Летний тематический номер «Математический конструктор»

Учимся работать с «Математическим конструктором»

Введение

Хотя компьютер давно уже превратился из «роскоши» в «средство передвижения», точнее, в рабочий инструмент, далеко не все возможности, которые он предоставляет учителям, и в частности, учителям математики, используются ими в полной мере. Среди разнообразных программных продуктов, разработанных специально для преподавания математики, наибольшее признание заслужили так называемые «программы динамической геометрии» или «интерактивные геометрические системы».

Идея динамической геометрии зародилась более 20 лет назад, когда появились технические возможности для ее реализации. Пионерами в этой области стали Жан-Мари Лаборд (Jean-Marie Laborde) во Франции и Николас Джекив (Nicholas Jackiw) в США. Их программы — соответственно Cabri и The Geometer’s Sketchpad (GSP), получили наибольшее развитие и распространение. На сегодня имеется уже несколько десятков программ этого типа, среди которых можно, прежде всего, отметить программы Cinderella и Zirkel und Lineal (Германия), а также GeoGebra (Австрия). Некоторые из этих программ русифицированы, но относительно широкую популярность в России, благодаря государственным поставкам в школы, завоевали только «Живая Геометрия» и «Живая Математика» – русские версии GSP3 и GSP4. Собственные варианты программ динамической геометрии выпустили и российские разработчики. Данная публикация посвящена наиболее мощной из них — программной среде «1С: Математический конструктор» (МК), последняя версия которой (4.5) вышла в свет в мае этого года.

Прежде, чем говорить конкретно о МК, кратко расскажем о программах динамической геометрии вообще.

В своем изначальном виде эти программы предоставляют пользователю набор виртуальных чертежных инструментов, с помощью которых на экране, как на листе бумаги, можно выполнять классические геометрические построения. Важнейшей особенностью полученного чертежа является то, что программа запоминает порядок (алгоритм) построения, а исходные данные (фактически, некоторые точки) можно изменять «на лету» — перетаскивать мышью, что приводит к соответствующему изменению всей конструкции. Кроме чертежных инструментов, в этих программах имеются инструменты для измерения углов, расстояний и площадей, для рисования следов точек при вариации данных, а также для оформления чертежей — изменение цвета фигур, создание буквенных обозначений и подписей и т.п. Современные программы динамической геометрии позволяют выполнять преобразования фигур, строить геометрические места точек и графики функций, динамически зависящие от параметров, широко использовать координаты. В дополнение к инструментам для создания собственно динамических чертежей эти программы содержат и инструменты для создания презентаций на их основе.

Программы динамической геометрии позволяют с минимальными усилиями создавать высококачественные чертежи и добиваться требуемого расположения их элементов, не перерисовывая чертеж заново, и это, безусловно, очень ценно. Но еще более ценно то, что глядя на изменяющийся чертеж, можно выделить те его свойства, которые сохраняются при вариации, то есть следствия условий, накладываемых на рассматриваемую фигуру, — например, легко увидеть, что какие-то прямые всегда параллельны или какие-то отрезки равны. Благодаря этому модель становится и инструментом для геометрических открытий, и замечательным педагогическим средством: смоделировав подобный эксперимент заранее, учитель может подвести учеников к самостоятельному осознанию той или иной идеи. Да и сам процесс построения гораздо более поучителен в его компьютерном варианте, т.к. требует от ученика полного понимания алгоритма построения и точности его исполнения – машину не обманешь. Разнообразные виды учебных моделей, создаваемых с помощью МК, можно найти в разделе «Возможности программы» на ее сайте (см. http://obr.1c.ru/mathkit/help/intro/index.html). Некоторые из этих моделей используются ниже.

Отметим важнейшие особенности «Математического конструктора», отличающие его от других программ динамической геометрии, прежде всего от упомянутой выше «Живой Математики»:

МК позволяет создавать независимые от основной программы модели, которые запускаются любой программой для просмотра web-страниц, например, обычным «интернет-проводником» Windows, причем эти модели можно свободно распространять. В модели можно включить любой желаемый набор инструментов, за исключением команд сохранения построений.

Расширен инструментарий программы. Новыми являются инструменты для автоматической проверки правильности построений, а также для создания и проверки контрольных вопросов на выбор и ввод ответа; специальные команды для построения графиков и работы с ними; дополнительные команды для оформления чертежей.

МК может работать под управлением всех распространенных операционных систем — Windows, Linux, MacOS.

Пользователь программы обнаружит в ней разнообразные подсказки, которые помогут ему правильно выполнить требуемые операции.

Справедливости ради следует упомянуть и о недостатке МК, на который могут обратить внимание пользователи «Живой Математики». Дело в том, что для обеспечения совместимости с различными операционными системами и интернетом приходится принести в жертву скорость загрузки и работы программы. Впрочем, на подавляющем большинстве моделей это «торможение» практически незаметно; оно проявляется только на более сложных конструкциях, использующих большое число громоздких вычислений.

В этом номере газеты представлено учебное пособие по работе с МК построено в форме шести занятий, в ходе которых мы вместе с вами будем по шагам строить геометрические фигуры и графики функций, создавать материалы для использования на уроках, проводить эксперименты на математических моделях и т.д. По ходу занятий мы изучим структуру нескольких конкретных моделей и приемы работы с ними и разберем по шагам процесс создания этих моделей. Конечно, желательно, чтобы при этом читатель повторял все описываемые операции, сверяя результат своих действий с приводимыми иллюстрациями; в большинстве занятий даны также упражнения для самостоятельного выполнения. На первый раз для этого можно воспользоваться 3-й версией МК, доступной из раздела «Инструменты» сайта Единой коллекции образовательных ресурсов (http://school-collection.edu.ru). Одно из отличий этой версии — состав панели инструментов; в основном, все они «алгебраические», связанные с функциями, а геометрические инструменты следует брать в меню «Построения». На том же сайте имеется большое число готовых геометрических заданий, созданных с помощью МК (они входят в образовательный комплекс «Конструктивные геометрические задания»). Тем же читателям, которые захотят приобрести «Математический конструктор 4.5», советуем обратиться на сайт http://obr.1c.ru/, где имеются ссылки на список магазинов и заказ с отправкой наложенным платежом. На диске с программой вы найдете и набор из 200 готовых моделей.

Занятие 1

Классические геометрические построения

I. Начнем с простейшего задания.

http://obr.1c.ru/mathkit/help/intro/models/model3-1.html

Модель «Построение симметричной точки».

Требуется построить точку, симметричную данной точке B относительно некоторой прямой, если даны точки A и A', симметричные относительно той же прямой.

Это задание по указаной выше ссылке откроется в окне вашего браузера (например, Internet Explorer; рис. 1-1), Мы называем модули, открываемые в браузере, а не в самом «Математическом конструкторе» моделями-апплетами. Модель-апплет — это задание для ученика с возможностью последующей проверки правильности ответа, созданное учителем с конкретным интерфейсом. Подробнее об этой форме представления учебных материалов будем говорить в следующих разделах.

Вверху окна задания расположена панель инструментов. В данном задании на ней расположены, слева направо, инструмент Стрелка , инструменты стандартных геометрических построений, назначение которых ясно из картинки на соответствующей кнопке и из всплывающей подсказки, появляющейся при наведении курсора на кнопку (рис.1-1), две группы инструментов оформления — Цвет и Стиль линий , команды Скрыть/Показать и Показывать все спрятанное , и наконец, команды отмены , возврата после отмены и удаления . Изначально нажата кнопка Стрелка, то есть выбран именно этот инструмент.

Слева под панелью расположены текст задания, кнопка-ссылка, вызывающая указание, и кнопка проверки выполнения задания, а справа — рабочее поле с данными (тремя точками) и еще одной виртуальной кнопкой — «В начало», возвращающей модель в исходное состояние.

В самом низу окна находится строка состояния, в которой появляются инструкции по применению выбранного инструмента, и текущие координаты курсора.

Хотя это задание совсем простое, давайте для начала заглянем в подсказку – нажмем на кнопку Указание. (Для нажатия на кнопки используется инструмент Стрелка, который нужно навести на кнопку так, чтобы курсор принял вид руки .) Появляются построение и текст, напоминающие, как строится ось симметрии и симметричные точки (рис. 1-2).

Приступим к построению.

Шаг 1. Строим ось симметрии (серединный перпендикуляр к отрезку AA'). Попробуйте выполнить это построение самостоятельно, опираясь на собственную интуицию и разнообразные подсказки, а потом сверьтесь с нашим, на первый раз максимально подробным описанием всех действий, в котором мы привлекаем внимание к некоторым не вполне очевидным деталям и приемам.

1.1. Выбираем на панели инструмент Отрезок, нажав на кнопку . Курсор приобретает вид , сигнализируя, что нужно указать конец (один из концов) отрезка. Одновременно в строке состояния появляется инструкция:

«Постройте отрезок: 1. Укажите первый конец отрезка». Щелкаем выбранным инструментом по точке A и тянем курсор к точке A' (рис. 13). Сразу появляется отрезок, меняющийся по ходу движения. При этом изменились и курсор (подсветился красным другой конец отрезка), и текст в строке состояния: «2. Укажите второй конец отрезка. При приближении к точке A' курсор сам прилипнет к этой точке; в этот момент нужно щелкнуть второй раз — отрезок AA' построен.»

Строить отрезок можно двумя способами: 1) щелкнуть поочередно на одном, а потом на другом его конце; 2) нажать на левую кнопку мыши на одном конце, затем, удерживая кнопку нажатой, навести курсор на другой конец и там отпустить. Оба эти приема работы подходят и для многих других инструментов построений.

1.2. Выбираем инструмент , строящий середину отрезка, и щелкаем по отрезку AA'. Середина появляется сразу вместе с ее обозначением C (рис. 1-4).

При этом инструкция в строке состояния предлагает на выбор указать либо отрезок, либо его конец, сообщая нам, что есть и второй способ построения середины — указанием концов отрезка. При втором способе можно обойтись без самого отрезка, но в нашем построении он необходим для проведения серединного перпендикуляра к нему.

1.3.  Берем инструмент Перпендикуляр . Курсор мыши и инструкция в строке состояния подсказывают, что сначала нужно щелкнуть по линии (отрезку, лучу или прямой), к которой проводится перпендикуляр, а затем по точке, через которую он должен пройти (рис. 1-5).

В нашем случае — по отрезку AA', а потом по его середине C.

Как и при построении отрезка, при приближении курсора к точке она подсвечивается и «притягивает» курсор, а создаваемый объект — перпендикуляр — возникает уже после первого щелчка и встает на нужное место после второго.

Ось построена. Переходим ко второму шагу.

Шаг 2. Строим точку, симметричную B относительно этой оси. Как и раньше, предлагаем попробовать сделать это самостоятельно, а мы подробно опишем все действия.

2.1.  Проводим перпендикуляр к оси из точки B, как в пункте 1.3. Заметим, что снова выбирать инструмент Перпендикуляр не понадобится: выбранный однажды инструмент «залипает» и обращаться к панели инструментов нужно только при его смене.

2.2.  Строим точку пересечения перпендикуляра и оси. Выбираем инструмент Точка , помещаем курсор на пересечение прямых и нажимаем на левую кнопку мыши. Важно правильно расположить курсор, иначе точка будет создана на свободном месте или на одной из прямых. О том, что правильное положение достигнуто, сигнализирует подсветка обеих прямых (рис. 1-6).

Построенная точка автоматически обозначается первой неиспользованной буквой алфавита — D (рис. 1-7).

Иногда из-за нагромождения линий бывает сложно указать те две линии, которые нужно пересечь. В этом случае удобнее пользоваться инструментом Точка пересечения , который появляется, если нажать на стрелочку справа от Точки. Выбрав этот инструмент, нужно поочередно щелкнуть в любом месте на первой и второй из пересекаемых линий. Если линии имеют несколько точек пересечения (например, если это окружности), то будут построены все эти точки.

2.3.  Остается отложить на продолжении отрезка BD равный ему отрезок. Это делается с помощью инструмента Окружность , который строит окружность по ее центру и принадлежащей ей точке. Выбрав этот инструмент, нужно поочередно щелкнуть по точке D — центру окружности — и точке B (рис. 1-8).

Два последних шага можно объединить: не строя отдельно точку пересечения (рис. 1-7), можно сразу после проведения перпендикуляра из точки B взять инструмент Окружность и щелкнуть им по пересечению перпендикуляра и оси симметрии — в этом месте построится центр, а потом «протянуть» курсор до точки B.

2.4.  Наконец, снова взяв инструмент Точка, ставим искомую точку, симметричную точке B, на пересечении окружности и прямой BD₁, отличном от точки B.

Проверить построение можно, нажав на кнопку Проверить ответ (рис. 1-9).

 II. О типичных ошибках построений, а также об использовании инструмента

Стрелка

Посмотрите на рисунок 1-10. Почему приведенное на нем построение, которое как будто бы почти ничем не отличается от нашего, признается неправильным?

Дело в том, что окружность на нем проведена не через точку B, а через точку E, произвольно взятую на свободном месте так, чтобы на глаз казалось, что окружность проходит через B.

Мы сделали эту ошибку нарочно, но подобного рода ошибки нередко случаются и непреднамеренно: например, несложно промахнуться, желая поставить центр окружности на пересечение двух прямых. Программа помогает избежать таких ошибок, подсвечивая цветом элементы, на которые «наведен» инструмент в данный момент, а также «притягивая» курсор к точкам или линиям, когда он находится достаточно близко от них.

Преимущество динамических чертежей состоит в том, что такие ошибки, если уж они случились, будут немедленно выявлены при вариации данных. В примере на рисунке 1-8 можно сдвинуть точку B и сразу увидеть, что окружность с ней не связана.

Чтобы сдвинуть точку, нужно навести на нее инструмент Стрелка, «схватить» ее, нажав левую кнопку мыши, и переместить мышь, не отпуская кнопку. Другой способ — выделить точку, щелкнув по ней тем же инструментом, и нажать клавиши со стрелками на клавиатуре нужное число раз.

Аналогично можно переместить и любой другой незакрепленный элемент чертежа.

Как же исправить ошибку? Если вы уверены, что какой-то элемент построен неправильно, его можно просто удалить, для чего нужно выделить его Стрелкой и нажать клавишу Delete или кнопку Удаление на панели инструментов. Нужно, однако, понимать, что при этом удалятся и все элементы чертежа, построенные с использованием удаляемого элемента, и их «потомки». Другой способ — использовать отмену последней команды (кнопка Отмена или стандартная для Windows комбинация клавиш Ctrl + Z) несколько раз — пока не будет отменено ошибочное построение. Аннулировать отмену можно кнопкой Возврат после отмены или комбинацией клавиш Ctrl + Y. При обоих способах весь фрагмент конструкции, удаленный вместе с ошибочным элементом, придется построить заново. Однако имеются и другие, «неразрушительные» способы устранения многих часто встречающихся ошибок. О них мы узнаем на занятии 6.

III. Инструменты и команды.

Выделение объектов

Любой инструмент «Математического конструктора» можно использовать в двух режимах — в режиме собственно инструмента, то есть так, как это делалось выше, и в режиме команды. Если в первом случае мы сначала выбираем нужный инструмент на панели, а затем указываем им исходные элементы для данного построения, то во втором случае сначала выделяются исходные элементы, а затем к ним применяется нужный инструмент (иначе говоря, «выполняется команда»), для чего нужно просто выбрать этот инструмент на панели.

Посмотрим, как можно пользоваться режимом команды в нашем примере. Для начала вернем задание в исходное состояние, нажав кнопку В начало в правом нижнем углу (рис. 1-9). Эта кнопка перезагружает постоение в его последнем сохраненном состоянии (В моделях это всегда начальное состояние, т.к. сохранение изменений вообще не предусмотрено).

Выделим концы отрезка AA'. Для выделения точки нужно щелкнуть по ней инструментом Стрелка. Но если после этого щелкнуть по второй точке, то с первой выделение снимется. Чтобы этого не произошло, при втором щелчке нужно держать нажатой клавишу Ctrl или Shift. Аналогично можно выделить любой набор объектов.

Часто более удобным оказывается другой способ множественного выделения. Поместим Стрелку в любое свободное место чертежа, нажмем левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянем мышь по диагонали на другое свободное место. На чертеже возникнет затемненный прямоугольник, определяемый прочерченной диагональю (рис. 1-11). Все объекты, которые он задевает, выделяются. (Выделение обозначается цветным ободком.)

Чтобы снять выделение с одного объекта, нужно щелкнуть по нему Стрелкой, удерживая клавишу Ctrl или Shift; чтобы снять все выделения, щелкните в любом свободном месте.

