Преподавание теории вероятностей и статистики в средней школе: Трудно начать?

Высшее назначение математики... состоит в том, чтобы
находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Норберт Винер

 

В школьной жизни часто случаются изменения: одни учебные курсы исчезают, другие добавляются. Вот и появилась несколько лет назад новость: теперь школьники будут изучать «Теорию вероятностей и статистику»! Это известие звучало на окружных семинарах, передавалось из уст в уста. Учителя обсуждали ее между собой без особого энтузиазма. Почему?

Сделав первые шаги в преподавании нового предмета, решила найти ответ на этот вопрос, понять, в чем трудности преподавания теории вероятностей и статистики в средней школе. Выделю восемь объективных трудностей, существующих в настоящее время.

В нашей российской школе отсутствует традиция преподавания данного курса. Когда нынешние учителя были сами учениками, такого предмета в школе не было. Поэтому мы не можем вести этот предмет так же, как его преподавали нам.

С этим предметом не знакомы наши коллеги: ни они, ни их дети, ни дети их друзей в школе его не изучали. Поэтому вокруг теории вероятностей, как любого новшества, возникает ореол настороженности. Нам приходится доказывать целесообразность изучения этого предмета, не пользуясь абсолютно никакой поддержкой педагогической общественности.

Приведу примеры. Библиотекарь выдает мне учебники для кабинета со словами: «Вот еще придумали, лучше бы учащиеся выучили то, что уже есть». (Интересно, она и ученикам так говорит?)

Классные руководители не могут правильно заполнить с учениками дневники и страничку журнала, так как не знают, как правильно писать название предмета.

До последнего дня выясняем: будет ли отметка выставляться в аттестат или нет? Пусть такой подход со стороны учащихся кажется меркантильным, но ведь школьная отметка — это тоже рычаг управления ходом образования. Важность получения хорошего аттестата настраивает учащихся на серьезное изучение предмета. Верно и обратное: если по предмету нет отметки в аттестате, значит, к нему можно относиться как к второстепенному. Такова психология современного ученика, знающего, где нужно выкладываться по-настоящему, а где можно ослабить усилия.

Родители на собрании открыто негативно комментируют нововведение, боясь, что их дети не справятся с новой наукой. Родители сетуют, что не могут помочь своим детям, переживают, не зная, к кому обратиться за помощью: «Раньше, если что, соседка помогала, но она сказала, что задачи по теории вероятностей решить не сможет...»

И тут мы перейдем ко второй, не менее острой, причине.

На момент введения нового предмета среди учителей математики не было достаточного количества учителей, свободно владеющих содержанием курса статистики и теории вероятностей, решающих вероятностные задачи на том же уровне, что и задачи по алгебре. Для нас открыли множество курсов: 12-часовые, 36-часовые..., очные, дистанционные... Однако ясно, что посещение курсов и результативность самообразования — это разные вещи. От добросовестного учителя требовалось многочасовое старательное изучение теории и затем решение разнообразных задач, чтобы «набить руку». Но ведь учительская психология во многом похожа на детскую: что спросят, тому и будем учить! В 9-м классе экзамен, надо алгебру повторять, а я 17 часов отдам на непонятно что? Да и своего времени жалко. Легче делать то, что давно хорошо получается, чем погружаться в новый раздел.

По всем разделам школьной математики существуют учебно-методические комплекты в помощь педагогу. Они доступны любому учителю: дидактические материалы, методические разработки и сборники задач разного уровня сложности, для письменных и устных опросов... Методическая литература настолько разнообразна, что встает проблема отбора лучшего материала из предложенного. По теории вероятностей и статистике выпущено несколько вариантов учебников, но они не могут заменить собой то многообразие методической литературы, в котором нуждается учитель.

Неоспорим факт, что математик и учитель математики — это не одно и то же. Математик должен решить задачу, причем очень сложную. Учитель должен научить других это делать. Учитель должен «перевести» решение математика на понятный слушателю язык, сделать мысль доступной пониманию многих, разложить все по полочкам. Учитель должен направить мысль ученика на поиск решения, а видя неверный ответ, найти дефект в рассуждениях, который привел к ошибке. Учитель знает много разных хитростей: мнемонические правила для запоминания, разделение задач на разные удобные для обучения виды, еще он знает, где в его науке хранятся ключевые идеи, которые упустить нельзя, потому что на них опирается дальнейшее обучение.

