Примерное планирование учебного материала и контрольные работы: Учебник Е.В. Потоскуева, Л.И. Звавича «Геометрия, 11»

3 ч в неделю, всего 105 ч

Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич ГЕОМЕТРИЯ Издательство: Дрофа
Год издания: 2003 и последующие 11 класс

 

Параграф учебника	Тема	Количество часов
1–8	Движения и подобия в пространстве	11
	Контрольная работа № 1	1
9, 10	Многогранники	4
11, 12	Призма и параллелепипед	6
	Контрольная работа № 2	2
13	Трехгранные и многогранные углы	5
14	Пирамида	13
	Контрольная работа № 3	2
15	Правильные многогранники	6
16–18	Цилиндр и конус	10
	Контрольная работа № 4	2
19	Сфера и шар	14
	Контрольная работа № 5	2
	Повторение: теория, практикум и решение задач	23
	Обобщающая контрольная работа № 6	2
	Обобщающая контрольная работа № 7	2

Цикл статей в газете «Математика»

В. Потоскуев. «Рекомендации по изучению стереометрии»

2008

№ 1 Введение в стереометрию

№ 2 Прямые в пространстве

№ 3 Прямая и плоскость в пространстве

№ 4 Плоскости в пространстве. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых

№ 5 Расстояния в пространстве

№ 6 Векторный метод в пространстве

№ 7 Координатный метод в пространстве

2009

№ 2 Преобразования пространства

№ 10 Комбинации тел вращения

Контрольные работы

Контрольная работа № 1	Вариант 1

1. Дана точка А(–3; 2; 5). Найдите образ этой точки:

а) при симметрии относительно начала координат;

б) при симметрии относительно плоскости Oуz;

в) при повороте на 90° относительно оси Ох;

г) при параллельном переносе на вектор

д) при симметрии относительно точки Н(1; 2; 0).

2. Плоскость α задана уравнением 3х – 5у – z + 2 = 0. Найдите уравнение плоскости β, которая является прообразом плоскости α:

а) при параллельном переносе на вектор

б) при симметрии относительно начала координат;

3. Рассматривается симметрия относительно плоскости 2х + 3у – z + 2 = 0. Запишите, если это возможно:

а) координаты какой-нибудь неподвижной точки этой симметрии;

б) параметрические уравнения какой-нибудь прямой, неподвижной при этой симметрии;

в) уравнение какой-нибудь плоскости, неподвижной при этой симметрии;

г) уравнение какой-нибудь сферы, которая неподвижна при этой симметрии.

4. Даны два тетраэдра МАВK и РАВС, все ребра которых равны между собой. Прямые АВ и СK пересекаются, а точки М и Р лежат в разных полупространствах относительно плоскости ВСK. Укажите любую композицию нескольких симметрий пространства, при которой один из данных тетраэдров совмещается с другим.

5. Докажите, что композиция S_b  S_a двух симметрий относительно плоскостей α и β, заданных соответственно уравнениями z = 0 и х = 0, есть поворот пространства. Найдите ось и угол этого поворота.

6. (Дополнительная.) ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Движение f пространства таково, что f(A) = D₁, f(A₁) = C₁, f(D) = D, f(B) = A₁. Найдите образы остальных вершин данного куба при этом движении.

Контрольная работа № 1	Вариант 2

1. Дана точка А(3; –7; 1). Найдите образ этой точки:

а) при симметрии относительно начала координат;

б) при симметрии относительно точки С(1; 2; 0);

в) при симметрии относительно плоскости Oхy;

г) при параллельном переносе на вектор

д) при повороте на угол 90° относительно оси Оу.

2. Плоскость α задана уравнением 3х – 2у + 7z – – 12 = 0. Найдите уравнение плоскости β, которая является прообразом плоскости α:

а) при параллельном переносе на вектор

б) при симметрии относительно начала координат.

3. Рассматривается параллельный перенос на вектор Запишите, если это возможно:

а) координаты какой-нибудь неподвижной точки при этом переносе;

б) параметрические уравнения какой-нибудь прямой, неподвижной при этом переносе;

в) уравнение какой-нибудь плоскости, неподвижной при этом переносе.

4. Даны два тетраэдра МАВС и РМKЕ, все ребра которых равны между собой. Точки М и Р лежат в разных полупространствах относительно плоскости правильного шестиугольника АKВМСЕ. Укажите любую композицию нескольких симметрий пространства, при которой один из данных тетраэдров совмещается с другим.

