О несократимости дроби, необходимых и достаточных условиях в некоторых задачах с параметром

Рассматривается метод необходимых и достаточных условий для решения задач вида:

Найти все значения параметра p, при каждом из которых функция

      (1)

где P_n, P_m — многочлены степени n, m соответственно, принимает все значения из отрезка y [y₁; y₂], если значения аргумента не выходят за пределы отрезка

x [x₁; x₂].       (2)

Здесь y₁, y₂, x₁, x₂ — заданные числа.

Задачу можно переформулировать:

Найти все значения параметра p, при каждом из которых:

— любое значение функции (1) из отрезка y [y₁; y₂] достигается хотя бы при одном значении аргумента x из отрезка x [x₁; x₂], или

— для любого y [y₁; y₂] найдется такое x [x₁; x₂], что

Иные методы решения подобных задач рассмотрены, например, в [1–3].

Функция (1) задает уравнение с двумя неизвестными x и y и параметром p. Оно равносильно системе

Пусть при фиксированном p многочлены P_n, P_m не имеют общих корней; тогда условие (4) излишне:

и обе части уравнения (1) можно умножить на знаменатель (отбросить знаменатель) без потери равносильности.

Действительно, если число x₀ является корнем знаменателя (P_m(x₀; p) = 0), но не является корнем числителя (P_n(x₀; p) ≠ 0), то оно не является корнем уравнения (5):

y∙P_m(x₀; p) = P_n(x₀; p) y∙0 = P_n(x₀; p) ≠ 0.

Значит, при отсутствии общего корня у P_n и P_m:

1) множества решений уравнений (1), (5) совпадают;

2) на множестве решений уравнения (5) функция (1) непрерывна, так как ее знаменатель не равен нулю;

3) многочлены P_n, P_m (при их разложении на множители) не имеют общих множителей; такую дробь или функцию (1) будем называть несократимой при всех допустимых x, или, кратко, несократимой.

Но при некоторых значениях параметра многочлены P_n, P_m могут иметь общие корни, общие множители, например, вида x – x₀ или x² + px + q при D = p² – 4q < 0; после сокращения на них у функции (1) существенно изменятся свойства из-за возможного изменения степени частного и обнуления некоторых (например, старших) коэффициентов.

Опишем в общем виде метод необходимых и достаточных условий для решения исходной задачи.

1. Выявить и исследовать все значения параметра, при каждом из которых многочлены Pn, Pm имеют хотя бы один общий корень, общие множители. Отобрать из них в ответ множество Pp тех значений, при которых удовлетворяются все условия задачи. 2. Для всех тех значений параметра, при которых многочлены Pn, Pm не имеют общих корней и дробь несократима, найти необходимые условия и доказать их достаточность. Чтобы непрерывная функция прошла через весь отрезок [y1; y2], необходимо ее прохождение через его концы. 3. Для нахождения необходимых условий («значений параметра»): — уравнение (5) решить относительно параметра, в частности, найти функцию p = p(x; y); (6) — найти множества E(y1), E(y2) значений функций p = p(x; y1), p = p(x; y2) при x [x1; x2] и при y = y1, y = y2 соответственно; — найти пересечение найденных множеств: E(y1) E(y2) = Ep, и получить необходимые условия p Ep. (7) 4. Для доказательства их достаточности (при непустом множестве Ep) использовать следующие свойства множества Ep, функции (1), уравнений (5), (6): — для каждого фиксированного значения параметра p из множества Ep, и только из него, на отрезке [x1; x2], в силу выбора множеств E(y1), E(y2), Ep, найдется такая пара аргументов при которых функция принимает свои крайние значения: — на отрезке функция (1) непрерывна (так как в силу (5) ее знаменатель не равен нулю), а значит, принимает все значения из отрезка y[y1; y2].

Достаточность доказана.

Ответ: p P_p, p E_p.

Метод описан в общем виде. Его детали и уточнения определяют конкретным видом функции (1).

Простейшей, но весьма распространенной функцией вида (1) является дробно-линейная функция

      (8)

От параметра p могут зависеть все или некоторые ее коэффициенты.

В популярных задачах из [1], [2] от параметра линейно зависят два свободных члена a₂ и a₄.

Далее мы:

— исследуем функцию вида (8) с тремя зависящими от параметра коэффициентами:

      (9)

(где a₁ = p, a₂ = 4 – p, a₃ = 1, a₄ = p – 1);

— методом необходимых и достаточных условий решим следующую задачу с функцией (9).

