Математика финансов
Для обеспечения достойного проживания в новых для России рыночных условиях каждый человек стремится больше узнать о существующих экономических закономерностях. Новые экономические отношения условно разделили россиян на две группы: одна занимает деньги у финансовых структур, а другая вкладывает деньги в финансовые структуры. С экономической точки знания речь идет о кредитной операции, самом распространенном виде финансовой сделки. Открытие сберегательного счета в банке, выпуск банком депозитных сертификатов, учет векселей, выдача банком кредита, организация паевых инвестиционных фондов — это примеры кредитных операций. Об особенностях финансовых операций взрослые имеют смутное представление, а молодежи эти знания необходимы. Очевидно то, что чем раньше подрастающее поколение поймет суть и начнет ориентироваться в сложных экономических вопросах, затрагивающих нас в повседневной жизни, тем увереннее оно будет чувствовать себя во взрослой жизни.
Чтобы учащиеся смогли разобраться в непростых финансовых механизмах, выбрать для себя оптимальную стратегию управления собственными денежными средствами, возможно, помочь родителям сделать правильный выбор, предлагаем материал для проведения факультативных занятий по математике в 9–11-х классах и уроков математики в классах экономического профиля.
Предлагаемый материал можно изучать в виде нескольких блоков, с возможностью варьирования объема той или иной темы в рамках отдельных уроков.
Блок 1. Вводный
Знакомство с понятием кредитные операции целесообразно проводить после нескольких занятий, на которых необходимо:
1. Организовать повторение ранее изученного материала по теме «Проценты».
1) Вспомнить различные его обозначения, например: 35%, 0,35,
(в общем виде: p%, 0,01p, 
).
2) Отработать через систему упражнений три основных действия с процентами:
— нахождение процентов от числа, например: найдите 56% от 150;
[0,56∙150 = 84]
— нахождение числа по его процентам, например: найдите число, 6% которого равны 15;
— нахождение процентного отношения чисел, например: сколько процентов составляет 120 от 250?
2. Познакомить с экономическим значением понятия процент, то есть указать учащимся на то, что полученные знания и сформированные умения позволяют им характеризовать математическое значение понятия процент. Экономическое значение этого понятия выражается через плату за использование средств (ссуда, кредит), предоставляемых одним лицом (кредитором) другому лицу (заемщику). Величина суммы оплаты долга определяется как процент (в математическом смысле) от суммы долга.
3. Ввести величины, характеризующие количественную сторону кредитной операции:
P — первоначальная сумма кредита;
T — срок предоставления кредита;
I — процент — сумма процентных денег: 
i — процентная ставка: 
S —сумма погашения кредита (наращенная сумма): S = P + I.
Вводные занятия позволяют подготовить учащихся к восприятию и усвоению материала, который дает представление об основных отличиях кредитных операций, связанных с выбором схем расчета процентной ставки и процента.
Статья опубликована при поддержке интернет-ресурса "SMS PRO GROUP 24X7". Удобная СМС-рассылка по всему миру через WEB-сервис, а также смс партнерки. Простой сервис онлайн, надёжность и качество по выгодным ценам. Узнать подробнее о сервисе, акциях, скидках и ценах Вы сможете на сайте, который располагается по адресу: http://sms24x7.ru/.
Блок 2. Простые проценты
Формула наращения по простым процентам
При введении понятия простая процентная ставка предлагаем рассмотреть процесс изменения суммы кредита P после начисления процентов i только на первоначальную сумму долга через год, 2 года, 3 года, T лет.
Данная арифметическая прогрессия позволяет записать формулу наращения по простым процентам:
(1)
С экономической точки зрения эта формула означает, что кредитор, инвестируя основную денежную сумму P на срок Т под простые проценты по ставке i, в конце указанного срока вернет свой капитал P и получит прибыль I в виде процентов на основную сумму по ставке i, то есть
Для усвоения терминологии и формирования умения применять формулу наращения по простым процентам предлагаем отработать серию практических задач (1–4) (см. с. 10—17).
Методы начисления простых процентов
Начисление простых процентов используется при предоставлении краткосрочных кредитов, срок которых не превышает одного года, и при периодической выплате процентов, не присоединяющихся к сумме долга. При продолжительности операции менее года в качестве срока T необходимо взять отношение числа дней пользования ссудой D к числу дней в году Y, то есть
(2)
Если при расчетах число дней в году принимают равным 360 дням, то проценты называются обычными, если 365 (366) дням, то проценты называются точными, то есть
Определение числа дней пользования ссудой также может быть точным или приближенным. Подсчет точного числа дней между двумя датами можно осуществить с помощью таблицы порядковых номеров дней в обычном (или високосном) году. При приближенном подсчете числа дней продолжительность ссуды определяется исходя из полного числа месяцев в сроке (по 30 дней в каждом) и числа дней неполного месяца.
