Теория и практика преподавания вероятности и статистики в российской школе

Вопрос о целесообразности введения в школьный курс основ статистики и теории вероятностей рассматривался в России уже в первой половине XIX века. Во многом такая прогрессивная позиция российской школы обуславливалась серьезными научными разработками в этой области отечественных ученых. Отдавая должное роли России в становлении и развитии этой новой области математических знаний, зарубежные ученые называли теорию вероятностей русской наукой.

Уже в первой половине XIX века преподаватель Царскосельского лицея Н.Т. Щеглов в своем школьном учебнике алгебры предлагает для изучения такие вопросы теории вероятностей: «Простая или абсолютная вероятность. Относительная вероятность. Вероятности сложные. Вероятности для явлений одно другим заменяемых. Вероятности явлений в повторяемых опытах». В учебнике даются первоначальные представления об этих понятиях, разбираются примеры с решениями.

В известном в России и неоднократно издававшемся учебнике начальной алгебры К.Д. Кра- евича, а также в задачнике того же автора есть главы «о вероятностях». Краевич использует неформальное изложение материала, не содержащее строгих утверждений и доказательств, базирующееся в основном на практических задачах и примерах («Математическая выгода. О лотереях. О вероятности человеческой жизни. О страховании»).

Колмогоров Андрей Николаевич (1903—1987) Выдающийся советский математик, академик. Один из основоположников современной теории вероятностей. Им получены фундаментальные результа- ты в топологии, математической логике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов и ряде других областей математики и её приложений.

Активным обсуждением планов и программ изучения основ теории вероятностей в средних учебных заведениях характеризуется в России начало XX века, которое проводилось в рамках общей широкой дискуссии по реформированию школьного математического образования. Потребность в таком обновлении школьного курса с включением вероятностно-статистического материала осознавалась не только математиками, но и многими представителями естественных наук. Так, план учебного предмета теории вероятностей для средних учебных заведений, разработанный П.С.Фроловым, был опубликован в 1902 г. в «Дневнике XI съезда русских естествоиспытателей и врачей». А уже на XIII съезде рассматривались две программы введения вероятностно-статистического материала в школу: программа-минимум и программа-максимум.

Созданная в эти годы при Министерстве народного просвещения комиссия по изменению программ математики в средних учебных заведениях, представившая в 1910 г. свой доклад министру народного просвещения, а также съезды преподавателей вновь поставили вопрос о «введении в программу алгебры гимназий и реальных училищ элементарного курса теории вероятностей и примыкающих к ней исчислений комбинаторного анализа». Министерство придало этому вопросу серьезное значение, собрало отзывы преподавателей и профессоров, а также экспертные заключения. При этом отмечалось «как общее образовательное значение исчисления вероятностей с комбинаторным анализом, так и подготовительное значение к различным отраслям практического знания (торговля, финансовое обращение, управление, отчетности)». А также «не только образовательное, но и большое воспитательное значение» проектируемого курса. В связи с этим были запрошены отзывы и экспертизы не только ученых и педагогов-математиков, но и специалистов других областей.

Педагогические съезды поставили перед министерством вопрос о подразделении программы общеобразовательной средней школы на общую для всех учащихся и на специальную, «приноровленную как к различным категориям индивидуальных способностей, так и к согласованию программ средней и высшей школы между собою и с жизненными требованиями от образованных людей». Соответственно предполагался двухчасовой и четырехчасовой курсы теории вероятностей. Было предложено два варианта состава как двухчасового, так и четырехчасового курсов, предложенные членом комиссии министерства народного просвещения, профессором П.А. Некрасовым и директором Урюпинского реального училища П.С. Фроловым:

I. Двухчасовой основной курс

По плану П.С. Фролова

1. Теория вероятностей.

2. Понятие о вероятности.

3. Бином Ньютона.

4. Теорема Я. Бернулли.

5. Статистические взаимоотношения.

По плану П.А. Некрасова

1. Теория соединений.

2. Понятие о вероятности.

3. Бином Ньютона.

4. Теорема Я. Бернулли.

5. Видоизменения теоремы Я. Бернулли.