В программе имеется и специальный инструмент множественного выделения (эта кнопка находится в одной группе с обычной Стрелкой). В данную модель он не включен.

Когда концы отрезка AA' выделены, для его построения достаточно нажать кнопку Отрезок на панели; другой способ — нажать клавишу c буквой s («горячие клавиши» указаны в подсказках к инструментам).

Существует множество вариантов выполнения того или иного построения. И дело здесь вовсе не только в разнообразии способов применения одного и того же инструмента. Сам алгоритм построения, как и набор используемых инструментов, может быть разным, так что в одной задаче может скрываться много задач, похожих лишь формулировками и использующих разные идеи. Отметим, что в коллекцию заданий, прилагаемых к «Математическому конструктору», включено несколько вариаций задачи о построении симметричной точки. Мы используем некоторые из них, чтобы продолжить наше знакомство со средствами МК, в частности, с работой в режиме команды.

В разобранном выше решении использовались такие стандартные построения, как нахождение середины отрезка и построение перпендикуляра. Разумеется, без них можно обойтись, заменив их хорошо известными построениями классическими инструментами — циркулем и линейкой. Оказывается, при этом можно найти даже более короткие построения, чем рассмотренные нами.

Так, с помощью Окружности легко найти две точки, равноудаленные от точек A и A'; тогда соединяющая их прямая будет серединным перпендикуляром к AA'.

Построение

1. Выделим точки A и A' (рис. 1-11) и выполним команду Окружность; построятся две окружности (рис. 1-12).

2. Выделим окружности («рамкой»; рис. 1-13) и выполним команду Точки пересечения — получатся две точки C и D на серединном перпендикуляре.

3. Соединим эти точки (рис. 1-14).

Закончить построение можно так же, как и в нашем первом построении.

При работе в режиме команды приходится часто переключаться на Стрелку, чтобы выделить аргументы очередной команды. Поэтому в дополнение к обычному способу (включению кнопки Стрелка) есть еще два — можно нажать клавишу Esc или, что наиболее удобно, просто щелкнуть правой кнопкой мыши.

IV. Оформление, скрытие и показ объектов

Если в построении используется много дополнительных линий, загромождающих чертеж, то может возникнуть необходимость структурировать его оформление. Например, мы можем захотеть выделить искомую точку красным цветом, вспомогательные – белым, а вспомогательные линии, кроме оси симметрии, показать пунктиром (рис. 1-15).

Для этого на панели имеются палитры стилей линий и цветов, которые раскрываются при нажатии на маленькие стрелки справа от кнопок выбора цвета (рис. 1-16) и стиля линий (рис. 1-17). Команды присвоения того или иного цвета или стиля можно использовать, как и команды построений, в двух режимах.

Бывает, что некоторые объекты нужно скрыть. (Обратите внимание: не «удалить», а только «скрыть» — ведь при удалении какого-либо объекта удаляются и все объекты, зависящие от него, и конструкция разрушается.) На панели инструментов имеется кнопка (Скрыть/Показать) которая при применении к объекту убирает его с экрана, но сохраняет в цепочке построений. Ей также можно пользоваться в режиме команды или инструмента, Каким же образом вернуть на чертеж спрятанный ранее объект? Для этого имеется кнопка  — Показывать все скрытые объекты (она работает только в режиме команды, так как применяется ко всему чертежу, а не к отдельным объектам). Если нажать на нее, то на чертеже появятся все ранее скрытые объекты (в бледном изображении; рис. 1-18), причем к ним применимы любые команды. Отключив эту кнопку, мы снова спрячем все объекты, кроме тех, к которым была применена команда Показать.

V. Работа в редакторе

В заключительной части этого занятия мы познакомимся с некоторыми из возможностей «Математического конструктора», оставшимися за рамками инструментария, помещенного в апплет, с которым мы работали. Выполним то же задание на построение симметричной точки в самой программе.

Когда программа запустится, вы увидите окно, похожее на окно апплета (рис. 1-19). Отличия будут такими:

•  инструментальная панель содержит больше кнопок, так что расположены они двумя рядами;
•  над этой панелью помещается строка меню;
•  справа от рабочего окна расположена колонкой палитра цветов с уже знакомыми нам кнопками стиля линий и цвета.

Меню содержит все имеющиеся в МК команды, сгруппированные по их предназначению. Теоретически любая команда или группа команд может быть вынесена в виде кнопки на инструментальную панель, откуда открывается более удобный доступ к командам. Конечно, на панель выносятся наиболее часто используемые команды. Существует два стандартных набора кнопок для панели — геометрический и алгебраический; переключение между ними производится крайней справа кнопкой в верхнем ряду.

Исследовав меню, мы обнаружим множество новых разнообразных инструментов и среди них — Серединный перпендикуляр (в группе Отрезки, лучи, прямые меню Построения; рис. 1-19). Используем его для выполнения нашего задания.

Для начала создадим на рабочем поле инструментом Точка данные — три точки (они будут автоматически обозначены A, B, C). Будем строить точку, симметричную C относительно оси симметрии точек A и B.

Чтобы построить ось симметрии, выберем из меню Серединный перпендикуляр и щелкнем поочередно на точках A и B (рис. 1-20).

Заметим, что, как и любой другой инструмент, Серединный перпендикуляр можно использовать и в режиме команды, причем в качестве ее аргументов можно использовать как пару точек (концы отрезка), так и сам отрезок.

Более того, можно не строить точки A и B заранее, а просто два раза щелкнуть инструментом по пустому месту: в результате на чертеже появятся и пара точек, и прямая — их ось симметрии.

Такое поведение характерно для всех инструментов, аргументами которых являются одна или несколько точек: если щелчок производится на пустом месте или на какой-нибудь линии, то на этом месте создается очередная точка-аргумент.

«Математический конструктор» позволяет непосредственно выполнять ряд геометрических преобразований (параллельный перенос, поворот, осевую симметрию и гомотетию). Группа команд Преобразования расположена внизу меню Построения под значком (обозначающим также параллельный перенос). Такая же кнопка изначально находится на панели в нижнем ряду справа; список преобразований открывается при нажатии маленькой стрелки справа от этой кнопки (рис. 1-21). Заметим, что на панели эта кнопка может выглядеть и иначе — она отображает последнее выполненное преобразование.

Команды преобразований имеют свою специфику по сравнению с командами «обычных» построений. Они требуют задания двух наборов аргументов: совокупности объектов, к которым применяется преобразование, и объектов, задающих собственно преобразование. При этом первый набор аргументов, в отличие от аргументов «обычных» команд, не определен — мы можем подвергнуть преобразованию любое количество точек, линий, многоугольников и других геометрических фигур. А само преобразование может задаваться объектами разных типов: например, параллельный перенос можно задать вектором, парой точек (концами вектора) или численными значениями координат вектора. Правда, в случае осевой симметрии такого разнообразия нет: достаточно задать одну прямую (ось).

Вернемся к нашему построению. Выделим точку C, выберем команду Осевая симметрия (рис. 1-21) и щелкнем по построенной ранее оси (рис. 1-22).

В результате на чертеже появляется новая, искомая точка (заметьте, что она автоматически обозначается C₁), обозначение прямой (a) и новый объект, представляющий само преобразование — поле с обозначением S_a симметрии относительно прямой a. Этот объект можно использовать в дальнейшем, например, чтобы повторить ту же симметрию для других фигур или изменить ее ось.

В режиме инструмента симметрия выполняется так:

• выбираем этот инструмент из меню;
• щелкаем по точке, которую мы собираемся преобразовать; если кроме этой точки мы хотим отразить относительно той же оси и другие фигуры, щелкаем по всем этим фигурам по очереди;
• нажимаем клавишу Enter — этим обозначается окончание выбора преобразуемых фигур;
• щелкаем по оси симметрии.

Упражнения

Выполните построение, рассмотренное на этом занятии:

1) только с помощью инструмента Окружность (который, напомним, строит по двум точкам окружность с центром в первой точке, проходящую через вторую точку);

2) только с помощью инструмента Прямая при условии, что ось симметрии проведена (или известны две точки на ней);

3) только с помощью Циркуля  — инструмента, который строит окружность по радиусу и центру.

Пояснение : кнопка вызова Циркуля — ;
при его применении нужно сначала указать отрезок, равный радиусу, или два его конца, а потом центр окружности. При применении в режиме команды за центр принимается точка, выделенная последней.

О чем мы еще не сказали

Здесь мы кратко расскажем о некоторых дополнительных возможностях МК, обращаться к которым
в рассмотренных нами примерах не понадобилось.

«Горячие клавиши»

Ряд наиболее часто используемых команд «Математического конструктора» можно быстро вызвать с клавиатуры. Мы не будем все их здесь перечислять, но обратим внимание, что наряду с привычными сочетаниями клавиш такими, как Ctrl+C (для копирования) и т.п., имеются клавиши, работающие «циклически». Например, при нажатии клавиши с буквой L активизируется команда построения прямой, при втором нажатии — команда Перпендикулярная прямая, при третьем — Параллельная прямая, а при следующем мы вернемся к Прямой. Особую роль играет клавиша Esc, последовательное нажатие на которую постепенно «деактивирует» чертеж, а именно: отменяет начатое (но не законченное) применение инструмента, снимает с объектов все выделения, переключает выбор инструмента на Стрелку, останавливает все движения и анимации, отключает рисование следов, стирает нарисованные следы.

Все имеющиеся комбинации клавиш можно найти в Кратком справочнике, который вызывается из меню Cправка.

Занятие 2

Создание учебных материалов

На первом занятии мы выполняли задание из интерактивной учебной модели «Построение симметричной точки». В этой модели, как и в большинстве других, можно выделить две компоненты — рабочее поле с исходной «конструкцией», которая в данном случае состоит всего из трех данных точек, и сопровождающий аппарат — тексты (заголовок, условие, указание), чертеж-подсказку, управляющие кнопки. Отметим, что для выполнения этого задания как такового сопровождающий аппарат не нужен. Можно просто сформулировать задачу на словах; а учащиеся сами поставят три исходные точки на рабочем листе в окне основной программы и приступят к построению с помощью тех инструментов, которые укажет учитель. Более того, подобный вид работы — «с чистого листа» — имеет целый ряд достоинств с дидактической точки зрения. Но на практике учителя предпочитают использовать заранее подготовленные модели с инструкциями, текстовыми и визуальными указаниями и пояснениями и т.д., а в качестве иллюстраций к объяснению теории или заданий для самостоятельной работы такие модули почти незаменимы.

Сейчас, на примере нашего задания на симметрию, мы и расскажем о различных средствах «Математического конструктора», предназначенных для создания сопровождения к учебным материалам.

I. Тексты

Откроем нашу модель и одновременно запустим «Математический конструктор». Начнем создание аналогичной модели с начала — то есть с заголовка.

Шаг 1. Выберем инструмент Текст (кнопка в верхнем ряду инструментальной панели или в меню Вид) и щелкнем вверху рабочего поля.

Появится рамка с курсором ввода текста и панель форматирования текста с обычным для текстовых редакторов набором команд, в том числе окном выбора шрифта, его размера, стиля и цвета, выравнивания и т.д. Наберем заголовок «Симметричная точка» (возможно, он будет обрезан рамкой), выделим его, зададим размер 18 и нажмем кнопку , чтобы сделать надпись жирной (рис. 2-1). Щелкнем вне рамки, чтобы закончить ввод текста, и перейдем к Стрелке (напомним, что для этого проще всего щелкнуть правой кнопкой мыши на пустом месте).

Можно было сразу задать нужное положение, размер и форму рамки текста, если бы при его создании мы «растянули» рамку инструментом Текст, нажав на левую кнопку мыши там, где будет расположен один ее угол, и отпустив ее в противоположном углу.

Шаг 2. Отформатируем рамку заголовка. Выделим ее и растянем, удерживая нажатой левую кнопку мыши, до нужного размера, а затем поместим курсор на ее край (рис. 2-2) и выполним двойной щелчок; откроется диалог свойств текстового поля (рис.2-3) с тремя вкладками — Свойства блока, Содержимое, Общие свойства. (Вызвать окно свойств поля также можно, нажав клавишу Enter, когда поле выделено, или через контекстное меню, которое открывается щелчком правой кнопкой мыши по полю.) Сейчас нас интересует вкладка Свойства блока. Поставим в ней отметку «Заливка фона», выберем голубой цвет и 100% плотности заливки. Как обычно, вносимые изменения сразу же отражаются на объекте — фон заголовка становится голубым.

Шаг 3. Не закрывая диалог свойств, перейдем на вкладку Содержимое. Здесь можно закончить форматирование текста; выделим его и зададим белый цвет шрифта и выравнивание по центру.

Теперь можно нажать кнопку ОК. Заголовок примет вид, показанный на рис. 2-4.

Внести исправление в текстовое поле можно и «на месте», не открывая диалог его свойств. Для этого нужно дважды щелкнуть внутри текста — поле активизируется, а рядом с ним появится панель форматирования (рис. 2-5).

Упражнение 1. Создайте самостоятельно поле с текстом условия нашего задания; обратите внимание на форматирование (см. модель).

II. Обработка чертежа

Кнопка Указание в нашей модели показывает пояснительный рисунок (рис. 2-6) и текст. Построить «геометрическую основу» этого рисунка — прямую, две пары точек (A, A' и B, B'), симметричных относительно нее, и отрезки, соединяющие точки каждой пары, несложно, причем сделать это можно многими способами. Несколько таких построений, то есть, по сути дела, решений представленной в этой модели задачи, было описано на занятии 1. Отметим, что, поскольку роль данного чертежа чисто иллюстративная, необязательно строить его «по-честному», то есть действительно воспроизводить решение задания. Можно, например, взять отрезок (ось симметрии), на нем — две точки, провести через них перпендикуляры к отрезку и отметить на них точки, равноотстоящие от оси. От способа построения чертежа зависит его поведение при перетаскивании его элементов. Этим и определяется тот способ, который мы выбираем.

Упражнение 2. Постройте «геометрическую основу» рисунка 2-6 несколькими способами, проверьте, как полученные конструкции реагируют на произвольные передвижения точек, и выберите из них наиболее, по вашему мнению, подходящую.

Познакомимся со средствами «Математического конструктора», с помощью которых исходный чертеж можно оформить так, чтобы сделать его более выразительным, подчеркнуть те или иные соотношения между его элементами. Проверять действие этих средств мы будем на чертеже, построенном при выполнении упражнения 2.

1. Цвет и стиль. На рисунке 2-6 каждая из двух пар симметричных точек показана своим цветом, вспомогательные линии — пунктиром. Об инструментах/командах Цвет и Стиль линии уже говорилось на занятии 1. Они вынесены на правую панель окна программы; также их можно найти в меню Вид. Кроме того, цвет можно изменять из контекстного меню объектов, стиль линий — из контекстного меню линий разного типа (отрезков, прямых, лучей, окружностей, дуг). Имеется и команда для изменения стиля точек (в меню Вид или в контекстном меню точки).

Отметим, что иногда бывает удобно использовать команды, которые циклически меняют заданный набор характеристик объекта при повторном нажатии на соответствующую кнопку. В раскрывающейся палитре цветов есть две такие кнопки — для бледных и ярких оттенков; кнопки для циклической смены стилей линий и точек находятся в меню Вид.

2. Штрихи и дужки. Равенство двух отрезков принято показывать на чертеже одинаковым числом штрихов. В МК для отметки отрезков используется кнопка на панели инструментов (и в меню Вид): если нажать на нее и щелкнуть по отрезку либо сначала выделить отрезок, а потом нажать на кнопку, то на отрезке появится штрих; повторное применение инструмента увеличивает число штрихов на 1 (наибольшее число штрихов — 5, следующий щелчок убирает все штрихи).

Чтобы отметить угол ABC дужкой, нужно выбрать инструмент (на панели или в меню Вид) и поочередно щелкнуть на точках A, B и C. При этом вместе с дужкой появляется ограниченный ей сектор. Изменить эту отметку можно из диалога ее свойств. В этом диалоге можно задать число, толщину, цвет и радиус дужек, разрешить или запретить дужки больше 180°, придать отметке форму уголка (для прямых углов), задать обозначение для угла и его отступ от дужки и т.д. (ознакомиться со всеми возможностями проще экспериментально).

Чтобы открыть диалог свойств объекта, дважды щелкните по нему, или выделите и нажмите клавишу Enter, или используйте команду Свойства объекта, которая находится в меню Вид, а также в контекстном меню, выпадающем при щелчке по объекту правой кнопкой мыши.

Следует сказать, что самые важные и «ходовые» свойства большинства объектов можно установить, не входя в диалог свойств (отметка угла в этом смысле представляет некоторое исключение). Поэтому на первых занятиях мы стараемся избегать подробного рассказа о работе с ним. В то же время использование диалога свойств предоставляет знатокам широкие возможности форматирования и редактирования любых объектов. Например, в свойствах точки можно задать не только ее стиль, но и размер, цвет ее заливки и границы, обозначение, а также уточнить ее положение, управляя координатами.