Учащиеся закрепляют полученные знания о методах подсчета дней кредитования с помощью задач 5 и 6.
Знакомство с различными вариантами подсчета процентов и дней кредитования приводит учащихся к определению методов расчета простых процентов, применяемых на практике:
— обычные проценты с точным числом дней;
— точные проценты с точным числом дней;
— обычные проценты с приближенным числом дней;
— точные проценты с приближенным числом дней.
Умение рассчитывать простые проценты полученными методами формируется при решении практических задач (задача 7).
При сравнении результатов, полученных в задаче 7, можно задать учащимся некоторые вопросы.
1. Какой вариант наращения выгоден банку?
2. Какой метод расчета простых процентов выгоден вкладчику?
3. Какой вариант не рекомендуется использовать при расчете наращенной суммы?
Учащиеся дают ответы на поставленные вопросы, указывая на то, что банку выгоден третий вариант расчета наращения, а вкладчику — первый вариант. Метод расчета с точными процентами и приближенным числом дней не применяется.
Дисконтирование по простым процентам
Текущая (сегодняшняя) стоимость помогает решать проблему выбора: какую сумму P необходимо инвестировать, чтобы спустя срок t получить наращенное значение S? При фиксированной процентной ставке i ответ очевиден:
(3)
Процесс вычисления текущего значения называется дисконтированием по заданной процентной ставке. Для разъяснения содержания понятия текущая стоимость решим задачу 8.
Предлагаем учащимся решить задачу 9 с другой процентной ставкой.
Задачи практического содержания с проблемой выбора между альтернативами (например: платить наличными или взять кредит) вызывают интерес со стороны учащихся и активность на занятиях.
Блок 3. Сложные проценты
Формула наращения по простым процентам
Введение понятия сложная процентная ставка предлагаем провести в процессе наблюдения за изменениями суммы кредита P с процентной ставкой i при условии, что проценты в конце каждого срока кредитования прибавляются к основной сумме, а полученная сумма является исходной для начисления процентов в следующем периоде:
:
Данная зависимость строится по закону геометрической
прогрессии, первый член которой P,
знаменатель 
Таким образом, получаем формулу наращения по сложным процентам:
(4)
где S — сумма наращенная по сложным процентам: S = P + I;
P — основной капитал;
I — процент — сумма процентных денег — наращение;
i — процентная ставка наращения за период;
n – срок (в периодах, соответствующих процентной ставке);
— множитель наращения в формуле сложных процентов.
С экономической точки зрения процесс присоединения начисленных процентов к сумме называют капитализацией.
Усвоение терминологии и формирование умения применять формулу наращения по сложным процентам предлагаем провести в процессе решения задач (10–12).
Предлагаемая группа задач помогает учащимся овладеть понятием сложные проценты и сформировать умение решать задачи с использованием формулы сложных процентов.
В отличие от простых процентов, сложные проценты используются в долгосрочных кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления за прошедший период времени, а присоединяются к сумме долга.
Номинальная ставка процентов
Часто в финансовых контрактах фиксируется годовая процентная
ставка, а проценты начисляются по полугодиям, кварталам, месяцам и т.д. В этом
случае годовая процентная ставка называется номинальной j, а
процентная ставка за один период начисления i равна отношению номинальной
ставки j к числу периодов m в году, то есть 
а общее число периодов
n = m∙T.
Формула наращения по сложным процентам принимает вид:
(5)
где P — основной капитал;
j — номинальная процентная ставка;
m — число периодов начисления в году;
T — срок в годах.
Умение применять полученную формулу формируем при решении задач (например, 13).
В процессе работы над задачами или после сравнения полученных результатов учащиеся делают следующие выводы:
— чем чаще в течение года происходит начисление по сложным процентам, тем больше наращенная сумма;
— при начислении сложных процентов 12% годовых неэквивалентно 1% в месяц, то есть соответствующие им годовые наращения не совпадают;
— при наращении по сложным процентам ежемесячное начисление приносит больший доход, чем ежегодное один раз.
Эффективная ставка процентов
Однако реальная доходность инвестиций выражается годовой эффективной процентной ставкой, которая показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m — разовое наращение в год по номинальной ставке j. Эффективная iэ и номинальная j ставки связаны соотношением:
(6)
где iэ — эффективная годовая ставка;
j — номинальная годовая ставка;
m — число периодов начисления процентов в году.