Всё вышеназванное — есть методика преподавания предмета. Проблема в том, что во время обучения в педагогическом вузе мы не изучали курс «Методика преподавания теории вероятностей и статистики в средней школе». Его просто не существовало и не существует до сих пор! Значит, каждый педагог должен самостоятельно создавать эту методику методом проб и ошибок. Но положительные результаты в обучении требуются сразу: таковы «правила игры», и ошибаться некогда. Об учителе судят по достигнутым результатам, в том числе показываемым на независимых проверках. Значит, проще оставаться учителем, преподающим алгебру и геометрию, а все новое оставить коллеге.

Преподавание курса «Теория вероятностей и статистика» требует от учителя кардинального изменения стиля своей работы: организации дискуссий, интенсивной устной работы, расширения собственного кругозора в областях других наук: биологии, географии, истории, литературы, и многое другое в дополнение к привычным методам и подходам к обучению. Главным условием роста профессионализма учителя является изменение технологии учительской деятельности. Это положение является чрезвычайно актуальным для учителей математики, проработавших десятки лет в школе.

Мы привыкли вести «письменный» предмет со всеми присущими ему чертами: серьезность, догматизм, многократный повтор одних и тех же алгоритмов. А на уроках по «Теории вероятностей» надо решить несколько задач, абсолютно непохожих друг на друга. Задачи, стоящие в учебнике рядом, не аналогичны, решение одной из них не означает, что будет с легкостью решена следующая! (Похожая ситуация часто встречается и в геометрии.)

Например, на уроке по теме «Элементарные события» сначала надо проявить комбинаторные навыки, чтобы расставить трех человек в очередь всеми возможными способами; в следующей — сообразить, что попадания в различные зоны мишени не связаны между собой; а решая задачу с подбрасыванием монеты, догадаться, что с увеличением числа попыток число событий будет увеличиваться в два раза. Хорошо бы потом увидеть, что первая задача не такая, как две последние, а две последние как раз очень похожи между собой (чем?). Но это уже опять мы возвращаемся к проблемам методики преподавания.

Вывод: ни на каком уроке алгебры перед учениками не проходит такой калейдоскоп разнообразных по сюжету и по способу решения задач. В силу концентризма процесса обучения математике задание «Решить уравнение» присутствует в школьной программе со 2-го по 11-й класс, «Вычисли» — с 1-го по 11-й, пять лет мы занимаемся тождественными преобразованиями и функциями, четыре года решаем неравенства, все 11 классов — задачи на движение. Перечисленные темы включают в себя львиную долю всего математического образования школьников. Содержание, конечно, усложняется, но способ деятельности и ученика, и учителя остается неизменным: есть правило — применяй!

Аналогичные изменения должны произойти и в позиции ученика: должно измениться поведение учащегося на уроке и при подготовке к нему. Но дети привыкли к определенному стилю преподавания математики, требующему от них умения решать пусть и обширный, но заранее очерченный круг заданий. Зачастую они довольствуются тем, что умеют многократно воспроизводить изученный алгоритм и даже противятся попыткам решить задачу другим способом. Еще труднее решать с учениками обычного класса нестандартные задачи, тем более задачи повышенной сложности, в основе которых лежит редко используемый алгоритм решения задачи.

Наблюдается ситуация, при которой ребенок не готов к собственной интеллектуальной активности и к аргументированному отстаиванию своей точки зрения. Значит, необходимо создание специальной среды, способствующей этим изменениям, и погружение в нее учащихся. Это — проведение практических работ, экспериментов, исследовательской и проектной деятельности непосредственно в ходе урока, активное участие в дискуссии, поиск информации за пределами школьного учебника, анализ массивов данных с целью выявления закономерности, самостоятельный выбор инструментария для своей работы, привлечение к работе на уроке и дома ИКТ. Эти требования усложняют жизнь и ученику, и учителю.