В нашей модели (рис. 2-6) используются штрихи для обозначения равных половинок отрезков и отметка прямого угла для обозначения перпендикулярности.

3. Как сделать чертеж более аккуратным. Нередко возникает необходимость провести строго горизонтальную или вертикальную прямую. Они позволяют не только более аккуратно чертить и располагать различные фигуры, но и, например, разбить экран на области с разным предназначением. В нашем примере — область подсказки слева и рабочее поле справа разделены вертикальной прямой. Для построения таких прямых в МК имеются специальные команды (кнопки ), расположенные в группе инструментов Прямые; обе применяются к точкам, через которые мы хотим провести прямые.

Команда Выровнять в меню Вид располагает несколько выделенных объектов строго один под другим – равняет по левым краям. Она применяется к разнообразным «объектам в рамках»: кнопкам, текстовым полям, преобразованиям, а также различным буквенным и числовым выражениям, с которыми мы познакомимся в дальнейшем.

Наконец, упомянем еще один способ «украшения» чертежа — обрезку прямых, особенно удобную, если на рисунке образуется много «бесконечных» прямых, загромождающих чертеж. В нашей модели укорочена ось симметрии на чертеже к Указанию. Она выглядит как отрезок (рис. 2-6), но если вы передвинете, например, точку B' вдоль оси, то увидите, что длина этого отрезка изменится, причем так, что он будет выступать за середины отрезков AA' и BB' на то же самое расстояние (ср. рис. 2-6 и 2-7).

Рекомендуем вам сделать то же самое и в модели, которую вы строите. Для этого в диалоге свойств прямой нужно поставить отметку Рисовать укороченной; величину выступа можно отрегулировать в том же диалоге. Если построить на укороченной прямой новую точку, то прямая соответственно вытянется. В частности, с помощью инструмента Пересечение линий можно построить точку пересечения двух укороченных прямых, которые из-за обрезки «не достают» друг до друга; при этом они автоматически удлинятся и захватят эту точку. При изменении порядка точек на прямой выступы будут откладываться от тех точек, которые окажутся крайними. Если прямую обозначить (то есть показать ее обозначение), то позиция обозначения будет учитываться наравне с позициями точек прямой.

4. Обозначения. На геометрических чертежах принято обозначать точки, линии и другие фигуры. Это особенно нужно, когда чертеж служит иллюстрацией к объяснению. В МК обозначения расставляются с помощью уже знакомого нам инструмента Текст. Если щелкнуть им по каким-то объектам либо выделить их и выбрать этот инструмент, то при всех этих объектах появятся обозначения. По умолчанию точкам присваиваются прописные, а линиям всех видов — строчные латинские буквы, причем «выдаются» они в алфавитном порядке. Центры окружностей обозначаются буквой O с индексами. При этом буквы пишутся курсивом (а цифры автоматически переводятся в индексы).

Правила автоматической простановки обозначений, как и другие свойства вновь создаваемых объектов (например, цвет прямых), можно изменить с помощью команды Предварительные настройки объектов, в меню Файл.

Чтобы изменить букву в обозначении «на месте», переключитесь на инструмент Стрелка и активизируйте обозначение двойным щелчком. При выбранной Стрелке обозначения можно передвигать вокруг обозначаемого объекта в наиболее удобное положение.

Более тонкая настройка обозначений производится через диалог свойств объекта. В частности, из него можно открыть окно текстового редактора, в котором можно форматировать не только текст, но и обозначения. Также в диалоге свойств можно отрегулировать расстояние от фигуры до ее обозначения, указать, по какую сторону относительно линии должно располагаться ее обозначение.

Упражнение 3. Оформите ранее построенный чертеж для указания, пользуясь командами, с которыми мы познакомились на этом занятии.

III. Виртуальные кнопки

Кроме геометрических чертежей и текстов в нашей модели имеются три кнопки. Внешне они выглядят как надписи (в рамках или нет), но отличаются от текстовых полей тем, что при нажатии на них производится некоторое действие. С тем, как эти три кнопки работают, мы уже познакомились на занятии 1. Кнопка Указание показывает первоначально скрытую подсказку; кнопками такого типа чаще всего оформляются материалы, предназначенные для иллюстрации объяснений теории, решений задач и т.п. Кнопка Проверить ответ выполняет автоматическую проверку правильности выполненных построений, точнее, привели ли они к нужному результату. Такие кнопки нужны в основном в интерактивных заданиях. Кнопку перезагрузки (у нас — кнопка В начало) стоит помещать во все учебные материалы. Для создания кнопок в «Математическом конструкторе» имеется специальное меню. Познакомимся с тем, как им пользоваться.

1.  Проще всего создать кнопку для перезапуска модели.

Нужно зайти в указанное меню, выбрать в нем второй пункт (Перезагрузить; рис. 2-8) и щелкнуть в том месте чертежа, где эта кнопка должна помещаться.

Для изменения текста на появившейся кнопке, нужно зайти в диалог ее свойств одним из описанных выше способов, например через контекстное меню, и ввести новый текст в поле Текст на кнопке (рис. 2-9). Обратим внимание, что при вводе нового текста он сразу же появляется и на самой кнопке. Такую моментальную реакцию на изменение свойств демонстрируют объекты всех типов.

В нашей модели-образце кнопка перезапуска выглядит как простая надпись. Придать такой вид вновь созданной кнопке можно, сняв отметки Заливка фона и Граница на вкладке Свойства кнопки диалога свойств.

2.  При открытии модели содержание Указания (картинка и подпись к ней) скрыто. Чтобы его показать, нужно нажать на кнопку Указание.

Создается кнопка этого типа так: выделяем объекты, которые будет показывать кнопка, выбираем команду Показать в меню Кнопки и щелкаем там, где кнопка должна располагаться. Изменить внешний вид кнопки можно с помощью диалога ее свойств.

3.  Похожим образом создается и кнопка Проверки ответа. Но сначала нужно этот ответ — в нашем случае, точку B', симметричную B, — построить. Итак, на рабочем поле мы строим эту точку. В принципе, способ построения роли не играет, но все-таки мы рекомендуем последний из способов, описанных в занятии 1, — с помощью преобразования осевой симметрии. Дело в том, что конструкции, использующие инструменты построения окружности, как вы могли убедиться при выполнении упражнения 2, не совсем корректно ведут себя при произвольных перемещениях исходных точек. (Эту проблему, как и другие более тонкие вопросы, мы обсудим на занятии 6.)

Теперь выделим точку B', выберем в меню Кнопки любую из двух команд создания кнопки Проверка ответа и щелкнем в том месте экрана, где мы хотим ее поместить. После этого остается только скрыть используемую для проверки точку B' и проведенные при ее построении вспомогательные линии.

Аналогично создаются кнопки Проверки ответа, состоящего из нескольких геометрических фигур, причем, как обычно, можно действовать и в режиме инструмента: выбрать соответствующий пункт в меню, указать последовательно все объекты, наличие которых нужно проверить, нажать Enter в знак того, что все объекты выбраны, и указать местоположение кнопки на листе.

Поясним различие между двумя вариантами проверки. В обоих случаях считается, что «правильный ответ» — это набор объектов, выделенных при создании кнопки, и что построение верное, если каждый из этих объектов совпадает с одним из вновь построенных. При этом команда Проверить ответ ищет правильный ответ среди всех вновь построенных объектов, а команда Проверить выделенный ответ «просит» вас выделить среди построенных объектов те, которые вы считаете ответом, и именно с ними сравнивает «правильный ответ». При проверке построенных фигур на совпадение с заданными фигурами обычно можно обойтись командой первого типа.

Дополнительные сведения о кнопках

Диалог свойств любой кнопки содержит вкладку Поведение (скрипт). Открыв ее, вы увидите текст (скрипт) той маленькой программки, которая запускается при нажатии этой кнопки. Например, скрипт кнопки Указание нашей модели будет выглядеть примерно так:

showObjects( _Point10, _Point9, _Point13, _Line9, _Text3, ...);

Первое «слово» в нем, showObjects, — это имя выполняемой кнопкой команды («показать объекты»), а в скобках выписаны ее аргументы – идентификаторы всех объектов, к которым она применяется. Идентификатор объекта можно увидеть в окошке «ID:» его диалога свойств, а также на всплывающей подсказке, которая появляется, если навести инструмент Стрелка на объект. Скрипт можно редактировать непосредственно в текстовом режиме, удаляя или добавляя идентификаторы. Добавить объект в список аргументов можно и с помощью выпадающего списка всех объектов чертежа, расположенного на той же вкладке (рис. 2-10), а проще всего — щелкнув прямо по объекту на чертеже (перед этим нужно поместить курсор в список аргументов команды). Если же какой-то объект удаляется с чертежа, то его идентификатор в скрипте выделяется цветом, подсказывая, что его тоже нужно стереть.

Мы описали самый простой пример редактирования скрипта. Рассмотрим еще один, тоже несложный, пример — скрипт кнопки перезагрузки. По умолчанию он выглядит так:

if(confirm("Вы действительно хотите вернуть чертеж к начальному состоянию?
Все несохраненные изменения
будут потеряны."))
reloadWorkbook();

Эта кнопка открывает окно с приведенным в скрипте вопросом; перезагрузка производится, если нажать на кнопку ОК в этом окне. Вы можете изменить текст вопроса или вообще удалить первую часть скрипта, оставив только последнюю строку — тогда чертеж будет перезагружаться без запроса на подтверждение, как и сделано в нашей модели. Аналогично можно отредактировать и сообщения, выводимые на экран кнопками проверки.

Здесь мы ограничимся только приведенными простыми примерами, но для тех, кто владеет навыками программирования, редактирование скриптов открывает очень большие возможности. Например, команду Проверить выделенный ответ можно запрограммировать так, чтобы она проверяла, удовлетворяет ли построенная фигура тому или иному условию, скажем, выполняется ли заданная зависимость между элементами построенного треугольника. Именно для такого рода проверок эта команда и предназначается.

Помимо рассмотренных нами видов кнопок в меню Кнопки вы найдете еще такие:

• Новая кнопка: создает «пустую» кнопку, в которую можно поместить любой желаемый скрипт;
• Скрыть и Показать/скрыть: первая кнопка скрывает заданные объекты, а вторая меняет «состояние видимости» каждого своего объекта-аргумента на противоположное при каждом нажатии (например, если аргументов два — точки A и B, причем первоначально точка A видна, а точка B — спрятана, то первым нажатием мы спрячем точку A и покажем точку B, вторым — покажем точку A и скроем точку B и т.д.
• Последовательность. При создании этой кнопки нужно последовательно выделить несколько кнопок, имеющихся на чертеже. При ее нажатии они будут автоматически запускаться одна за другой в порядке их выделения, с интервалами, указанными в скрипте.
• Анимация, Переместить, Двигать — кнопки, автоматизирующие анимацию объектов; их мы рассмотрим на следующем занятии.

Наконец, две нижние строчки этого меню — Поле ввода и Чекбокс. Это объекты, с помощью которых ученик может ответить на задаваемый с экрана вопрос, вписывая в поле ввода нужный текст или отмечая галочкой в чекбоксе подходящий вариант ответа («чекбокс» — принятое в программировании название для контрольного элемента этого типа). Ответы в такой форме тоже можно проверить с помощью описанных выше кнопок; подробнее см. занятие 6 .

IV. Создание рисунков

Итак, мы завершили создание всех элементов нашего интерактивного задания: заголовка, условия, подсказки, механизма проверки и кнопки перезагрузки. Перед тем, как использовать его на уроках, мы можем захотеть подготовить распечатку с его описанием или, например, презентацию к вводному занятию по осевой симметрии, в которой можно использовать фрагмент нашей модели — чертеж из Указания (рис. 2-6).

Вообще, МК — удобное средство создания геометрических чертежей-рисунков. Его преимуществами являются:

• точность и простота построения чертежа;
• возможность изменения, «подгонки» изображения к нужному виду с сохранением геометрических зависимостей между его элементами (например, можно одни раз построить высоты треугольника, а затем сделать из одного и того же чертежа три рисунка, иллюстрирующих случаи остроугольного, тупоугольного и прямоугольного треугольников);
• широкий выбор способов украшения объектов (о них говорилось выше — это цвета, стили линий и точек, штрихи на отрезках и пр.).

После того, как желаемый чертеж построен, его нужно превратить в рисунок, который можно было бы вставить в документы других программ, например, текстовых редакторов. Для этого в меню Файл имеется команда Экспортировать как изображение. Если вас интересует только часть чертежа (как в нашем примере, где нам нужен только чертеж к Указанию), то можно перед экспортом спрятать всё, кроме этой части, а после экспорта, не сохраняя чертежа, перезагрузить его. Впрочем, можно экспортировать и чертеж целиком, а нужный фрагмент выделить при обработке рисунка.

Итак, сформируем на рабочем листе нужное изображение и выполним указанную команду. Откроется диалог экспорта со стандартным списком файлов, где можно выбрать каталог, в который будет сохранен рисунок, дать ему имя и выбрать формат (рис. 2-11), после чего останется нажать кнопку Экспорт.

О формате экспортируемых рисунков следует сказать подробнее. МК предоставляет выбор из двух форматов — точечного *.png и векторного *.eps.

В файле точечного рисунка изображение разбивается на множество мелких точек, и цвет каждой точки запоминается. Чем мельче точки, тем выше качество рисунка. При экспорте в точечный формат, по сути дела, делается снимок экрана. Для многих целей этого вполне достаточно; так, большинство иллюстраций к нашим занятиям — точечные. Рисунок *.png можно открыть любой программой просмотра графических файлов или графическим редактором, например, стандартной программой Paint, входящей в систему Windows. Эти программы позволяют вырезать из рисунка тот или иной фрагмент, конвертировать его в другие точечные форматы, наиболее распространенными из которых являются *.bmp и *.jpg, знакомые, наверное, всем пользователям компьютера. Чтобы вставить такой рисунок, например, в документ Microsoft Word, выберите в меню Вставка этого редактора команду Рисунок и далее «из файла...», а затем найдите нужный файл в открывшемся окне. Аналогично «подхватывают» рисунки и другие текстовые редакторы.

Изменить размер рисунка можно уже после его вставки, перемещая уголок образовавшейся вокруг него рамки (подробности см. в справке к соответствующей программе). Следует иметь в виду, что при увеличении рисунка его качество ухудшается — он как бы размывается; на рисунке 2-12 показан увеличенный фрагмент рисунка 2-6. Это один из минусов точечных рисунков. Другой — сложность их редактирования. Если, например, вам потребуется поменять цвет какой-то линии, то придется делать это на исходном чертеже МК, а затем снова экспортировать. Делать это с помощью графических редакторов возможно, но существенно более трудоемко.

В векторных форматах изображение представляется как набор некоторых стандартных объектов — отрезков, многоугольников, дуг, ограниченных ими областей и т.п. Это позволяет, в частности, редактировать каждый такой объект индивидуально, масштабировать рисунок без потери качества, выделять из него фрагменты, состоящие из какого-то подмножества набора объектов. Таким образом, эти форматы более всего подходят для геометрических чертежей. Рисунок, сохраненный в формате eps, можно вставить в документ так же, как и точечный рисунок. Современные текстовые редакторы обычно включают и графические редакторы, с помощью которых вставленный векторный рисунок можно отредактировать. Для редактирования в Microsoft Word к такому рисунку нужно сначала несколько раз применить операцию разгруппирования, пока он не распадется на элементарные объекты, обработать эти объекты индивидуально, а затем опять сгруппировать. Для примера на рисунке 2-13 показан результат редактирования рисунка 2-6, сохраненного в формате eps, а на рисунке 2-14 — обработанный заголовок модели. Обратите внимание, что надписи в данном случае воспринимаются не как тексты, допускающие смену шрифта и редактирование с клавиатуры, а просто как некоторые криволинейные фигуры (каждое слово — одна фигура) и подлежат редактированию как графические объекты. Поэтому может оказаться удобнее до или после экспорта отделить конструкцию от всех надписей и обозначений, а затем воссоздать их средствами текстового редактора.

Имеется бесплатная программа, специально предназначенная для работы с рисунками в формате eps, — пакет Ghostscript. В частности, она позволяет конвертировать такие рисунки в другие векторные форматы, например, в форматы wmf и emf, более подходящие для обработки редактором Word.