Задача 1. 1. Найти все значения параметра p, при каждом из которых функция (9) принимает все значения из отрезка y [0; 1], если значения аргумента не выходят за пределы отрезка x [–1; 0].

2. Найти точки, через каждую из которых проходят все кривые (9) на их естественных областях определения.

Решение. 1. Числитель и знаменатель в (9) имеют общий корень только при p = ±2. Это следует, например, из условия

px + (4 – p) = k(x + (p – 1))

при k ≠ 0 и всех x ≠ 1 – p.

Из него имеем:

Значения p = ±2 не подходят, так как при них функция постоянна:

2. Пусть p ≠ ±2. Тогда числитель и знаменатель не имеют общих корней.

Для нахождения необходимых условий используем и продолжим равносильный переход от (1) к (3)–(4); найдем функцию p(x; y). Имеем:

Переход (А) ясен из (3)–(4). Переход (В) получен при решении линейного (относительно p) уравнения (11).

Чтобы функция проходила через все точки отрезка y Î [0; 1], необходимо ее прохождение через его концы. Соответствующие значения параметра (необходимые условия) найдем из (12).

Пусть y = 0. Тогда и при всех x [–1; 0] имеем:

Пусть y = 1. Тогда и при всех x [–1; 0] имеем:

Необходимые условия (7) найдем пересечением полученных множеств:

(13)

Их достаточность доказана ранее при описании метода в общем виде. Однако приведем доказательство для данной конкретной задачи.

При каждом фиксированном значении параметра p из множества и только из него:

— на отрезке x [–1; 0] найдутся два значения аргумента x₀(p), x₁(p), при которых функция принимает значения y = 0, y = 1 соответственно:

— на отрезке [x₀; x₁] функция (9) непрерывна (так как в силу равносильного перехода (А) ее знаменатель не равен нулю), а значит, принимает все значения из отрезка y [0; 1].

Достаточность доказана.

Ответ: 1. 

Закончим исследование функции (9), для чего решим первую систему из перехода (В):

Выводы

1. Через две фиксированные точки A(3; 2), B(–1; –2) прямой y = x – 1 проходит каждая гипербола из семейства (9). Это свойство зафиксировано в (14). Его (зная теперь прямую y = x – 1) можно подтвердить решением системы:

Снова получим точки A и B.

2. Через остальные точки прямой y = x – 1 не проходит ни одна из гипербол (9). Это свойство следует из системы уравнений (12).

Ответ: 2. Через точки A(3; 2) и B(–1; –2) прямой y = x – 1 проходят все гиперболы (9).

Далее изложим метод необходимых и достаточных условий для задачи с дробно-квадратичной функцией.

Задача 2. (МГУ, геологический факультет, 1988, задача № 6 из шести задач экзаменационного билета.) Найти все значения параметра a, при каждом из которых область значений функции

содержит отрезок [1; 2].

Решение. Выполним естественную замену переменных

p = a – 1, s = sin x, s [–1; 1]

и получим задачу, аналогичную задаче 1, но с дробно-линейной функцией (1):

Найти все значения параметра p, при каждом из которых функция

     (15)

принимает все значения из отрезка y [1; 2], если значения аргумента s не выходят за пределы отрезка s [–1; 1].

Следуя [2], [3], переформулируем задачу:

Найти все значения параметра p, при каждом из которых уравнение

при любом y из отрезка [1; 2] имеет хотя бы одно решение на отрезке [–1; 1].

Найдем также фиксированные точки, через каждую из которых проходят графики всех дробно-квадратичных функций (15).

Числитель и знаменатель дроби (15) имеют общий множитель (и дробь сократима при всех допустимых значениях аргумента s) только при

Действительно, при p ≤ 0 имеем:

и (15) приобретает вид

Значит, если то

Пусть p = 0. Тогда y [1; 2] при [–1; 1]. Значит, p = 0 подходит (является одним из искомых).

Пусть

Тогда

Построив график этой функции, замечаем, что она не принимает, например, значения y = 1. Действительно,

 — не существует.

Значит, не подходит (не входит в искомое множество).

Пусть Тогда, как и в задаче 1, имеем следующие равносильные переходы:

Напомним: первый переход (А) равносилен из-за отсутствия общих корней у числителя и знаменателя дроби (15), что доказано ранее.

Второй переход (В) дает решение линейного относительно p уравнения (16).

