Примерное планирование учебного материала и контрольные работы: Учебник Е.В. Потоскуева, Л.И. Звавича «Геометрия, 10»

3 ч в неделю, всего 105 ч ГЕОМЕТРИЯ Издательство: Дрофа
Год издания: 2003 и последующие 10 класс

Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич

Параграф учебника	Тема	Количество часов
1–5	Введение в стереометрию. Аксиомы стереометрии. Графическая работа № 1 «Следствия из аксиом стереометрии»	8
	Контрольная работа № 1	1
6, 7	Взаимное расположение прямых в пространстве	8
	Контрольная работа № 2	1
8	Взаимное расположение прямой и плоскости	8
9	Перпендикулярность прямой и плоскости	8
	Контрольная работа № 3	1
10–12	Угол между прямой и плоскостью	8
13	Параллельные плоскости. Графическая работа № 2 «Параллельность в пространстве»	8
	Контрольная работа № 4	1
14–17	Угол между двумя плоскостями. Графическая работа № 3 «Перпендикулярность в пространстве»	8
	Контрольная работа № 5	1
18	Расстояние в пространстве	8
	Контрольная работа № 6	1
19, 20	Уроки обобщения пройденного материала о параллельности, перпендикулярности, углах и расстояниях в пространстве	3
21–23	Векторы в пространстве	9
	Контрольная работа № 7	1
24–26	Координаты в пространстве	9
	Контрольная работа № 8	1
	Повторение: теория, практикум по решению задач, устный зачет	10
	Итоговая контрольная работа	2

 

Состав комплекта

1. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.

2. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.

3. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2007.

4. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2007.

5. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Геометрия. 10 кл.: Методическое пособие к учебнику Е.В. Потоскуева, Л.И. Звавича «Геометрия. 10 класс». — М.: Дрофа, 2004.

6. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11 кл.: Методическое пособие к учебнику Е.В. Потоскуева, Л.И. Звавича «Геометрия. 11 класс». — М.: Дрофа, 2007.

7. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Контрольные и проверочные работы по геометрии. 10–11 классы: Методическое пособие. — М.: Дрофа, 2007.

Контрольные работы

Контрольная работа № 1

Вариант 1

1. В треугольнике ABC AC = 12, BC = 5. Найдите площадь треугольника если:

а) через прямую AB и центр окружности, описанной около треугольника, можно провести по крайней мере две различные плоскости;

б) через прямую АK, перпендикулярную ВС, и центр вписанной в треугольник окружности можно провести по крайней мере две различные плоскости;

в) существует прямая, которая не лежит в плоскости АВС, пересекает медиану ВМ и содержит центр окружности, проходящей через вершины В, С и середину стороны АС.

2. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб с ребром 8; М — середина AA₁; N лежит на ребре DD₁; D₁N = 6. Найдите:

а) точку X₁ пересечения прямой МN и плоскости АСВ;

б) точку X₂ пересечения прямой МN и плоскости A₁B₁C₁;

в) длину отрезка X₁X₂;

г) точку X₃ пересечения прямой BX₁ и плоскости DD₁C;

д) в каком отношении точка X₃ делит отрезок DC (считая от D);

е) общую прямую плоскостей X₁X₂X₃ и AA₁B.

 

Контрольная работа № 1	Вариант 2

1. В треугольнике KМР KМ = 4, KР = 5. Найдите площадь треугольника если:

а) через прямую, содержащую сторону KР, и центр окружности, описанной около треугольника, можно провести по крайней мере две различные плоскости;

б) через прямую АМ, перпендикулярную KР, и центр окружности, вписанной в треугольник, можно провести по крайней мере две различные плоскости;

в) существует прямая, не принадлежащая плоскости треугольника, пересекающая медиану РВ и проходящая через центр окружности, вписанной в треугольник KМР.

2. ACBD — правильный тетраэдр. Все ребра имеют длину 8; М — середина AD; K — середина DB; Р лежит на ребре DC; DP = 6. Найдите:

а) точку X₁ пересечения прямой МР и плоскости АВС;

б) точку X₂ пересечения прямой KР и плоскости ABC;

в) длину отрезка X₁X₂;

г) точку пересечения прямой МР и плоскости АKС;

д) прямую пересечения плоскостей MX₁K и X₂DC;

е) в каком отношении плоскость MX₁X₂ делит отрезок DB (считая от В).

 

Контрольная работа № 2	Вариант 1

1. Дан правильный тетраэдр ABCD, в котором точки K, F, Р, М — середины ребер соответственно АD, DС, ВС и АВ.