V. Создание апплетов

Печатные рисунки можно назвать своего рода побочным продуктом МК. Основной продукт — это интерактивные «динамические чертежи», которые могут иметь две формы. Одна — это файл с расширением mkz (или mk), открываемый посредством основной программы. Другую мы называем «моделью-апплетом» или просто моделью. Модель состоит из нескольких файлов, среди которых собственно динамический чертеж, программная компонента (апплет), поддерживающая все необходимые функции МК, а также оболочка — html-файл, который позволяет запускать модель в интернет-браузере (например, в Internet Explorer, Opera, Mozilla Firefox и т.п.).

Выделим важнейшие отличия моделей-апплетов:

1. Как уже отмечено, для работы с апплетами сам МК не нужен. Ученики смогут выполнять присланные учителем задания, даже если МК у них не установлен. Правда, для работы апплетов требуется свободно распространяемая программная среда Java; при запуске апплета проверяется ее наличие на компьютере и предлагается установить ее с сайта разработчика, если ее нет. Модели можно свободно распространять и использовать.

2. Как обучающее средство, модели и процесс работы с ними контролируются существенно лучше, чем «открытые» чертежи МК.

При этом:

• В модель можно поместить только те инструменты, которые необходимы в данном задании. Это позволяет упростить интерфейс, концентрируя внимание учащихся на конкретном задании, а с другой стороны — сформировать новые интересные задания, сознательно ограничив инструментарий (примеры рассматривались на занятии 1).
• Отключить возможность перемещения, выделения, удаления тех или иных объектов, запрещая не предусмотренные по смыслу задания действия ученика.
• Включить поддержку стандарта SCORM RTE, что позволяет, при наличии соответствующей платформы, передавать отчет о действиях пользователя в электронный журнал и т.п.

Еще одно преимущество моделей связано с механизмом проверки. Чтобы создать кнопку, проверяющую правильность построения, автор задания должен сначала сам выполнить это построение. Если открыть задание с проверкой в основной программе, то команда Показать все скрытые объекты выведет «секретное» авторское построение на экран. Стоит ли говорить о том, что этого лучше избежать! В модели команда показа скрытых объектов действует только на те из них, которые были вновь построены при работе с заданием, так что «сжульничать» подобным способом не удастся.

3. В модель можно поместить любые команды из меню МК, относящиеся к работе с объектами чертежа. Но команды сохранения файлов, в форме ли динамических чертежей или рисунков, по понятным причинам отсутствуют. Однако даже при дистантном обучении ученик может предъявить учителю отчет о своей работе в виде снимка экрана с выполненным построением (кнопка Print Screen на клавиатуре). Еще раз отметим возможность регистрации действий ученика и итоговой отметки в электронном журнале при условии, что модель включена в обучающую систему, поддерживающую стандарт SCORM.

Для сохранения созданного задания в форме модели предназначены три команды меню Файл (рис. 2-15):

•  Экспортировать как модель (апплет),
• Предпросмотр модели,
• Настроить интерфейс модели.

Команда Настроить интерфейс модели вызывает диалог (рис. 2-16), позволяющий задать набор инструментов, прилагаемых к чертежу в модели, и некоторые другие параметры. Назначение параметров вверху диалогового окна и кнопок внизу интуитивно понятно. Остановимся на процедуре выбора инструментов.

В левом окне вкладки Экспортируемые инструменты и команды находится список всех доступных команд, в правом — список команд, присоединяемых к модели. Оба списка устроены как всем знакомое дерево каталогов в Проводнике Windows. Папки в списке команд модели соответствуют раскрывающимся группам кнопок. Порядок команд в списках отвечает порядку команд на инструментальной панели. Если выделить в обоих списках по команде и нажать стрелку между списками, то команда из левого списка, появится вслед за командой, выделенной в правом списке. Кнопки вдоль правого края окна работают так: верхняя создает новую папку в правом окне, затем идет кнопка создания разделителя, кнопка переименования папок (эти названия не отображаются в модели), кнопки перемещения выделенной команды по списку, удаления команды и отмены изменений. Аналогичную процедуру можно повторить и на вкладке Мои экспортируемые инструменты.

После формирования инструментария можно с помощью команды Предпросмотр модели посмотреть, как будет выглядеть и работать готовая модель, и внести коррективы. Поправки могут касаться не только состава инструментальной панели, но и поведения объектов в модели, задаваемого для каждого объекта на вкладке Общие свойства диалога его свойств отметками в разделе Поведение в апплете (рис. 2-17).

Выбор этих опций регулирует уровень доступности объекта пользователю. Например, вряд ли от ученика потребуется что бы то ни было делать с заголовком модели, поэтому в его свойствах ничего не нужно отмечать. Чертеж-указание (см. рис. 2-6) будет более выразительным, если разрешить в нем перемещать (а значит, и выделять) данные точки, но удалять их ни к чему; поэтому в этом случае для точек A, A', B нужно поставить первые две отметки и не ставить последнюю. В некоторых задачах нужно зафиксировать положения данных точек, но при этом разрешить их выделять, так как иначе их нельзя использовать при построениях.

Наконец, когда вид и поведение модели вас полностью устроят, можно осуществить экспорт. Выберем в меню Файл соответствующую команду. В открывшемся окне (рис. 2-18) нужно указать или выбрать:

• название модели;
• папку, в которой она будет сохранена;
• путь к апплету, то есть к «инструментальной компоненте» модели, файлу mathkit-applet.jar; по умолчанию он находится в подпапке export_templates/ папки программы и копируется в папку модели;
• шаблон оформления модели, задающий размер окна модели, наличие «входного экрана» с индикатором загрузки, который появляется при открытии модели, и поддержки стандарта SCORM.

Кнопка Настройки экспорта вызывает рассмотренный выше диалог, а кнопка Экспорт завершает операцию.

Для запуска вашей модели надо открыть в браузере файл Название модели.html, находящийся в папке модели.

Упражнение 4. Создайте на основе построенной вами модели задания на построение симметричной точки с помощью: а) только инструмента Окружность (по центру и точке); б) только Циркуля (инструмента Окружность по центру и радиусу); в) только Линейки при условии, что ось симметрии построена. Попробуйте использовать разные шаблоны экспорта.

Занятие 3

Следы и геометрические места.

Анимация

Начнем с изучения еще одной готовой модели. Она иллюстрирует известную задачу на геометрические места точек.

I. Простейший случай

Пример 1. Модель «Котенок на лестнице». К стене приставлена лестница (рис. 3-1). На лестнице сидит котенок. Вдруг лестница начинает соскальзывать. Какую траекторию опишет котенок?

Сначала посмотрим, как устроена эта модель. На инструментальной панели всего пять кнопок. Три из них: Стрелка, Отмена и Возврат — нам знакомы. С двумя последними — (Включить/отключить рисование следа) и (Удалить все следы) мы встречаемся впервые. В отличие от большинства остальных, они работают только в режиме команды: если выделить какие-то объекты и нажать первую из них, то выделенные объекты при движении будут оставлять за собой следы — рисовать свои траектории. Вторая кнопка удаляет с чертежа все имеющиеся на нем следы. Отсутствие инструментов для построений говорит о том, что это готовая модель, предназначенная для экспериментального исследования.

В левой части окна модели находятся условие задачи и несколько кнопок, а справа — собственно геометрическая конструкция, состоящая из «лестницы» — отрезка фиксированной длины с концами на сторонах прямого угла — и точки, изображающей котенка, которую можно двигать по отрезку. Отрезок построен так, что его верхний конец можно перемещать по вертикальной стороне угла.

Итак, проведем эксперимент. Выделим точку-«котенка» и включим рисование ее следа, нажав кнопку Включить/отключить рисование следа на панели или клавишу . Затем подвигаем конец лестницы, прислоненный к «стене»; можно также нажать кнопку Уронить лестницу — попробуйте и то, и другое. Точка нарисует некоторую кривую. Передвинем «котенка» на новое место и повторим эксперимент; перед тем, как передвинуть точку, лучше отключить рисование следа, а потом опять включить, чтобы не рисовать лишнего. Наконец, повторим все еще раз, поместив точку в середину отрезка (для этого можно нажать кнопку В середину!). Получим примерно такую картинку, как на рисунке 3-2. Мы видим, что траектории «котенка» похожи на эллипсы, точнее, на четверти эллипсов; в частности, траектория середины — четверть окружности.

Разумеется, это только гипотезы и их еще нужно доказать. С серединой лестницы все понятно: ее расстояние до вершины прямого угла постоянно и равно половине длины лестницы, поэтому середина описывает дугу в четверть окружности. Относительно других траекторий — можно сообразить, что они получаются из траектории середины (дуги окружности) в результате гомотетии и сжатия к прямой, поэтому они являются дугами сжатых окружностей, т.е. эллипсов. Математические подробности мы опускаем.

II. Работа со следами

Вернемся к нашей модели. Заметим, что кнопка, включающая следы, может выглядеть по-разному и сигнализирует нам о состоянии объектов чертежа. Если ни один из них не выделен, то кнопка неактивна (серая, как на рисунке 3-1). Выделяя любой объект, мы ее активизируем. Кнопка станет выглядеть «нажатой» тогда и только тогда, когда все выделенные объекты оставляют следы. В частности, на рисунке 3-2 красная точка («котенок») выделена и оставляет след, поэтому кнопка рисования следов активна и нажата. Кнопка удаления следов активна, если на чертеже есть хотя бы один след.

В программе есть еще три команды для работы со следами (эта группа команд находится на стандартной инструментальной панели и в меню Построения):

 

III. Кнопки передвижения

Кнопки Уронить лестницу и В середину! — это кнопки передвижения двух разных типов. При нажатии первой из них лестница плавно сползает вниз, а при нажатии второй — «котенок» моментально перемещается в середину отрезка. Кнопки первого типа чаще всего применяются для автоматического моделирования движения, а второго — для точного позиционирования точек.

Чтобы создать кнопку передвижения (в режиме команды), выберите точку, которая будет двигаться, затем точку-цель, к которой первая точка должна переместиться, а потом одну из двух команд меню Кнопки: Переместить (для мгновенного скачка) и Двигать (для плавного движения). Можно действовать и в режиме инструмента — сначала выбрать кнопку, а затем указать две точки. Переименовать кнопки можно в окне диалога свойств.

Дополнение для знатоков

На вкладке Поведение (скрипт) диалога свойств кнопки Двигать можно отрегулировать скорость движения. В этом случае скрипт выглядит примерно так:

smoothMovePointTo( _point1, _point2, 0.02);

чем меньше числовой параметр (здесь — 0.02), тем медленнее движение.

Есть еще один способ организации движения — анимация; о ней мы расскажем чуть ниже.

IV. Геометрические места

Отключим рисование следов на нашей модели, а нарисованные следы удалим. Нажмем кнопку Показать/Cкрыть траектории. На экране появятся две уже знакомые нам, но более аккуратно нарисованные кривые — траектории «котенка» и середины отрезка (рис. 3-3).

Но разница между ними и построенными ранее следами тех же точек отнюдь не сводится к их внешнему виду. Здесь мы имеем дело с новым для нас типом объектов МК — геометрическими местами точек (гмт). Если след — это просто окрашенная область экрана, которую нельзя ни изменить, ни связать с другими элементами чертежа, то гмт — это полноценный геометрический объект, обладающий такими же свойствами, как и стандартные линии — прямые и окружности.

Что это означает? Во-первых, мы можем менять цвет и стиль этих линий. Далее, на них можно ставить точки, можно строить их пересечения с другими линиями (в том числе с другими гмт) и их образы при преобразованиях. А самое, пожалуй, важное — эти объекты динамические, то есть они изменяются вместе со своими исходными данными. Подвигайте «котенка» по отрезку – и вы увидите, как изменяет форму траектория.

Чтобы научиться строить гмт и продолжить наши эксперименты, воспроизведем построение этой модели. Запустим «Математический конструктор».

Шаг 1. Забегая вперед, заметим, что более симметричная и красивая картинка получится, если двигать концы «лестницы» по двум перпендикулярным прямым, а не по лучам. Проведем через произвольную точку A горизонтальную и вертикальную прямые с помощью уже знакомых нам инструментов. Отметим на вертикальной прямой точки B и C, равноудаленные от точки A,
и соединим их отрезком (рис. 3-4) — по этому отрезку будет бегать конец лестницы.

Шаг 2. Нам нужно взять точку (конец «лестницы») на отрезке BC. Выделим отрезок и нажмем кнопку Точка; на отрезке появится новая точка D, причем точно посередине — поверх точки A, поэтому ее сразу нужно сдвинуть.

Шаг 3. Построим «лестницу» и «котенка». Выберем инструмент Окружность по центру и радиусу и последовательно укажем точки A, B и D. Появится окружность радиуса AB с центром D. Соединим ее центр с одной из точек ее пересечения с горизонтальной прямой (точка E на рисунке 3-5). Возьмем на проведенном радиусе DE точку K.

Шаг 4. Теперь можно построить геометрическое место точки K. При движении точки D по отрезку точка K сохраняет свое положение на отрезке и описывает некоторую кривую — искомое геометрическое место. В такой ситуации точку D мы называем «точкой-водителем», а K — «точкой-карандашом». Точка-водитель всегда должна строиться как точка на линии. Выбираем на панели или в меню Построения команду ГМТ (кнопка ) и щелкаем последовательно по точке-водителю и точке-карандашу — гмт (половина эллипса; рис. 3-6) построено. Можно сначала выбрать две точки в указанном порядке, а потом нажать на ту же кнопку (режим команды). Как всегда, о порядке выполнения команды напомнят вид курсора и подсказки в строке состояния.

Шаг 5. Достроим вторую половину эллипса. Это можно сделать разными способами. Можно повторить построение, взяв на радиусе, проведенном во вторую точку пересечения горизонтальной прямой и окружности D, точку KR на расстоянии DK от D. Можно построить ту же точку K' как точку, симметричную K относительно вертикальной прямой. И наконец, можно просто отразить первую половину эллипса относительно этой прямой. Для окончательного оформления картинки спрячем ненужные точки и линии и раскрасим нужные (рис. 3-7). Теперь можно наблюдать за изменением полученной кривой при перемещении точки B (то есть изменении длины лестницы) и точки K.

Сохраните построенную модель — она нам еще пригодится.

Замечания для знатоков

1. Отрезок BC можно было и не строить, взяв точку D непосредственно на вертикальной прямой. Но поскольку точка-водитель не может пробегать всю бесконечную прямую, диапазон ее изменения как-то ограничивается, и мы получим лишь некоторый участок искомого гмт. Расширить его можно прямым вводом значений в разделе Диапазон параметра диалога свойств гмт; этот диапазон задает область изменения точки-водителя. Нужные значения границ диапазона можно найти подбором – каждое изменение немедленно отражается на виде кривой.

2. На шаге 2 построения мы выбирали точку на отрезке BC. Можно было бы этот шаг сократить: сразу после шага 1 перейти к шагу 3 с одним отличием – при выборе центра окружности указывать не ранее построенную точку, а произвольное место на отрезке. Но отрезок BC проведен поверх прямой, и программа «не будет знать», где именно создавать эту точку — на прямой или на отрезке (на рисунке 3-8 видно, что подсветились обе линии). Когда возникает такая неопределенность, программа выдает список объектов (рис. 3-8), из которых нужно мышью выбрать тот, который мы хотим использовать.

V. Огибающие

(Этот раздел при первом знакомстве можно пропустить.)

Команда построения следа применима к любым объектам, а не только к точкам.

Упражнение 1. Постройте след падающей лестницы в сделанной вами модели.

Выполняя это упражнение, вы получите более хорошую картинку, если будете двигать конец D лестницы не вручную, а с помощью анимации. Создается кнопка анимации так: выделяем точку, лежащую на некоторой линии (в нашем случае – точку D, которая лежит на отрезке BC; рис. 3-5), а затем выбираем в меню Кнопки команду Запустить/Остановить анимацию. При нажатии на созданную кнопку точка будет двигаться по линии, на которой она лежит; второе нажатие на кнопку останавливает движение.

В диалоге свойств этой кнопки (рис. 3-9) можно задать тип и скорость движения.

Есть три типа анимации: однократно (точка проходит линию один раз), циклически туда и обратно (пройдя полный путь, точка меняет направление; этот тип наиболее подходит для анимации точки на отрезке) и циклически в одну сторону (более всего подходит для окружности; в случае отрезка по достижении его конца точка перепрыгивает в другой конец). Скорость устанавливается в окошке Шаг — чем меньше шаг, тем из большего числа кадров состоит «мультфильм» и тем ниже скорость. В частности, для упражнения 1 подходят параметры, показанные на рисунке.