Изучение теории вероятности и статистики должно изменить и отношение учеников к случайному, которое часто идет вразрез с имеющимися у детей представлениями. Жизненный опыт учеников, фантазия порой только мешают, уводя в сторону от решения задачи. В опыте с монетой они видят не два исхода (орел, решка) или хотя бы три (добавим пресловутое ребро), но гораздо больше: подброшенную монету уносит птица, влетевшая в окно; монета попадает на люстру... Богатое воображение учащихся подлежит жесткому ограничению с самых первых уроков, когда мы определяем понятия «случайный эксперимент», «его исход», и говорим, что никакие фантастические условия не происходят во время его проведения. «Случайно» — это вовсе не «все что угодно».

Представьте что-либо подобное на уроке алгебры, когда в задаче турист сначала шел пешком, потом ехал на машине... Ни разу эта избитая формулировка не была дополнена словами: «а вдруг машина поломается?». А вероятностные задачи... Кажется, им сама судьба предписывает расшатывать устоявшиеся школьные традиции, пробуждая в учащихся желание абсолютно непродуктивно досочинить своими догадками условие.

«Вася не готов к тесту из 15 задач и отвечает наугад. Найдите вероятность того, что Вася даст хотя бы один верный ответ». Отвечают: «А может, ему повезет?». «Повезет, — говорю, — это другая отрасль, гаданием называется, а у нас — математическая наука, мы будем считать». На протяжении многих уроков надо формировать новое понимание: мы ищем закон, который управляет случайными процессами без влияния везения и фантастики. Как оказалось, стихийно это понимание не образуется.

Усвоение вероятностных и статистических понятий происходит только на уроках статистики и теории вероятностей, не подкрепляется при изучении прочих школьных предметов. На них по-прежнему царят неизбежность наступления ожидаемого результата, полная предсказуемость всех процессов. Вероятностное мышление со всем многообразием ожидаемых исходов не присутствует в их содержании.

Знакомство с современными задачами экономики, с задачами целесообразности освоения новых районов, строительства промышленных объектов и железнодорожных магистралей, выбора мест строительства школ, больниц — остается за рамками школьного образования. Выпускник школы может и не догадываться, что за всем этим стоит современная математика.

Традиционная трудность математических дисциплин — анализ текста условия и, как следствие, умение решать сюжетные задачи — в данном предмете является решающей: все задачи — сюжетные! Для получения хорошей оценки за контрольную работу по алгебре можно безошибочно решить все задания на вычисления, преобразования выражений, решение уравнений и неравенств, то есть «технологичные» задания, и даже не приступать к текстовой задаче. Контрольная работа по теории вероятностей содержит только текстовые задачи. Безликих заданий, заданий «ни про что», вроде «вычисли», «реши уравнение», просто нет — «спрятаться» не за что. Несложные вероятностные задачи сводятся к одной или двум комбинаторным, решение которых ученики должны освоить за три (!) урока.

И надо иметь в виду, что сюжетные задачи по теории вероятности, комбинаторике и статистике гораздо разнообразнее, чем алгебраические. Помимо «классических» задач: бросание кубиков, монет, вытягивание наугад разноцветных карточек, существует огромное число прочих сюжетов. Решая «новую» задачу, понять, что это «старая», только что решенная задача, но в «новой упаковке», — дело очень трудное! Не очень подготовленные ученики не видят аналогию в задачах на вытаскивание из мешка разноцветных ручек или черных и белых пешек.

Для примера рассмотрим решение трех задач по комбинаторике. Похожи ли они по сюжету? А по способу решения?

Задачи

1. Сколько существует трехзначных чисел, у которых в разряде десятков стоит цифра «шесть»?
2. Сколько существует трехзначных чисел, начинающихся с единицы?
3. Сколько можно составить буквосочетаний из двух гласных букв русского алфавита (например, АА, АУ, ОЯ и т.п.)?

Анализ условий задач № 1 и № 2

Две первые задачи вроде бы имеют одинаковый сюжет: обе про числа, в которых одна цифра известна, а две другие надо подобрать. И вопрос одинаковый, и числа трехзначные. Наверное, это одинаковые задачи?