5. Докажите, что композиция S_b й S_a двух симметрий относительно плоскостей α и β, заданных соответственно уравнениями z = 0 и z = –3, есть параллельный перенос пространства. Найдите координаты вектора этого переноса и напишите уравнение какой-нибудь плоскости, неподвижной при этом переносе.

6. (Дополнительная.) ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Движение f пространства таково, что f(D₁) = A, f(C₁) = A₁, f(D) = D, f(A₁) = B. Найдите образы остальных вершин данного куба при этом движении.

Контрольная работа № 2	Вариант 1

1.  В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 8 через вершину D и середины ребер A₁B₁ и B₁C₁ проведено сечение, разделившее куб на два многогранника. Найдите:

а) количество вершин, ребер, граней и диагоналей для каждого из полученных многогранников;

б) длину наибольшего отрезка в многограннике, одной из вершин которого является точка В.

2. Грани ABCD и A₁B₁C₁D₁ шестигранника ABCDA₁B₁C₁D₁ лежат в параллельных плоскостях. Грань ABCD — квадрат со стороной 80, диагонали которого пересекаются в точке K. Грань A₁B₁C₁D₁ — прямоугольник со сторонами A₁B₁ = 40 и A₁D₁ = 8, диагонали которого пересекаются в точке М. Отрезок KМ = 15 лежит на прямой, перпендикулярной плоскости грани ABCD. Определите:

а) площадь полной поверхности многогранника;

б) длины ребер, не лежащих в плоскостях данных квадрата и прямоугольника;

в) имеют ли прямые AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ одну общую точку.

3. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб АВСD с острым углом α. Прямая BC₁ составляет с плоскостью DC₁D₁ угол β. Найдите площадь боковой поверхности и объем параллелепипеда, если длина бокового ребра а.

4. Дан многогранник, имеющий 141 вершину. Существует ли центральная симметрия пространства, при которой этот многогранник отображается на себя? Если не существует, то почему? Если существует, то приведите пример.

Контрольная работа № 2	Вариант 2

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6 проведено сечение через середины ребер CC₁, AB и AD, разделившее куб на два многогранника. Для каждого из них найдите количество вершин, ребер, граней и диагоналей. В многограннике, вершиной которого служит точка А, найдите длину наибольшего отрезка.

2. Грани ABCD и A₁B₁C₁D₁ шестигранника ABCDA₁B₁C₁D₁ лежат в параллельных плоскостях. Грань ABCD — квадрат со стороной 10, диагонали которого пересекаются в точке K. Грань A₁B₁C₁D₁ — прямоугольник со сторонами A₁B₁ = 28, A₁D₁ = 20, диагонали которого пересекаются в точке М. Отрезок KМ равен 12 и лежит на прямой, перпендикулярной плоскости грани ABCD. Определите:

а) площадь полной поверхности многогранника;

б) длины ребер, не лежащих в плоскостях данных квадрата и прямоугольника;

в) имеют ли прямые AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ одну общую точку.

3. ABCA₁B₁C₁ — правильная треугольная призма. Угол AB₁C равен α. Найдите площадь полной поверхности призмы и ее объем, если высота призмы рана h.

4. Дан многогранник, имеющий 117 вершин. Существует ли поворот пространства на некоторый острый угол, при котором этот многогранник отображается на себя? Если не существует, то почему? Если существует, то приведите пример.

Контрольная работа № 3	Вариант 1

1. В основании пирамиды лежит выпуклый многоугольник, а все плоские углы при вершине пирамиды равны 63°. Сколько граней может быть у данной пирамиды?

2. Точка М лежит внутри трехгранного угла с вершиной K и удалена от его граней на расстояния 3, 4 и 12. Найдите углы, которые образует прямая KМ со всеми гранями трехгранного угла, если все его плоские углы прямые.

3. В правильной шестиугольной пирамиде с высотой h плоский угол при вершине равен β. Найдите сторону основания пирамиды.

4. Дан такой трехгранный угол ОАВС, что BOC = 90°. Найдите:

а) двугранный угол при ребре ОА;

б) угол наклона ребра ОА к плоскости ОВС;

в) угол наклона ребра ОС к плоскости ОАВ;

г) угол ВРМ, где точка Р — ортогональная проекция точки В на плоскость АОС, точка М — ортогональная проекция точки Р на плоскость АОВ.

Контрольная работа № 3	Вариант 2

1. В основании пирамиды лежит выпуклый многоугольник, а все плоские углы при вершине пирамиды равны 41°. Сколько вершин может быть у данной пирамиды?