В рекламных проспектах, как правило, речь идет о номинальной процентной ставке, которая существенно может отличаться от эффективной. Наглядно учащиеся убеждаются в этом факте при решении задач 14 и 15.
Наиболее активные учащиеся после решения задач приходят к
заключению, что условие
Непрерывные проценты
Величина m разбивает срок на конечное число периодов. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. При непрерывном начислении процентов, то есть при m → ∞ имеем:
где 
— множитель наращения за T лет для фиксированной
номинальной ставки j.
Для достаточно больших m множитель наращения можно считать приближенно равным e0,01jT, так как согласно «второму замечательному пределу» известно, что
При непрерывном начислении процентов по ставке j наращенная сумма вычисляется по формуле
S = Pe0,01jT. (7)
Учащимся показываем на примере задач 16 и 17, насколько выгодно начисление непрерывных процентов кредиторам.
В финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко, но оно эффективно при выборе инвестиционных решений. Поэтому ставку непрерывных процентов называют силой роста.
Дисконтирование по сложным процентам
На данном этапе знакомства с понятием сложные проценты и различными формулами для их начисления рассмотрим понятие текущее значение. Учащиеся уже знают, что текущее значение позволяет определить, какую денежную сумму P нужно вложить под фиксированные (сложные) проценты сегодня, чтобы получить в определенный момент заданную сумму S. Процесс вычисления текущего значения, как и в случае с простыми процентами, называется дисконтированием по заданной процентной ставке. Разность S – P называется сложным дисконтом. Формула вычисления текущего значения для любой суммы при заданных S, i, n имеет вид
(8)
получаемая непосредственно из формулы сложных процентов.
Для начисления процентов по номинальной ставке j
(9)
Для начисления непрерывных процентов по ставке j
P = Se–0,01jT. (10)
Отработку понимания учащимися содержания понятия текущая стоимость проводим с помощью задачи 18.
Методы расчета сложных процентов
Во всех приведенных выше задачах срок инвестирования представляется целым числом периодов начисления процентов. При дробном числе лет проценты начисляются разными способами:
— по формуле сложных процентов: 
— на основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное — простые:
(11)
где n = a + b, a — целое число лет, b — дробная часть года;
— по правилу коммерческих банков, согласно которому за отрезки времени, меньшие периода начисления, проценты не начисляются, то есть
(12)
Проиллюстрируем это на задаче 19.
Полученные результаты наглядно демонстрируют учащимся, что третий способ расчета выгоден заемщику, а второй способ — банку.
Вычисление процентной ставки и срока инвестированияНа практике встречаются ситуации, когда начальная и конечная
суммы заданы контрактом, а требуется определить либо срок платежа, либо
процентную ставку, которая в данный момент может служить мерой для сравнения с
рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора.
Метод вычисления состоит в решении уравнения 
относительно срока платежа:
(13)
или процентной ставки:
(14)
Если наращивание происходит по номинальной ставке процентов
m раз в году, то, решая уравнение 
при замене Т на n
получаем:
(15)
(16)
Аналогично находится из S = Pe0,01jT срок инвестирования для непрерывного начисления процентов:
(17)
и непрерывная процентная ставка:
(18)
Формируем у учащихся умение применять формулы с помощью практических задач 20 и 21.
Блок 4. Погашение потребительского кредита по сложной процентной ставке
В общем виде простейшая кредитная операция подразумевает участие двух лиц: кредитора — лица, предоставляющего средства (денежные средства и другие активы), и заемщика (дебитора) — лица, получающего заемные средства во временное распоряжение. При этом подразумевается увеличение полученных средств через определенный срок и оплата заемщиком полученного кредита в виде процентов.
Процессы выплат и поступлений представляют собой сбалансированную финансовую операцию. Сбалансированная операция имеет замкнутый контур, то есть последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности.
Графическое изображение процесса погашения задолженности содержит следующие величины:
P0 — начальная сумма долга;
S1, S2, S3, S4, ..., Snk — наращенные по сложной процентной ставке i суммы долга;
R1, R2, R3, R4, ..., Rnk — выплаты, покрывающие указанные проценты и часть основной суммы долга;
P1, P2, P3, P4, ..., 0 — оставшиеся суммы долга после выплат;
n1, n2, n3, n4, ..., nk — моменты выплат.
С экономической точки зрения графическое изображение контура соответствует финансовой операции для сложной процентной ставки, в которой взяли кредит P0 на срок nk и проценты начисляются на невыплаченный остаток по ставке i за период. К моменту n1 проценты на сумму P0 составляют P0·i. Очевидно, что величина R1 должна быть больше P0·i, иначе невыплаченная часть долга не будет уменьшаться. Разность R1 – P0·i идет на погашение основной суммы долга.