II. Дополнения, входящие в четырехчасовой курс

По плану П.С. Фролова

6. Перемножение вероятностей.

7. Сложение вероятностей.

8. Задача Гюйгенса.

9. Теорема Байеса.

10. Свидетельские показания.

11. Задача Бюффона.

12. Задача о разорении игроков.

13. Математическое ожидание.

14. Страхование жизни.

По плану П.А. Некрасова

6. Перемножение вероятностей.

7. Сложение вероятностей.

8. Задача Гюйгенса.

9. Сличение статистических арифметических средин и математических ожиданий. Теорема Чебышева о средних величинах. Статистические взаимоотношения.

10. Теорема Байеса.

11. Свидетельские показания.

12. Задача Бюффона.

13. Задача о разорении игроков.

14. Некоторые приложения понятия математического ожидания. Цены.

15. Страхование жизни.

Из приведенного перечня вопросов видно, что российские ученые в основном находились на общих позициях: введение понятия вероятности на базе комбинаторного анализа, а затем изучение статистических приложений, исторический и прикладной аспекты, практически одни и те же вопросы выделены в рамках изучения минимального курса, различия касались в основном последовательности изложения. Предполагалось двухчасовой курс ввести «в круг учебных предметов гимназии. Место проектируемого преподавания в часах учебных занятий гимназий можно найти, сократив некоторые, менее важные теории и слишком отвлеченные и бесплодные упражнения». Четырехчасовой курс предполагался для нового создаваемого типа реальных училищ, «кои дают образование, приноровленное к экономическим и биологическим факультетам политехникумов и к другим высшим учебным заведениям, где важное значение имеют описательный и сравнительный индуктивный метод, базирующийся на математической статистике и теории вероятностей. Этот тип гимназий существует и в других государствах».

Хинчин Александр Яковлевич (1894—1959)   Советский математик, член-корреспондент АН СССР, академик АПН. Один из самых блестящих представителей Московской математи- ческой школы, им получены основополагающие результаты в теории функций действительного переменного, теории чисел. Один из основателей современной теории вероятностей, теории случайных процессов (совместно с А.Н. Колмогоровым) и теории массового обслуживания.

Однако предполагаемому сначала экспериментальному, а затем общему включению курса теории вероятностей в школу, увы, помешали известные всем объективные обстоятельства.

В советский период также не раз в повестку дня ставился вопрос о включении вероятностно-статистического материала в курс математики средней школы. Уже в 1919 г. в объяснительной записке к программе второй ступени Единой трудовой школы-коммуны для физико-технических групп говорится, что «теория вероятностей должна войти в курс математики» со ссылкой на активное использование статистического метода в современной физике.

Понятие о вероятности явлений, сложении и умножении вероятностей, о законе больших чисел, элементы математической статистики, закон случайных ошибок — все это обозначено в программе по математике для школ второй ступени 1925 г. В это время в профессиональной педагогической печати продолжалось обсуждение путей изучения вероятности и статистики в школе, публиковались проекты программ, предлагались методические пути их реализации. Однако никаких реальных попыток включения в массовую школу не происходило.

Одновременно усиливалась потребность в разнообразных практических применениях теории вероятностей. Классическая книга «Элементарное введение в теорию вероятностей» Б.В. Гнеденко и А.Я. Хинчина, суть и смысл которой точно передан в названии, не случайно была написана именно в период Великой Отечественной войны. Отлично понимая, что «в области теории вероятностей дело обстоит так, что с практическими приложениями этой науки приходится иметь дело большому числу командиров (а подчас и рядовых работников) армии, промышленности, сельского хозяйства, экономики и т.д.», и стремясь компенсировать отсутствие школьной вероятностно-статистической базы, авторы излагают основы стохастики на уровне математических знаний семиклассника, акцентируя практические применения вероятностно-статистических законов, не стремясь углубляться в специальные и формальные вопросы.