2. Точка М лежит внутри трехгранного угла с вершиной K и удалена от его граней на расстояния 9, 12 и 8. Найдите углы, которые образует прямая KМ со всеми ребрами трехгранного угла, все плоские углы которого прямые.

3. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен α, а высота равна h. Найдите сторону основания пирамиды.

4. Дан такой трехгранный угол ОМРК, что

а двугранный угол при ребре ОМ равен 120°. Найдите:

а) угол РОK;

б) двугранный угол при ребре ОР;

в) угол наклона ребра ОР к плоскости МОK;

г) угол KСЕ, где точка С — ортогональная проекция точки K на плоскость МОР, точка Е — ортогональная проекция точки С на плоскость МОK.

Контрольная работа № 4	Вариант 1

1. В цилиндре с высотой h и радиусом основания R проведены два пересекающихся сечения. Найдите длину их общего отрезка, если:

а) плоскости сечений параллельны оси цилиндра;

б) плоскости сечений проходят через параллельные между собой хорды оснований цилиндра и середину его оси.

2. Цилиндр с высотой 8 и радиусом основания 3 имеет с каждой из двух параллельных плоскостей одну общую точку. В каких пределах может изменяться расстояние между этими плоскостями?

3. Угол в осевом сечении конуса равен 120°. Через две образующие конуса проведено сечение под углом 60° к основанию. Найдите углы этого сечения.

4. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник с гипотенузой с. В конус помещен цилиндр с радиусом основания r. Найдите высоту цилиндра, если:

а) нижнее основание цилиндра расположено на основании конуса, а окружность его верхнего основания — на конической поверхности;

б) образующая цилиндра лежит на диаметре основания конуса, а каждое из оснований цилиндра имеет с конической поверхностью единственную общую точку.

5. Найдите объем и площадь поверхности усеченного конуса, радиусы оснований которого 3 и 8, а образующая 13.

Контрольная работа № 4	Вариант 2

1. В цилиндре с высотой h и радиусом основания R проведены два сечения, образованные плоскостями, проходящими через центр нижнего основания и две хорды верхнего основания. Найдите длину общего отрезка этих сечений, если:

а) хорды параллельны;

б) хорды имеют общую точку на окружности основания.

2. Цилиндр с высотой 6 и радиусом основания 4 имеет с каждой из двух параллельных плоскостей одну общую точку. В каких пределах может изменяться расстояние между этими плоскостями?

3. Через вершину конуса проведено сечение под углом 2α к основанию. Найдите углы этого сечения, если образующая конуса наклонена к основанию под углом α.

4. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник с высотой h. В конус помещен цилиндр с образующей m. Найдите радиус основания цилиндра, если:

а) нижнее основание цилиндра лежит на основании конуса, а окружность его верхнего основания – на конической поверхности;

б) образующая цилиндра лежит на диаметре основания конуса, а каждое из оснований цилиндра имеет с конической поверхностью единственную общую точку.

5. Найдите объем и площадь поверхности усеченного конуса, радиусы оснований которого 1 и 13, а образующая 13.

Контрольная работа № 5	Вариант 1

1. Две сферы, радиусы которых равны 7 и 5, имеют общее сечение, диаметр которого равен 8. Найдите расстояние между центрами этих сфер.

2. Два шара, радиусы которых равны 2 м и 8 м, касаются каждой из трех попарно взаимно перпендикулярных плоскостей. Чему может быть равно расстояние между центрами этих шаров?

3. Ребро основания правильной треугольной призмы равно 6. Шар касается всех ребер этой призмы. Найдите:

а) радиус этого шара;

б) высоту данной призмы.

4. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD высота МО равна h, а боковые грани — правильные треугольники. Найдите длину линии пересечения поверхности пирамиды со сферой, если:

а) МО — радиус сферы с центром М;

б) МО — диаметр сферы.

5. В цилиндр, диаметр основания которого и его образующая равны 10, помещены два касающихся друг друга шара, радиус каждого из которых равен 3. Известно, что центры обоих шаров лежат в одном и том же осевом сечении цилиндра, при этом первый шар касается основания цилиндра и имеет с цилиндрической поверхностью одну общую точку, а второй шар также имеет с цилиндрической поверхностью одну общую точку. Как расположен второй шар относительно плоскости верхнего основания цилиндра? (Касается этой плоскости, не имеет с ней общих точек или имеет с ней общий круг.)

Контрольная работа № 5	Вариант 2

1. Две сферы, радиусы которых равны 9 и 5, имеют общее сечение, диаметр которого равен 6. Найдите расстояние между центрами этих сфер.

