Формулы для центров вневписанных окружностей треугольников

Речь пойдет о формулах для определения расстояний между центрами вписанной и вневписанной окружностей произвольного треугольника.

Пусть α, β, γ — внутренние углы треугольника, а r — радиус вписанной в него окружности. Обозначим расстояния между центром O вписанной окружности и центрами A, B, C вневписанных окружностей соответственно:

OA – l_a, OB – l_b, OC – l_c;

аналогично — расстояния между центрами вневписанных окружностей:

BC – L_a, CA – L_b, AB – L_c.

Тогда имеют место шесть следующих легко запоминающихся соотношений:

В случае равностороннего треугольника формулы предельно упрощаются:

l_a = l_b = l_c = l = 4r;

L_a = L_b = L_c = L =

Формулам можно придать другой вид, если учесть, что:

где a, b, c — стороны треугольника,

 — его полупериметр.

После соответствующих подстановок и следующих за ними сокращений окончательно получим:

Для равностороннего треугольника

Сарбаш Р.