На рисунке 3-10 показан построенный с помощью анимации след отрезка постоянной длины, скользящего концами по двум прямым. Часть этого рисунка внутри одного прямого угла образует решение упражнения. Мы видим, что отрезок все время касается четырехконечной кривой (астроиды). Кривая, касающаяся всех прямых из некоторого множества, называется огибающей этих прямых. «Математический конструктор» позволяет построить семейство прямых или других линий не только как след, но и в форме объекта, аналогичного гмт, и увидеть образующую этого семейства. Строится оно точно так же, как и гмт, только вместо команды ГМТ выполняется команда Динамический след (кнопка ) меню Построения, выбрав которую, надо указать точку-водитель и объект «карандаш».

Упражнение 2. Постройте динамический след отрезка в нашей модели (рис. 3-11). Измените длину отрезка, перемещая точку B, и посмотрите, как будет изменяться построенная фигура.

Как и в случае гмт, мы можем изменять цвет и стиль линий, составляющих динамический след, а также изменять его, варьируя исходные данные. Частоту линий, от которой прежде всего зависит его вид, можно устанавливать, изменяя параметр Количество точек в окне диалога свойств (рис. 3-12).

Для вызова этого окна нужно выделить динамический след и нажать Enter.

Одно и то же семейство линий можно построить разными способами, и, конечно, способ построения тоже сильно влияет на результат.

Упражнение 3. Попробуйте получить семейство отрезков из нашей задачи в виде, показанном на рисунке 3-13. Указание: подумайте, как построить отрезки так, чтобы точка-водитель бегала по окружности с центром A.

Упражнение 4. Постройте семейство серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим данную точку F с точкой P, пробегающей данную окружность. Какая кривая будет огибающей этих прямых? Как она изменяется при передвижении точки F?

В заключение отметим, что динамический след можно строить не только для отрезков и прямых, но и для окружностей, многоугольников и вообще для любых геометрических фигур, в том числе даже для геометрических мест точек. Но следует иметь в виду, что в последнем случае получаются весьма ресурсоемкие конструкции и работа программы может сильно замедлиться.

Занятие 4

Модели пространственных тел

На этом занятии мы построим «трехмерную» модель куба, вращающегося вокруг двух осей.

I. Простейший случай

Пример 1. Модель «Построение сечения куба» .

Точка P (рис. 4-1) лежит на грани ABCD куба ABCDA₁B₁C₁D₁, точки M и N — на грани BCC₁B₁. Постройте сечение куба, проходящее через точки M, N и P.

Сама по себе эта задача несложная и мы не будем останавливаться на ее решении; отметим только, что для построения сечений многогранников по трем точкам достаточно одной линейки, что и отражается в наборе инструментов на панели. Для нас эта модель служит иллюстрацией целого класса заданий на построение на изображениях трехмерных фигур, особенностью которых является наличие «механизмов», управляющих ракурсом изображения. Само построение выполняется так же, как и на бумаге. Разница в том, что в любой момент можно повернуть фигуру так, чтобы выбрать наиболее удобный ракурс, и продолжить построение на новом изображении.

Управляющий изображением механизм расположен слева над условием задания и включает три «движка», или «ползунка», и кнопку анимации:

• Размер — движок, увеличивающий или уменьшающий изображение целиком;
• Вращать — круговой движок и связанная с ним кнопка анимации, вращающие куб вокруг оси, перпендикулярной грани ABCD;
• Наклон — движок, поворачивающий куб вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр и параллельной плоскости чертежа.

Упражнение 1. С помощью управляющих движков поверните куб так, чтобы убедиться, что данные точки M, N и P действительно лежат на указанных гранях. (Для этого нужно посмотреть на грань сбоку так, чтобы она превратилась в отрезок.)

План нашего построения будет таким: мы построим в плоскости чертежа (то есть экрана) вращающийся квадрат, затем научимся «наклонять» его относительно горизонтальной оси и наконец достроим его до куба, присоединив к нему перпендикулярные отрезки-ребра. Попутно мы познакомимся с использованием выражений и преобразований в геометрических построениях.

II. Вращающийся квадрат

Построим фигуру, изображенную на рисунке 4-2.

Свободными, исходными точками в ней являются точки O, E, задающие окружность, и точка P — вершина квадрата. Сначала мы построили горизонтальную прямую, которая в дальнейшем сыграет роль одной из осей вращения, потом окружность, потом квадрат, начав с произвольно взятой на окружности точки P.

Стороны квадрата удобно строить с помощью команды Ломаная . Выбрав этот инструмент, нужно последовательно щелкнуть по всем вершинам квадрата, закончив двойным щелчком на первой вершине (или одинарным щелчком и нажатием Enter).

Когда квадрат будет построен, скройте диагональные прямые и создайте кнопку анимации точки P (кнопка Вращать). О кнопках этого типа рассказывалось на занятии 3.

III. Наклон

Представьте, что вертикальный отрезок на рисунке 4-3 — это вид нашей окружности сбоку. Что произойдет с ее изображением, если повернуть ее плоскость на угол a, как показано на рисунке? Видно, что она сожмется к оси в cos a раз. Изображение любой ее точки в результате этого поворота подвергнется тому же сжатию.

Теперь понятно, как смоделировать поворот плоскости квадрата вокруг горизонтальной оси (наклон). Создадим числовой параметр, который будет задавать коэффициент сжатия. Для этого нужно выбрать кнопку на панели инструментов или в меню Вычисления и щелкнуть на листе там, где мы хотим этот параметр поместить. Немедленно откроется диалог его свойств (рис. 4-4).

В этом окне параметр можно переименовать (по умолчанию он обозначается p, у нас — k), а главное для нас — создать ползунок, который позволит изменять значение этого параметра мышью. С этой целью (рис. 4-4) мы ставим соответствующую галочку (1), выбираем вертикальное положение шкалы (2), устанавливаем границы изменения от –1 до 1 (3) — ведь k = cos α  — и отключаем притяжение к делениям (4). Также можно задать частоту делений на шкале, но это уже дело вкуса.

В результате наш чертеж примет вид, показанный на рисунке 4-5. Изменять значение параметра можно или непосредственно с клавиатуры, или с помощью маленьких кнопок со стрелками справа от этого значения, или перемещая ползунок по шкале.

Чтобы применить к точке P сжатие в k раз, нужно построить ее проекцию P₀ на горизонтальную прямую, а затем образ PR точки P при гомотетии с центром P₀ и коэффициентом k. Проекцию находим как основание перпендикуляра, а на построении образа при гомотетии, с которым мы сталкиваемся впервые, остановимся подробнее. По шагам оно выполняется так:

1) выделяем точку P;

2) выбираем в группе Преобразования в меню Построения гомотетию (кнопка );

3) щелкаем на точке P₀, указывая, что она будет центром, и нажимаем Enter, чтобы открыть диалог свойств гомотетии, в котором ее коэффициент можно задать численно;

4) диалог откроется на вкладке Преобразование; в ее разделе Задать коэффициент гомотетии будет отмечен вариант Численно (рис. 4-6). Щелкаем по нашему параметру k – он подставляется в соответствующее поле. Чтобы изменить коэффициент, нужно удалить его, нажав на «крестик» рядом с ним, и ввести тем или иным способом новое значение;

5) жмем на подтверждающую кнопку ОК — точка PR построена.

Аналогично строятся образы трех других вершин квадрата (рис. 4-7). На рисунке для наглядности мы сделали еще некоторые построения. Во-первых, мы соединили изображения вершин наклоненного квадрата. Во-вторых, построили геометрическое место точки PR при движении точки P по окружности, то есть результат сжатия исходной окружности. Получается изображение нашей окружности, а именно, эллипс. (Эллипс, согласно одному из его определений, и есть сжатая окружность.) Если при построении этого гмт программа вас спросит, следует ли ей «учитывать параметр», который используется в построении, ответьте утвердительно.

Теперь можно подвигать точку P и ползунок и посмотреть, как вращаются и наклоняются наш квадрат и окружность, в которую он вписан. Всё выглядит весьма правдоподобно!

Дополнения и замечания

1. Список преобразований можно открывать из панели инструментов (не заходя в меню). Для этого нужно нажать на стрелку рядом с кнопкой «текущего» преобразования. Изначально это параллельный перенос (кнопка ). В дальнейшем на этом месте будет находиться кнопка последнего выполненного преобразования.

2. Можно выполнять преобразования и в режиме инструмента: сначала выбрать преобразование в меню или на панели, затем указать все преобразуемые объекты, нажать Enter и дальше уже задавать само преобразование так же, как в режиме команды. В нашем примере центр гомотетии был задан геометрически — указанием точки на чертеже, а коэффициент — численно (параметром). Имеется возможность задавать численно (координатами) и центр, а также задавать коэффициент геометрически — как отношение длин двух отрезков AB и CD. Аналогично гомотетии выполняются повороты: их центры и углы можно задать как численно, так и точками на чертеже.

3. Каждое выполненное преобразование представлено на чертеже особым объектом — полем с обозначением преобразования (например, гомотетия обозначается буквой H с индексами; рис. 4-7).

4. При построении изображений вершин квадрата можно было применить сжатие только к двум соседним вершинам, а две другие достроить по симметрии. Еще один путь сократить работу — это сделать специальный инструмент, выполняющий сжатие, и поочередно применить его ко всем вершинам.

Об использовании объекта Преобразование и о создании новых инструментов мы расскажем на последнем занятии.

IV. Достраиваем квадрат до куба

Представим, что наш квадрат является сечением куба, проведенным через его центр параллельно двум граням (рис. 4-8). Чтобы построить эти грани, нужно сдвинуть квадрат перпендикулярно его плоскости на половину длины его стороны (то есть половину ребра куба) в обоих направлениях. Построим изображение отрезка OM, задающего вектор сдвига.

Еще раз посмотрим на нашу конструкцию сбоку. На рисунке 4-9 показан вид куба сбоку в исходном положении, когда квадрат расположен в плоскости чертежа параллельно горизонтальной прямой (ср. рис. 4-3). Теперь наклоним квадрат, то есть повернем его, а вместе с ним куб, на угол a вокруг горизонтальной оси — перпендикуляра к плоскости рисунка 4-9, проведенного через точку O (рис. 4-10).

Тогда изображением отрезка OM будет вертикальный отрезок OMR длины OMжsin a (углы OMMR и POPR равны a; рис. 4-10). Заметим, что при вращении куба вокруг оси OM (которое мы уже смоделировали в первом разделе) ни этот отрезок, ни его изображение не меняются. Вспоминая, что cos α = k, получаем, что Длина OM равна половине стороны квадрата, то есть где R — радиус исходной окружности (рис. 4-2), а значит,

Точку M' (рис. 4-11) мы получим как образ при гомотетии с коэффициентом конца N вертикального радиуса. Вычислим этот коэффициент.

Нажмем на инструментальной панели или в меню Вычисления кнопку (Создать произвольное выражение) и щелкнем на любом месте листа. Появится поле c надписью « = ?»; в дальнейшем слева от знака «=» будет помещаться выражение, а справа — его значение.

Одновременно откроется окно свойств выражения, в котором нужно будет набрать нужную нам формулу в специальном редакторе (рис. 4-12). Окно стоит сдвинуть так, чтобы оно не закрывало поле, так как по мере ввода выражения в окне редактора оно будет появляться и в поле, причем если в окне оно выписывается текстовой строкой, в которой различные функции и величины обозначаются «словами», то в рамке оно же возникает в обычном виде (рис. 4-13).

Ввод чисел, скобок, арифметических операций производится с клавиатуры компьютера или с виртуальной клавиатуры редактора выражений, напоминающей клавиатуру калькулятора; на этом же «калькуляторе» имеются клавиши ввода констант π, e и др. Математические функции можно вводить непосредственно: квадратный корень — как sqrt, модуль — как abs и т.д., или выбирать из выпадающего меню Функции вычисления (рис. 4-14).

Чтобы вставить в формулу некоторое выражение, в нашем случае — параметр k, нужно установить курсор в соответствующее место формулы и щелкнуть по этому выражению (либо опять-таки выбрать его из выпадающего списка Добавить объект).

Дополнительные сведения

Поясним назначение некоторых других элементов этого окна:

• Отметки Вычисляемая формула и Результат: при их наличии в поле выражения будут показаны соответственно формула и ее числовое значение.
• Список Функции измерения содержит функции, вычисляющие длины, площади, углы и другие геометрические величины.
• Список Единицы измерения позволяет выбрать и приписать к результату вычисления ту или иную единицу измерения. Но нужно понимать, что эти единицы играют чисто декоративную роль и их смена никак не влияет на числовое значение величины.

Вернемся к нашей модели. Проведем вертикальный радиус ON (рис. 4-11) и применим к точке N гомотетию с центром O и коэффициентом Полученная точка и есть точка M' — изображение центра M одной из граней куба, параллельных нашему исходному квадрату. Теперь, чтобы получить изображение этой грани и грани, ей параллельной, нужно параллельно перенести изображение квадрата на векторы (рис. 4-15; ненужные элементы чертежа мы скрыли).

Остается провести последние четыре ребра, спрятать вспомогательные построения (но точку P, перемещая которую мы можем вращать куб «вручную», и точку E, управляющую размером куба, мы оставляем видимыми), а при необходимости — обозначить вершины и перекрасить куб. У нас получилась модель, показанная на рисунке 4-16. Этим и завершается построение.

МК позволяет «автоматизировать» не только вращение, но и наклон куба. Для этого нужно создать кнопку Анимация параметра. Делается это так же, как и для точек: нужно выделить параметр k, а затем выбрать пункт Запустить/Остановить анимацию в меню Кнопки. На экране появится кнопка, при нажатии на которую параметр будет меняться. Характер изменения можно уточнить с помощью диалога свойств этой кнопки.

Теперь можно отметить некоторые недостатки нашей модели. Во-первых, вращающая куб точка P попадает прямо на его изображение, что неудобно. Во-вторых, наш механизм наклона позволяет поворачивать куб около горизонтальной оси только в диапазоне 0 ≤ α ≤ 180° (угол α мы ввели на рис. 4-3), так как cos α = k меняется от 1 до –1, а sin α, по построению, неотрицателен. В-третьих, для большей наглядности хотелось бы изображать невидимые при каждом данном положении куба ребра пунктиром; проблема в том, что при вращении куба невидимые ребра становятся видимыми и наоборот.

Первые два замечания, в принципе, учесть несложно. Например, мы могли бы с самого начала построить круговой движок (как в модели, с которой мы начали это занятие) и передавать его вращение на точку P. Аналогичный движок можно было использовать и для наклона. Оказывается, что такие движки можно встроить в наш чертеж, не переделывая его весь, с самого начала. А особенно интересно, что и третье пожелание — о невидимых ребрах — тоже можно выполнить. Обо всем этом будет рассказано на последнем занятии.

О чем мы еще не сказали

Здесь мы кратко расскажем о некоторых дополнительных возможностях МК, обращаться к которым
в рассмотренных нами примерах не понадобилось.

Меню Файл

Обратим внимание на три команды этого меню; остальные либо стандартные для любых программ (Открыть, Создать и т.п.), либо нам уже знакомы.

Шаблоны. С помощью этой команды можно загрузить файлы с некоторым стандартным оформлением или конструкцией (такой, как «вращающийся базис» для создания стереометрических моделей).

Импортировать… МК позволяет импортировать два типа объектов. Во-первых, можно вставить в чертеж рисунок. Например, можно вставить фотографию, на которой запечатлена траектория какого-либо движения, и средствами МК подобрать задающую ее функцию. Во-вторых, можно импортировать и преобразовать в формат МК java-апплеты, созданные с помощью популярной программы динамической геометрии The Geometer's Sketchpad (в русской версии — Живая геометрия и Живая математика) — файлы с расширением jsp.

Предварительные настройки объектов — команда открывает «сборник» диалогов настроек всех типов объектов МК (рис. 6-19). Вверху окна находится поле выбора типа объектов. Для каждого типа открывается диалог, в котором настраиваются свойства всех вновь создаваемых объектов данного типа, например, цвет прямых, стиль точек, точность и единицы измерения углов и т.д.

Занятие 5

Функции и графики. Использование координат

I. Простейший случай

Пример 1. Модель «Уравнение с параметром» (рис. 5-1).

Как обычно, начнем с примера (см. http://obr.1c.ru/mathkit/help/intro/models/model2-7.html).

Модель иллюстрирует графическое решение уравнения с параметром log_a x = a^x. В левой части рабочего поля помещается текст задания, под ним – формулы функций из уравнения и окно (свободного) параметра a, который можно изменять как непосредственным редактированием, так и с помощью ползунка, а справа — графики левой и правой частей уравнения.

При изменении параметра соответственно изменяются и графики функций (поэкспериментируйте!), причем если они имеют общие точки, то есть если уравнение имеет решение, то эти точки появляются на графиках.

