Учебный курс «История элементарной алгебры»

В этой статье описан «скелет» шестичасового учебного курса, проведенного с учащимся 6–8-х классов на Зимней школе развития «Пифагор-2009». Замысел курса состоял в том, чтобы приоткрыть школьникам тот содержательный мир, который лежит за формальными выкладками, осваиваемыми в обычном школьном курсе алгебры.

Содержание курса составила «предыстория алгебры», известная по вавилонским клинописным табличкам. В этих табличках, в частности, решаются системы из двух уравнений с двумя неизвестными, где одно из уравнений имеет вид xy = a. Согласно реконструкциям, предложенным рядом историков математики, эти задачи решались древними вавилонянами с помощью так называемой «геометрической алгебры», известной нам также по трудам математиков последующих эпох, таким как «Начала» Евклида и «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы» Мухаммада ал-Хорезми. Такой «геометрической алгеброй» мы и занимались на курсе.

Этот курс может рассматриваться как вводный к теме «Квадратные уравнения» школьного курса алгебры. Однако разворот темы, принятый в этом курсе, не похож на подходы, характерные для стандартных школьных учебников. Выбирая этот подход, я исходил из следующих соображений. Во-первых, сами по себе квадратные уравнения не возникают из некоторой «естественной» постановки простейших задач. Напротив, системы из двух уравнений возникают очень естественно и с «хорошим гештальтом» как в языке геометрических задач о сторонах прямоугольников, так и в языке арифметических задач о загаданных числах. Во-вторых, мне представлялось важным провести школьников через ряд параллелизмов: параллелизм двух ключевых задач и приемов их решения и параллелизм между преобразованиями геометрических чертежей и преобразованиями алгебраических формул.

Разминочная задача

Я загадал два числа. Их сумма равна 40, а разность равна 10. Найдите числа.

Сумма двух чисел равна 40. Представим меньшее число в виде 20 – d, а большее число в виде 20 + d. (Здесь d — отклонение обоих чисел от среднего значения 20.) Но тогда разность чисел составляет 2d. А из условия известно, что 2d = 10. Отсюда d = 5. Поэтому меньшее число равно 15, а большее число равно 25.

Прием, которым мы здесь воспользовались, пригодится нам в дальнейшем. Кстати сказать, мы можем решить нашу задачу, используя другой порядок действий.

Разность двух чисел равна 10. Представим меньшее число в виде m – 5, а большее число в виде m + 5. (Здесь m — среднее значение, а  — отклонение обоих чисел от среднего значения.) Но тогда сумма чисел равна 2m. А из условия известно, что 2m = 40. Отсюда m = 20. Поэтому меньшее число равно 15, а большее число равно 25.

Вавилонская задача 1

Математикой в древнем Вавилоне занимались специальные люди — писцы. Они должны были уметь производить разные хозяйственные расчеты, — например, подсчитать, сколько потребуется рабочих, чтобы построить за два месяца дамбу высотой в 20 локтей, шириной основания в 60 локтей и длиной в 1000 шагов. А на досуге писцы состязались между собой, предлагая друг другу разные хитроумные задачи. Вот одна из таких задач.

Площадь прямоугольника равна 84, а периметр равен 40. Найдите стороны.

На язык чисел это условие переводится так:

Я загадал два числа. Их произведение равно 84, а сумма равна 20. Найдите числа.

Представим условие этой задачи образно. У нас имеется палка длиной в 20 единиц. Эту палку переломили в какой-то точке. При этом из палки получились две стороны прямоугольника с площадью в 84 единицы. Нам нужно найти то место, в котором переломили палку.

Как подойти к решению этой задачи? Счастливая мысль состоит в том, чтобы применить уже известный нам прием и искать обе стороны в виде 10 ± d. Если переломить палку посредине, у нас получится квадрат со стороной 10 и площадью 100. А наш прямоугольник имеет площадь 84.

Как получить этот прямоугольник из большого квадрата? Надо отрезать у этого квадрата верхнюю часть нужной ширины, развернуть ее вертикально, приставить к нижней части квадрата справа и отрезать от нее выступающий сверху квадрат. Получается, что площадь этого выступающего квадрата равна 100 – 84 = 16 единицам. Но тогда сторона этого квадрата равна единицам. Тем самым, стороны исходного прямоугольника равны 10 + 4 = 14 и 10 – 4 = 6.

