Примерное планирование учебного материала, содержание обучения и контрольные работы: Учебник М.Я. Пратусевича, А.М. Головина, К.М. Столбова «Алгебра и начала математического анализа, 10».
I вариант: 4 ч в неделю, всего 136 ч
II вариант: 5 ч в неделю, всего 170 ч
| Номер |
Содержание материала |
Количество часов | |
|
I вариант
|
II вариант
|
||
|
ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ
|
39
|
50
|
|
|
1 |
Высказывания, предикаты |
4 |
6
|
|
2 |
Множества и операции над ними |
4 |
4
|
|
Контрольная работа № 1 |
1 |
2 |
|
|
3 |
Метод математической индукции |
6 |
8
|
|
Контрольная работа № 2
|
1
|
1 |
|
|
4 |
Начала комбинаторики. Бином Ньютона |
10 |
12
|
|
Контрольная работа № 3
|
1 |
1
|
|
|
5
|
Понятие о множестве вещественных чисел |
2 |
4 |
|
6
|
Общие свойства уравнений и неравенств |
8 |
10 |
|
Контрольная работа № 4
|
2 |
2 |
|
|
ГЛАВА II. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
|
10
|
12
|
|
|
7
|
Деление с остатком. Сравнения |
4
|
6
|
|
8
|
Алгоритм Евклида. НОД и НОК |
4 |
4 |
Контрольная работа № 5 |
2
|
2 |
|
|
ГЛАВА III. МНОГОЧЛЕНЫ
|
10
|
12
|
|
|
9 |
Определение многочлена и действия с многочленами. Метод неопределенных коэффициентов |
4
|
4
|
| 10 | Теорема Безу. Целые корни многочленов |
4
|
4
|
|
11
|
Интерполяционный многочлен Лагранжа |
2
|
|
Контрольная работа № 6 |
2
|
2 |
|
|
ГЛАВА IV. ФУНКЦИИ |
14 |
18
|
|
|
12
|
Определение функции. Образ и прообраз элементов и множеств. Композиция |
4 |
4
|
|
13
|
Монотонность и экстремумы функции |
4
|
4
|
|
14 |
Четность и периодичность |
2
|
2 |
|
15
|
Преобразования графиков |
2
|
4
|
|
16 |
Асимптоты |
2
|
|
|
Контрольная работа № 7
|
2 |
2
|
|
|
ГЛАВА V. СТЕПЕНЬ, КОРЕНЬ, ЛОГАРИФМ
|
18 |
18
|
|
17
|
Степени и корни |
6
|
6
|
18
|
Логарифмы |
6
|
6
|
|
19
|
Логарифмическая и показательная функции |
4 |
4
|
Контрольная работа № 8 |
2 |
2
|
|
|
ГЛАВА VI. ТРИГОНОМЕТРИЯ |
27
|
28 |
|
|
20
|
Формулы тригонометрии и тригонометрические преобразования |
8
|
8 |
|
Контрольная работа № 9 |
2
|
2
|
|
|
21
|
Тригонометрические функции |
4 |
4
|
Контрольная работа № 10 |
1
|
2
|
|
|
22 |
Тригонометрические уравнения |
10 |
10
|
|
Контрольная работа № 11
|
2 |
2
|
|
|
ГЛАВА VII. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
|
8
|
18
|
|
|
23
|
Определение предела. Действия с пределами |
6
|
8
|
|
24
|
Теорема Вейерштрасса и ее применение. Число е |
8
|
|
Контрольная работа № 12 |
2
|
2
|
|
| Повторение |
10
|
14
|
|
|
Итоговая контрольная работа (вне сетки) |
4
|
4
|
|
Пояснительная записка
Общие положенияУчебник рассчитан на использование в классах, где на изучение курса алгебры и начал математического анализа отводится не менее 4 часов в неделю.
Авторы полагают, что ведущей деятельностью при изучении курса является решение задач. Поэтому одной из целей создания учебника являлся подбор и расширение системы задач, а также изложение теории в соответствии со следующим принципом: Любое теоретическое положение должно подкрепляться задачным материалом.
Особенностью учебника является существенно большее, нежели в других учебниках, количество примеров решения задач, а также примеров, помещенных в текст глав, которые иллюстрируют тонкости и трудности курса. В учебнике значительно расширен корпус задач, в том числе за счет задач на доказательство утверждений, не сводящееся к тождественным преобразованиям.
Понимая математику как неотъемлемую часть человеческой культуры, авторы не ограничивались в отборе материала сугубо прагматическими соображениями (например, соображением успешной сдачи разного рода экзаменов), поэтому стремились, в меру возможности, включать задачи, представляющие исторический интерес, а также различные исторические комментарии. Последние ни в коей мере не претендуют на сколько-нибудь систематическое изложение истории математики, но призваны, как минимум, познакомить учащихся с математиками, оставившими заметный след в науке.
С другой стороны, авторы в своем изложении старались следовать пути, подсказанному историей развития математики, в том числе, предпочитая интуитивно ясные понятия строгим определениям.
Структура курса
Учебник для 10-го класса состоит из 7 глав:
Глава 1. Введение
Глава 2. Целые числа
Глава 3. Многочлены
Глава 4. Функция. Основные понятия.
