Главная страница «Первого сентября» • Главная страница журнала «Математика» • Содержание №10/2009

Метод мажорант

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе

Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений и навыков по теме «Решение рациональных, иррациональных, тригонометрических уравнений, систем уравнений, неравенств».

Цели урока: решение уравнений и неравенств, содержащих рациональные, иррациональные и тригонометрические функции с использованием метода мажорант.

Оборудование: мультимедийная аппаратура.

Ход урока

Повторение

На экране высвечивается теоретический материал по теме:

Основные теоретические положения

Мажорантой данной функции f(x) на заданном промежутке называется такое число M, что либо f(x) ≤ M для всех x из данного промежутка, либо f(x) ≥ M для всех x из данного промежутка.

Основная идея метода состоит в следующем. Пусть мы имеем уравнение f(x) = g(x)

и существует такое M, что для любого x из области определения имеем f(x)≤M и g(x)≥M (или наоборот). Тогда исходное уравнение равносильно системе

Опорные неравенства:

1. а)  при a > 0, равенство a = 1;

б)  при a < 0, равенство достигается при a = –1.

2.  при a ≥ 0, b ≥ 0; равенство достигается при a = b.

3. 

Обсуждаются вопросы:

– Что называют мажорантой функции?
– Какие уравнения и неравенства решаются методом мажорант?
– Каков алгоритм метода мажорант?
– Какие неравенства можно отнести к опорным для метода мажорант?

Устная работа

Определите мажоранты и область значений функции:

1*.  f(x) = x2 + 4x + 5, E(f) = [1; + ∞).
2*. E(f) = [–5; + ∞)
3*.  f(x) = 4 – 3x2, E(f) = (– ∞; 4].
4*.  f(x) = 5 – 2sin x, E(f) = [3; 7].
5.  f(x) = 2 + | x |, E(f) = [2; + ∞).
6. E(f) = [2; + ∞).
7. E(g) = [5; + ∞).
8.  g(x) = 3sin 2x – 4cos 2x, E(g) = [–5; 5].
9. E(f) = [–8; –4].

Звездочкой (*) отмечены задания, входившие в пробные ЕГЭ.

Выполнение заданий у доски

1.  Решить уравнение

Решение. Рассмотрим функции

f (x) = cos 4x – cos 2x, f(x) ≤ 2, и

Данное уравнение равносильно системе:

Найдем решения системы с помощью единичной окружности:

 — решения системы, следовательно и уравнения.

Ответ:

2.  Решить уравнение

Решение. Рассмотрим функции

f(x) = (x – 8)2 + 3, D(f) = R, f(x) ≥ 3. , D(g) = R.

Так как для всех поэтому g(x)≤3.
Данное уравнение равносильно системе

Число 8 — корень первого уравнения системы. Проверим, является ли оно корнем второго уравнения:

Значит, число 8 — решение системы.

Ответ: 8.

3. Решить неравенство

Решение. Рассмотрим функции

f(x) = 3x + 12x–1, D(f) = (–∞; 0) (0; +∞),

.

Оценим функцию g(x) на промежутке (0; +∞):

Наше неравенство равносильно системе

Число 2 — корень второго уравнения системы. При x = 2 первое уравнение также обращается в верное равенство, следовательно, x = 2 — решение системы, а значит и неравенства.

Ответ: 2.

Дополнительные вопросы:

– Каким бы было множество решений неравенства, если бы система была несовместна?

[Решений не было бы.]

– Как изменилось бы множество решений неравенства, если бы неравенство имело вид:

а) f(x) < g(x); б) f(x) ≥ g(x); в) f(x) > g(x)?

[а) Нет решений; б) (0; +∞); в) (0; 2) (2; +∞).]

4. Решить уравнение

Решение

.

g(x) = (x – 3)2 + 2; D(g) = R, g(x) ≥ 2.

Найдем мажоранту функции f(x) с помощью производной:

D(f') = (2; 4).

Найдем критические точки:

3 — внутренняя точка D(f) и f'(3) = 0, следовательно, 3 — критическая точка.

Непрерывная на данном отрезке функция имеет единственный экстремум, он максимум, значит, это наибольшее значение функции.

Ответ: x = 3

Учитель. Несмотря не то, что способ нахождения наибольшего и наименьшего значений с помощью производной достаточно громоздкий, иногда он бывает единственно возможным. Поэтому владеть им необходимо.

5. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим функции

и найдем значения x, при которых возможно существование корней уравнения.

0 ≤ (x – 2)2 ≤ 1, | x – 2 | ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 3.

При x [1; 3] возможно существование корней. На промежутке [1; 3] функция g(x) принимает наименьшее значение 0.

При На данном промежутке принимает наибольшее значение 0. Исходное уравнение равносильно системе

2 — корень второго уравнения системы; при x = 2 равенство неверно; 2 не является решением системы, а значит, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

6.  Решить систему уравнений

Решение. tg2 x + ctg2 x ≥ 2 при 2sin2 y ≤ 2. Следовательно, первое уравнение равносильно системе

Сама система примет вид:

Ответ:

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Решите уравнение cos x = 1 + x2.

2. Составьте уравнения или неравенства, используя данные функции:

а) f(x) = 1 – 2x – x2; б)

Вариант 2

1. Решите уравнение sin x = 1 + x2.

2. Составьте уравнения или неравенства, используя данные функции:

а)  б)

На экране высвечивается верное решение самостоятельной работы. Учащиеся осуществляют самоконтроль и самооценку выполненной работы с самостоятельным определением для себя программы регулирования и коррекции знаний по допущенным ошибкам (в рабочей тетради).

Листы с самостоятельными работами сдаются учителю.

Задание на дом

1.  Решите уравнение:

а) 2sin x = 5x2 + 2x + 3;

б) 

в) 

2. Решите неравенство

3. Составьте три уравнения, решаемые методом мажорант. При этом включите в уравнения функции, аналогичные функциям из самостоятельной работы, в которых при нахождении мажорант вами были допущены ошибки.

Сугирбекова Е.