Упражнение. Каждый школьник загадывает свои два числа, находит их сумму и произведение и сообщает полученные числа соседу по парте. Задача соседа состоит в том, чтобы найти эти числа с помощью нашего приема. (Отдельно следует разобраться с тем случаем, когда одно число четное, а другое нечетное и нужно извлекать квадратный корень из обыкновенной дроби.)

Вавилонская задача 2

Какую задачу поставит перед собой вавилонский математик, уже научившийся решать только что разобранную нами задачу?

Разумеется, следующую:

Площадь прямоугольника равна 160, а разность его сторон равна 12. Найдите стороны.

Прием, с помощью которого решается эта задача, мы некоторым образом уже знаем: надо первым делом разделить 12 пополам. Затем надо отрезать левую часть прямоугольника, развернуть ее и положить сверху оставшейся части. Мы видим, что если к получившейся Г-образной фигуре прибавить квадрат со стороной 6 и площадью 36, то в сумме получится квадрат с площадью 160 + 36 = 196 единиц. Сторона этого квадрата равна единицам. Тем самым, стороны исходного прямоугольника равны 14 + 6 = 20 и 14 – 6 = 8.

Сравнение обеих задач

Сопоставим обе задачи между собой, воспользовавшись для этого привычным языком школьной алгебры. В обеих задачах нам предлагалось решить систему уравнений:

           

В обеих задачах мы делаем схожие замены:

           

Подставляя эти замены во второе уравнение и пользуясь формулой для разности квадратов, мы приводим второе уравнение к виду

Отсюда

Это дает окончательные выражения для x и y.

Вавилонская задача 3

Площадь прямоугольника равна 60, а диагональ равна 13. Найдите стороны.

Естественное решение этой задачи опирается на следующий чертеж:

Большой квадрат состоит из «наклонного» квадрата со стороной 13 и четырех прямоугольных треугольников общей площадью 120. Таким образом, площадь большого квадрата равна

169 + 120 = 189,

и его сторона равна 17.

Малый квадрат получается из «наклонного» квадрата со стороной 13 вычитанием из него четырех прямоугольных треугольников общей площадью 120. Таким образом, площадь малого квадрата равна 169 – 120 = 49, и его сторона равна 7.

Тем самым мы свели задачу к следующей:

Сумма двух сторон прямоугольника равна 17, а разность равна 7; найдите стороны.

А эту задачу мы решать умеем: стороны прямоугольника равны 12 и 5.

В качестве дополнения к этой задаче мы также сформулировали теорему Пифагора и доказали ее на следующем чертеже:

Возможные продолжения

Если бы на курс было отведено не шесть, а восемь учебных часов, мы успели бы также рассмотреть геометрические чертежи для формул квадрата суммы и квадрата разности.
С разностью квадратов мы уже имели дело, но эту формулу стоило бы рассмотреть еще раз.

Как уже было сказано ранее, этот курс может рассматриваться как вводный к теме «Квадратные уравнения». Мы знаем, что арабские ученые, в отличие от вавилонян, сводили все рассмотренные выше системы уравнений к квадратным уравнениям. Мухаммад ал-Хорезми в своей «Краткой книге об исчислении алгебры и алмукабалы» дал классификацию квадратных уравнений, привел для каждого вида правила нахождения корней и обосновал эти правила геометрическими чертежами.
Что-то подобное могли бы проделать и мы, решая квадратные уравнения сначала с помощью чертежей, а потом переводя наши действия на язык формул (например, мы могли бы решить уравнение x² + 6x = 40 в той же самой технике, в которой мы решали «вавилонскую задачу 2»). Заметим также, что теорема Виета для корней квадратного уравнения уже заложена в самой постановке нашей «вавилонской задачи 1», надо лишь преобразовать систему в одно квадратное уравнение и посмотреть, что при этом происходит с ее свободными членами.

Отзывы учащихся

Лера Лымищенко (6-й класс). На этом курсе я научилась не только решать интересные задачи, но и еще узнала один ценный метод, который я постараюсь применять во всей моей дальнейшей жизни.

Михаил Ковалев (7-й класс). Этот курс мне очень понравился, так как там были переходы от чертежей к формулам, связка с историей, понимание, зачем мы это делаем, и т. д. Еще после курса я понял, что сильно продвинулся в плане школьной алгебры, теперь все стало понятней и обоснованней.

1. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: Математика древнего Египта, Вавилона и Греции/Пер. И.Н. Веселовского. — М.: Физматгиз, 1959.

2. Hoyrup J. Lengths, widths, surfaces: A portrait of Old Babylonian algebra and its kin. — New York: Springer, 2002.

Щетников А.