Глава 5. Корень, степень, логарифм
Глава 6. Тригонометрия
Глава 7. Предел последовательности
В составе этих глав 40 параграфов, а также в общей сложности более 1000 задач, идущих после каждой главы. Задачи в основном сгруппированы в соответствии с пунктами теоретического изложения.
В материал учебника 11-го класса отнесены следующие темы:
Глава 8. Предел функции и непрерывность
Глава 9. Производная и ее применения
Глава 10. Интеграл
Глава 11. Комплексные числа и их применения
Глава 12. Элементы теории вероятностей и статистики
Глава 13. Уравнения и неравенства
Распределение тем между учебниками для 10-го и 11-го классов обусловлено необходимостью решения следующих трех задач.
Во-первых, постараться сделать погружение в профильную программу по математике менее «травматичным» для учащихся. Для этого создана глава «Введение», материал которой, с одной стороны, не изобилует техническими сложностями, а с другой — интересен и необычен для большинства учащихся. Этот материал позволяет ученику почувствовать себя успешным вне зависимости от того, сколь успешно было его обучение в основной школе.
Во-вторых, обеспечить необходимый «запас» элементарных функций, а затем изучить инструменты их исследования.
В-третьих, создать условия для подготовки учащихся к различного рода выпускным и вступительным экзаменам по математике.
Размещение глав задает порядок изучения соответствующих тем, однако без ущерба для понимания можно поменять местами изучение материала глав 5 и 6.
Учебник является частью нового учебно-методического комплекта по алгебре и началам математического анализа, включающего в себя: учебники для 10-го и 11-го классов, дидактические материалы для 10-го и 11-го классов, книги для учителя для 10-го и 11-го классов.
Методический комментарий
Материал главы I призван познакомить учащихся с темами, которым не уделялось внимания в рамках основной школы, но которые авторы считают базовыми для дальнейшего изучения. К таким темам относятся: высказывания, предикаты и операции над ними, множества и операции над ними, метод математической индукции, бином Ньютона, особенности строения множества вещественных чисел, а также общие замечания об уравнениях и неравенствах.
Некоторая эклектичность материала вызвана тем, что перечисленные разделы достаточно малы, чтобы уделять какому-либо из них отдельную главу курса, но в то же время важны для дальнейшего изложения, поэтому должны идти в начале курса. Кроме того, материал этой главы «независим» от курса математики второй ступени обучения. Это позволяет «нивелировать» разницу в подготовке учащихся, пришедших в профильный класс, и хотя бы немного уйти от решения уравнений и неравенств, заполонивших школьный курс алгебры и начал анализа.
Авторы считают невозможным (во всяком случае, ненужным) определение в рамках школьного учебника множества без способа его задания как множества истинности предиката. При этом авторы отдают себе отчет в наличии «логического круга» (предикат изначально должен быть задан на некотором множестве), но считают эту жертву приемлемой для понимания того, что есть уравнение, неравенство, какова природа следования и равносильности, как «устроены» многие теоремы и т.д.
В связи с тем, что в главе I необходимо изучать бином Ньютона, в материал главы включены и основы комбинаторики в объеме, определяемом действующими стандартами в части Федерального компонента в области математики (профильный уровень). Тем самым, во-первых, авторы сознательно идут на разрыв устоявшейся тематической «связки» «Комбинаторика – Теория вероятностей», полагая эти две дисциплины вполне самостоятельными и связанными между собой весьма узкой частью. Во-вторых, продолжается «дискретная линия», заданная изучением в 9-м классе соответствующей темы.
Основной целью изучения материала этой главы является расширение (как по формулировкам, так и по содержанию) круга задач, решаемых учащимися в курсе алгебры и начал анализа.
Последние два параграфа призваны систематизировать знания учащихся об уравнениях и неравенствах, дав им единообразный метод анализа возможных путей решения уравнений (цепочка следствий и равносильные преобразования), а также позиционируя метод интервалов как основной метод решения неравенств. Необходимость этого вызвана тем, что на протяжении всего курса постоянно необходимо решать различные уравнения и неравенства.
При отборе материала главы II преследовалась цель не слишком обширного изложения, дающего, тем не менее, учащимся возможность решать широкий круг задач по теории целых чисел. Материал учебника является попыткой восполнения досадного пробела, связанного с тем, что и по сей день знания учащихся о целых числах в основном ограничиваются материалом 5–6-х классов.
В силу специфики данной главы, большая часть задач является именно задачами, а не упражнениями. Но при нехватке времени учитель может ограничиться необходимым минимумом, а часть содержания главы вынести для изучения в рамках элективного курса.
Глава III является логическим продолжением главы II. На протяжении всей главы подчеркивается аналогия многочленов и целых чисел как алгебраических объектов. Материал так же превышает требования стандарта, в силу чего может быть использован для работы в рамках элективного курса.
Материал главы IV систематизирует то, что уже известно учащимся о функциях. Но понятие функции уже использовалось в предыдущих главах, поскольку учащимся оно знакомо из курса основной школы.