Невыплаченный остаток в начале второго периода (после первой выплаты) станет равен
Проценты на него к концу второго периода составляют 
Невыплаченный остаток после второй выплаты уменьшится на
величину 
и станет равен 
Проценты на него к концу третьего периода составляют
Невыплаченный остаток после третьей выплаты равен
– R3 и т.д.
В конце последнего nk-го периода невыплаченный остаток (после раскрытия скобок в выражении за nk – 1-й период) станет равен:
(19)
Из полученной формулы следует, что наращенная сумма долга
равна сумме частичных платежей, наращенных к концу срока. Разделив правую и
левую части выражения на 
получаем равенство: (20)
Для формирования умения применять полученную формулу предлагаем учащимся задачу 22.
Данный метод расчета по сложной процентной ставке используется при долгосрочном кредитовании, то есть сроком более года, и называется актуарным.
Чтобы не пугать учащихся сложностью преобразований получаемых выражений, а заострить их внимание на сути метода, достаточно показать процесс начисления сложных процентов на непогашенный остаток (фактические суммы) долга за два или три периода. Заметим, что частичный платеж идет на погашение процентов, начисленных на дату платежа. В случае, если частичный платеж меньше начисленных процентов, то его не учитывают в момент поступления и приплюсовывают к следующему платежу. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период. Наглядно продемонстрируем актуарный метод на примере решения задачи 23.
Блок 5. Погашение потребительского кредита по простой процентной ставке
Расчет по простой процентной ставке может проводиться двумя методами: актуарным и с помощью правила торговца.
Актуарный метод, как отмечалось ранее, используется при долгосрочном кредите. На рисунке 2 представлено графическое изображение процесса погашения задолженности для задачи 22.
Можно предложить учащимся самостоятельно или, в случае затруднений, под руководством учителя для задачи 22 получить следующие расчетные формулы определения непогашенных остатков вклада по простой процентной ставке актуарным методом, равенства (22):
Второй метод расчета остатка долга называется правилом
торговца. Правило заключается в том, что если срок ссуды не превышает
года, то сумма долга с начисленными процентами остается неизменной до полного
погашения и равной 
Срок частичного платежа nk при начислении
процентов определяется как обычные проценты (Y = 360 дней в году) с
приближенным числом дней временных периодов Dk (полное число
месяцев в сроке /по 30 дней в каждом/ и число дней неполного месяца), то есть 
Одновременно идет накопление частичных платежей, сумма которых с начисленными
на них до конца срока процентами равна наращенной сумме, то есть
где Rk — сумма частичного платежа под номером k;
k — общее количество частичных платежей.
В случае кредитования сроком более года, указанные расчеты делаются для годового периода задолженности, а в конце года из суммы долга вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году. Графическое изображение финансовой операции по правилу торговца представлено на рисунке 3.
В подтверждение сказанного решим задачу 24.
После обязательного сравнения полученных результатов учащиеся делают вывод о том, что последняя выплата, рассчитанная актуарным методом, превышает на 912,78 руб. последнюю выплату, рассчитанную по правилу торговца, то есть для заемщика выгоднее расчет по правилу торговца.
Блок 6. Погашение потребительского кредита при использовании накопительного фонда
Целью создания фонда может служить выплата долга, покупка квартиры, плата за образование, покупка автомобиля и т.д. Он формируется последовательностью периодических выплат, равных по величине. Особенностью фондов накопления является то, что одновременно с созданием фиксируется срок его существования и сумма, которая должна быть накоплена в течение этого срока. Эти данные и соответствующая процентная ставка позволяют определить размер выплат.
Пусть в течение n лет в накопительный фонд в конце каждого года вносится по R рублей по сложной процентной ставке i. Тогда на первый взнос проценты начисляются n – 1 год, на второй n – 2 года и т. д. Наращенная сумма к концу срока
При тщательном рассмотрении полученного выражения учащиеся
могут заметить, что правая часть равенства является суммой членов геометрической
прогрессии со знаменателем 
Таким образом, наращенная сумма накопительного фонда вычисляется по формуле:
(25)
или
S = R ∙sn; i, (26)
где 
— коэффициент наращения фонда.
Пример использования знания —задача 25
Блок 7. План погашения потребительского кредита в рассрочку
В этом случае проценты начисляются сразу на весь капитал и за
полный срок, то есть наращенная сумма долга определяется по формуле простых
процентов: 
Для вычисления размера отдельной выплаты R проценты I прибавляются к основной сумме кредита P и результат делится на число отдельных выплат в году m:
(27)
Для расчета кредита в рассрочку учащиеся решают практическую задачу 26.