Отметим один из наиболее интересных, отчасти парадоксальный случай Если построить графики приближенно, «от руки», то создается впечатление, что они имеют единственную общую точку — точку пересечения обоих графиков с прямой y = x. Однако нетрудно угадать два (!) решения нашего уравнения при этом a: причем оба они отличны от первого. Увидеть их можно, установив значение в этой модели.

Эта модель — типичный пример использования функционально-графических возможностей МК в таком популярном сейчас типе задач, как задачи с параметрами, ставшем особенно важным в последнее время, когда задачи этого типа заняли постоянное место в едином государственном экзамене по математике.

Обратим внимание на некоторые новые для нас объекты МК, появившиеся в этой модели (рис. 5-1).

• Функции. Это поля с записью вида f(x) = …, где в правой части стоит формула с переменной, задающая функцию; можно вычислить значения функции для заданных числовых значений аргумента, построить график функции, использовать ее в выражениях, в том числе при задании других функций.
• Фрейм. Наиболее подходящий по смыслу перевод этого термина — «система отсчета». Для первого знакомства можно сказать, что фрейм — это ограниченная прямоугольной рамкой область на основном листе, с которой связана собственная система координат. На рабочем поле могут располагаться несколько фреймов, как независимых друг от друга, так и вложенных один в другой. Сам основной лист тоже можно считать фреймом — корневым.
• График функции. Этот вид объектов вряд ли нуждается в объяснении. Отметим здесь только, что график всегда связан с фреймом (который может быть и корневым – основным листом, что обычно менее удобно). Графики как объекты МК обладают тем же набором свойств, что и уже знакомые нам геометрические места точек, к ним можно применять геометрические преобразования, находить точки их пересечения друг с другом и с другими линиями и т.д.

Отметим и два новых для нас инструмента, использованных в этой модели.

• Сдвинуть холст («рука»). Область экрана, ограниченная рамкой фрейма, — это часть «холста», связанного с фреймом и лежащего как бы поверх основного листа. Если поместить «руку» внутрь фрейма и сдвинуть, удерживая нажатой кнопку мыши, то сдвинется весь этот холст. При этом, конечно, сдвинется и система координат фрейма, построенные в ней графики и вообще все построенные в данном фрейме объекты. Это позволит увидеть другие участки холста, но объекты, которые «выезжают» за пределы рамки, скрываются.
• Изменить масштаб («лупа»). Инструмент работает аналогично «руке» — с той разницей, что перетаскивание «лупы» внутри фрейма вызывает не сдвиг, а изменение масштаба – сжатие или растяжение холста вместе с построенными на нем объектами относительно точки, в которую была помещена лупа. Первоначально сжатие происходит при движении влево-вниз; в остальных случаях холст растягивается.

Чтобы эти инструменты работали, в диалоге свойств фрейма должны быть поставлены соответствующие разрешающие отметки. При наличии таких же отметок в свойствах основного листа его тоже можно аналогичным образом сдвигать и растягивать.

Инструменты растяжения и сдвига позволяют лучше показать и рассмотреть интересующие нас объекты. Так, на рисунке 5-2 они использованы, чтобы укрупнить область, в которой находятся корни уравнения.

II. Аналитическое задание графиков

Познакомимся с процедурой построения графика функции, заданной аналитически (формулой). Мы построим графики из рассмотренного выше примера.

Итак, запустим МК. По умолчанию панель инструментов настроена на геометрические построения. Поэтому нажмем кнопку , чтобы вывести на панель инструменты, относящиеся к построению графиков и различных связанных с ними объектов (рис. 5-3).

Построим график функции y = a^x, где a — параметр. Сначала нужно «завести» на листе саму функцию, а значит, еще раньше — параметр; с этой операцией мы познакомились на предыдущем занятии.

Шаг 1. Параметр. Нажмем кнопку на панели и щелкнем на листе там, где будет располагаться параметр. Целесообразно его отредактировать: в диалоге свойств установить границы изменения от 0 до, например, 3 (a должно быть положительно, а большие значения в данной модели не нужны), уменьшить шаг изменения со стандартного значения 10^–1 = 0,1, например, до 10^–3 и увеличить точность представления значения a на экране. Наконец, непосредственным вводом нужно задать какое-то подходящее начальное значение a, скажем, a = 1,3. В модели используется и сопровождающий параметр горизонтальный ползунок.

Шаг 2. Функция. Нажмем кнопку на панели и щелкнем на листе там, где будет располагаться функция. На листе появится поле объекта «Функция» с записью f(x) = x (в дальнейшем при задании новых функций обозначение «f» будет меняться в алфавитном порядке, а правая часть — x — всегда одинакова). Одновременно откроется окно свойств этого объекта на вкладке Функция с уже знакомым нам редактором выражений, в котором, для заполнения пустого места, стоит буква x; советуем ее удалить, пока вы не освоитесь с работой в этом редакторе. Требуемая функция a^x должна выглядеть в редакторе как a^x, где ^ — символ степени, а a — не просто буква, которую можно набрать с клавиатуры, а обозначение нашего параметра. Установим курсор в окно редактора выражений и щелкнем по полю с параметром — его обозначение появится в редакторе. Затем наберем с клавиатуры (реальной или виртуальной) символ ^ и букву x; в поле функции одновременно появится запись a^x. Можно задать ту же функцию и в виде e^{x ln a}, что в редакторе выражений выглядит так: exp(x*ln(a)). Последнее выражение можно набрать непосредственно с клавиатуры (за исключением параметра, конечно) или используя список Функции вычисления.

Шаг 3 . График. Нажмем кнопку . Строка состояния и вид курсора подскажут, что теперь нужно указать функцию. Щелкнем по нашей функции – на экране возникнет фрейм с ее графиком. Кроме того, рядом с формулой функции появится линия того же цвета, что и график (рис. 5-1).

Теперь можно придать графику нужный цвет и толщину — это делается так же, как и для любых других линий, а фрейму — желаемые положение, форму и размер. Для этого помещаем мышь на край фрейма так, чтобы рамка подсветилась. Если при этом курсор находится в углах или серединах сторон рамки (принимая форму двойной стрелки), то, удерживая нажатой левую кнопку мыши, рамку можно растягивать в направлении этих стрелок. Если же курсор находится в других точках рамки, то он превращается в крестик и позволяет сдвигать фрейм как целое. Наконец, с помощью «руки» и «лупы» можно найти наиболее удобный масштаб и положение «холста» с графиком относительно фрейма.

Упражнение 1. Постройте график функции log_a x. Указание: функцию нужно представить в виде .

Отметим, что второй график будет построен в том же фрейме и автоматически получит другой цвет, который в дальнейшем можно изменить.

График каждой из стандартных функций y = x, x², x³, sin x, cos x, tg x, e^x, ln x и произвольного многочлена степени не выше 3 (ax³ + bx² + …) можно строить одним нажатием соответствующей кнопки (рис. 5-3). В случае кубического многочлена потребуется еще задать значения коэффициентов в появляющемся диалоговом окне.

В правой части нижнего ряда алгебраической панели инструментов (рис. 5-3) расположены кнопки преобразований графиков: сдвигов (f(x) + a и f(x + a)), растяжений (af(x) и f(ax)), симметрий относительно осей (–f(x) и f(–x)), а также вычисления композиций со стандартными функциями и дифференцирования. Для выполнения этих команд нужно нажать соответствующую кнопку и указать график, подлежащий преобразованию. В случае первых четырех команд (с параметром a) после этого нужно еще указать параметр или щелкнуть на пустом месте, чтобы его создать и затем отредактировать. Отдельно нужно сказать о последних трех командах. При извлечении квадратного корня функция ограничивается множеством, на котором она неотрицательна, и график строится только на этом множестве. При построении графика аналогично выделяется область, где f(x)≠0. Команда дифференцирования применяется не к графикам, а к функциям, причем записанным явно. (Например, функцию ln(sin(x)) продифференцировать можно, а ту же функцию, записанную в виде f(sin(x)), где f(x)=ln(x), — нельзя.)

Все упомянутые выше команды, а также еще ряд команд, относящихся к графикам, можно найти в меню Графики.

Упражнение 2. Постройте график функции a^x с помощью кнопок быстрого построения графиков: сначала одной кнопкой – график f(x) = e^x, а затем f(kx) для k = ln a (величину ln a нужно вычислить заранее).

Дополнение

Мы встретились с двумя случаями построения графиков: в случае, если фреймов на листе нет, новый фрейм создается автоматически и график строится в нем; если фрейм один, то график строится в этом единственном фрейме. Если же фреймов два или больше, то после указания функции нужно указать и фрейм, в котором мы хотим построить график этой функции. Поэтому, если мы хотим построить график в новом фрейме, отличном от тех, которые уже есть на листе, нужно такой фрейм создать. Для этого нужно нажать кнопку и щелкнуть на листе там, где будет левый верхний угол фрейма. В результате образуется стандартный квадратный фрейм, который в дальнейшем можно изменить. Можно и сразу растянуть фрейм до нужной формы и размера так же, как это делается при создании текстового поля.

III. Построения в координатах

Для учеников, впервые знакомящихся с понятием графика, очень полезно построить несколько графиков не с помощью «автомата-графопостроителя», а «вручную», то есть непосредственно следуя определению.

Для примера построим график синуса. План понятен: нужно взять (свободную) точку X на оси Ox, найти ее абсциссу x, вычислить значение sin x, построить точку F с координатами (x; sin x) и, наконец, построить геометрическое место точки F при изменении X на том или ином интервале оси. При реализации этого плана мы познакомимся с несколькими новыми для нас командами.

Итак, начнем с того, что создадим фрейм. Поскольку в МК оси координат не являются геометрическими фигурами и мы не можем взять точку на оси координат так же, как мы берем ее на обычной прямой, нам придется провести прямую поверх оси. Для этого мы построим на фрейме начало координат — точку (0; 0) и проведем через нее горизонтальную прямую. Вот этот момент — построение точки с заданными координатами — и является пока для нас новым. Есть два способа выполнить это построение.

1.  Возьмем произвольную (свободную) точку A на фрейме и откроем диалог ее свойств (двойным щелчком); справа на вкладке Свойства точки находится область, в которой можно задать положение точки (см. рис. 5-4). Введем значения координат (нули) и поставим отметку Запретить изменение. Точка A зафиксируется в начале координат. Обозначение A можно удалить, оно нам не потребуется.

2. Второй способ — применить специальную команду. Создадим числовой параметр со значением 0. Выберем в группе Точки на панели или в меню Построения команду Точка с координатами (кнопка ), дважды щелкнем по этому параметру (первый раз задается абсцисса, второй — ордината), а затем — внутри фрейма (чтобы указать систему координат). На фрейме появится требуемая точка. (Если бы последний щелчок был сделан вне фрейма, то точка была бы создана в начале координат основного листа. Если же щелкнуть на границе фрейма, то появится список из двух пунктов, «фрейм1» и «фрейм», в котором нужно выбрать интересующую нас систему координат; корневой фрейм — это второй пункт. Аналогично строится точка с любыми заданными координатами относительно заданной системы)

Через построенную точку мы проведем горизонтальную прямую (кнопка ), а на ней возьмем произвольную точку X (точку-аргумент будущего графика). Отметим, что если в дальнейшем мы будем растягивать или сдвигать систему координат, то точка X будет двигаться вместе с ней, так что ее координаты меняться не будут.

«Измерим» абсциссу точки X. Для этого нажмем кнопку (команда Определить координаты точки) и щелкнем по точке X — появятся поля с координатами (рис. 5-5). (Ордината нам не понадобится.)

Вычислим значение функции, нажав кнопку и набрав в открывшемся окне редактора выражений формулу sin(x_X).

Следующий шаг – построение точки F с координатами (x_X; sin(x_X)), которое выполняется, как и выше, с помощью команды Точка с координатами.

И наконец, строим геометрическое место точки F при изменении X. Скорее всего, на экране появится относительно небольшой участок графика. Увеличить его, а также настроить некоторые другие важные характеристики графика можно с помощью диалога свойств (рис. 5-5). Размер участка задается в блоке Диапазон параметра. Если прямая построена по двум точкам A и B, то этот параметр есть координата точки на числовой оси с началом в A и единицей в B, то есть в нашем случае параметр точки X равен ее координате x.

Важные настройки находятся в блоке Аккуратность отрисовки. Графики, как и любые гмт, рисуются путем соединения некоторого набора их узловых точек. Качество рисунка зависит от числа точек и способа их соединения. Чем больше точек и чем более «умным» способом они соединяются, тем выше качество. Но нужно понимать, что вместе с этим будет выше и расход ресурсов системы, что может приводить к значительному замедлению работы. Поясним смысл предлагаемых настроек.

Первые три относятся к узловым точкам.

• Поле Количество точек объяснений не требует.
• Отметка Добавлять точки адаптивно управляет распределением узловых точек: если она поставлена, то частота точек будет зависеть от формы того или иного участка кривой, позволяя нарисовать его более точно, если нет — точки ставятся с постоянным шагом.
• Отметку Учитывать выражения следует ставить, если при построении узловых точек (то есть в определении точки-карандаша) применялись аналитические выражения, как это было в нашем случае, где использовалась функция синус.

Следующие настройки управляют соединением точек.

• Если снять отметку Соединять, то график нарисуется пунктиром; зачастую это дает достаточно хорошее представление о кривой, а программа будет работать быстрее. Если же эта отметка поставлена, то можно выбрать два способа соединения: более простой — отрезками, более сложный — «сплайнами», то есть специально подбираемыми кривыми, которые дадут более гладкую линию.
• Порог разрыва характеризует такое расстояние между двумя соседними узлами, при котором они не соединяются и принимается решение о том, что в этой точке функция имеет разрыв.

Для обычных школьных задач, как правило, принятые по умолчанию настройки менять не нужно.

IV. Примеры применения графиков

Построение графиков «вручную» открывает широкие возможности для моделирования и исследования различных задач, причем функции могут задаваться самыми разными способами. В качестве координат точки, рисующей график, можно взять результаты измерения длин, углов, площадей или вычисленные с использованием таких измерений величины — команда построения точки по координатам это позволяет. Приведем несколько примеров. Мы уже не будем подробно описывать построения, остановимся только на новых для нас командах и приемах.

Пример 2. Иллюстрация определения синуса (рис. 5-6).

Синус произвольного числа t определяется как ордината y_t точки P(x_t; y_t), полученной из точки E(1; 0) поворотом вокруг начала координат на угол t (в радианах). Таким образом, график синуса – это геометрическое место точки S с координатами (t; y_t).

Строим прямую поверх оси x, берем на ней точку T и находим ее абсциссу x_T. Теперь точку P можно получить из E(1; 0) поворотом на угол x_T (на рис. 5-7 показано, как задается угол поворота). Но есть и другой способ — можно построить единичную окружность с центром (0; 0) и непосредственно задать положение точки P на ней. Для этого нужно взять любую точку P на окружности и открыть диалог ее свойств. В его правой части находятся величины, характеризующие положение этой точки (рис. 5-8): координаты и Параметр точки на линии для окружности — это число, принимающее значения от 0 до 1 и пропорциональное длине дуги, отложенной от начальной точки до точки P в направлении против часовой стрелки. (За начальную точку берется конец радиуса, проведенного по направлению положительной полуоси абсцисс; таким образом, параметр точки P на рис. 5-6 равен угловой мере дуги EP, деленной на 2π.) Координаты точки, взятой на окружности, произвольно изменять нельзя, поэтому соответствующие поля неактивны (рис. 5-8). А в поле параметра можно подставлять любое выражение. Именно этим мы и воспользуемся, задав параметр равным x_T/2π.

Теперь измеряем ординату P, строим точку S с координатами (x_T; y_P) и ее геометрическое место с «точкой-водителем» T. Интервал изменения аргумента для полученного участка синусоиды можно задать произвольно в диалоге свойств графика. Для наглядности на чертеже проведены еще и отрезки TS и SP.

Можно поступить и иначе: взять в качестве P произвольную точку окружности, измерить величину α угла EOP в радианах с учетом направления (для этого используется функция signedAngle из редактора выражений), построить точку S(α; y_P), а затем геометрическое место точки S с «точкой-водителем» P. В этом случае мы получим только один период синусоиды (от –π до π). А точку T нужно будет построить отдельно — либо по координатам (α; 0), либо взяв ее на оси, точнее, на прямой, проведенной поверх оси, и присвоив ее параметру значение α. Напомним, что параметр точки на прямой AB — это ее координата на числовой оси с началом A и единичной точкой B.

Обратите внимание, что на рисунке 5-6 засечки на оси x поставлены с интервалом π. Это бывает удобно при работе с тригонометрическими функциями. Соответствующая опция устанавливается в свойствах фрейма на вкладке Линии.

Пример 3 . «Построитель производной».