Подробно, с большим количеством упражнений и задач разбираются свойства функций, изучаемые в школьном курсе. В материале главы сознательно допущено «забегание вперед» в описании асимптот и использовании понятия непрерывности. Авторы полагают эти понятия интуитивно очевидными и считают раннее знакомство с ними как мотивированным (например, задачами построения графиков), так и способствующим более глубокому ознакомлению с этими понятиями.
Большое внимание уделено кусочно-заданным функциям (особенно модулю), традиционно вызывающим трудности у учащихся.
Содержание глав V и VI посвящено введению основных классов функций, используемых в дальнейшем — степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
Материал этих глав устроен однотипно — от определений к преобразованиям затем к функциям. При этом среди задач встречаются уравнения и неравенства, но не как самостоятельный объект изучения, а как приложение соответствующих определений и свойств. Поэтому, например, в главе V не рассматриваются основные типы логарифмических и показательных уравнений и неравенств, а решаются лишь те задачи, решение которых может быть получено прямым применением определений и свойств соответствующих функций.
Авторы сознательно избегали строгого определения степени с вещественным показателем, ограничившись интуитивным представлением о ней, ибо такое определение им не удалось снабдить достаточным количеством задач, интересных для учащихся.
(Глава, связанная именно с решением уравнений и неравенств, в том числе с параметром, помещена в курс 11-го класса, предваряя собой и плавно переходя в повторение материала всего курса.)
Таким образом определяется класс функций, к исследованию которого будут применяться вводимые в дальнейшем методы анализа. При этом сами задачи исследования (построение графиков, исследование монотонности и нахождение наибольших и наименьших значении и т.д.) уже были поставлены ранее и учащиеся смогли убедиться в необходимости усвоения общих методов, позволяющих решать эти задачи.
Наконец, глава VII начинает систематическое изучение курса математического анализа функций одной вещественной переменной. Авторы полагают, что понятие предела последовательности, являясь, безусловно, вспомогательным и второстепенным, тем не менее, способствует пониманию духа и методов анализа, а также необходимостью доказывать утверждения, кажущиеся очевидными. Однако, в случае нехватки времени, материал этой и следующей главы можно существенно сократить, оставив лишь вычисление пределов по определению, основные соотношения, связанные со скоростью роста, и число е, введя его без доказательства.
В заключение отметим, что материал учебника успешно применяется авторами и их коллегами в лицеях № 239 и «Физико-техническая школа» г. Санкт-Петербурга.
Содержание обучения
10-й класс
Введение
Множества, логика, индукция, начала комбинаторики. Вещественные числа
Понятие высказывания и предиката, операции над высказываниями и предикатами. Множества: способы задания множеств, множества истинности предиката, операции над множествами. [Парадокс Рассела.]
Метод математической индукции и его применения.
Начала комбинаторики. Правила суммы и произведения. Перестановки, размещения и сочетания. Бином Ньютона.
Понятие о множестве вещественных чисел. Понятие супремума. Аксиома супремума. [Мощность множества.]
Общие свойства уравнений и неравенств: равносильность и следование, уравнения и неравенства с модулем. Метод интервалов.
Основная цель — познакомить учащихся с понятиями, лежащими в основе курса алгебры и начал анализа, а также систематизировать имеющиеся у них знания.
В результате изучения учащиеся должны:
— уметь различать высказывания и иные типы предложений, а также представлять сложные высказывания как результат операций над простыми высказываниями;
— уметь применять операции к сложным высказываниям (например, отрицание импликации);
— уметь искать множество истинности предиката, а также выяснять истинностное значение высказывания, получающегося из предиката связыванием переменных, строить отрицание таких высказываний;
— уметь задавать множества характеристическими свойствами и строить множество, заданное характеристическим свойством;
— уметь применять метод математической индукции для доказательства тождеств, неравенств, соотношений делимости, а также иных задач;
— решать комбинаторные задачи на непосредственное применение правил суммы и произведения, а также задачи, связанные с использованием формул перестановок, размещений и сочетаний;
— решать простейшие задачи, связанные с применением формулы бинома Ньютона;
— понимать особенности строения множества вещественных чисел (например, недопустимость употребления понятия «соседние числа» для рациональных и вещественных чисел);
— уметь находить нижние и верхние границы подмножеств R.
Целые числа
Деление с остатком целых чисел. Сравнения. Перебор остатков. Делимость. Простые числа. Основная теорема арифметики. НОД и НОК целых чисел. Алгоритм Евклида.
Основная цель — систематизировать и обобщить сведения о свойствах целых чисел, делимости и т.д.
В результате изучения учащиеся должны:
— уметь производить деление с остатком целых чисел;
— записывать сравнения целых чисел;
— решать простые задачи на делимость методом перебора остатков;
— искать НОД двух целых чисел с помощью алгоритма Евклида, а также линейное представление НОД;
— решать простейшие задачи, используя определения НОД и НОК;
— решать задачи, пользуясь основной теоремой арифметики.
Многочлены
Общее определение многочлена. Действия с многочленами от одной переменной. Метод неопределенных коэффициентов. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу и схема Горнера. Количество корней многочлена. Симметрические многочлены и теорема Виета.
Основная цель — изучение многочлена в двух аспектах: как алгебраического объекта, во многом аналогичного целому числу, и как функции.
