Новый учебник по геометрии для учащихся старших классов школ физико-математического профиля
К новому 2009/2010 учебному году издательство МЦНМО выпускает в свет новый учебник по геометрии для 10–11-х физико-математических классов авторов А.Ю. Калинина и Д.А. Терёшина. В прошлом году рукопись получила положительные отзывы Российской академии наук и Российской академии образования, что является основанием для включения книги в Федеральный перечень учебников, рекомендованных Министерством образования и науки РФ для использования в учебном процессе.
Учебник является переработанным вариантом экспериментальных учебников «Стереометрия-10» и «Стереометрия-11» тех же авторов, выпущенных ранее издательством «Физматкнига». Книга написана на основе лекций и практических занятий по стереометрии, которые авторы провели для учащихся физико-математических классов при Московском физико-техническом институте, созданных на базе средней школы № 5 г. Долгопрудного в 1991–1998 гг. Опыт второго из авторов простирается до настоящего времени, таким образом, апробация предложенной методики длится уже около двадцати лет. Отметим, что уроки математики в старших классах этой школы ведут в основном преподаватели кафедры высшей математики Московского физико-технического института, а факультативные занятия и кружки — студенты и аспиранты МФТИ и мехмата МГУ, чаще всего — бывшие выпускники школы, победители и призеры всероссийских и международных олимпиад по математике. Такой уникальный педагогический коллектив сложился благодаря директору школы Е.Г. Ермачковой. Среди преподавателей много известных как в России, так и за ее пределами специалистов по работе с математически одаренными школьниками: Н.Х. Агаханов, И.И. Богданов, Р.Н. Карасев, П.А. Кожевников, О.К. Подлипский и др.
Учебник полностью соответствует стандарту для профильного уровня, но вместе с тем, обладает рядом специфических особенностей.
Во-первых, и это главное, он ориентирует ученика, прежде всего, на решение конкретных задач, «ибо при изучении наук примеры полезнее правил» (И. Ньютон). Методы решения задач обсуждаются в книге систематически и с достаточной степенью подробности, практически в каждом параграфе содержатся детально разобранные примеры решения задач. Кроме того, некоторые приемы и методы выделены в отдельную главу. В конце каждой главы содержатся задачи для самостоятельного решения. Здесь уместно заметить, что среди них почти нет стандартных упражнений вычислительного характера (исключение было сделано лишь в тех немногочисленных случаях, когда некоторые типы упражнений оказались недостаточно представленными в распространенных задачниках). Большинство из приведенных задач являются задачами повышенной трудности. Некоторые были составлены авторами специально для этой книги, остальные заимствованы из материалов математических олимпиад, вступительных экзаменов в ведущие вузы и других источников. Отдельно к учебнику будет издан также и задачник, в котором собрана полная коллекция задач по стереометрии, предлагавшихся на вступительных испытаниях в Московский физико-технический институт в 1947–2009 гг.
Во-вторых, несмотря на практическую направленность курса, изложение необходимого теоретического материала ведется на высоком научном уровне. Теоретические положения доказываются там, где это возможно, в рамках курса, в остальных (немногочисленных) случаях четко указывается, какое именно утверждение осталось недоказанным и почему.
В-третьих, в учебнике достаточно рано появляются понятия многогранника и его объема, основанные первоначально на интуитивных представлениях учащихся, но в дальнейшем строго обоснованные. Сделано это по следующей причине. Жесткое отделение аффинных вопросов стереометрии от метрических (в смысле порядка изучения материала) не позволяет вовремя начать решение содержательных задач, что, на наш взгляд, совершенно недопустимо. Кроме того, при построении курса, принятого авторами, удается высвободить существенное количество учебного времени в конце 11-го класса, которое целесообразно посвятить повторению и подготовке к экзаменам.
В-четвертых, изучение материала учебника требует от читателя большого объема самостоятельной домашней работы, так как написана книга достаточно сжато. Изложение теории прерывается упражнениями, самостоятельное решение которых позволит лучше усвоить соответствующие теоремы.
В-пятых, в учебник включено некоторое количество необязательного материала (в тексте он выделен), который позволяет учителю варьировать курс в зависимости от возможностей как своих, так и ученической аудитории. На основе этого материала можно сконструировать факультативные занятия и даже элективные курсы.
Согласно требованиям стандарта в учебник в качестве приложения включены некоторые разделы планиметрии, к которым можно обратиться при повторении или же для первоначального ознакомления, если они не были изучены ранее в курсе планиметрии 7–9-х классов.
Разумеется, работа с новым учебником не будет легкой и для учителя. Она потребует немалых усилий, терпения и настойчивости. Что же получит учитель взамен? Нам кажется, что работа с учебником будет способствовать научному и методическому росту учителя, расширению его кругозора. Уровень задач для самостоятельного решения, предлагаемых в учебнике, несомненно, поспособствует поддержанию хорошей формы учителя как решателя задач.