В меню Графики МК имеется инструмент для проведения касательной к кривой — графику функции или гмт — через точку на кривой (кнопка ), а также для нахождения углового коэффициента прямой (кнопка ). С их помощью легко построить график производной любой функции по ее графику (не вычисляя производную аналитически). Для этого, выбрав первый инструмент, щелкнем по графику — на нем появится точка A и проходящая через нее касательная. Затем щелкнем вторым инструментом по касательной — на экране появится ее угловой коэффициент k, равный, как известно, производной функции в точке A. Остается построить точку B(x_A; k) и ее геометрическое место для «точки-водителя» A. На рис. 5-9 показан результат этого построения для функции sin x. Если поменять функцию, соответственно изменится и график производной, так что эту модель можно считать «универсальным построителем производной».

Согласно основной теореме анализа, ориентированная площадь S(t) криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x = a и x = t (то есть определенный интеграл функции f на отрезке [a; t]), является первообразной функции f, то есть функцией, производная которой равна f. (При вычислении ориентированной площади части криволинейной трапеции, лежащие над и под осью, учитываются с противоположными знаками.) Этот факт позволяет строить график первообразной.

Для примера снова возьмем f(x) = sin x (рис. 5-10). Возьмем на оси x, точнее, на проведенной поверх нее прямой, точку (на рис. 5-10 — X), которая будет задавать границу криволинейной трапеции, и найдем ее абсциссу t = x_X. Щелкнем инструментом Область под/над графиком (кнопка ) по графику. Закрасятся сегменты под положительными арками синусоиды, обозначим эту область P.

Откроем диалог его свойств (рис. 5-11). Активизируем границы области по оси x, поставив галочку в соответствующем «чекбоксе», и зададим границы: «от x = 0» и «до x = x_X» (во втором случае нужно, как обычно, щелкнуть по измеренной координате x_X).

Затем повторим всю процедуру еще раз, но в секции границ по y диалога свойств отметим опцию «над графиком». Получим совокупность сегментов над отрицательными арками синусоиды; обозначим эту область буквой N; ее мы тоже ограничим значениями x = 0 и x = x_X.

Следует сказать, что первоначально, по умолчанию, вторая область также будет построена под графиком, то есть накладывается на первую. Как гарантировать, что будут открыты именно ее настройки? В данном случае это не столь важно — нам все равно, какую область «переворачивать». В принципе же, достаточно знать, что при последовательных щелчках по общей области нескольких объектов они будут выделяться поочередно. Также можно временно скрыть один объект, отредактировать свойства второго, а затем вернуть первый объект на чертеж.

Найдем площади областей P и N (инструмент ) и вычислим их разность; при t = x_X > 0 она и будет искомой величиной. Но если t < 0, то, как известно, интеграл будет равен этой разности, взятой со знаком минус. Таким образом, окончательная формула для первообразной имеет вид

F(t) = (S(P) – S(N))· sign (x_X),

где t = x_X. Дальнейшая процедура нам уже хорошо знакома: строим точку с координатами (x_X; F(x_X)) (точка E на рис. 5–10) и ее геометрическое место при изменении точки X. Это и будет график одной из первообразных синуса, а именно, функции 1 – cos x; другие получаются добавлением константы.

В качестве упражнения предлагаем построить все описанные в этом разделе примеры. Должны предупредить, что модели, использующие выражения, на недостаточно мощных компьютерах работают относительно медленно, особенно при изменении их параметров и исходных функций.

Занятие 6

Дополнительные возможности

На этом занятии мы познакомимся с инструментами, командами, настройками, рассчитанными на более опытных пользователей. Начнем с последнего нерассмотренного нами раздела меню.

I. Мои инструменты

В этом разделе собираются инструменты, создаваемые пользователем «Конструктора». Необходимость в таком инструменте возникает тогда, когда какую-то конструкцию приходится часто повторять. Программа позволяет запомнить построение как новый инструмент и в дальнейшем применять его так же, как и обычные инструменты. Изначально в коллекцию Мои инструменты включены инструменты для построения замечательных линий треугольника (медиан, биссектрис, высот, вневписанных окружностей), некоторых часто встречающихся фигур (равнобедренного треугольника, трапеций разных видов) и еще для нескольких стандартных построений.

Для примера создадим инструмент, который строит правильный треугольник по его центру и вершине. Одно из возможных построений показано на рисунке 6-1; исходные точки — O и A, окружности проводятся в порядке, обозначенном цифрами. Построив точки B и C и соединив вершины треугольника отрезками, нужно выделить данные, то есть точки O и A, и результат — точки B, C и стороны треугольника, а затем выбрать в меню Мои инструменты команду Новый инструмент... Откроется диалоговое окно (рис. 6-2), в котором производится окончательная настройка.

Созданный инструмент появляется внизу списка слева строкой Без имени. Содержательное название записывается в верхнем поле справа. В поле комментария можно записать любые пояснения для будущего пользователя команды; они появятся во всплывающей подсказке к инструменту. Внизу справа находится список аргументов команды. В данном случае это две точки. Первоначально в списке они появятся под названиями точка-0 и точка-1, причем в том же порядке, в каком они были выделены при записи команды. Текст, которым вы замените эти названия, будет появляться в строке состояния при применении инструмента; также можно записать комментарии к аргументам, которые будут доступны при повторном открытии диалога.

Чтобы применить новый инструмент, нужно выбрать его в меню и указать две точки; эти точки, как обычно, могут и создаваться вновь, если щелкнуть на свободном месте или на линии. Заметим, что после применения нашего инструмента на чертеже появятся только те элементы построения (треугольник и его центр), которые были выделены при записи, если же вы хотите, чтобы вместе с треугольником возникала, например, и его описанная окружность, ее тоже надо выделить перед записью. Более того, вспомогательные построения не появятся, даже если нажать кнопку Показывать всё скрытое! Мы говорим, что они являются «сверхскрытыми». О том, как все-таки при необходимости добраться до этих объектов, будет сказано ниже.

Коллекцию личных инструментов можно организовать с помощью обычной древовидной структуры: в меню окна коллекции имеется команда для создания папок, а также для удаления инструментов из списка. По умолчанию пользовательские инструменты записываются в специальный файл macros-default.mcr в папке C:\Documents and Settings\Пользователь\.1CMathKit40_ru\macros, где «Пользователь» — имя пользователя в системе. Если при сохранении инструмента поставить отметку Сохранять только в файле построения, то он запишется не в специальный файл-хранилище, указанный выше, а в файл чертежа. Это позволяет пользователям обмениваться своими инструментами.

Упражнение 1. Создайте инструмент, который работает так же, как и описанный выше, использовав при построении поворот.

II.  Пересечения с окружностью.

Тонкости создания инструментов

В коллекции пользовательских инструментов есть два инструмента, названия которых («Вторая точка пересечения…») могут быть не совсем понятны. Они созданы для того, чтобы преодолеть затруднение, с которым рано или поздно сталкиваются все, кто работает с программами динамической геометрии.

Причина описанной неприятности в том, что при построении второй точки пересечения мы никак не сообщаем программе, что эта точка должна отличаться от A. Поэтому из двух точек пересечения программа будет выбирать ту, для которой сохраняется изначально возникший порядок точек на прямой (для рис. 6-3 — порядок B–A–C). И такая же проблема возникает при построении «второй точки пересечения» двух окружностей.

Простейший способ ее решения — непосредственно использовать преобразование симметрии (оставим в стороне частный вопрос о задании из занятия 1). Точку C на рисунке 6-3 можно построить как точку, симметричную A относительно перпендикуляра, проведенного из центра O окружности к прямой AB. Выполним это построение и попробуем создать инструмент, который будет его повторять.

Нужно выделить аргументы и результат построения. Результат — это, конечно, точка C. А аргументы – прямая, точка A и центр O (подчеркнем — не окружность, она сама по себе в построении не участвует). Выделим перечисленные три точки и прямую и выберем команду Новый инструмент меню Мои инструменты. Откроется диалог, показанный на рисунке 6-2, но в нем мы увидим только один аргумент (точку)! Нужный инструмент не записывается. Что же случилось? Дело в том, что при создании инструмента программа сама анализирует выделенные объекты и связи между ними, ищет среди них свободные, независимые от других, принимает их за аргументы, а остальные — за результат. При этом если среди выделенных элементов не хватает данных для всех запоминаемых построений, то эти данные восполняются произвольными объектами того же типа. В нашем случае точка O, конечно, свободная, но точка A уже нет: она лежит на окружности с центром O и, тем самым, косвенно связана с O, а связь между прямой и точкой A очевидна.

Однако записать нужный инструмент все-таки можно. Возьмем произвольную прямую и точки A и O вне нее. Повторим наше построение – построим точку C, симметричную A относительно перпендикуляра, проведенного к данной прямой через O. Выделим прямую и точки A, O и C и создадим новый инструмент. На этот раз все срабатывает без сбоев, поскольку все исходные объекты между собой независимы, и мы получаем искомый инструмент. Разумеется, его можно применять и в том случае, когда A лежит на пересечении окружности и прямой. Именно этот инструмент и включен в коллекцию Мои инструменты.

Нам может понадобиться и инструмент, который строит вторую точку пересечения окружности и прямой, если дана сама окружность, а не ее центр. Как его создать? Один способ — построить центр окружности (например, как пересечение серединных перпендикуляров к двум произвольным хордам) и свести задачу к предыдущей. Более изящный способ – взять прямую, окружность и не лежащую на них точку A, построить точки M и N пересечения прямой и окружности, серединный перпендикуляр p к MN и точку B, симметричную A относительно p. Перед записью инструмента нужно выделить прямую, окружность и точки A и B.

Упражнение 2. Создайте инструменты, которые строят точку пересечения двух окружностей, отличную от данной точки их пересечения: а) если даны центры окружностей, б) если центры не даны. (Инструмент из п. «б») включен в стандартную коллекцию.)

III. Редактирование готовых моделей

При создании моделей трудно предусмотреть заранее все нюансы, особенно поведение конструкции при изменении ее исходных элементов. По этой или по другим причинам нам может понадобиться внести изменения в готовую модель. В МК для этого есть большие возможности. Мы рассмотрим их на примере редактирования нашей модели вращающегося куба, созданной на занятии 4.

Прежде всего, построим круговой движок, который будет приводить куб во вращение (в нашей модели вращение осуществляется перемещением точки P по окружности; рис 6-4).

С помощью команды Показывать все скрытое выведем на экран окружность, по которой бегает точка P (на рисунке 6-4 это уже сделано). Отметим точку P' пересечения этой окружности с прямой, проведенной через центр O куба параллельно радиусу KM (из двух точек пересечения возьмем ту, для которой луч, проведенный из O, сонаправлен с лучом KM; проблема «второй точки пересечения», о которой говорилось выше, здесь нам не грозит; см. рис. 6-6). Вращение точки M будет дублироваться точкой P'. Теперь нам нужно «переклеить» точку P к точке P', а точнее говоря, передать всех «потомков» точки P точке P'; в МК принята терминология «подменить точку P точкой P'». Один из этих «потомков» создаст нам проблему; это эллипс, описанный около серединного сечения куба (рис. 4-7 из занятия 4), который мы строили исключительно для наглядности. Поскольку этот эллипс никак не участвует в работе самой модели, его можно удалить, что мы и сделаем, предварительно показав его, как и окружность выше. Теперь выделим точку P и выполним команду Отвязать точку (кнопка ) в меню Правка (эта команда имеется также в контекстном меню точки). Хотя точка P визуально и останется на окружности, фактически связь между ними рвется, и теперь вы можете сдвинуть P с окружности; все связанные с точкой P объекты — потомки P — последуют за ней (рис. 6-6).

Чтобы подменить P точкой P', выделим эти точки (сначала P, потом P') и выполним команду Подменить точку другой (кнопка в меню Правка). Выскочит список потомков точки P (рис. 6-7), в котором отмечаются те, которые передаются новой точке; в нашем случае ничего в этом списке менять не надо – передается всё.

Нажимаем ОК и восстанавливаем правильное изображение куба, которое теперь зависит уже от вновь построенного движка. Обратите внимание, что исходная точка P остается на своем месте и часть потомков, теоретически, может сохраниться за ней. В нашем случае она освобождена от всех связей, так что ее можно удалить, а точку P', прямую OP' и окружность скрыть. Наконец, нужно переопределить кнопку Вращать, приводившую в движение точку P. Откроем диалог ее свойств (рис. 6-9), выделим поле Объект и щелкнем по точке M.

Она появится в этом поле вместо стоявшей там точки P. Теперь можно закрыть диалог — переделка закончена. (Окно диалога занимает много места на экране и может заслонять нужную точку. В этом случае большое окно можно заменить маленьким (рис. 6-10), нажав на значок мишени рядом с полем Объект.)

«Наклон» куба, который регулировался свободным параметром с ползунком, тоже можно сделать зависимым от кругового движка. Это позволит поворачивать куб вокруг горизонтальной оси на полный угол, а не только в пределах от 0 до 180°.

Создадим движок для наклона. Проще всего использовать уже имеющийся. Выделим его и либо скопируем и вставим с помощью одноименных команд в меню Правка (кнопки ), либо «продублируем» (кнопка в том же меню). Разница между двумя способами в том, что в первом случае копия движка вставляется на новом месте, а во втором — в точности на том же самом (дублирование равносильно выполнению команд Копировать и Вставить в то же место). Но в любом случае новый движок надо будет переместить в новое, более удобное положение.

Теперь нужно «снять» с нового движка (рис. 6-11) величину, которой мы заменим параметр k исходной модели. Вспомним, что k — это косинус угла отклонения плоскости грани ABCD от вертикали. Сравнивая рисунок 6-11 с рисунками 4-3 и 4-10 из занятия 4, мы видим, что в качестве этого угла удобно рассматривать угол между радиусом-бегунком QT и вертикалью. Его косинус, то есть новое значение k, мы для разнообразия измерим как отношение проекции QT₁ радиуса QT на вертикальный радиус QN к радиусу (с учетом знака).

Для этого выделим точки T₁, Q, N в указанном порядке и выполним команду Измерить отношение (кнопка ); на чертеже появится значение отношения (со знаком минус, если лучи QN и QT₁ противоположно направлены). Его-то и нужно будет подставить вместо k.

Команду измерения отношения можно применять к двум отрезкам (и тогда она дает отношение их длин) или к трем точкам. Для точек на одной прямой результатом будет так называемое простое отношение этих точек, то есть отношение, в котором вторая точка делит отрезок, соединяющий первую и третью точки, с учетом направлений отрезков. Хотя в геометрии простое отношение, по определению, рассматривается только для коллинеарных (лежащих на одной прямой) точек, данную команду МК можно применять к любым трем точкам A₁, A₂, A₃. Получится отношение A₂A₁ : A₂A₃, взятое со знаком плюс, если угол A₁A₂A₃ острый и со знаком минус, если он тупой. Как правило, в случае неколлинеарных точек лучше использовать отношение соответствующих отрезков.

Приступим к замене параметра k в нашей модели. Вспомним, что при ее построении он использовался как коэффициент сжатия исходного квадрата, а также для вычисления величины (которая, в свою очередь, использовалась в другом сжатии). Так, середина ребра AA₁ куба (рис. 6-4) была получена сжатием точки P к горизонтальной прямой с коэффициентом k, которое осуществлялось с помощью гомотетии. Аналогично строились и середины трех ребер, параллельных AA₁. Нажмем кнопку , чтобы показать все скрытые объекты. Среди них мы увидим приведенную выше формулу для m, а также несколько (пять) гомотетий. Откроем диалог свойств какой-либо из гомотетий; если в поле, задающем ее коэффициент, стоит k (а таких гомотетий должно быть четыре), вставим в это поле новую величину — Пятая гомотетия имеет коэффициент m. Чтобы переопределить его, откроем задающую его формулу в редакторе выражений и заменим переменную k в выражении sqrt((1-k^2)/2) новой величиной (отношением). Теперь можно «отжать» кнопку показа скрытых объектов. Наша цель достигнута – куб можно вращать вокруг горизонтальной оси с помощью нового кругового движка.

Но если вы внимательнее присмотритесь к этому вращению, следя за обозначениями вершин (или закрасив одно из оснований куба), то заметите, что в момент, когда радиус QT проходит через вертикальные положения, куб как бы начинает вращаться в обратную сторону! Не вдаваясь в подробности, поясним, почему это происходит. Вспомним, что при построении нашей модели величина была использована вместо синуса угла наклона куба. Но такая замена правомерна только пока синус положителен. А это условие не будет выполняться, если разрешить кубу совершать при «наклоне» полный оборот. Исправить дело можно, заменив величину отношением QS₁/QN (см. рис. 6-11) с учетом знака.