Нет, эти задачи разные. Они отличаются тем, что подбираемые цифры будут взяты из разных множеств: первая цифра не может быть нулем, а на втором и третьем местах цифры могут быть любые. Мелочь? Может быть, но догадаться, учитывать или не учитывать при подсчете ноль, нужно ученику самостоятельно. Вот и получается, что решение второй задачи в целом похоже на решение первой, но не копия его.

Влияет ли смена цифры «шесть» на «единицу»? Нет, это отвлекающий маневр автора, ученик должен понимать факт: важно, что одну цифру из трех выбирать нельзя, она задана, и не принимать во внимание ее значение.

Абсолютно аналогичной для первой задачи была бы такая: «Сколько существует трехзначных чисел, у которых в разряде десятков стоит цифра "семь"?»

Немного труднее такая: «Сколько существует трехзначных чисел, у которых в разряде единиц стоит цифра "шесть"?»

Можно считать аналогичной, но чуть труднее, задачу: «Сколько существует четырехзначных чисел, у которых в разряде десятков стоит цифра "шесть"?»

Для большой аудитории учащихся три последние задачи отнюдь не будут очевидными, отнесенными сразу в раздел задач для самостоятельного решения. Эти ребята испытывают трудности в проведении аналогий и классификаций.

Сравнение условия задачи № 3 с № 1 и № 2

Смена цифр на буквы делает задачу № 3 внешне абсолютно непохожей на две предыдущие. Первое, что хочется ответить: задачи разные. Но оказывается, что третья задача по своей логике решения является точной копией второй задачи: составление всевозможных пар объектов, выбираемых из двух десятиэлементных множеств с возможностью повтора.

Решения.

В первой задаче в разряде сотен стоит любая цифра от 1 до 9, т.е. всего девять вариантов, в разряде единиц – любая цифра от 0 до 9, т.е. 10 вариантов. Всего 9 ×10 = 90 чисел.

Во второй задаче главное – это составить всевозможные последовательности из двух элементов – двух цифр, которые мы поставим в разряд десятков и единиц. В подбираемом числе ноль можно ставить и на второе место, и на третье, т.е. оба раза выбираем цифру от 0 до 9, значит, всего 10 × 10 = 100 вариантов.

В третьей задаче мы составляем последовательности из двух гласных букв. В русском алфавите их 10, одна из 10 букв ставится на первую позицию, одна из 10 букв – на вторую, всего 10 × 10 = 100 вариантов.

Ответ.

90 чисел, 100 чисел, 100 буквосочетаний.

***

Так стоит ли браться за преподавание нового предмета «Теория вероятностей и статистика», несущего нам всем: учителям, ученикам, их родителям, столько трудностей и тревог? Стоит ли менять свой привычный школьный образ жизни, привычные, годами обкатанные методы работы? Где найти время на погружение в содержательно новый раздел математики? На чьи методические советы и поддержку опереться в своей работе?..

Знакомство со стохастическими процессами обогащает знание учащихся о мире, в котором мы живем. Традиционные школьные разделы математики — это математика жестких связей и закономерностей, теория вероятностей — это математика в условиях неопределенных процессов, что важно для применения к прикладным вопросам современности. Если ощутить в полной мере мировоззренческую важность преподавания этого предмета, понять, что мир случайного будет открыт в школе именно учителем математики, то должны появиться силы для преодоления перечисленных выше трудностей.

Трудно достижимые цели всегда больше радуют, приносят большее чувство удовлетворения. Успехи наших учеников, их заинтересованный взгляд отбрасывают прочь все колебания и внутреннее сомнение, являются демонстрацией нашего умения достичь поставленной цели. Чем больше «вложено» себя, своего времени, своего вдохновения, тем сильнее ощущение своей профессиональной компетентности, радости преодоления.

Рискну утверждать, что у любого заинтересованного учителя — при желании и большой работоспособности — все получится, ведь, по словам А.В. Луначарского, «учитель, который перестает учиться, перестает быть учителем». Значит, только в движении вперед мы состоятельны как учителя, и именно мы найдем, как сказал Н. Винер, «скрытый порядок в хаосе, который нас окружает».

Багишова О.