2. Два шара, радиусы которых равны 3 м и 4 м, касаются каждой из трех попарно взаимно перпендикулярных плоскостей. Чему может быть равно расстояние между центрами этих шаров?

3. Ребро основания правильной шестиугольной призмы равно 8. Шар касается всех ребер этой призмы.

Найдите:

а) радиус шара;

б) высоту данной призмы.

4. В правильном тетраэдре MABC высота MO равна h. Найдите длину линии пересечения поверхности тетраэдра со сферой, если:

а) МО — радиус сферы с центром М;

б) МО — диаметр сферы.

5. В цилиндр, диаметр основания которого и его образующая равны 14, помещены два касающихся друг друга шара, радиус каждого из которых равен 4. Известно, что центры обоих шаров лежат в одном и том же осевом сечении цилиндра, при этом первый шар касается основания цилиндра и имеет с цилиндрической поверхностью одну общую точку, а второй шар также имеет с цилиндрической поверхностью одну общую точку. Как расположен второй шар относительно плоскости верхнего основания цилиндра? (Касается этой плоскости, не имеет с ней общих точек или имеет с ней общий круг.)

Контрольная работа № 6	Вариант 1

1. В трапеции АВСD с основаниями ВС и АD диагонали пересекаются в точке О. Известно, что площади треугольников ОВС и ОАD равны соответственно S₁ и S₂. Найдите площадь данной трапеции.

2. Через точки, делящие высоту конуса в отношении 3 : 4 : 3, проведены сечения, параллельные его основанию. Найдите объем конуса, если объем части конуса, заключенной между плоскостями сечений, равен V.

3. Около шара, радиус которого равен R, описан конус. Найдите такую длину образующей конуса, при которой его объем будет наименьшим?

Контрольная работа № 6	Вариант 2

1. Через точки, делящие высоту треугольника в отношении 3 : 4 : 3, проведены прямые, параллельные основанию этого треугольника. Найдите площадь данного треугольника, если площадь его части, заключенной между проведенными прямыми, равна S.

2. В усеченном конусе точка пересечения диагоналей осевого сечения является вершиной двух конусов, основаниями которых служат верхнее и нижнее основания данного усеченного конуса. Объемы этих конусов равны V₁ и V₂. Найдите объем данного усеченного конуса.

3. В конус вписан шар. Для какого значения угла при вершине осевого сечения конуса отношение объема шара к объему конуса будет наибольшим? Найдите это отношение.

Контрольная работа № 7	Вариант 1

1. Основание конуса лежит в плоскости α. Этой плоскости касается шар радиуса R (шар и конус расположены по одну сторону от плоскости). Высота конуса равна диаметру шара, а их объемы равны. На каком расстоянии от плоскости α надо провести параллельную ей плоскость β, чтобы она пересекала шар и конус по кругам одинаковой площади?

2. Вершина прямоугольного параллелепипеда является единственной общей точкой этого параллелепипеда и плоскости φ. Ребра параллелепипеда, выходящие из этой вершины, образуют с плоскостью γ углы соответственно α, β и γ. Докажите, что sin² α + sin² β + sin² γ = 1.

3. Двугранные углы треугольной пирамиды при всех ребрах ее основания равны 60°. Длины ребер одной из боковых граней равны соответственно и 3, причем большее из них является катетом прямоугольного треугольника, лежащего в основании пирамиды. Найдите объем пирамиды и площадь ее боковой поверхности.

4. Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD с основанием ABCD. Через середины ребер АВ, ВС и ВМ проведена плоскость, разбивающая пирамиду на два многогранника, в каждый из которых можно вписать шар. Найдите отношение радиусов этих шаров.

Контрольная работа № 7	Вариант 2

1. Шар радиуса и цилиндр имеют равные объемы и ось цилиндра совпадает с диаметром шара. Найдите кратчайшее расстояние между двумя линиями пересечения поверхности шара и боковой поверхности цилиндра.

2. Вершина А куба — единственная его точка, общая с плоскостью φ. Три грани куба, содержащие вершину А, составляют с плоскостью γ углы соответственно α , β и γ. Докажите, что

sin² α + sin² β + sin² γ = 2.

3. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной 2. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем и площадь боковой поверхности этой пирамиды, если ее высота равна

4. В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб ABCD. Через середины ребер АВ, AD и AA₁ проходит плоскость, разбивающая призму на два многогранника, в каждый из которых можно вписать шар. Чему равно отношение радиусов этих шаров?