Вместо отношений можно непосредственно использовать тригонометрические функции. При этом в качестве их аргумента удобно взять пересчитанную в радианы угловую меру β дуги RT, так как измерение дуг дает величины, изменяющиеся от 0 до 360°. Тогда вместо k нужно подставить sin β, а вместо m —

Итак, для окончательной «доводки» нашей модели надо подставить в качестве коэффициентов k и m пяти гомотетий, использованных в модели, соответствующие выражения с простыми отношениями или функциями от βL.

Таким образом, «Математический конструктор» позволяет скорректировать практически любой шаг построения, не переделывая его в целом.

Упражнение 3. Размер куба в нашей модели регулируется точкой E (рис. 6-4, 6-6), которая задает радиус исходной окружности. Создайте отдельный (прямолинейный) движок «Масштаб», с помощью которого можно будет изменять размер.

IV. Предки и потомки

При редактировании построения или при анализе его структуры возникает необходимость узнать, от каких объектов зависит данный объект и какие объекты зависят от него. Например, если мы подставляем вместо параметра k другую величину, как мы это делали выше, то нужно проделать это для всех непосредственных «потомков» k.
Для того чтобы их обнаружить, нужно выбрать в меню Правка команду Выделить потомков (кнопка или клавиша PgDn) и щелкнуть по исследуемому объекту. А перед этим, возможно, потребуется «показать всё скрытое». Имеется и «обратная команда» — Выделить предков (кнопка или клавиша PgUp). Она выделяет все объекты, от которых данный объект непосредственно зависит.

Однако такой способ путешествия по «генеалогическому дереву» чертежа не всегда работает. Например, если при построении были применены пользовательские инструменты, то, как говорилось выше, выполняемые ими дополнительные построения не открываются командой показа скрытого (они «сверхскрыты»). Другая ситуация — в ходе построения мы сдвинули лист или изменили его масштаб. При этом расположенные на нем объекты могли «съехать» за границы чертежа и тем самым полностью потеряться из виду, так что мы и не будем знать об их существовании. Для таких случаев на вкладке Общие свойства любого объекта предусмотрен раздел Связи, в котором находятся кнопки (рис. 6-12), нажатие на которые открывает выпадающие списки предков и потомков объекта.

Если объект является кнопкой (Показать, Двигать и т.п.), то соответствующий список содержит «управляемые» этой кнопкой объекты, например, те, которые появляются или приводятся в движение при нажатии на нее.

Если навести курсор на объект в списке предков или потомков, то этот объект на чертеже подсветится (конечно, при условии, что он является видимым в данный момент, в том числе если он был скрыт и мы «показали все скрытое»). Если щелкнуть по какому-нибудь объекту в любом из этих списков, то этот объект останется выделенным и все диалоговое окно переключится на его свойства. В частности, даже если это объект был «сверхскрытым», мы войдем в его диалог свойств, где можем сделать его видимым или просто отредактировать, не показывая его на листе.

V. Автоматизация управления свойствами

Мы обещали усовершенствовать нашу модель куба еще в одном отношении: встроить в нее автоматическое изменение стиля ребер в зависимости от того, находятся ли они на видимой или невидимой стороне куба.

Сделать это можно следующим образом. Для каждого ребра a мы создадим параметр, принимающий два значения, а именно, 0, если ребро находится на видимой (в данный момент) стороне куба, и 2, если на невидимой. В перечне стилей линии (рис. 6-13) числу 0 отвечает первая позиция («обычная» линия), а числу 2 — третья (штриховая линия). Чтобы связать стиль ребра с этой величиной, нужно выделить поле стиля в свойствах этого ребра и щелкнуть по соответствующему параметру; он появится в поле и будет определять стиль.

Теперь нужно объяснить, как вычисляется нужный параметр. Сначала разберемся с гранями. Допустим, что, например, грань ABCD в данный момент видима и при движении от вершины A к B и далее к C и D на чертеже мы обходим ее против часовой стрелки (рис. 6-15). Если повернуть куб так, чтобы эта грань стала невидима, то мы будем смотреть на нее с другой стороны (рис. 6-16), и тот же обход будет идти уже по часовой стрелке.

В первом случае величина направленного угла CBA положительна, во втором — отрицательна. Таким образом, по знаку этой величины можно судить о том, видима или нет данная грань. Пусть a — общее ребро граней α и β. Оно будет видимым, если и только если видима хотя бы одна из этих граней. Пусть i(α) = 1, если грань a видима, и i(α) = –1, если эта грань невидима; для грани α = ABCD на рисунке 6-11 можно взять i(α) = sign CBA, где CBA — величина направленного угла, а

Аналогично определим и i(β). Тогда ребро a является видимым, если и только если хотя бы одна из величин i(α) и i(β) равна 1. Остается образовать из этих величин выражение, равное 0, если хотя бы одна из них равна 1, и равное 2 в остальных возможных случаях; его и нужно подставить в поле стиля ребра a. Например, можно взять величину 1– sign (i(α) + i(β) + 0,5).

У куба 6 граней и 12 ребер, поэтому имеет смысл сделать инструменты для ускорения работы. Первый из них должен для трех точек A, B, C вычислять sign CBA. С его помощью мы найдем «показатели видимости» i(α) для всех граней; точки-аргументы при вычислении надо выбирать в таком порядке, чтобы для видимых в данном положении граней получилось i(α) = 1, а для невидимых — i(α) = –1. Второй инструмент должен по двум величинам x и y вычислять 1– sign (x + y + 0,5). Применяя его к «показателям видимости» каждой пары смежных граней, найдем «показатели видимости» для всех ребер, после чего используем их для переопределения стиля ребер.

Можно похожим образом параметризовать и ряд других характеристик объектов, например, стиль и размер точки. Наиболее интересна в этом плане параметризация цвета. Чтобы установить зависимость цвета от параметра, надо открыть палитру цветов в диалоге свойств объекта (другие способы изменения цвета здесь не годятся; рис. 6-17) и выбрать свойство Задать параметрически.

Откроется новое окно (рис. 6-18), в котором цвет задается численно одним из двух общепринятых способов — в системе RGB (красный-зеленый-синий) или HSB (оттенок-насыщенность-яркость). При параметрическом задании используется второй способ; постоянные значения в полях H, S и B можно заменить выражениями. Объяснение того, как именно цвет зависит от этих значений, выходит за рамки наших занятий, но это можно понять с помощью эксперимента.

О чем мы еще не сказали

Здесь мы кратко расскажем о некоторых дополнительных возможностях МК, обращаться к которым в рассмотренных нами примерах не понадобилось.

Меню Справка

Здесь представлены:
• Краткий справочник — таблица с названиями всех команд и инструментов, соответствующими значками, наборами курсоров, отвечающих шагам выполнения команд, и комбинациями клавиш быстрого вызова;
• Пособие «Возможности программы», содержащее набор моделей-примеров, демонстрирующих разнообразные способы применения программы и типы моделей, которые можно использовать в учебном процессе;
• Руководство пользователя, содержащее подробное описание всех команд и инструментов программы и приемов работы с ними, в котором можно найти необходимые сведения и о тех немногочисленных инструментах, о которых мы в ходе наших занятий не успели рассказать.

Меню Построения

Хотя в этом меню остается еще довольно много новых для нас команд, новизна эта формальная. Фактически же большинство из них выполняются точно так же, как те, с которыми мы познакомились на наших занятиях, и в дополнительных объяснениях не нуждаются. Напомним, что о порядке работы с командами вам всегда напомнит вид курсора и строка состояния, не говоря уже о справке к программе.

Остановимся отдельно на командах, в которых, кроме исходных фигур, нужно еще дополнительно задать параметры операции, которая будет выполняться.

Во-первых, это три команды с целочисленным параметром N: Разделить отрезок на N частей, Разделить угол на N частей и Правильный N-угольник. Их отличие от других команд построения в том, что после выбора любой из них появляется окно, в котором задается N.

Вторая группа таких команд — это команды преобразований. Эти команды устроены наиболее сложно и о них стоит сказать еще раз. Рассмотрим для примера команду Поворот (кнопка ), может быть, «самую длинную» и к тому же допускающую несколько способов выполнения. Она выполняется так:

1) выделяем фигуры, которые будут поворачиваться;

2) выбираем Поворот в группе Преобразования в меню или на инструментальной панели;

3) щелчком мыши указываем центр O (можно использовать имеющуюся точку или создать новую на пустом месте или на линии);

4) указываем (или создаем) три точки, задающие угол поворота: если, по порядку, выбраны точки A, B и C, то поворот производится на угол ABC с учетом направления.

В результате на экране появятся образы указанных фигур при повороте и объект «поворот» — поле с обозначением

Отметим, что среди точек, задающих центр и угол поворота, могут быть одинаковые.

Шаги 1 и 2 можно переставить: сначала выбрать инструмент, а потом выделить фигуры; чтобы обозначить завершение выбора фигур нужно нажать клавишу Enter или при выборе последней фигуры щелкнуть по ней дважды. Вместо шага 3 можно нажать клавишу Enter: откроется диалог свойств поворота, в котором можно разными способами задавать центр и угол. Можно вызвать этот диалог (той же клавишей Enter) и после шага 3 — указания точки-центра. Наконец, его же можно открыть после выполнения команды (выделив объект «поворот» и нажав Enter, или любым другим способом вызова диалога свойств объекта) и переопределить центр или угол. Как центр, так и угол можно задавать не только точками, для выбора которых в диалоге свойств применяется знакомый нам инструмент «мишень», но и численно: центр задается координатами, а угол — его величиной в радианах или градусах. Имеется выпадающий список стандартных значений углов (таких как 30°, 90° или π, и т.д.); также в поле величины угла можно поместить любой параметр или выражение.

Практически так же работает команда Гомотетия. Чтобы задать коэффициент геометрически, нужно указать четыре точки: коэффициент будет равен отношению расстояния между первыми двумя из них к расстоянию между третьей и четвертой. При этом одну и ту же точку можно использовать дважды.

Объект «преобразование» позволяет не только переопределять параметры преобразования, но и выполнить это преобразование еще раз. Для этого используется команда Повторить преобразование из той же группы команд (кнопка ). Порядок ее выполнения такой же, как и у поворота или других преобразований, только вместо указания параметров преобразования нужно щелкнуть по обозначению повторяемого преобразования.

Меню Графики

В этом меню, прежде всего, отметим команды, позволяющие строить кривые, не являющиеся графиками функции одной переменной.

Функция двух переменных () открывает окно редактора выражений, в котором можно указать обозначения функции (например, F) и переменных (например, x и y) и задать формулу, – например, x² – y² – 1. На экране появится поле с равенством F(x, y) = x² – y² – 1.

Если применить к этому уравнению уже знакомую нам команду График (), то будет построено множество точек, задаваемое уравнением F(x, y) = 0.

Кривая, заданная параметрически (): перед применением этой команды нужно создать две функции f и g от одной и той же переменной и выделить их; команда построит кривую, задаваемую параметрическими уравнениями x = f(t), y = g(t).

В этом же меню имеется инструмент, который строит локальный экстремум функции, ближайший к указанной мышью точке ее графика (кнопка ).

МК умеет строить области разных видов — многоугольники, круг и его части, криволинейные трапеции. В меню Графики помещена группа операций над множествами (Действия с областями), включающая операции объединения, пересечения, взятия разности и симметрической разности множеств. С их помощью можно, например, строить решения алгебраических неравенств на координатной плоскости.

Полезный совет: если построено, например, пересечение C множеств A и B, то, повторно щелкая по множеству C, мы будем выделять эти три множества поочередно.

Меню Вычисления

В этом меню собраны инструменты для составления выражений и вычисления их значений, а также для измерения геометрических величин. Остановимся на некоторых особенностях измерений.

Хотя инструмент, вызываемый кнопкой , называется Расстояние между точками, его можно применять и к отрезкам для нахождения их длин. Следует понимать, что расстояние между точками рассчитывается по известной координатной формуле, в которую подставляются координаты этих точек относительно фрейма, на котором они построены (в частности, это может быть корневой фрейм, то есть основной лист); сама система координат при этом может быть скрыта. Это остается справедливым и в том случае, когда выбраны разные масштабы по осям. Единицы измерения, приписываемые к измеренным расстояниям и длинам, играют, можно сказать, «декоративную» роль – при их смене числовые значения расстояний не изменяются.

В отличие от Расстояния, инструмент Величина угла () измеряет только углы, заданные тремя точками (эти точки и нужно указать при измерении). Однако само понятие величины угла в геометрии имеет много разных интерпретаций — рассматривают (и используют, хотя и не одинаково часто) углы между лучами, между векторами, между прямыми, меру угла как плоской области, углы с учетом и без учета направления. Все это разнообразие доступно через список функций измерения в редакторе выражений.

Меню Вид

Мы уже привыкли к тому, что все операции «Математического конструктора» можно выполнять разными способами. Это относится и к сдвигам и масштабированию фреймов. С предназначенными для этих операций инструментами меню Вид мы уже знакомы, но растянуть холст можно, и непосредственно перетаскивая крупные засечки на осях координат (курсор при этом должен принять вид двойной стрелки), а сдвинуть — перетаскиванием начала координат (курсор должен принять вид креста со стрелками). Эти действия можно запретить или разрешить, поставив соответствующие отметки в окне свойств фрейма (рис. 6-20). Кнопка с замочком в том же окне используется для того, чтобы закрепить равенство масштабов по двум осям; если она «отжата», масштаб вдоль каждой оси можно изменять отдельно. Можно устанавливать масштабы и численно, в пикселях.

При работе с фреймом начало координат может сдвинуться и «потеряться». Вернуть его на место поможет команда Вернуться к центру (кнопка ),находящаяся в контекстном меню фрейма (вызываемом по щелчку правой кнопкой мыши).

Команды группы Листы меню Вид позволяет создавать в одном файле МК несколько независимых листов, удалять их и переходить с одного листа на другие аналогично тому, как это делается, например, в программе Microsoft Excel. При наличии нескольких листов каждому листу можно дать собственное название и установить для него свои настройки через диалог его свойств.

Множественное редактирование. Нередко возникает необходимость одинаковым образом изменить свойства нескольких однотипных объектов, например, сделать сразу несколько отрезков пунктирными, а несколько окружностей синими. Выделим все эти объекты и выполним команду Свойства объекта... меню Правка или просто нажмем Enter. Откроется диалоговое окно, аналогичное окну предварительных настроек (рис. 6-19), но только с теми типами объектов, которые были выделены. Выбрав нужный тип, мы можем одновременно изменить стиль, цвет и некоторые другие настройки всех объектов этого типа. В частности, эту процедуру можно применить ко всем объектам чертежа (с помощью команды Выделить все меню Правка или нажав клавиши Ctrl+A). Если после этого в окне множественного редактирования выбрать какой-то тип, скажем, «точки», затем поставить отметку Выделять только объекты данного типа и закрыть окно, то на чертеже останутся выделенными все имеющиеся на нем точки.

Меню Кнопки

Рассмотрим подробнее две последние позиции этого меню. С их помощью на чертеже можно сформировать вопросы, ответы на которые даются в форме простого текста или выбором вариантов из предложенного набора и проверяются по нажатию на кнопку проверки.

Инструмент Поле ввода ответа создает в указанном месте листа кнопку Проверить и поле, в которое вводится в форме простого (неформатированного) текста произвольный набор символов. При нажатии на кнопку этот «текст» сравнивается с заранее предусмотренными вариантами и на основе этого сравнения выдается то или иное сообщение. Одновременно с появлением поля и кнопки открывается диалог свойств кнопки со скриптом, определяющим ее работу. Первые строки скрипта выглядят так:

var CORRECT_ANSWER1 = "Верный ответ №1";
var CORRECT_ANSWER2 = "Верный ответ №2";

Вместо текста в кавычках (выделенного красным) нужно вписать варианты верных ответов в любом числе; если в поле будет введен текст, совпадающий с одним из этих вариантов, ответ будет считаться верным. Таким же образом в скрипте формируются сообщения с оценкой ответа, данного пользователем.

Инструмент Чекбокс (кнопка ) создает на листе поле с окошком, в котором можно поставить «галочку». Рядом с окошком в том же поле можно поместить подпись. Фактически этот объект равносилен числовому параметру, принимающему значение 0, если отметки нет, и 1, если она поставлена. Если создать несколько чекбоксов, отметить некоторые из них, сформировав «правильный ответ», выделить их (с проставленными отметками) и выбрать в меню команду Проверить ответ, то будет создана кнопка, при нажатии на которую текущий набор «галочек» будет сравниваться с «правильным ответом». При полном совпадении будет выдано сообщение о правильности.

Аналогично, без редактирования скрипта, можно создавать и кнопку проверки текстовых полей, только вместо чекбоксов при этом нужно выделить эти поля с введенными в них верными ответами.