В результате изучения учащиеся должны:
— производить действия с многочленами;
— делить многочлены с остатком;
— использовать метод неопределенных коэффициентов для решения задач;
— находить многочлен по достаточному количеству данных;
— решать простейшие задачи на делимость многочленов;
— находить перебором целые и рациональные корни многочленов;
— применять теорему Виета для нахождения неизвестных коэффициентов многочлена и решения систем уравнений.
Функции
Определение отображения и функции. Виды отображений. Основные свойства функций: монотонность и экстремумы, четность, периодичность, асимптоты. Графики функций и их преобразования.
Основная цель — знакомство учащихся с общим понятием функции и свойствами числовых функций.
В результате изучения учащиеся должны:
— уметь задать функцию удобным способом;
— уметь найти естественную область определения функции;
— в простейших случаях уметь находить образы и прообразы элементов и множеств, в том числе находить множество значений функции;
— исследовать функцию на четность, периодичность;
— находить промежутки монотонности функции, а также множества значений функций известного вида и их композиций;
— строить график функции, в случае дробно-рациональной функции используя соображения асимптот;
— уметь строить график функции с помощью преобразований графиков.
Степень, корень, логарифм
Определение и свойства степени с рациональным показателем, представление о степени с вещественным показателем. Степенная и показательная функции. Логарифм числа. Логарифмическая функция.
Основная цель — знакомство учащихся с понятием степени в наиболее общей форме, а также со свойствами функций, связанных с этим понятием.
В результате изучения учащиеся должны:
— на уровне навыка проводить тождественные преобразования степенных выражений и выражений, содержащих логарифмы;
— понимать, что происходит с областью определения соответствующих выражений при определенных преобразованиях;
— решать простейшие уравнения, содержащие степенные, показательные и логарифмические выражения, пользуясь соответствующими определениями;
— строить и различать графики степенных, показательных и логарифмических функций;
— использовать монотонность степенных, показательных и логарифмических функций при решении простейших неравенств.
Тригонометрия
Обобщенный угол и изображение вещественных чисел точками тригонометрической окружности. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Арксинус, арккосинус, арктангенс и простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него. Формулы сложения, приведения, двойных углов, половинных углов, понижения степени, преобразования суммы в произведение и произведения в сумму. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Решение тригонометрических уравнений.
Основная цель — сформировать навык осознанных преобразований тригонометрических выражений и применений свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
В результате изучения учащиеся должны:
— уметь изображать числа и множества на тригонометрической окружности, а также записывать в виде подмножеств множества R, изображенные на тригонометрической окружности;
— уметь находить значения одних тригонометрических функций через другие;
— уметь осознанно преобразовывать тригонометрические выражения в соответствии с поставленной задачей;
— уметь решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства;
— уметь применять свойства тригонометрических функций при решении задач;
— уметь решать тригонометрические уравнения основных типов.
Предел последовательности
Определение последовательности. Свойства последовательности (монотонность и ограниченность) и специфические способы их выяснения в случае последовательности. Определение предела последовательности. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями. Число е. Подпоследовательности и пределы.
Основная цель — на примере предела последовательности дать представление о предельном переходе, а также об основных свойствах пределов.
В результате изучения учащиеся должны:
— знать определение предела последовательности и уметь его формулировать «на различных языках»;
— доказывать наличие предела и вычислять его по определению;
— использовать теорему Вейерштрасса для доказательства наличия предела;
— вычислять пределы с помощью теорем об арифметических действиях, а также выделяя главную часть соответствующей последовательности;
— иметь представление о сравнении бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.
11-й класс
Предел функции и непрерывность
Понятие предела функции в точке и на бесконечности. Асимптоты графика. Непрерывность функции в точке и на множестве. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Основная цель — познакомить учащихся с понятиями, лежащими в основе дальнейшего курса алгебры и начал анализа. (Изучение курса может быть построено так, чтобы избежать чрезмерно подробного рассмотрения главы 8.)
В результате изучения учащиеся должны:
— уметь вычислять простейшие пределы, в том числе с использованием «замечательных» пределов;
— [иметь представление о шкале бесконечно малых функций, в том числе о степенной шкале];
— уметь искать асимптоты графиков функций;
— уметь исследовать функции на непрерывность, используя различные определения непрерывности;
— уметь применять теоремы о непрерывных функциях для доказательства существования корней, а также в простейших геометрических ситуациях.
Производная и ее применения
Определение производной, ее геометрический и физический смысл. Правила вычисления производных. Первообразная и неопределенный интеграл. Применение производной к исследованию функции. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Основная цель — подробное изучение понятия производной и различных ее применений.
В результате изучения учащиеся должны:
— уметь производить вычисление производных и первообразных;
— уметь решать задачи на нахождение касательной к кривой в точке кривой и проходящих через точку вне кривой, а также общих касательных двух кривых;
— решать задачи, связанные с понятием кратного корня многочлена;
— исследовать функцию на монотонность и экстремумы, а также применять эти исследования к доказательству неравенств и решению прикладных задач;
— [применять основные теоремы дифференциального исчисления к решению задач, связанных с существованием и оценкой производных].
Определенный интеграл
Определение определенного интеграла: различные подходы. Формула Ньютона–Лейбница и теорема Барроу. Приложения определенного интеграла.
