Главная страница «Первого сентября» • Главная страница журнала «Математика» • Содержание №12/2009

Занятие элективного курса «Математика в экономике»

Цели занятия :

— изучить формулу сложных процентов, сравнить графики зависимостей, выражающих простые и сложные проценты, способствовать формированию навыков решения практических задач по теме;

— воспитывать интерес к знаниям, способствовать профессиональному самоопределению.

Раздаточный материал: таблица «Коэффициенты наращения сложных процентов» (приложение 1), печатные формулы простых и сложных процентов, заготовка для графика.

Ход урока

Защита домашнего задания.

Простые проценты

Обязательная задача (текст заготовлен на доске). Предприятие располагает собственным капиталом в 100 млн. руб. и берет в банке взаймы под 10% годовых еще 50 млн. руб. Норма прибыли предприятия (рентабельность производства) составляет 30%. Чему равен доход предприятия за год работы?

Решение. 1) 100 + 50 = 150 млн. руб. — общий капитал;

2) 150·0,3 = 45 млн. руб. — полученная прибыль на 150 млн. руб.;

3) 50·0,1 = 5 млн. руб. — выплата за ссуду;

4) 45 – 5 = 40 млн. руб. — доход предприятия.

Ответ: 40 млн. руб.

Кроме обязательной задачи, учащимся было предложено творческое задание: составить задачи с использованием различных источников информации.

1. По итогам деятельности разреза «Нерюнгринский» за 2007 г.:

 Позиция

План

Выполнение

Вскрыша*

46 млн. т

47 млн. 454 тыс. т

Добыча

8 млн. т

8 млн. 302 тыс.178 т

Коксующийся уголь

5 млн. т

5 млн. 202 тыс.163  т

*  Почва или порода, расположенные на поверхности месторождения полезного ископаемого, которые необходимо удалить для того, чтобы начать разрабатывать само месторождение.

Определить, на сколько процентов перевыполнен план.

2. По работе системы образования (по материалам газеты «Час досуга»). На 01.09.2007 года в школах Нерюнгринского района 10,5% педагогов имели высшую категорию и 32,5% имели 1-ю категорию.

Вычислим, какой процент учителей нашей школы имеет высшую, а какой — 1-ю категорию. Сравним с данными по району.

Всего в СОШ № 18 — 65 педагогов.

Высшую категорию имеют 7 педагогов;

7 : 65·100 = 10,7%.

1-ю категорию имеют 15 педагогов;

15 : 65·100 = 23,1%.

Получается, что в нашей школе преподавателей высшей категории примерно столько же, сколько в среднем по району, а учителей 1-й категории меньше, чем в районе.

3. Работа администрации города с письмами граждан. В газете «Индустрия Севера» за 16 января 2007 года помещен материал о пресс-конференции главы муниципального образования «Нерюнгринский район» В.В. Старцева с представителями городских и республиканских СМИ, в котором, в частности, сказано: «За минувший год к главе администрации поступило 681 письменное обращение. Все они рассмотрены, 50% решены положительно, в 175 случаях отказано, по 138 дано разъяснение. По поводу зарплаты в 2006 г. к главе обращались 32 раза, а в 2007-м — 21 раз». Выясним, на сколько процентов обращений к главе администрации по поводу зарплаты в 2006 г. было больше, чем в 2007 г.?

Решение. 32 — число обращений в 2006 году (В); 21 — число обращений в 2007 году (А). Найти, на сколько процентов В больше А.

Воспользуемся формулой

Итак, в 2006 г. к главе администрации поступило на 52,4% обращений больше, чем в 2007 г.

Изучение нового материала.

Сложные проценты

Почему в 2007 году писем по поводу заработной платы в администрацию города поступило на 53% меньше, чем в 2006 году?

(Учащиеся выдвигают предположения.)

Каждое высказанное предположение может быть верным, а может быть и ложным. Для того чтобы узнать истинную причину, нам, видимо, на данный момент недостаточно информации. Чтобы полностью владеть ситуацией, необходимо быть хорошо информированным по существу вопроса.

На предыдущих занятиях мы с вами рассматривали задачи на проценты, задачи на простые проценты, но этим не исчерпывается применение процентов в экономике, и сегодня мы расширяем свои знания в этой области. Тема нашего занятия: «Сложные проценты».

Рассмотрим задачу.

Пусть банк выплачивает по сберегательному вкладу простые проценты по ставке i в год, причем эта ставка остается неизменной в течение двух лет. Как выгоднее поступить вкладчику?

Вспомним формулу вычисления простых процентов:

Sn = S0(1 + in)

и пусть

1 + in = Q,

где Q — коэффициент наращения по простым процентам.