В период реформы математического образования, начатой в 1960-е годы, выдающиеся российские математики А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.И. Маркушевич, И.М. Яглом поставили вопрос о включении элементов теории вероятностей в обязательный курс математики. Б.В. Гнеденко писал: «После школы молодые граждане должны отчетливо понимать, что в природе и общественной жизни далеко не все процессы сводятся к чисто детерминистическим, что такого рода подход является только первым приближением к действительности. Следующий шаг на пути познания — статистический подход. В этом огромное методологическое значение статистики и теории вероятностей... Интересы развития всех направлений науки требуют введения в школьное образование элементов статистического мышления…» Целый цикл статей посвятил проблемам включения разделов «современной математики», в том числе вероятности и статистики, в курс средней школы великий математик и педагог А.Н. Колмогоров. Он разработал возможные подходы к изложению понятия вероятности для факультативного курса в старших классах, а также содержание и методику самого курса.

Маркушевич Алексей Иванович (1908—1979) Советский математик и педагог. Академик АПН, зам. министра просвещения РСФСР. Основные работы относятся к теории функций комплексного переменного. Много лет возглавлял комиссию АН и АПН, которая определяла содержание среднего образования. Принимал активное участие в разработке новых программ по математике для школы и в создании новых учебников, разрабатывал вопросы усовершенствования системы подготовки учителей математики.

В этот период появились также книги и статьи, написанные такими известными математиками, как А.И. Маркушевич, И.Г. Журбенко, в которых предпринимались попытки элементарного изложения для школьников основных идей и приложений теории вероятностей. Параллельно Н.Я. Виленкин опубликовал несколько пособий по комбинаторному анализу, в которых делалась опора на разбор разнообразных конкретных задач разной степени сложности. Одновременно был опубликован целый ряд работ ученых-методистов, целью которых явилось создание методики преподавания этой новой темы школьного курса. Мнения специалистов разделились. Одни методисты предлагали построить отдельный, изолированный курс собственно основ теории вероятностей, в то время как другие строили совместную комбинаторно-вероятностную линию. Однако для большинства разработок этого периода характерен акцент на вероятностный материал при весьма ограниченном присутствии элементов статистики. При этом сама идея включения элементов теории вероятностей и статистики в школьный курс была активно поддержана не только учеными и учителями математики, но и физиками, химиками, биологами и др. В тот же период вопрос о необходимости пропедевтического вероятностно-статистического курса в средней школе ставился высшей школой. Например, в одном из наиболее известных учебников теории вероятностей для вузов автор Е.С. Вентцель, анализируя ситуации с равновозможными исходами, описывает одновременно и «события, не сводящиеся к системе случаев», подчеркивая, что «все эти способы корнями своими уходят в опыт, в эксперимент, и для того, чтобы составить представление об этих способах, необходимо уяснить себе понятие частоты события и специфику той органической связи, которая существует между вероятностью и частотой». Отмечалось, что без такой пропедевтики в школе трудно обеспечить в дальнейшем сущностное понимание вероятностно-статистических процессов студентами.

Тем не менее, вероятностный материал был исключен из окончательного проекта программы. Свое сожаление выразил по поэтому поводу основоположник отечественной школы теории вероятностей и математической статистики А.Н. Колмогоров: «К сожалению, не нашел положительного решения другой вопрос — введение в курс общеобразовательной средней школы первых понятий теории вероятностей». Прежде всего, исключение материала объяснялось неподготовленностью учителей и школы в целом к преподаванию этого нового и непривычного курса, о чем убедительно свидетельствовали результаты экспериментальной проверки. Нельзя не отметить, что аргументы такого рода справедливы всегда и потому всегда препятствуют изменению программ, включению в них новых разделов. В то же время нельзя не сказать, что выводу о невозможности преподавания основ теории вероятностей в курсе математики во многом способствовал выбранный для проведения экспериментального преподавания теоретически ориентированный материал, классический априорный подход к понятию вероятности случайного события, отсутствие практических приложений и применений, межпредметных связей. Одновременно, при таком отборе содержания, теория вероятностей была практически полностью отделена от математической статистики, знакомства с основами которой не предполагалось. В экспериментальном учебнике девятого класса под редакцией А.Н. Колмогорова элементы теории вероятностей шли вслед и в развитие темы «Элементы комбинаторики». Таким образом, получился замкнутый, никак не связанный ни с остальными темами курса, ни с другими предметами фрагмент, не вызывавший интереса ни у уже мыслящих практически 15–16-летних учащихся предвыпускного класса, ни у учителей. К сожалению, этот выхолощенный подход, реализованный в экспериментальном учебнике, значительно расходился с методологией, раскрытой А.Н. Колмогоровым в его работах, и в значительной степени послужил дискредитации самой идеи внедрения вероятностного материала в программы средней школы.