Основная цель — изучение применений определенного интеграла для вычисления площадей фигур, длин кривых (вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла предполагается отнесенным к курсу геометрии), а также решения физических задач.
В результате изучения учащиеся должны:
— уметь оценить значение определенного интеграла без его прямого вычисления;
— правильно применять формулу Ньютона–Лейбница для нахождения определенных интегралов;
— с помощью определенного интеграла находить площади фигур, длины кривых;
— использовать определенный интеграл при решении физических задач.
Комплексные числа
Определение и свойства комплексных чисел, геометрическая запись. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Корни из комплексных чисел.
Основная цель — знакомство учащихся с комплексными числами как с примером неупорядоченного числового поля, а также примером того, как в одной и той же теме применяются и формулы тригонометрии, и геометрические преобразования, и векторная техника.
В результате изучения учащиеся должны:
— уметь производить действия с комплексными числами;
— уметь изображать фигуры на комплексной плоскости;
— в простейших случаях для функций комплексной переменной уметь находить образы и прообразы элементов и множеств, в том числе находить множество значений функции;
— пользоваться различными интерпретациями комплексных чисел для решения задач.
Элементы теории вероятностей
Понятие вероятности, классическое, геометрическое и общее определения вероятности. Условная вероятность, формула полной вероятности и формула Байеса. [Дискретные случайные величины и их числовые характеристики. Представление о нормальном распределении.]
Основная цель — знакомство учащихся с понятием вероятности и способами решения основных типов задач по теории вероятностей. Основной особенностью является наличие широкого спектра задач, в том числе использующих не только классическое определение вероятности.
В результате изучения учащиеся должны:
— вычислять вероятности событий, используя классическое и геометрическое определения;
— находить вероятность с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса;
— [находить числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию) простейших дискретных случайных величин].
Уравнения и неравенства
Общие методы и приемы решения уравнений. Задачи с параметром и методы их решения. Иррациональные уравнения и неравенства. Тригонометрические уравнения и неравенства. Логарифмические уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств.
Эта глава является основной для подготовки к экзамену. Занимая примерно четверть объема учебника, она охватывает основные приемы и методы решения задач, связанных с уравнениями и неравенствами.
Контрольные работы
Контрольная работа № 1 |
Вариант 1 |
|---|
1. Решите систему и найдите условие разрешимости через известные множества:
2. Изобразите на прямой множество истинности предиката 
y(| x |
+ y ≤ 2 → x – y < 5) 
R).
3. Пусть A = {x: P(x)}, B
= {x: Q(x)}, C = {x: R(x)}.
Запишите с помощью кванторов и логических связок высказывание, «состоящее» из
предикатов P, Q, R, состоящее в том, что 
(В
∩
С).
4. Впишите вместо пропуска слово «необходимо» или
«достаточно», запишите в форме «Если ..., то ...» и докажите утверждение: Для
того, чтобы A 
(B 
С), ..., чтобы A\B C.
5. Изобразите множества истинности предикатов P и
Q на их общей области задания так, чтобы было истинно высказывание:
x(P(x)
Q(x) → 
Q(x)).
Контрольная работа № 1 |
Вариант 2 |
|---|
1. Решите систему и найдите условие разрешимости через известные множества:
2. Изобразите на прямой множество истинности предиката
y(| x |
– y ≤ 2 → x + y < 5) R).
3. Пусть A = {x: P(x)}, B
= {x: Q(x)}, C = {x: R(x)}.
Запишите с помощью кванторов и логических связок высказывание, «состоящее» из
предикатов P, Q, R, состоящее в том, что A
(B
C).
4. Впишите вместо пропуска слово «необходимо» или
«достаточно», запишите в форме «Если ..., то ...» и докажите утверждение: Для
того, чтобы A (B ∩ C), ..., чтобы A\B C.
5. Изобразите множества истинности предикатов P и
Q на их общей области задания так, чтобы было истинно высказывание:
x(P(x)
Q(x) → Q(x)).
Контрольная работа № 2 |
Вариант 1 |
|---|
1. Найдите и докажите формулу
2. При каких натуральных n выполнено неравенство 3n > n3?
3. Докажите, что при всех натуральных n имеет
место 
4. Дана последовательность, удовлетворяющая равенствам
Докажите, что an
= 3n + 4n.
5. Докажите неравенство 
при натуральных n
≥ 3.
6*. На плоскости провели несколько прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку. Докажите, что полученные части плоскости можно раскрасить в два цвета так, чтобы любые две части, имеющие общей границей отрезок, луч или прямую, были раскрашены в разные цвета.
Контрольная работа № 2 |
Вариант 2 |
|---|
1. Найдите и докажите формулу 
2. При каких натуральных n выполнено неравенство 2n > n2?
3. Докажите, что при всех натуральных n имеет
место 
4. Дана последовательность, удовлетворяющая равенствам
Докажите, что an
= 4n – 3n.
5. Докажите неравенство 
при натуральных n
≥ 3.
6*. На плоскости провели несколько окружностей, никакие три из которых не проходят через одну точку. Докажите, что полученные части плоскости можно раскрасить в два цвета так, чтобы любые две части, имеющие общей границей дугу окружности, были раскрашены в разные цвета.