В будущем издательством планируется выпуск методических пособий, предназначенных для учителей, использующих в своей работе данный учебник. Пособия будут содержать примеры поурочного планирования, самостоятельных и контрольных работ, решения наиболее важных и интересных задач из учебника.
В заключение приведем оглавление учебника, по которому читатель сможет составить свое первоначальное о нем представление.
Содержание курса
10-й класс
Глава 0. Вводная
Игра в геометрию
Элементы логики и теории множеств
Основные обозначения
Глава 1. Введение в стереометрию
Неопределяемые понятия и аксиомы стереометрии
Простейшие следствия из аксиом
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые
О существовании объектов и построениях в стереометрии
Задачи
Глава 2. Параллельность в пространстве
Прямая и плоскость в пространстве. Признак параллельности
Параллельность плоскостей. Транзитивность параллельности плоскостей
Параллельное и центральное проектирование
Изображение фигур в стереометрии
Сечение многогранника. Построение сечений методом следов
Применение проектирования при построении сечений многогранников
Решение задач на сечение многогранников
Задачи
Глава 3. Векторы в пространстве
Определение вектора. Линейные операции над векторами
Компланарность векторов. Разложение вектора по базису
Угол между прямыми. Угол между векторами
Скалярное произведение векторов
Примеры решения задач
Задачи
Глава 4. Перпендикулярность в пространстве
Перпендикулярность прямой и плоскости
Связь между параллельностью и перпендикулярностью
Теорема о трех перпендикулярах
Дальнейшие сведения о многогранниках
Угол между прямой и плоскостью
Расстояние между фигурами
Применение теорем о перпендикулярности к решению задач
Нахождение расстояний и углов с помощью векторов
Геометрический подход к нахождению расстояний и углов
Задачи
Глава 5. Двугранные и многогранные углы
Двугранный угол и его измерение. Биссектор
Угол между двумя плоскостями. Признак перпендикулярности
Площадь ортогональной проекции многоугольника
Многогранные углы. Трехгранный угол и его свойства
Расчет трехгранных углов. Теорема о трех синусах
Задачи
Глава 6. Элементы теории многогранников
Пространственная область. Геометрическое тело
Многогранники и их элементы
Правильные многогранники
Теорема Эйлера
Задачи
Глава 7. Геометрические места точек пространства
Основные геометрические места точек пространства
Геометрические места точек, сводящиеся к основным. Метод пересечения и объединения
Различные геометрические места точек
Задачи
Глава 8. Преобразования пространства
Основные определения. Перемещения. Общие свойства перемещений
Параллельный перенос
Поворот вокруг оси
Центральная симметрия и симметрия относительно плоскости
Преобразование подобия в пространстве
Признаки равенства и подобия треугольников в пространстве*
Группы преобразований*
Классификация перемещений и преобразований подобия в пространстве*
Задачи
Глава 9. Решение задач
Зависимость между основными углами в правильной пирамиде
Определение положения высоты пирамиды или призмы
Метод вспомогательного объема
Вспомогательный многогранник
Задачи на комбинации многогранников
Задачи
11-й класс
Глава 10. Тела вращения
Предварительные замечания. Цилиндр. Конус. Усеченный конус
Сфера и шар
Части шара и сферы
Комбинации шара с цилиндром, конусом и усеченным конусом
Взаимное расположение двух сфер. Задачи о касающихся сферах
Комбинации цилиндра, конуса и усеченного конуса с многогранниками
Теоремы о касательных и секущих для сферы
Комбинации шара с многогранниками
Нестандартные комбинации тел вращения с многогранниками
Конические сечения
Задачи
Глава 11. Векторы в пространстве (продолжение)
Векторное и смешанное произведение векторов
Геометрические приложения векторного и смешанного произведения векторов
Уравнение прямой в пространстве
Уравнение плоскости
Некоторые примеры
Декартова система координат
Уравнение сферы
Примеры решения задач методом координат
Задачи
Глава 12. Задачи на максимум и минимум
Предварительные замечания
Примеры решения задач
Геометрические неравенства
Задачи
Глава 13. Объем и площадь поверхности тела
Определение объема
Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем призмы
Методы вычисления объема. Объем цилиндра
Объем тетраэдра
Объем пирамиды и конуса
Объем шара и его частей
Об определении площади поверхности
Площадь поверхности по Минковскому
Задачи
Приложение. Некоторые теоремы и методы планиметрии
Свойство биссектрисы внутреннего (внешнего) угла треугольника. Решение треугольников. Некоторые формулы для вычисления площади треугольника. Теорема о вписанном угле и следствия из нее. Вписанные и описанные четырехугольники. Пропорциональные отрезки в круге. Основные геометрические места точек плоскости. Решение задач с помощью геометрических преобразований. Теоремы Чевы и Менелая. Эллипс, гипербола и парабола как геометрические места точек. Неразрешимость некоторых классических задач на построение. Выход в пространство. Задачи.
* Звездочкой помечены параграфы, не вошедшие в стандарт общего среднего образования.