К вопросу о событиях, происходящих на прямой

Наверняка каждому из нас приходилось смотреть кинофильм или читать рассказ, события которого происходят в одном доме, в одной семье. Отношения между членами семейства выстраиваются самые разные: от любви до ненависти. На этом фоне происходит множество событий: радостных и грустных, добрых и не очень… А мы с интересом следим за ситуациями, в которые попадают обитатели дома, переживаем и сопереживаем...

Так и наш дальнейший разговор будет связан с событиями, происходящими на одной прямой — прямой l, содержащей биссектрису угла A треугольника ABC. (В статье использованы рисунки автора.)

Основные действующие лица и исполнители A — вершина треугольника ABC; I — инцентр, точка пересечения биссектрис; L — основание биссектрисы угла A; W — точка пересечения прямой l с описанной около треугольника ABC окружностью;  I a— центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC и продолжений двух других сторон.

Помимо общеизвестных формул, как-то

и других, нам пригодятся следующие знания:

1)  — формула биссектрисы;

2)  IW = CW = BW — теорема «трилистника»;

3)  (рис. 2), где O — центр описанной окружности треугольника ABC, H₁ — основание высоты, проведенной из вершины A.

Ну, а нам самое время переходить к событиям, происходящим на прямой l. И, поверьте, они интересны, часто неожиданны, порой удивительны!..

Задача 1.  Докажите, что длина отрезка AI может быть вычислена по формулам:

(1)

или

(2)

(r — радиус вписанной в треугольник ABC окружности, p — полупериметр треугольника ABC).

Доказательство. Формула (1) следует сразу из прямоугольного треугольника AIK (рис. 3). Докажем формулу (2):

Задача 2.  Докажите справедливость формулы

(3)

Доказательство. Поскольку

(формула биссектрисы) и

 — формула (2), то имеем:

Задача 3.  Докажите, что

(4)

Доказательство. Из формулы (3) следует:

С другой стороны,

Тогда откуда

Замечание. Формула (4) широко применяется при решении разнообразных задач, в том числе при доказательстве неравенств.

Задача 4.  Докажите формулу для нахождения отрезка AW:

(5)

Доказательство. Треугольники AWB и ACL подобны по равенству двух углов (рис. 4). Тогда откуда Подставив в последнее равенство получим требуемое:

Следствие. b + c < 2AW.

Задача 5.

(6)

Докажите!

Доказательство. По теореме синусов для треугольника (см. рис. 4),
где R — радиус окружности, описанной около треугольников ABC и ABW.
Тогда
Поскольку BW = CW = IW (теорема «трилистника»), то

Задача 6.  Докажите справедливость формулы AI IW = 2Rr. (7)

Доказательство. Воспользовавшись формулами (1) и (6), получим:

Замечание. Формула (7) очень эффектна при доказательстве формулы Эйлера: OI² = R² – 2Rr. Действительно, AIIW = (R + OI)(R – OI) — по теореме о произведении отрезков хорд (рис. 5). Тогда AIIW = R² – OI² = 2Rr, откуда OI² = R² – 2Rr.

Задача 7.  Докажите, что IW = WI_a. (8)

Доказательство. Дадим краткие комментарии к рисунку 6.  ICI_a = 90° (угол между биссектрисами смежных углов). Поскольку CW = IW, то CW является медианой, проведенной к гипотенузе в треугольнике ICI_a. Значит, и IW = WI_a.

Следствие. AIII_a = 4Rr, так как II_a = 2IW.

Задача 8.  Докажите, что верна формула

AI AI_a = bc. (9)

Доказательство.

Поскольку  ICI_a = 90°, а (внешний для треугольника AIC),
то (рис. 6). Тогда треугольники ABI и AI_aC подобны и
или AIAI_a = bc.

Следствие. Формула площади треугольника ABC теперь может иметь такой вид

Задача 9.

AI ² = bc – 4Rr. (10)

Докажите!

Доказательство. AI² = AI (AI_a – II_a) = AIAI_a – AIII_a. Но AIAI_a = bc — формула (9) и
AIII_a = 4Rr — следствие из формулы (8). Тогда AI² = bc – 4Rr, что и требовалось доказать!

Следствие.
В любом треугольнике ABC выполняются неравенства: bc > 4Rr; AIAI_a > 4Rr.

Задача 10.

(11)

Докажите!

Доказательство. Пусть t — прямая, проведенная через вершину B параллельно AW (рис. 7).
T = CA ∩ t. Очевидно, AT = AB = c (покажите!).
Треугольники AWB и TCB подобны (по двум углам). Следовательно,

Поскольку BW = IW, получим требуемое.

(12)

Доказательство. Рассмотрим треугольники AWC и CWL. Они подобны, так как угол 1 у них общий, а  2 =  3 — вписанные, опираются на одну дугу (рис. 8). Тогда
Заменив CW на IW, получим: Но  — формула (11).
Значит и

Замечание. Таким образом, прямая l может «похвастаться» тремя равными отношениями:

Задача 12.  Докажите, что

(13)

Доказательство.

Замечание. Покажем эффективное применение формулы (13) при решении известной олимпиадной задачи.

Дано:

Найти: 2p.

Решение. Так как AL = AW – LW, то имеем:

Согласно формуле (13) откуда

и

Задача 13.  (Санкт-Петербургские олимпиады.) Серединный перпендикуляр к AB пересекает отрезок AW в точке N, а серединный перпендикуляр к AC пересекает AW в точке Q (рис. 9). Докажите, что

AN = QW. (14)

Доказательство.

 BNW =  CQW = A (внешние для треугольников ABN и AQC соответственно).
 AWB =  ACB = C (вписанные, опираются на одну дугу).  AWC =  ABC = B (аналогично). Тогда третьи углы соответственно в треугольниках NBW и QCW равны B и C. Поскольку BW = CW, то треугольники NBW и QWC равны (по стороне и двум прилежащим углам).
Значит, QW = BN. Но треугольник ANB — равнобедренный и AN = BN.
Следовательно, AN = QW.

Ну что ж, как видим, событий на прямой l происходит предостаточно. И это далеко не все, о чем мы могли бы рассказать. Но в силу ограниченности наших возможностей рамками статьи, предложим любознательным читателям проследить дальнейшие события на прямой l самостоятельно.

14.  Докажите, что

15.  Докажите или опровергните следующие неравенства (рис. 10):

AI > IL, AE > FL.

16.  Докажите справедливость таких формул:

17. Докажите, что AW + IW > b, AW + IW > c.

18.

Докажите!

19.  Докажите формулу Мольвейде:

Указание. Воспользуйтесь формулой (4).

20. AW² = IW² + AIAI_a.

Докажите!

21. Восстановите треугольник ABC по точкам: A, E, F, W (см. рис. 10).

22.  Докажите, что если A = 120°, то AW = b + c.

23.  Дана окружность с центром O и вписанный в нее треугольник ABC. При помощи одной линейки постройте прямую l.

24.  Дано: AL = k, LW = n.

Найти: IW.

Ответ:

25.  Докажите, что если b + c = 2a, то

а) AI = IW; б) IL = LW; в) AIAI_a = 6Rr.

26.  D — точка, диаметрально противоположная точке W. Точка M — середина BC. Докажите, что отрезок AI виден из D под таким же углом, что и отрезок IL из точки M, или что  1 =  2 (рис. 11).

Филипповский Г.