Гнеденко Борис Владимирович (1912—1996) Советский математик, академик АН УССР. Основные труды по теории вероятностей, математической статис- тике и истории математики. Блестящий педагог и популяризатор научных знаний. Член многих научных обществ.

Результатом явилось перемещение курса комбинаторики и элементов теории вероятностей на периферию системы школьного образования: в факультативные занятия в старшей школе, а также в программы классов с углубленным изучением математики, где тема оказалась последней в последнем, выпускном, 11-м классе. Однако и в этих классах была сохранена вся формальность и ограниченность классического подхода. «Сложность» задач достигается не за счет попыток углубленного и тонкого понимания вероятности случайного события, умения перейти от реальной задачи к соответствующей математической модели, а благодаря постоянному нарастанию сложности комбинаторного анализа, быстрому и формальному переходу к условной вероятности и формуле Бернулли. При этом основы вероятности было предложено изучать в отрыве и отсутствии основ математической статистики. Впрочем, изолированный и сугубо теоретический фрагмент, посвященный элементам теории вероятностей, даже в классах углубленного изучения математики так и не занял сколько-нибудь значимого места, о чем красноречиво свидетельствует практически полное отсутствие задач по этой теме в выпускных экзаменационных работах последних десятилетий в классах углубленного изучения математики.

Исключение составляет разве что экспериментальный выпускной экзамен для классов углубленного изучения математики города Санкт-Петербурга, проводившийся в 90-х годах XX века. Однако и эти предлагавшиеся на экзаменах задачи абсолютно формальны и в то же время элементарны, рассчитаны лишь на подстановку в формулы, что никак не соответствует уровню классов углубленного изучения математики и свидетельствует о неуверенности составителей экзаменационных задач в том, что соответствующий материал пройден учащимися глубоко и осмысленно.

Одновременно целый ряд исследователей и учителей-практиков, озабоченных идеей развития статистического мышления школьников, разрабатывали материалы и проводили эксперименты по проведению кружковых и факультативных занятий по статистике. Однако ограниченность возможностей реализации, само позиционирование курса как необязательного, факультативного приходило в прямое противоречие со ставившимися целями формирования базового, необходимого всем, и вовсе не только на уроках математики, статистического мышления.

Принципиальной для следующего этапа исследований в области путей возможного включения стохастики в школьный курс стала работа В.В. Фирсова, доказавшего, что именно прикладная ориентация курса теории вероятностей и математической статистики является необходимым условием формирования статистического мышления и вероятностной интуиции. В.В. Фирсов утверждал, что необходимо ввести в процесс обучения теории вероятностей такие этапы решения прикладной задачи, как формализация и интерпретация. Однако, несмотря на ряд обоснованных выводов и доказательных положений, он сам осознавал, что без широкой практической проверки высказанных методических идей и методов «вопрос о методическом пути введения элементов теории вероятностей в среднюю школу пока еще нельзя считать решенным».

Справедливости ради следует отметить, что несмотря на то, что Россия до последнего времени оставалась практически единственной развитой страной мира, в школьном курсе которой отсутствует вероятностно-статистическая линия, все эти годы продолжалась экспериментальная работа ученых, методистов, педагогов по преподаванию основ вероятности и статистики в школе. В семидесятых – восьмидесятых годах XX века в СССР был проведен ряд экспериментов по освоению и улучшению методик преподавания теории вероятностей и математической статистики. Определенными вехами в плане создания методики преподавания стохастики в школе стали исследования К.Н. Курындиной, В.Д. Селютина, Л.О. Бычковой, Д.В. Маневича, проведенные в конце 80-х годов, в них сделана попытка проанализировать причины неудачи включения вероятностно-статистического материала в школьное образование и предложено на новом, перестроечном этапе вернуться к этому актуальному вопросу.