При равномерной выплате процентов в договоре обычно указывается действительная стоимость кредита, выраженная годовой процентной ставкой APR (annual percentage rate), по которой проценты всегда начисляются на невыплаченный остаток основного долга, то есть
(28)
где m — число выплат в год,
I — проценты к концу срока,
P — основная сумма кредита,
n — общее число выплат.
Для примера имеем:
Знакомство и изучение кредитных операций отталкивается от рассмотрения основных понятий, которыми руководствуются в финансовых расчетах, такие как процент, ставка процента, текущая стоимость платежа. Это дает возможность повторить и закрепить базовые знания учащихся по теме «Проценты» на новом качественном уровне.
Освоение методов наращения и дисконтирования платежей, способов погашения потребительских кредитов позволяет учащимся разбираться в непростых финансовых вычислениях и, что наиболее ценно, помогать решать экономические вопросы своей семьи при оформлении в банке сберегательного вклада или кредита.
Интерес к материалу в значительной степени поддерживается содержанием задач, которые приближены к реалиям современной жизни и опыту учеников. Такие задачи демонстрируют практическую ценность математики как науки, связь ее с экономикой и помогают активизировать учебную деятельность учащихся.
Литература
1. Касимова О. Ю. Введение в финансовую математику
(анализ кредитных и инвестиционных операций). — М.: Анкил, 2001. — 144 с.|
2. Ковалев В.В. Курс финансовых вычислений/В.В.
Ковалев, В.А. Уланов. — 2-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2002.
3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математические методы
и модели для магистров экономики: Учебное пособие. — СПб. : Питер, 2006. — 496
с.: ил.
4. Кузнецов Б.Т. Математика: Учебник для студентов
вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000). — 2-е
изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. — 719 с. — (Серия «Высшее
профессиональное образование: Экономика и управление»).
5. Математические модели финансовых операций: учеб.
пособие/Отв. ред. С.И. Макаров, Б.П. Чупрынов. — Самара: Изд-во Самар. гос. экон.
акад., 2005. — 136 с.
6. Медведев Г. А. Начальный курс финансовой математики. — М.:
Остожье, 2000.
Задачи
1. 100 тысяч рублей выданы в кредит на полгода по ставке: а) 3% в месяц; б) 14% годовых. Найти простые проценты на эту сумму к концу срока.
Решение. P = 100 тыс. руб.
а) i = 3% в месяц, T = 6 месяцев. Имеем: I = 100·0,03·6 = 18 тыс. руб.;
б) i = 14% годовых, 
года. Имеем: 
тыс. руб.
2. Проценты по ссуде в 50 тысяч рублей на три месяца составляют 1875 руб. Какова годовая процентная ставка?
Решение. P = 50 тыс. руб., I = 1875 руб.,
Зная, что 
получаем:
3. Банк выплачивает 4800 рублей каждые полгода по вкладу, исходя из 10% годовых. Какова величина вклада?
Решение. I = 4800 руб., i = 10% годовых,
года. Зная, что 
получаем:
.
4. За какой срок вклад в 70 тысяч рублей увеличится вдвое при ставке 10% годовых?
Решение. P = 70 тыс. руб., i = 10% годовых,
S = 70·2=140
тыс. руб. Зная, что 
получаем: 
.
5. Найти точное число дней между 4 апреля и 20 ноября (год не високосный).
Решение . Согласно таблице порядковых номеров дней в обычном году 4 апреля является 94 днем, а 20 ноября — 324 днем. Получаем точное число дней: 324 – 94 = 230 дней.
6. Найти приближенное число дней между 4 апреля и 20 ноября.
Решение . Между этими датами укладывается 7 месяцев (от 4 апреля до 4 ноября) и еще 16 дней (от 4 ноября до 20 ноября). Получаем приближенное число дней: 7∙30 + 16 = 226 дней.
7. Вклад в размере 30 000 рублей положен в банк под 10% годовых с 5 мая по 16 декабря следующего года (год не високосный). Определить наращенную сумму всеми методами расчета простых процентов.
Решение . 1. Обычные проценты с точным числом дней.
Точное количество дней D = 590 дней, в году 
получаем:
2. Точные проценты с точным числом дней. Точное
количество дней D = 590 дней, в году получаем:
.
3. Обычные проценты с приближенным числом дней.
Приближенное количество дней D = 581 день, в году Y = 360 дней,
P = 30 тыс. руб., i = 10% годовых. Зная, что получаем:
4. Точные проценты с приближенным числом дней.
