Использование функционального метода решения задач

Функциональный метод решения задач является составной частью и естественным развитием функциональной линии обучения математике. Можно выделить свойства функций, наиболее часто используемые при решении задач.

Во-первых, конечно, кусочная непрерывность и монотонность большинства алгебраических и элементарных трансцендентных функций, во-вторых, свойства четности и нечетности, периодичность функции, в-третьих, свойства ограниченности области определения или области значения функции. В случае неявного задания функции используются свойства симметрии графика относительно осей координат или начала координат и т.д. Наиболее часто при решении задач этим методом применяются методы математического анализа: использование непрерывности, дифференцируемости, монотонности, устанавливаемой с помощью тех же методов.

Однако в подавляющем большинстве случаев решение задач сводится лишь к применению свойств функции, уже заявленной в условии задачи. Это, конечно, не дает возможность самим учащимся осознать необходимость исследования функции, При современном системном подходе к обучению необходимо предоставить учащимся возможность самим почувствовать существенную необходимость в этом.

Рассмотрим некоторые задачи, иллюстрирующие изложенные выше тезисы.

Задача 1. (Московская математическая олимпиада.) Про числа a, b, c известно, что

c (a + b + c) < 0.

Доказать, что b² > 4ac.

Решение. Общий вид неравенства, которое предстоит доказать, указывает на необходимость рассмотрения квадратного трехчлена

f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0.

Причем условие составлено таким образом, чтобы явно «подсказать» направление рассуждений. Если бы вместо идентификаторов a, b, c были использованы какие-либо другие, то задача заведомо оказалась бы намного труднее. Заметим, что трудность в этом случае была бы чисто внутренней — надо было бы преодолеть некий условный рефлекс, закладываемый в сознание учащихся существующей практикой использования идентификаторов переменных.

Итак, первый шаг к решению — насущная необходимость введения квадратичной функции. Второй шаг состоит в осмыслении неравенства:

b² > 4ac b² – 4ac > 0 D_f > 0.

Но положительность дискриминанта квадратного трехчлена равносильна наличию двух различных корней этого трехчлена. Следовательно, надо доказать, что при выполнении условий задачи квадратный трехчлен будет иметь различные корни. (Как далеко мы ушли от арифметической формулировки задачи!)

Наконец, третий шаг размышления состоит в том, чтобы понять, какое отношение к квадратному трехчлену имеют числа c и a + b + c. Нужно опять-таки понять, что речь идет не коэффициентах, а о значениях квадратного трехчлена:

c = f(0), a + b + c = f(1).

Но и этого еще недостаточно, чтобы до конца оценить глубину замысла автора задачи. А так как произведение двух чисел отрицательно, если числа имеют разные знаки, то это, в силу непрерывности графика квадратного трехчлена, должно привести к пониманию того, что на интервале (0; 1) парабола единожды пересекает ось абсцисс. Но так как квадратный трехчлен не может иметь единственный корень (не правда ли, это противоречит распространенной формулировке множества задач), то есть и второй корень, отличающийся от первого!

Следовательно, корни различны, то есть D_f > 0, что в свою очередь дает искомое соотношение b² > 4ac.

Задача 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых из неравенства

ax ² – x + 1 – a < 0

следует неравенство

0 < x < 1.

При решении задач учащиеся довольно часто используют знаки математической логики: различные символы, скобки, знаки следования, равносильности и др. Как справедливо отмечает А.В. Жуков [1], «несмотря на миниатюрность, эти знаки несут в себе колоссальную логическую нагрузку. Поэтому небрежность в обращении с ними чревата последствиями, сравнимыми с последствиями от небрежного обращения с тонким инструментом хирурга. Такими знаками являются, например, знаки импликации () и двойной импликации ()».

Так и в этом случае. Условие задачи должно быть понято таким образом, что при всяком искомом значении параметра решение неравенства ax² – x + 1 – a < 0 должно быть решением неравенства любое 0 < x < 1.

Следовательно, решение первого неравенства, степень которого надо еще установить, долж- но быть, как минимум, ограниченным множеством.

Таким образом, первое неравенство не может быть линейным, то есть a≠0. Но тогда неравенство — квадратное. Но для того чтобы решением неравенства f(x)>0 был ограниченный интервал, необходимо, чтобы a > 0 и D_f > 0, и при этом оба корня квадратного трехчлена должны принадлежать интервалу (0; 1). Таким образом, искомые значения параметра задаются системой неравенств:

Ответ:

Мы сознательно пропустили объяснение неравенств, чтобы предоставить читателю возможность проверить правильность каждого из них.

Задача 3. Решить уравнение

Решение. Похожесть внешнего вида слагаемых должна подсказать возможность использования некоторой функции. Действительно, рассмотрим функцию

При помощи введенной нами (!) функции, уравнение приобретет вид f(2x) + f(3x + 1) = 0.

Следует исследовать функцию.

Во-первых, данная функция нечетная, так как

что дает возможность записать уравнение в виде:

f (2x) + f(3x + 1) = 0
f(3x + 1) = –f(2x) f(3x + 1) = f(–2x).

Во-вторых, функция монотонно возрастает, так как

Следовательно,

что отражает основное свойство монотонной функции: каждое свое значение она принимает лишь при одном значении аргумента.

Ответ: –0,2.

Задачи, требующие системного осмысления условия, встречаются и среди задач Единого государственного экзамена по математике.

Задача 4. (ЕГЭ-2008, С5.) Функция задана следующим образом:

Найти целочисленные решения уравнения F(F(x)) = x.

Решение. Основной идеей, приводящей к получению результата, является исследование областей значений функций

каждая из которых задана на указанной области определения.

1. Так как функция f(x) задана на промежутке (– ∞; 7], то 8 – x ≥ 1 и поэтому 3 < f(x) ≤ 9. Таким образом, область значений первой функции содержит конечное число целых чисел, а именно они нас и интересуют. Это числа: 4, 5, 6, 7, 8, 9.

2. Найти область значений функции

можно точно, но это не принципиально с точки зрения интересующих нас целых чисел, в нее входящих. Оценим эту область следующим образом: так как x > 7 > 0, то

Следовательно, единственное целое число, входящее в область значений второй функции, это число 7.

3. Решение исходной задачи можно хорошо проиллюстрировать блок-схемой рассуждения.

Таким образом, целочисленные решения уравнения F(F(x)) = x являются решениями одной из четырех систем.

1. 

Если x = 4, то поэтому 4 решением не является.

Если x = 5, f(5) = 5, f(f(5)) = 5. Следовательно, 5 — решение задачи.

Если x = 6, f(6) = 6, f(f(6)) = 6. Таким образом, 6 также решение задачи.

Если x = 7, f(7) = 9 > 7.

2. 

Единственным целочисленным значением из области значений функции f(x), удовлетворяющим неравенствам системы, является x = 7. Имеем: f(7) = 9, g(9) = 7. Следовательно, 7 — решение уравнения.

3. Целыми числами, принадлежащими D(g) ∩ E(f), являются x = 8 и x = 9. Аналогично предыдущему получим, что решением уравнения F(F(x)) = x является только x₀ = 9.

4. Единственное целое число, принадлежащее D(g) ∩ E(g), опять же есть x = 7. Но это значение не удовлетворяет условию системы x > 7.

Ответ: 5, 6, 7, 9.

Литература

1. Жуков А.В. Где ошибка?//Математическое образование, 2001, № 6.
2. Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. — М.: Экзамен, 2009.
3. Мирошин В.В., Рязановский А.Р. Математика. Решение задач повышенной сложности. — М.: Интеллект-Центр, 2008.

Мирошин В.