Анализ полученных соотношений выявляет следующие свойства функции (15) при p ≠ 0,

1. Через две фиксированные точки M(0; –2), прямой y = –2 проходит каждая кривая из семейства (15). Это следует из первой системы полученной совокупности (17).

2. Через остальные точки прямой y = –2 не проходит ни одна из кривых семейства (15).

3. На множестве решений системы с уравнением (17) исходная функция (15) непрерывна, так как ее знаменатель не равен нулю.

Полученные соотношения позволяют найти необходимые условия и доказать их достаточность.

Чтобы функция y из (15) принимала все значения из отрезка [1; 2], необходимо, чтобы она принимала значения y = 1 и y = 2.

Пусть y = 1. Тогда при всех s [–1; 1] из (17) найдем (рис. 1):

      (18)

Здесь учтены свойства параболы

Аналогично при y = 2 и s [–1; 1] найдем (рис. 2):

Найдем пересечения множеств (18), (19) и получим необходимые условия:

При каждом фиксированном значении параметра p из множества (20), и только из него, найдутся два значения аргумента s₁(p), s₂(p) из отрезка [–1; 1], при которых функция (15) принимает значения y = 1 и y = 2 соответственно:

y(s₁) = 1, y(s₂) = 2.

Функция (15) непрерывна на отрезке [–1; 1], а значит и на отрезке [s₁; s₂], а потому принимает на нем все значения из заданного множества y [1; 2].

Достаточность необходимых условий (20) доказана.

Вспомним, что значение p = 0 является одним из искомых. Значит, искомыми являются все

и только они.

Перейдем к a = p +1 и получим ответ.

Ответ:

Итак, для задач с дробно-линейной и дробно-квадратичной функцией описан единый метод необходимых и достаточных условий с учетом сократимости или несократимости исходной дроби. При этом попутно исследуется функция, в частности, выявляются фиксированные точки, через которые проходят кривые семейства. Иногда метод фиксированной точки быстрее приводит к ответу, как, например, в следующей задаче, формулировка которой заимствована из [1], [2].

Задача 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых для любого y [0; 1] найдется такое t [–1; 1], что

      (21)

Решение. Ясно, что дробь сократима (при всех допустимых t) только при a = 0 и что a = 0 не подходит, так как при нем функция постоянна: (при t ≠ 0).

Пусть a≠0. Фиксированная точка легко угадывается и удобна тем, что ее ордината принадлежит заданному отрезку y [0; 1].

Характер монотонности функции ясен из разложения:

и иллюстрируется на рисунках 3 и 4.

Функция (21) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между заданным отрезком y [0; 1] и отрезком с концами и Единственная точка t = 2a разрыва области определения не входит в указанный отрезок, так как в каждой его точке функция существует. Значит, искомые значения параметра a находятся из совокупности:

Ответ: [2; 0) (0; 2].

Для самостоятельного решения

1. Найдите все значения параметра p, при каждом из которых функция при x [–1; 1] принимает все значения из отрезка y [1; 3].

2. (Факультет психологии МГУ, 2005.) Найдите все значения параметра p, при каждом из которых функция принимает все значения из отрезка [1; 2].

3. (Геологический факультет МГУ, 1988.) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых область значений функции содержит отрезок

Ответы: 1. Таких p нет.  2.   3.

Выводы

1. Описан метод необходимых и достаточных условий для задач с параметром и требованиями к множеству значений рациональных функций — оно должно включать заданный отрезок.

2. При обосновании метода учтены случаи, когда числитель и знаменатель функции имеют или не имеют общий корень (дробь сократима или несократима) в зависимости от параметра.

3. Метод использован при решении некоторых известных задач с дробно-линейной и дробно-квадратичной функцией и параметром.

4. Исследованы свойства последних и, в частности, выявлены фиксированные точки, через которые проходит семейство кривых.

5. Продемонстрирована возможность решения одной из задач методом фиксированной точки.

Литература

1. Голубев В., Мосевич К. Школа решения нестандартных задач семейства функций в задачах с параметром//Математика, 2006, № 4, с. 26–30.
2. Бегунц А.В., Сергеев И.Н. Вступительные экзамены и олимпиады по математике, 2005 г. — М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2006. — 80 с.: илл.
3. Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачи вступительных экзаменов по математике: Учебное пособие. — М.: Факториал, 1995. — 640 с.: илл.

Тарасов В.