Фирсов Виктор Васильевич (1942—2006) Видный деятель российского образования. Возглавлял Лабораторию математического образования НИИ СиМО АПН. Работал над образовательными стандартами, базисным учебным планом, проблемой достижения требований стандарта. Создатель уровневой дифференциации, обяза- тельных результатов обучения, новой парадигмы школьного математичес- кого образования.

Вывод о необходимости перехода от локальных и несогласованных экспериментов к массовому эксперименту, а затем и включению стохастического материала в обязательный курс математики основной школы, был зафиксирован на двух международных конференциях по преподаванию основ вероятности и статистики в школе, проведенных в 90-х Российской ассоциацией учителей математики. На конференциях был представлен разнородный и разнонаправленный экспериментальный опыт внедрения стохастики в отечественную школу и сделана попытка обсуждения этих проблем в контексте мирового опыта, представленного в выступлениях известных ученых-методистов из Франции, Польши, США.

Таким образом, на протяжении почти двух веков становления математического образования в России ставился вопрос об изучении вероятностно-статистического материала в средних общеобразовательных учреждениях и, соответственно, предлагались конкретные планы и программы. Планы включения вероятности и статистики в школу соотносились с идеями и периодами реформирования математического образования, усиления его общеобразовательной, воспитательной функции и прикладного значения. В то же время преподавание в основном предполагалось в традиционной для мировой образовательной практики того времени классической схеме, на базе комбинаторного анализа. Исключения составляли упомянутые исследования, учитывавшие новейший мировой опыт, которые, к сожалению, носили локальный характер, не в достаточной степени пропагандировались и не оказали существенного влияния на представления о том, как строить эффективную систему преподавания стохастики в школе.

В настоящее время наступил принципиально новый этап — включения стохастики в основную школу.

Литература

1. Булычев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика в школе: проблемы преподавания. Второй международный семинар //Математика, 1996, № 48.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. — М.: Высшая школа, 1998. 
3. Гнеденко Б.В. Статистическое мышление и школьное математическое образование // Математика в школе, 1968, № 1.
4. Гнеденко Б.В, Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. — 8-е изд., испр. — М.: Наука, 1976. 
5. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике: Библиотека учителя математики. — М.: Просвещение, 1982. 
6. Журбенко И.Г. Из опыта проведения факультативных занятий по теории вероятностей // Математика в школе, 1972, № 2.
7. Карп А.П. Сюжетно-блочное построение разноуровневых вариантов письменного выпускного экзамена по алгебре и началам анализа как средство повышения его эффективности: Автореф. дис. канд. пед. наук. — СПб., 1997. 
8. Колмогоров А.Н. Роль русской науки в развитии теории вероятностей. В кн.: Роль русской науки в развитии мировой науки и культуры. — Т.1, кн. 1. — М.: Изд-во МГУ, 1947. 
9. Колмогоров А.Н. Введение в теорию вероятностей и комбинаторику // Математика в школе, 1968, № 2.
10. Колмогоров А.Н. К новым программам по математике // Математика в школе, 1968, № 2.
11. Маневич Д.В. Совершенствование содержания общего среднего образования на основе теории вероятностей и статистики: Автореф. дис. докт. пед. наук. — Ташкент, 1990. 
12. Теория вероятностей и математика в средней школе. Отчет по содержанию постановлений съездов преподавателей математики и по содержанию ответов профессоров и преподавателей на вопросы министерства Народного Просвещения. — Пг.: 1915.
13. Фирсов В.В. Введение в теорию вероятностей. Программированное пособие для средней школы. — М.: АПН НИИ общего и политехнического образования, 1970. 
14. Фирсов В.В. Некоторые проблемы обучения теории вероятностей как прикладной дисциплине: Автореф. дис. канд. пед. наук. — М., 1974. 

Бунимович Е.