Приближенное количество дней D = 581 день, в году Y = 365 дней,
P = 30 тыс. руб., i = 10% годовых. Зная, что получаем:
8. Инвестор может купить квартиру за 60 000 долл. наличными или заплатив 64 000 долл. через год. Если у инвестора на счету в банке не менее 60 000 долл. и банк платит 6% годовых, то какая альтернатива предпочтительнее?
Решение. Для того чтобы в конце года на счету иметь
64 000 долл., необходимо инвестировать в начале года 
Таким образом,
текущая стоимость 64 000 долл. равна 60 377,36 долл., что больше суммы оплаты
наличными, и значит, оплата наличными при данных условиях предпочтительнее.
9. Инвестор может купить квартиру за 60 000 долл. наличными или заплатив 64 000 долл. через год. Если у инвестора на счету в банке не менее 60 000 долл. и банк платит 7% годовых, то какая альтернатива предпочтительнее?
Решение . Для того чтобы в конце года на счету иметь
64 000 долл., необходимо инвестировать в начале года 
Таким образом,
текущая стоимость 64 000 долл. равна 59 813,08 долл., что меньше суммы оплаты
наличными, и значит, лучше расплатиться через год.
10. 100 тысяч рублей инвестированы в банк на полгода по ставке: а) 10% в месяц; б) 10% годовых. Найти сложные проценты на эту сумму к концу срока.
Решение . P = 100 тыс. руб.
а) i = 10% в месяц, n = 6 месяцев. Зная, что S = P + I, получаем:
= 100(1+0,1)6 – 100 = 77,1561 тыс. руб.
б) i = 10% годовых, 
года. Зная, что S = P
+ I, получаем:
11. Кредит в размере 80 тысяч рублей выдан под сложные проценты по ставке 8% годовых на 3 года. Вычислить наращенную сумму к концу срока.
Решение . P = 80 тыс. руб., i = 8% годовых, n = 3 года. Имеем:
12. Определить сумму инвестирования под сложные проценты при ставке 12% годовых, если через 2 года наращенная сумма составила 62 720 руб.
Решение . S = 62 720 руб., i = 12% годовых, n = 2 года. Зная, что S = P(1 + i)n, получаем:
13. 60 тысяч рублей инвестированы на два года по номинальной ставке 12% годовых. Найти наращенную сумму и сложные проценты при начислении процентов: а) по годам; б) по полугодиям; в) по кварталам; г) по месяцам.
Решение. P = 60 тыс. руб., j = 12% годовых, T = 2 года.
а) m = 1 период. Имеем: 
Зная, что S = P + I, получаем: I = S – P = 75,264 – 60 = 15,264 тыс. руб.
б) m = 2 периода. Имеем: 
Зная, что S = P + I, получаем: I = S – P = 75,74862 – 60 = 15,74862 тыс. руб.
в) m = 4 периода. Имеем: 
Зная, что S = P + I, получаем: I = S – P = 76,00620 – 60 = 16,00620 тыс. руб.
г) m = 12 периодов. Имеем: 
Зная, что S = P + I, получаем: I = S – P = 76,18408 – 60 = 16,18408 тыс. руб.
14. Определить годовую эффективную процентную ставку, равную номинальной ставке 12% при поквартальном начислении процентов.
Решение . j = 12% годовых, m = 4 периода.
Зная, что 
получаем:
Таким образом, годовая эффективная процентная ставка составляет 12,55%.
15. Какова номинальная процентная ставка, проценты по которой начисляются по полугодиям и обеспечивают эффективную процентную ставку 16% годовых.
Решение . iэ = 16% годовых, m = 2
периода. Зная, что 
получаем:
Номинальная ставка при полугодовом начислении процентов для обеспечения эффективной ставки 16% годовых должна составлять 15,4%.
16. В банк инвестированы 70 тысяч рублей. Найти наращенную сумму за 5 лет при номинальной ставке 12% годовых для: а) начисления один раз в год; б) начисления 4 раза в год; в) непрерывного начисления процентов.
Решение. P = 70 тыс. руб., j = 12% годовых, T = 5 лет.
а) m = 1 период. Имеем:
б) m = 4 периода. Имеем:
в) m — непрерывно. Имеем: S = Pe0,01jT = 70e0,12•5 =127,5438 тыс. руб.
17. Какой выигрыш получит инвестор за 3 года инвестирования 150 тысяч рублей при ставке 8% годовых, если вместо поквартального начисления процентов на эту сумму будут начисляться непрерывные проценты?
Решение. P = 150 тыс. руб., j = 8% годовых, T = 3 года.