а) Заполните таблицу расположения прямых и углов между ними.

	Прямые	Расположение прямых	Величина угла между прямыми
1	KF и MP
2	KF и BC
3	KP и MF
4	BF и MP
5	KP и BC
6	CM и KF

б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью KМF, если ребро тетраэдра а.

2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, диагональ B₁D которого равна 8. Точка K делит ребро В₁С₁ в отношении 3 : 5, считая от В₁. Через точку K проведена прямая параллельно прямой B₁D. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри куба.

3. Основание пирамиды MABCD — параллелограмм ABCD. Точка Р — середина ВС. Докажите, что в плоскости MDC не существует прямой, параллельной прямой АР.

Контрольная работа № 2	Вариант 2

1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а, в котором точки K и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁, а М и Р — точки пересечения диагоналей граней соответственно A₁D₁DA и DCC₁D₁.

а) Заполните таблицу расположения прямых и углов между ними.

	Прямые	Расположение прямых	Величина угла между прямыми
1	KF и MP
2	KM и FP
3	KF и BD
4	DC1 и KF
5	FP и AD
6	MP и B1C

б) Найдите длину наибольшей стороны многоугольника, являющегося сечением куба плоскостью, проходящей через точки М, F и K.

2. Дан тетраэдр ABCD, все ребра которого равны 12. Точка М — середина ребра BD, точка Р делит ребро АС в отношении 5 : 7, считая от С. Найдите длину отрезка прямой, заключенного внутри тетраэдра, если эта прямая проходит через точку Р параллельно прямой СМ.

3. Точка K — середина ребра A₁B₁ призмы ABCA₁B₁C₁. Докажите, что в плоскости ВСС₁ не существует прямой, параллельной прямой АK.

Контрольная работа № 3	Вариант 1

1. Дана треугольная призма ABCA₁B₁C₁, в которой М, K, N и Р — внутренние точки ребер BB₁, B₁C₁, A₁C₁ и AA₁ соответственно — выбраны так, что прямые MN и KР пересекаются. Пусть прямые МK и ВС пересекаются в точке X₁, прямые NР и АС — в точке X₂, прямые МР и АВ — в точке X₃. Найдите длину отрезка X₁X₃, если X₁X₂ = 10, X₂X₃ = 12.

2. Точка М выбрана вне плоскости ромба ABCD так, что отрезки АМ, ВМ и СМ равны, а отрезок МD перпендикулярен плоскости АВС. Найдите углы ромба.

3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2.

а) Докажите, что прямая A₁C₁ перпендикулярна плоскости BDD₁.

б) Докажите, что плоскость A₁C₁D перпендикулярна прямой BD₁.

в) Через точку K — середину C₁D₁ — проведите прямую, перпендикулярную плоскости A₁C₁D.

г) Найдите длину отрезка проведенной прямой, расположенного внутри куба.

д) В каком отношении, считая от точки K, плоскость A₁C₁D делит этот отрезок?

Контрольная работа № 3	Вариант 2

1. Дан тетраэдр ABCD, в котором М, N и Р — внутренние точки ребер AD, DB и DC соответственно — выбраны так, что прямые МР и АС пересекаются в точке Y₁, прямые РN и ВС — в точке Y₂, прямые МN и АВ — в точке Y₃. Найдите длину отрезка Y₂Y₃, если Y₁Y₂ = 3, Y₁Y₃ = 5.

2. ABCD — трапеция ( AB CD), в которой  ADC = 50°. Точка М выбрана вне плоскости этой трапеции так, что отрезки МD, МC и МB равны, а отрезок МА перпендикулярен плоскости АВС. Найдите углы трапеции.

3. В правильном тетраэдре ABCD с ребром 2 точка М — середина ВD.

а) Докажите, что прямая ВD перпендикулярна плоскости АМС.

б) Через точку пересечения медиан треугольника АDС проведите прямую, перпендикулярную плоскости АМС.

в) Найдите длину отрезка проведенной прямой, расположенного внутри тетраэдра.

г) В каком отношении делит этот отрезок плоскость АМС?

д) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через середину СМ перпендикулярно прямой АС.

Контрольная работа № 4	Вариант 1

1. Отрезок АС — ортогональная проекция наклонной АВ на плоскость АСD. Лучи АD и АС образуют угол 30°. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью АСD, если угол между прямыми АВ и АD равен 60°.