Контрольная работа № 3 |
Вариант 1 |
|---|
1. Сколько существует способов выбрать (без учета порядка) одну гласную и одну согласную буквы из слова «математика»?
2. Сколько существует способов из 10 яблок и 6 груш выбрать 4 яблока и 3 груши?
3. Сколько существует шестизначных чисел, у которых две четные и четыре нечетные цифры?
4. Сколько существует способов распределить 24 ученика по 3 кабинетам?
5. В классе 10 девочек и 12 мальчиков. Сколько существует способов выбрать группу из 6 человек так, чтобы в ней были хотя бы 2 девочки?
6. а) Докажите, что 
— целое число.
б*) Докажите, что 
не является целым ни при каком
натуральном
в*) Докажите, что 
не является целым ни при каком
натуральном
г) Найдите коэффициент при x19 после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении (1 + x4 + x7)16.
7. Сколько существует перестановок 10 цифр, в которых 0 стоит правее 1 (между 0 и 1 могут быть еще цифры)?
8. Сколько существует способов расставить в ряд 20 зеленых и 10 красных шаров так, чтобы никакие 2 красных шара не стояли рядом?
Контрольная работа № 3 |
Вариант 2 |
|---|
1. Сколько существует способов выбрать (без учета порядка) одну гласную и одну согласную буквы из слова «комбинаторика»?
2. Сколько существует способов из 12 карандашей и 5 ручек выбрать 5 карандашей и 2 ручки?
3. Сколько существует шестизначных чисел, у которых четыре четные и две нечетные цифры?
4. Сколько существует способов расставить 15 книг по 3 полкам (порядок книг на полке не важен)?
5. В классе 12 девочек и 14 мальчиков. Сколько способов выбрать группу из 8 человек так, чтобы в ней были хотя бы 2 мальчика?
6. а) Докажите, что 
— целое число.
б*) Докажите, что 
не является целым ни при каком
натуральном
в*) Докажите, что 
не является целым ни при каком
натуральном
г) Найдите коэффициент при x17 после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении (1 + x3 + x8)14.
7. Сколько существует способов расставить в ряд 6 разноцветных шаров так, чтобы зеленый шар был левее красного (между зеленым и красным шарами могут быть другие шары)?
8. Сколько существует способов расставить в ряд 12 девочек и 8 мальчиков так, чтобы никакие 2 мальчика не стояли рядом?
Контрольная работа № 4 |
Вариант 1 |
|---|
1. Решите неравенство:
2. Решите неравенство | 2x + 4 | < 2| x | + x.
3. Равносильны ли на R уравнения:
4.Постройте график:
а) 
б) | y + x | = | 2x – 3 |.
5. а) Придумайте неравенство с нулем в правой части,
одним из сомножителей левой части которого было бы выражение | x – 2 |, а
ответом являлось множество (1; 3] {5}.
б) Существует ли неравенство с нулем в правой части, одним из
сомножителей левой части которого было бы выражение | x – 2 |, а ответом
являлось множество (–5; –3) {4}?
Контрольная работа № 4 |
Вариант 2 |
|---|
1. Решите неравенство:
2. Решите неравенство | 3x + 6 | < 3| x | + x.
3. Равносильны ли на R уравнения:
4. Постройте график:
а) 
б) | y – x | = | 2x + 3 |.
5. а) Придумайте неравенство с нулем в правой части,
одним из сомножителей левой части которого было бы выражение | x + 2 |, а
ответом являлось множество (–5; –1] {3}.
б) Существует ли неравенство с нулем в правой части, одним из
сомножителей левой части которого было бы выражение | x + 2 |, а ответом
являлось множество (–5; –3) {2}?
Контрольная работа № 5 |
Вариант 1 |
|---|
1. Найдите значения, которые может принимать пропущенная цифра (*), чтобы число a делилось на число b:
а) a = 765*8, b = 4;
б) a = 1387*, b = 3;
в) a = 24*379, b = 11.
2. Пусть остаток от деления числа x на 11 равен 7. Найдите остаток от деления на 11 числа x2 + 6x.
3. Докажите, что число 2n3 – 3n2 + n кратно 6 при любом целом n.
4. Найдите общий вид чисел, кратных 4 и дающих при делении на 3 — остаток 2.
5. Докажите, что числа 4n + 1 и 5n + 1 —
взаимно простые при любом натуральном n.
Докажите, что число m4
– 21m2 + 36 является составным при любом целом m.
6. Докажите иррациональность числа 
где k N.
7. Найдите все натуральные решения уравнения 3x2 + 3xy + 2x – y = 56.
Контрольная работа № 5 |
Вариант 2 |
|---|
1. Найдите значения, которые может принимать пропущенная цифра (*), чтобы число a делилось на число b:
а) a = 234*8, b = 4;
б) a = 21*74, b = 3;
в) a = 222*34, b = 11.
2. Пусть остаток от деления числа x на 7 равен 5.
Найдите остаток от деления на 7 числа
3. Докажите, что число n5 – 5n3 + 4n кратно 5 при любом целом n.
4. Найдите общий вид чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 3, а при делении на 6 — остаток 5.
