Сложные функции в задачах ЕГЭ
В преддверии очередного экзамена по математике на семинарах учителей нередко речь заходит о том, на что следует обратить особое внимание выпускников при подготовке к итоговой аттестации. Ответ на этот вопрос непременно должен включать упоминание сложных функций и их графиков. Анализ заданий ЕГЭ минувшего года показывает, что сложные функции служат основой многих задач ЕГЭ. Для подтверждения этого тезиса рассмотрим задачи из одного реального варианта ЕГЭ-2008.
С1. Найдите наибольшее значение функции
f (x) = 18(0,5x – 2)2 – (0,5x – 2)4 при | x – 5 | ≤ 3.
Решение. Данная функция является композицией двух квадратичных функций — внутренней функции n(x) = (0,5x – 2)2 и внешней функции f(n) = 18n – n2.
По условию первая функция рассматривается на отрезке 2 ≤ x ≤ 8. По графику этой квадратичной функции находим множество ее значений на отрезке [2; 8]. Множество значений функции n(x) — это отрезок 0 ≤ n ≤ 4. На этом отрезке теперь рассмотрим функцию f(n). Читая ее график, устанавливаем, что на отрезке [0; 4] эта функция монотонно возрастает, поэтому ее множество значений — это отрезок [f(0); f(4)] = [0; 56]. Отсюда получаем ответ: наибольшее значение данной функции равно 56.
Разумеется, предложенное решение не отменяет стандартное решение этой задачи с использованием производной.
В4. Решите уравнение 
Конечно, это уравнение заменой 
сводится к квадратному, у
которого следует найти неотрицательные корни. Но и здесь следует привлечь
внимание учащихся к функциональной стороне задачи.
График функции 
получается из графика 
в результате двух
преобразований. Следовательно, функция n(x)
является возрастающей. Сложная функция 
является возрастающей как суперпозиция
возрастающих функций.
Отсюда следует, что сумма двух возрастающих функций 
является
функцией возрастающей. Поэтому уравнение 
может иметь только один корень. Хорошо
известно, что в подобных случаях корень можно найти с любой степенью точности.
Для этого следует рассматривать отрезки, на концах которых выражение 
принимает
значения разных знаков. Разумеется, на экзамене это не самый быстрый способ
решения, но он безусловно важен при обучении математике.
С3. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
не имеет решения.
Естественный способ решения этой задачи такой. На плоскости xOa следует изобразить множество точек, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Это множество называется графиком этого неравенства. При этом необходимо использовать свойства двух функций:
и
Своеобразной подсказкой к тому, чтобы рассмотреть эти две функции, выступают в условии задачи четыре скобки (с формальных позиций эти скобки являются абсолютно лишними!).
В учебнике [1] на с. 53 приведен график функции 
Если
представить эту функцию в виде 
то можно сказать, что ее график получается из
синусоиды y = sin x сжатием по оси x (при | x |
≤ 1)
или растяжением (при | x | ≥ 1)
с переменным коэффициентом 
Аналогичным образом можно сказать, что график функции
получается из графика функции y = cos x сжатием или растяжением с
переменным коэффициентом 
Заметим, что при решении этой задачи В4 не требуется столь детального построения графика (хотя это и возможно). Достаточно знать множество значений функции a1(x) — отрезок [–6; –2].
Функция 
является суперпозицией двух функций:
внутренней n(x)
= log2 x, где x 
[4; + ∞),
внешней 
где n [2; + ∞).
На экзамене, конечно, функцию a2(ν) следует исследовать с помощью производной, и затем график сложной функции a2(x) строится по методу из [3].
При обучении математике исследовать функцию a2(ν) и построить ее график можно без производной (см. [2] ).
При исследовании функции a2(ν) элементарными методами (без производной) полезно ее представление в виде
Графики функций a1(x) и a2(x)
делят плоскость xOa на три части. Данное неравенство задает на плоскости
точки (x; a), лежащие выше графика a1(x)
(включая точки графика), и точки, лежащие ниже графика a2(x).
Все такие точки образуют график неравенства. Ответ задачи составляют все те
значения параметра a, при каждом из которых соответствующая
горизонтальная прямая не пересекает график неравенства. В итоге получаем ответ —
промежуток 
В пользу освоения выпускниками такого графического решения задач с параметром говорит и задача В8 в демонстрационном варианте ЕГЭ-2009. Рассмотрим ее аналог.
В8. При каком значении параметра a уравнение 
имеет ровно три корня?
Уравнение равносильно совокупности 
Отсюда 
Объединение графиков этих двух функций на плоскости xOa является графиком данного уравнения. Для решения задачи следует найти те горизонтальные прямые, которые пересекают график уравнения в трех точках. В итоге получаем ответ: a = –1.
С5 из рассматриваемого варианта ЕГЭ-2008 основана на свойствах функции f(x), где
при x ≥ 5.
Дробно-линейная функция 
в 10-м классе служит хорошим
средством для повторения преобразований графиков. Кроме того, существует
доступный большинству учащихся практический способ рисования графика этой
функции по двум асимптотам и одной пробной точке (см. [5]).
Функция 
является суперпозицией возрастающей функции 
и
возрастающей
при x ≥ 5 дробно-линейной функции 
следовательно, функция f1 также
возрастает.
Функция 
является суперпозицией возрастающей функции 
и
возрастающей при x ≥ 5 дробно-линейной функции 
следовательно, функция f2 также
возрастает.
Отсюда следует, что сумма f1 + f2 является возрастающей при x ≥ 5 функцией.
В итоге график кусочной функции f(x), которая лежит в основе данной задачи, может быть построен. Решение задачи получается в результате чтения этого графика.
Итак, в четырех задачах одного варианта заданий ЕГЭ-2008 решение основано на использовании свойств функций и их графиков. По нашему мнению, учитель математики должен учитывать это обстоятельство. А к нашим ученикам, перефразируя классика, мы можем обратиться с таким призывом: «Любите функции и их графики — основу решения многих сложных задач на ЕГЭ!»
Литература
1. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват.
учреждений: базовый и профильный уровни. — 6-е изд. — М.: Просвещение, 2007.
2. Дворянинов С.В., Розов Н.Х. Дробно-квадратичная
функция в школьном курсе математики // Математика в школе, 1997, № 4, с. 50–58.
3. Дворянинов С.В. Рисунок как графическое
представление свойств функции // Математика, 2007, № 8, с. 1–7.
4. Дворянинов С.В. Как находить множество значений
функции // Математика, 2005, № 13, с. 23–25.
5. Дворянинов С.В. Дробно-линейная функция в
школьном курсе математики // Математика, 2000, № 5, с. 4–6.