2. Сторона АВ треугольника АВС лежит в плоскости АВМ, а сторона ВС образует с этой плоскостью угол φ. Какой угол образует с этой плоскостью сторона АС, если:

а) треугольник АВС — равносторонний;

б) АВ = АС, CAB = 90°?

3. Плоскость α₁ параллельна плоскости β₁, а плоскость α₂ параллельна плоскости β₂, при этом плоскости α₁ и α₂ пересекаются по прямой а,
а плоскости α₁ и b₂ — по прямой b. Как могут быть расположены прямые а и b ?

4. Прямая АВ пересекает параллельные плоскости α, β, γ соответственно в точках А, В, С, причем АВ = 3, ВС = 7. Прямая МK пересекает эти же плоскости α, β,γ соответственно в точках М, K, Р, причем МР = 10. Найдите все значения, которые может принимать длина отрезка МK.

Контрольная работа № 4	Вариант 2

1. Отрезок АС — ортогональная проекция наклонной АВ на плоскость АСD. Угол DАВ равен 45°. Найдите угол между лучами АD и АС, если угол между наклонной АВ и плоскостью DАС равен 30°.

2. Сторона АВ параллелограмма АВСD лежит в плоскости АВМ, а сторона ВС образует с этой плоскостью угол φ. Какой угол образует с этой плоскостью диагональ ВD, если:

а) АВСD — квадрат;

б) АВСD — ромб, в котором B = 120°?

3. Прямые а и b параллельны. Прямая а параллельна плоскости α, прямая b параллельна плоскости β. Как могут быть расположены плоскости α и β?

4. Прямая АВ пересекает параллельные плоскости α, β,γ соответственно в точках А, В, С, причем АВ = 14, ВС = 4. Прямая МK пересекает эти же плоскости α, β,γ соответственно в точках М, K, Р, причем МР = 10. Найдите все значения, которые может принимать длина отрезка МK.

Контрольная работа № 5	Вариант 1

1. АВСD — ромб, в котором АВ = а, A = 60°. Прямая МА перпендикулярна плоскости ромба и АМ = 2а. Найдите углы между плоскостями:

а) АМВ и АВС; б) АМВ и АМD; в) МDС и АВС; г) МАD и МВС; д) МDС и ВСМ.

2. Угол между плоскостями АВС и АВD равен 60°, при этом DA AB, CB AB и АD = 2, АВ = 4, СВ = 3. Найдите:

а) СD;

б) угол между прямой СD и плоскостью АВС.

3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение MNK, где точка M — середина ребра AD, точка N лежит на ребре AB так, что AN : NB = 1 : 13, точка K лежит на ребре AA₁ так, что AK : KA= 1 : 4. Найдите угол между плоскостями MNK и A₁B₁C₁.

Контрольная работа № 5	Вариант 2

1. АВСD — ромб, в котором АВ = 2а, A = 60°. Прямая МА перпендикулярна плоскости ромба и АМ = а. Найдите углы между плоскостями:

а) АМВ и АВС; б) АМВ и АМD; в) МDС и АВС; г) МАD и МВС; д) МDС и МВС.

2. Плоскости АВС и АВD образуют угол 60°, при этом DA AB, CB AB и АD = 4, АВ = 3, СВ = 2. Найдите:

а) СD;

б) угол между прямой СD и плоскостью АВС.

3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение FGT, где точка F — середина ребра B₁C₁, точка G лежит на ребре C₁D₁ так, что C₁G : GD₁ = 1 : 10, точка T — на ребре CC₁ так, что C₁T : TC = 1 : 9. Найдите угол между плоскостями FGT и ABC.

Контрольная работа № 6	Вариант 1

1. Длины всех ребер тетраэдра равны 6. Все вершины тетраэдра одинаково удалены от некоторой плоскости. Найдите расстояние от вершины тетраэдра до этой плоскости (рассмотрите два случая).

2. ABCD — ромб с острым углом A = α, АВ = а.
Расстояние от точки М до плоскости ромба равно а. Ортогональной проекцией точки М на плоскость ромба является точка М₁, лежащая на отрезке АС так, что M₁A = 3M₁C. Найдите расстояния от точки М до вершин ромба и до прямых, содержащих его стороны.

3. Точка М лежит внутри двугранного угла величиной 45° и удалена от его граней на расстояния 4 и Найдите расстояние от М до ребра двугранного угла.

Контрольная работа № 6	Вариант 2

1. Длины всех ребер тетраэдра равны между собой. Все вершины тетраэдра одинаково удалены от некоторой плоскости на расстояние, равное 6. Найдите длину ребра тетраэдра (два случая).