5. Докажите, что числа 2n + 1 и 3n + 1 —
взаимно простые при любом натуральном n.
Докажите, что число m4
– 19m2 + 9 является составным при любом целом m.
6. Докажите иррациональность числа при k
N: 
7. Найдите все натуральные решения уравнения 2x2 + 2xy – x + y = 112.
Контрольная работа № 6 |
Вариант 1 |
|---|
1. При каких значениях a и b многочлен 2x4 + 3x3 – ax2 + bx – 3 делится без остатка на x + 3, а при делении на x – 2 дает остаток, равный 5?
2. Докажите, что многочлен (x + 1)2n + 1 + x2n + 1
– 2x – 1, n N, делится на x(2x + 1)(x + 1) без остатка.
3. Найдите все рациональные корни многочлена:
а) 12x5 – 44x4 + 23x3 + 4x2 – 3x;
б) 12x5 + 44x4 + 23x3– 4x2 – 3x.
4. Докажите, что многочлен (x2 + 2x + 2)(4x2 + 16x + 25) можно представить в виде суммы квадратов двух многочленов.
5. Один из корней многочлена P(x) = x3 – 7x2 + 14x + r в два раза больше другого. Найдите P(x) и его корни.
6. С помощью разложения по степеням x – 1 многочлена P(x) = x3 – 4x2 + 7x + 0,1 докажите, что данный многочлен не имеет корней на [0; 2].
7. Найдите числа a, b, p, q
так, чтобы для любого x имело место равенство
Контрольная работа № 6 |
Вариант 2 |
|---|
1. При каких значениях a и b многочлен 3x4 – 2x3 + 14x2 + ax + b
делится без остатка на x + 1, а при делении на x + 2 дает остаток, равный 101?
2. Докажите, что многочлен (x + 1)2n+1 + x2n+1
– 2x – 1, n N, делится на x(2x + 1)(x + 1) без остатка.
3. Найдите все рациональные корни многочлена:
а) 12x4 – 44x3 + 39x2 + 8x – 12;
б) 12x4 + 44x3 + 39x2 – 8x – 12.
4. Докажите, что многочлен (x2 + 4x + 5)(x2 + 8x + 20)
можно представить в виде суммы квадратов двух многочленов.
5. Корни многочлена x3 – 18x2 + qx + 24 образуют арифметическую прогрессию. Найдите многочлен и его корни.
6. С помощью разложения по степеням x + 1 многочлена P(x) = x3 + x2 + 2x + 8,1 докажите, что данный многочлен не имеет корней на [–2; 0].
7. Найдите числа a, b, p, q так, чтобы для любого x имело место равенство
Контрольная работа № 7 |
Вариант 1 |
|---|
1. Постройте график функции 
2. Найдите промежутки монотонности и множество значений
функции 
3. Известно, что f(x + 1) = 2x – 3, f(g(x)) = 3x – 4.
Найдите g(x).
4. Для функции y = x| x | найдите обратную. На одном чертеже постройте их графики.
5. Найдите функции f(x) и g(x), удовлетворяющие условиям
6. Дано: f(x) = x3 + 3x, φ(x) = 1 – x. Решите неравенство f(φ(f(x))) < f(φ(4)).
7. Найдите все значения a, при которых наименьшее значение функции
y = | x + 2 | + | x | + | x – a |
равно 4. Постройте график функции при найденных значениях a и исследуйте ее на четность-нечетность.
8. Решите уравнение 
Контрольная работа № 7 |
Вариант 2 |
|---|
1. Постройте график функции 
2. Найдите промежутки монотонности и множество значений
функции 
3. Известно, что f(x – 1) = 2x – 3, f(g(x)) = x3. Найдите g(x).
4. Для функции y = 2x + | x – 1 | найдите обратную. На одном чертеже постройте их графики.
5. Найдите функцию f(x), удовлетворяющую
условию 
6. Дано: f(x) = x5 + 7x, φ(x) = 2 – x. Решите неравенство f(φ(f(x))) < f(φ(8)).
7. При каких значениях a функция y = a| 2x – 3 | + (2a – 3)| 2x + 3 |
будет: а) четной; б) нечетной?
Постройте график функции при найденных значениях a и укажите наименьшее значение функции.
8. Решите уравнение 
Контрольная работа № 8 |
Вариант 1 |
|---|
1. Вычислите:
2. Упростите выражение:
3. Решите неравенство 
4. Вычислите: 
5. Дана функция f(x) = log3 (9 – x2).
а) Решите неравенство f(x) ≤ 0.
б) Решите уравнение f(x) = 3log27 (7 + x).
в) Найдите промежутки монотонности функции 
Контрольная работа № 8 |
Вариант 2 |
|---|
1. Вычислите:
2. Упростите выражение:
3. Решите неравенство 
4. Вычислите: 
5. Дана функция f(x) = log5 (16 – x2).
а) Решите неравенство f(x) ≤ 0.
б) Решите уравнение f(x) = 2log25 (8 + 7x).
в) Найдите промежутки монотонности функции 
Контрольная работа № 9 |
Вариант 1 |
|---|
1. Найдите 
2. Найдите значение выражения (3 + 2sin α)(3 + 2cos α), если sin α + cos α = a.