1-й способ. Если вкладчик закроет счет через год, то он получит сумму

S 1 = S0(1 + i).

Допустим, что он положит эту сумму еще на один год на тех же условиях, тогда он получит:

S 2 = S1(1 + i) = S0(1+ i) 2.

2-й способ. Если он не переоформит свой вклад, то согласно формуле простых процентов получит за два года:

S2 = S0(1 + 2 i).

Равны ли эти суммы? Сравним их:

S0(1 + i) 2– S0(1 + 2i) = S0(1 + 2i + i2 –1 – 2i ) = S0i2.

Так какой же способ выгоднее для вкладчика?

— Первый способ, так как вкладчик получает при этом на S0i2 больше.

Величина S0i2 — приращение на проценты, полученные за первый год, или так называемые «проценты на проценты».

Чтобы предотвратить частое переоформление вкладов и для поощрения долгосрочных вкладов, в коммерческой практике принято выплачивать сложные проценты. Исходная сумма, или база (S0), для начисления сложных процентов увеличивается с каждым периодом начисления (в нашей задаче это 1 год), а для простых процентов база постоянна.

Запишем в словари.

Капитализацией процентов называется присоединение начисленных процентов к сумме, являющейся базой для их начисления.

Выведем формулу расчета наращенной суммы Sn с годовой процентной ставкой i при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в год.

(К доске вызывается ученик для вывода формулы.)

S1 = S0 + S0i = S0 (1 + i);
S2 = S1 + S1i = S1(1 + i) = S0(1 + i)2;
S3 = S0(1 + i)3;
.. . . . . . . . . . . . .
Sn = S0(1 + i)n.

Мы получили формулу сложных процентов, где Sn — наращенная сумма через n лет,

S0 — базовая сумма,

i  — процентная ставка по сложным процентам,

n  — число периодов наращения.

Эта формула является геометрической прогрессией со знаменателем q = 1 + i.

Пример 1. Вы положили в банк 10 тыс. руб. на срочный вклад при сложной процентной ставке 10% годовых. Сколько денег вы получите через два года?

Дано: S0 = 10 000 руб., i = 0,1, n = 2.

Найти: S2.

Решение. S2 = S0(1 + i )2;

S2 = 10 000(1 + 0,1)2 = 10 000·1,21 =12 100 руб.

Ответ: 12 100 руб.

Для начисления сложных процентов в банках используют «Таблицы коэффициентов наращения по сложным процентам», рассмотрим их (таблицы имеются на столах у учащихся; см. образец).

Найдем отношение

где Qc — коэффициент наращения по сложным процентам; тогда

Sn = S0Qc.

Пример 2. Назовите по таблице коэффициент наращения по ставке:

а) 15% годовых для n = 4 [Qc = 1,7490];

б) 8% годовых для n =5 [Qc = 1,4693].

Пример 3. (Выполняется письменно.)Вкладчик открыл счет в сбербанке на сумму 15 000 руб. с годовой процентной ставкой, равной 8%. Какую сумму он будет иметь на счете через 3 года? через 5 лет?

Решение. 1) Найдем Qс по таблице: Qc = 1,2567:

15 000·1,2597 = 18 895,5 руб.

2) Найдем Qс по таблице: Qc = 1,4693;

15 000·1,4693 = 22 039,5 руб.

Самостоятельная работа с последующей самопроверкой

Заполните таблицу (столбец Sn закрыт до самопроверки):

Вариант

 S0, тыс. руб.

n

 i, % Sn, тыс. руб.

1

500

3

18

821 516

2

400

6

14

877 989

3

50

5

14

96 270,73

4

300

6

12

592 146,75

Графики коэффициентов наращения по простым и сложным процентам

Сравните коэффициенты наращения по простым и сложным процентам при i = 18% годовых. Заполните таблицу и постройте график зависимости Q и Qс от n. (Учащиеся работают в парах.)

0,25

0,5

1

5

10
Q = 1 + in

 

 

 

 

 
Qc = (1 + i)n

 

 

 

 

 

Какой совет вкладчикам банка вы можете дать, проанализировав взаимное расположение графиков?

— Наращение по сложным процентам выгоднее для вкладчиков.

Пример из классической литературы

Михаил Евграфович Салтыков-Щедрин описывает в романе «Господа Голавлевы» такую сцену: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой “на зубок” 100 рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей...»

Задание. Попробуйте по приведенным цифрам вычислить процентную ставку, которую платил ломбард в то время по вкладам. Возраст Порфирия в момент расчетов примем равным пятидесяти годам.