2. ABCD — ромб с тупым углом A =α и АВ = а. Расстояние от точки М до плоскости ромба также равно а, при этом точка M₁ — проекция точки М на плоскость ромба — расположена на луче АС так, что Найдите расстояние от М до вершин ромба и прямых, содержащих его стороны.

3. Точка М лежит внутри двугранного угла величиной 120° и удалена от его граней на расстояния соответственно 4 и 6. Найдите расстояние от М до ребра двугранного угла.

Контрольная работа № 7	Вариант 1

1. Пусть Найдите:

а) 

б) 

в) угол между векторами и

г) все такие числа a, при которых векторы ортогональны;

д) такие значения t, при которых длина вектора наименьшая.

2. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, у которой длины всех ребер равны 1. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите:

3. В четырехугольной пирамиде MABCD грань ABCD — параллелограмм и

а) Разложите вектор по векторам

б) Точка K — середина отрезка АМ; Р — такая точка отрезка МС, что 3МР = РС; L — такая точка отрезка MB, что ML = 3LB. В каком отношении плоскость KLP делит отрезок MD, считая от точки М?

Контрольная работа № 7	Вариант 2

1. Пусть Найдите:

а) 

б) 

в) угол между векторами и

г) все такие числа a, при которых векторы ортогональны;

д) такие значения t, при которых длина вектора наименьшая.

2. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с основанием ABCD длины всех ребер равны 1. Точка K — середина отрезка MC, P — точка пересечения медиан треугольника AMB. Найдите:

3. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки D и M — середины ребер соответственно D₁K и B₁C₁. Пусть Разложите векторы и по векторам

Контрольная работа № 8	Вариант 1

1. В пространстве заданы две точки А(0; 2; 0) и В(0; –6; 0). Найдите геометрическое место всех точек М пространства, для которых выполняется условие: АМ = 3МВ.

2. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны между собой, известны координаты вершин А и С: А(–2; 0; 0); С(2; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин пирамиды, если вершина Р принадлежит оси Oz.

3. В пространстве заданы четыре точки: А(1; 1; 1), В(1; 2; –2), С(9; 0; 0), D(2; 3; 4).

а) Напишите параметрические уравнения прямой ВС.

б) Напишите уравнение плоскости АВС.

в) Напишите уравнение сферы, диаметром которой является отрезок АD.

г) Определите взаимное расположение прямой ВС и этой сферы.

д) Напишите уравнение плоскости, касающейся этой сферы в точке А.

е) Найдите расстояние между прямыми ВС и АD.

Контрольная работа № 8	Вариант 2

1. В пространстве заданы две точки А(–6; 0; 0) и В(3; 0; 0). Найдите геометрическое место всех точек М пространства, для которых выполняется условие: АМ = 2МВ.

2. Основание АВС правильного тетраэдра ABCD лежит в плоскости хОу, причем известны координаты вершин А и В: А(1; 0; 0);
В(–1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин тетраэдра.

3. В пространстве заданы четыре точки: А(2; 0; 0), В(2; 1; –3), С(10; –1; –1), D(3; 2; 3).

а) Напишите параметрические уравнения прямой ВС.

б) Напишите уравнение плоскости АВС.

в) Напишите уравнение сферы, диаметром которой является отрезок АD.

г) Определите взаимное расположение прямой ВС и этой сферы.

д) Напишите уравнение плоскости, касающейся этой сферы в точке D.

е) Найдите расстояние между прямыми ВС и АD.

Итоговая контрольная работа

1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD плоские углы при вершине М равны 60°. Точка K лежит на стороне AD основания и делит ее в отношении 1 : 3, считая от точки А. Найдите угол между прямой KМ и плоскостью DMC .

2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром b точка K лежит на ребре AD и делит его в отношении 1 : 2, считая от точки А; точка Р — середина ребра DC .

а) Постройте сечение куба плоскостью B₁KP.

б) Найдите величину двугранного угла B₁(KP)B.

в) Найдите площадь сечения.

3. В ромбе ABCD сторона равна 6, а F A = 60°. Точка K лежит на стороне CD так, что CK = 2. Из точки K к плоскости ромба проведен перпендикуляр KМ, длина которого равна 6. Найдите:

а) угол между прямой AD и плоскостью МCD;

б) расстояние между прямыми МK и BD;

в) угол между прямыми МC и BD.