2.  Один из корней уравнения 10x² – 33x + c = 0 равен 5,3.
Найдите другой корень и коэффициент c.

1.  Пусть x₁ и x₂ — корни квадратного уравнения (x₁ < x₂). Решите уравнение (а–и), запишите корни уравнения в указанном порядке (при решении там, где это удобно, пользуйтесь теоремой, обратной теореме Виета).

а) x² – 13x + 22 = 0, (x₁, x₂);
б) x² – 12x + 35 = 0, (x₁, x₂);
в) x² – 10x + 100 = 0, (x₁, x₂);
г) x² – 7x + 12 = 0, (x₂, x₁);
д) x² – 11x + 24 = 0, (x₂, x₁);
е) x² – 2x – 8 = 0, (x₂, x₁);
ж) x² + 6x + 8 = 0, (x₁, x₂);
з) x² + 5x – 24 = 0, (x₁, x₂);
и) x² – 5x + 6 = 0, (x₁, x₂).

2.  Не решая уравнения x² – 2x – 8 = 0, вычислите сумму квадратов и сумму кубов его корней.

Задание на дом

По учебнику «Алгебра, 8» под редакцией С.А. Теляковского разберите доказательство теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета (п. 23). Выполните № 585(а–в), 586(а–в), 588.

Творческое задание (необязательное). Придумайте рисунок на координатной плоскости, состоящий из отрезков с концами в вершинах клеток, и составьте квадратные уравнения, приняв координаты узловых точек за корни квадратного уравнения.

Дополнительно для сильных учащихся: № 660.

Подведение итогов. Рефлексия

Ответьте на вопросы:

• Какие уравнения мы сегодня рассматривали?
• Чему равна сумма корней квадратного уравнения?
• Чему равно произведение корней квадратного уравнения?

Продолжите фразы:

• Сегодня на уроке я узнал...
• Сегодня на уроке я научился...
• Сегодня на уроке я познакомился...
• Сегодня на уроке я повторил...
• Сегодня на уроке я закрепил...

Асадуллина З.