При m — непрерывно имеем: S1 = Pe0,01jT = 150e0,08•3 = 190,6847 тыс. руб.
При m = 4 периода имеем: 
Значит, выигрыш инвестора составит S1 – S2 = 448,4 руб.
18. Найти текущее значение долга, полная сумма которого через 4 года составит 800 тысяч рублей. Проценты начисляются: а) по ставке 13% годовых ежегодно; б) по ставке 2% в конце каждого квартала: в) по ставке 12% годовых в конце каждого месяца; г) непрерывные по ставке 4%.
Решение. S = 800 тыс. руб.
а) i = 13% годовых, n = 4 года. Имеем:
б) j = 2% в квартал, m = 4 периода, Т = 4 года. Имеем:
в) j = 12% годовых, m = 12 периодов, Т = 4 года. Имеем:
.
г) j = 4% годовых, m — непрерывно. Имеем:
.
19. Банк предоставил ссуду в размере 200 тысяч рублей на 4 года и 3 месяца под сложные проценты по ставке 25% годовых. Рассчитайте тремя способами, какую сумму предстоит заемщику вернуть банку по истечении срока ссуды?
Решение. P = 200 тыс. руб., i = 25%
годовых, n = 4 года + 3 месяца = 
= 4,25 года. Получаем:
а) 
20. За какой срок сумма в размере 60 тысяч рублей достигнет 100 тысяч рублей при начислении: а) сложных процентов по ставке 25% годовых; б) непрерывных процентов по ставке 8% годовых?
Решение. P = 60 тыс. руб., S = 100 тыс.руб.
а) i = 25% годовых. Имеем:
б) j = 8% годовых. Имеем:
21. Финансовый инструмент куплен за 300 тысяч рублей, его выкупная цена через 1,8 года составит 700 тысяч рублей. Определить доходность операции в виде: а) годовой ставки сложных процентов; б) непрерывной процентной ставки.
Решение. P = 300 тыс. руб., S = 700 тыс. руб.
а) n = 1,8 года. Имеем:
б) n = 1,8 года. Имеем:
22. Потребительский кредит в размере 100 тысяч рублей должен быть погашен в течение четырех лет. Проценты начисляются по сложной процентной ставке 15% годовых. Погашение долга производится частичными платежами: в конце первого года — 15 тыс. руб., в конце второго — 20 тыс. руб., в конце третьего — 35 тыс. руб., остаток — в конце четвертого года. Определить сумму, выплачиваемую в конце срока.
Решение. P0 = 100 тыс. руб., R1 = 15 тыс. руб., R2 = 20 тыс. руб., R3 = 35 тыс. руб., i = 15% годовых, n = 4 года. Зная, что
получаем уравнение
Решая уравнение относительно R4, получим сумму, выплачиваемую в конце срока:
R4 = 85 387,5 руб.
23. Долг в размере 150 тыс. руб. предоставлен банком на срок три года. В конце каждого года на невыплаченный остаток основной суммы долга начисляются проценты по сложной процентной ставке 14% за год. Выплаты производятся ежегодно одинаковыми суммами. Найдите величину каждой выплаты.
Решение. P0 = 150 тыс. руб., i = 14% годовых, n = 3 года. Формула (19) при одинаковых выплатах и временных периодах принимает вид:
(21)
Из формулы (21) найдем величину выплат. Имеем:
В течение первого года долг равен размеру кредита, тогда проценты к концу года составляют 150·0,14 = 21 тыс. руб.
Размер выплаты превышает проценты на величину
64,60972 – 21 = 43,60972 тыс. руб.
Невыплаченный остаток основной суммы долга составляет
P1=150 – 43,60972 = 106,39028 тыс. руб.
В конце второго года проценты составляют
106,39028·0,14 = 14,89464 тыс. руб.
Вторая выплата уменьшает основную сумму долга на величину
64,60972 – 14,89464 = 49,71508 тыс. руб.
Неоплаченный остаток основной суммы долга равен
P2 = 106,39028 – 49,71508 = 56,6752 тыс. руб.
В конце третьего года проценты составляют
56,6752·0,14 = 7,93453 тыс. руб.
Третья выплата уменьшает основную сумму долга на величину
64,60972 – 7,93453 = 56,67519 тыс. руб.
Неоплаченный остаток основной суммы долга составляет
P3 = 56,6752 – 56,67519 = 0.
Полученные результаты заносим в таблицу (табл. 1).