3. Дано: tg α = 2. Найдите (2cos α – 5sin α)(cos α + 2sin α).
4. Вычислите: 
5. Найдите cos 20α,
если 
6. Докажите неравенство 16cos2 α – ctg2 α ≤ 9.
7. Найдите величины α и b острых углов прямоугольного треугольника, если
2cos α + sin (α – β) + | sin (2α + β) | = 2(1 + cos (α + β)).
8*. Решите систему уравнений
Контрольная работа № 9 |
Вариант 2 |
|---|
1. Найдите 
3. Дано: ctg α = 2. Найдите (3cos α – 2sin α)(sin α + 7cos α).
4. Вычислите: 
5. Найдите cos 16α,
если 
6. Докажите неравенство 9sin2 α – tg2 α ≤ 4.
7. Найдите величины α и β острых углов прямоугольного треугольника, если
8*. Решите систему уравнений
Контрольная работа № 10 |
Вариант 1 |
|---|
1. Сравните числа:
а) sin 4 и cos 2;
б) tg 3 и ctg 5;
в) 
г) sin 5 + cos 6 и 0.
2. Найдите промежутки монотонности, нули, период, область значений функции
Постройте график функции.
3. В какой точке промежутка 
функция f(x) = tg x + 3ctg x
принимает наименьшее значение?
4. Найдите множество значений функции 
5. Найдите наименьший положительный период функции y = cos x (4cos2 x – 3).
6. При каких значениях a функция 
возрастает на промежутке 
7. Найдите такую функцию g, что при всех x
справедливо равенство 
8*. Дана функция f(x) = cos3 x – acos2 x sin x + bcos x sin2 x – sin3 x.
Найдите все пары (a; b), при которых период
функции f равен 
Контрольная работа № 10 |
Вариант 2 |
|---|
1. Сравните числа:
а) sin 5 и cos 2;
б) tg 1 и ctg 8;
в) 
г) cos 5 + sin 6 и 0.
2. Найдите промежутки монотонности, нули, период, область значений функции
Постройте график функции.
3. В какой точке промежутка 
функция f(x) = 4tg x + 9ctg x принимает наименьшее значение?
4. Найдите множество значений функции 
5. Найдите наименьший положительный период функции y = cos x (1 – 4sin2 x).
6. При каких значениях a функция 
возрастает на промежутке 
7. Найдите такую функцию g, что при всех x
справедливо равенство 
8*. Дана функция f(x) = cos3 x – acos2 x sin x + bcos x sin2 x + sin3 x.
Найдите все пары (a; b), при которых период
функции f равен 
Контрольная работа № 11 |
Вариант 1 |
|---|
1. Решите уравнение 
2. Решите уравнение sin2 x + cos2 3x + sin2 5x + cos2 7x = 2.
3. Решите уравнение:
а) 
б) 
4. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство
a cos2 x + (3 + 2a)sin x – a – 6 < 0
выполняется при всех значениях x.
5. Найдите все значения параметра a, при которых области определения функций
совпадают.
6. Решите уравнение 
Контрольная работа № 11 |
Вариант 2 |
|---|
1. Решите уравнение 2cos 2x = sin3 x + cos3 x.
2. Решите уравнение cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 2.
3. Решите уравнение:
4. Найдите все значения параметра a, при которых
неравенство
выполняется при всех значениях x.
5. Найдите все значения параметра a, при которых области определения функций
совпадают.
6. Решите уравнение 
Контрольная работа № 12 |
Вариант 1 |
|---|
1. Исследуйте последовательность 
n N, на монотонность. Докажите, что начиная с некоторого номера все
члены последовательности удовлетворяют условию
2. Вычислите предел последовательности:
3. Имеет ли последовательность предел (ответ обоснуйте):
4. Существует ли последовательность, сходящаяся к 0 и удовлетворяющая следующим условиям:
5. Докажите, что последовательность {an}:
имеет предел. Найдите этот предел.
6. Дана последовательность xn = a∙2n + b∙3–n, n = 0, 1, ...
а) Докажите, что 3xn + 1 = 7xn – 2xn – 1 при всех n ≥ 1.
б) Известно, что x1999 > 0. Верно ли, что x1998 > 0?
в) Пусть a = b = 1. Существует ли арифметическая прогрессия, среди членов которой содержатся все числа x0, x1, ...?
Контрольная работа № 12 |
Вариант 2 |
|---|
1. Исследуйте последовательность 
n N, на монотонность. Докажите, что начиная с некоторого номера все
члены последовательности удовлетворяют условию
2. Вычислите предел последовательности:
3. Имеет ли последовательность предел (ответ обоснуйте):
4. Существует ли последовательность, сходящаяся к 0 и
удовлетворяющая условию: 
5. Докажите, что последовательность {an}:
имеет предел. Найдите этот предел.
6. Дана последовательность xn = a∙2–n + b∙3n, n = 0, 1, ...
а) Докажите, что 2xn + 1 = 7xn – 3xn – 1 при всех n ≥ 1.
б) Известно, что x1999 < 0. Верно ли, что x1998 < 0?
в) Пусть a = b = 1. Существует ли арифметическая прогрессия, среди членов которой содержатся все числа x0, x1, ...?