Решение. Пусть ставка равна x%, тогда

S50 =100(1 + x), 800 =100(1 + x)n, x ≈ 3,9.

Итак, в то время ломбард платил 3,9% годовых.

Задание на дом

Что выгоднее: заплатить за учебу в вузе 10 000 у.е. в начале обучения или 15 000 у.е. по окончании учебы (через 5 лет). Процентная ставка равна 10% годовых.

Практическое задание. Посетите операционный зал сбербанка и выпишите:

— виды вкладов;

— годовые процентные ставки по ним;

— срок наращения;

— минимальный взнос.

Составьте задачу и решите ее.

Приложение 1

Коэффициенты наращения сложных процентов

Ставка процентов

Количество сроков нарастания

1

2

3

4

5

6

12

1%

1,0100

1,0201

1,0303

1,0406

1,0510

1,0615

1,1268

2%

1,0200

1,0404

1,0612

1,0824

1,1041

1,1262

1,2682

3%

1,0300

1,0609

1,0927

1,1255

1,1593

1,1941

1,4258

4%

1,0400

1,0816

1,1249

1,1699

1,2167

1,2653

1,6010

5%

1,0500

1,1025

1,1576

1,2155

1,2763

1,3401

1,7959

6%

1,0600

1,1236

1,1910

1,2625

1,3382

1,4185

2,0122

7%

1,0700

1,1449

1,2250

1,3108

1,4026

1,5007

2,2522

8%

1,0800

1,1664

1,2597

1,3605

1,4693

1,5869

2,5182

9%

1,0900

1,1881

1,2950

1,4116

1,5386

1,6771

2,8127

10%

1,1000

1,2100

1,3310

1,4641

1,6105

1,7716

3,1384

11%

1,1100

1,2321

1,3676

1,5181

1,6851

1,8704

3,4985

12%

1,1200

1,2544

1,4049

1,5735

1,7623

1,9738

3,8960

13%

1,1300

1,2769

1,4429

1,6305

1,8424

2,0820

4,3345

14%

1,1400

1,2996

1,4815

1,6890

1,9254

2,1950

4,8179

15%

1,1500

1,3225

1,5209

1,7490

2,0114

2,3131

5,3503

16%

1,1600

1,3456

1,5609

1,8106

2,1003

2,4364

5,9360

17%

1,1700

1,3689

1,6016

1,8739

2,1924

2,5652

6,5801

18%

1,1800

1,3924

1,6430

1,9388

2,2878

2,6996

7,2876

19%

1,1900

1,4161

1,6852

2,0053

2,3864

2,8398

8,0642

20%

1,2000

1,4400

1,7280

2,0736

2,4883

2,9860

8,9161

21%

1,2100

1,4641

1,7716

2,1436

2,5937

3,1384

9,8497

22%

1,2200

1,4884

1,8158

2,2153

2,7027

3,2973

10,8722

23%

1,2300

1,5129

1,8609

2,2889

2,8153

3,4628

11,9912

24%

1,2400

1,5376

1,9066

2,3642

2,9316

3,6352

13,2148

25%

1,2500

1,5625

1,9531

2,4414

3,0518

3,8147

14,5519

30%

1,3000

1,6900

2,1970

2,8561

3,7129

4,8268

23,2981

35%

1,3500

1,8225

2,4604

3,3215

4,4840

6,0534

36,6442

40%

1,4000

1,9600

2,7440

3,8416

5,3782

7,5295

56,6939

45%

1,4500

2,1025

3,0486

4,4205

6,4097

9,2941

86,3806

50%

1,5000

2,2500

3,3750

5,0625

7,5938

11,3906

129,7463

55%

1,5500

2,4025

3,7239

5,7720

8,9466

13,8672

192,3005

60%

1,6000

2,5600

4,0960

6,5536

10,4858

16,7772

281,4750

65%

1,6500

2,7225

4,4921

7,4120

12,2298

20,1792

407,1996

70%

1,7000

2,8900

4,9130

8,3521

14,1986

24,1376

582,6222

75%

1,7500

3,0625

5,3594

9,3789

16,4131

28,7229

825,0050

80%

1,8000

3,2400

5,8320

10,4976

18,8957

34,0122

1156,8314

85%

1,8500

3,4225

6,3316

11,7135

21,6700

40,0895

1607,1660

90%

1,9000

3,6100

6,8590

13,0321

24,7610

47,0459

2213,3149

95%

1,9500

3,8025

7,4149

14,4590

28,1951

54,9804

3022,8412

100%

2,0000

4,0000

8,0000

16,0000

32,0000

64,0000

4096,0000