Таблица 1
|
Год |
Проценты |
Годовые выплаты (тыс. руб ) |
Погашение основного долга (тыс. руб ) |
Невыплаченный остаток (тыс. руб ) |
|
0 |
– |
– |
– |
150 |
|
1 |
21 |
64,60972 |
43,60972 |
106,39028 |
|
2 |
14,89464 |
64,60972 |
49,71508 |
56,6752 |
|
3 |
7,93453 |
64,60972 |
56,67519 |
0 |
Последняя выплата 64,60972 тысяч рублей полностью погашает задолженность.
24. Ссуда в размере 50 тысяч рублей выдана банком 1 февраля на срок до 1 августа включительно под простые проценты 20% годовых. В счет погашения долга 19 апреля поступило 20 тыс. руб., а 21 июня — 1 тыс. руб. Найти остаток долга на конец срока.
Учащимся целесообразно предложить решение этой задачи с помощью актуарного метода и правила торговца.
Решение. 1. P0 = 50 тыс. руб., R1
= 20 тыс. руб., R2 = 1 тыс. руб., i = 20% годовых, 
дней
(с 1 февраля до 19 апреля, то есть D1 = 30·2
+ 18 = 78 дней, Y = 360 дней), 
дней (с 19 апреля до 21 июня), 
дней (с 21
июня до 1 августа).
На 19 апреля до первой частичной выплаты величина долга составила
а после частичной выплаты — P1 = S1 – R1 = 52 166,67 – 20 000 = 32 166,67 руб.
На 21 июня до второй частичной выплаты величина долга
В силу того, что проценты в данном случае
S2 – P1 = 33 274,63 – 32 166,67 = 1107,96 руб.
больше взноса R2 = 1 тыс. руб., то взнос не засчитывается и переносится на следующий платеж.
На 1 августа наращенная сумма долга составила
Размер погасительного платежа 1 августа составит 33 989,45 руб.
2. P0 = 50 тыс. руб., R1
= 20 тыс. руб., R2 = 1 тыс. руб., i = 20% годовых, 
дней
(с 1 февраля до 1 августа, то есть D3 = 30ж6
= 180 дней, Y = 360 дней), 
дней (с 19 апреля до 1 августа), 
дней (с 21
июня до 1 августа). Зная, что
получаем уравнение
Решив уравнение относительно R3, найдем величину последней выплаты R3 = 33 098,89 руб.
25. Долг в сумме 900 тысяч погашается одинаковыми выплатами в течение пяти лет равными частями в конце каждого года. Для его погашения создается фонд, в котором на инвестируемые средства начисляются проценты по ставке 16% годовых. Найти величину ежегодной выплаты.
Решение. P0 = 900 тыс. руб., i = 16% годовых, n = 5 лет. Зная, что
получим:
Учащимся можно предложить составить таблицу, показывающую рост фонда.
К концу первого года размер фонда равен величине первой выплаты, то есть 130,8684 тыс. руб.
В конце второго года размер фонда увеличится на сумму
процентов, начисленных на первую выплату за один год, то есть на 130,8684·0,16
= 20,93894 тыс. рублей и еще на 130,8684 тыс. рублей после второй выплаты.
Суммарный прирост:
Таблица 2
|
Год |
Размер выплат (тыс. руб.) |
Проценты |
Прирост (тыс. руб.) |
Размер фонда (тыс. руб.) |
|
1 |
130,8684 |
130,8684 |
130,8684 |
|
|
2 |
130,8684 |
20,93894 |
151,80734 |
282,67574 |
|
3 |
130,8684 |
45,22812 |
176,09652 |
458,77226 |
|
4 |
130,8684 |
73,40356 |
204,27196 |
663,04422 |
|
5 |
130,8684 |
106,08708 |
236,95548 |
899,9997 |
26. Кредит в размере 150 тысяч рублей получен под 12% годовых. Должен быть погашен ежемесячными выплатами в течение года. Найти размер погасительных платежей при равномерной выплате процентов.
Решение. I — проценты за год: 
— полная
сумма долга: S = P + I; R — величина погасительного
платежа: 
Получаем:
Причем 12,5 тысяч рублей из каждой выплаты идет на погашение основного долга (150 тыс. руб.) и 1,5 тыс. руб. — на погашение процентов (18 тыс. руб.).
На первый взгляд может показаться, что процентная ставка, по которой выплачиваются проценты за пользование кредитом, составляет 12% годовых. В действительности, невыплаченный остаток основного долга в каждом месяце, за исключением первого, уменьшается и в последнем месяце равен 12,5 тыс. руб. Если проценты начисляются на неоплаченный остаток по ставке 12% годовых в конце каждого месяца, то сумма процентов к концу года меньше, чем I = 150•0,12•1 = 18 тыс. руб.