Стохастическая линия в средней школе: Начнем с анализа

О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и статистики речь идет очень давно. Ведь именно изучение и осмысление идей теории вероятностей и статистических проблем особенно нужно в нашем перенасыщенном информацией мире. Но внедрение стохастической линии в школьный курс столкнулось с некоторыми трудностями, в первую очередь, это методическая неподготовленность учителей и отсутствие единой методики и школьных учебников.

Исследования психологов (Ж. Пиаже, Е. Фишбейн) показывают, что человек изначально плохо приспособлен к осознанию и верной интерпретации вероятностно-статистической информации. Работы психологов утверждают, что наиболее благоприятен для формирования вероятностных представлений возраст 10–13 лет (это 5–7-е классы). Тем более что в среднем звене школы заметно падение интереса к процессу обучения в целом и к математике в частности. А вероятностно-статистическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт учащихся, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности.

Знакомство школьников с этой своеобразной областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначным «да» и «нет» существует еще и «может быть» (причем это «может быть» поддается количественной оценке), способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью. Учащиеся видят непосредственную связь математики с окружающей действительностью, реальной жизнью.

Инструктивные материалы

Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной школе стало обязательным после утверждения федерального компонента государственных образовательных стандартов. Но в связи с тем, что внедрение в практику работы школы этого материала требует времени и нуждается в накоплении методического опыта, Министерство образования РФ рекомендовало образовательным учреждениям начать преподавать курс «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в основной школе еще в 2003/ 2004 учебном году.

Для основного общего образования по теме «Элементы логики, комбинаторика, статистики и теории вероятностей» установлен следующий обязательный минимум:

Множества и комбинаторика. Множества, элементы множества. Подмножества. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.

Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.

Вероятность. Частота событий, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Требования к уровню подготовки выпускника таковы:

В результате изучения математики ученик должен знать и понимать вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира, примеры статистических закономерностей и выводов;

— извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;

— решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения;

— вычислять средние значения результатов измерений;

— находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;

— находить вероятность случайных событий в простейших ситуациях.

Вероятностно-статистическая линия в учебной литературе

При введении любой новой темы, любого нового вопроса в основной курс школы встает проблема изложения данного вопроса в школьных учебниках.

К реализации нового содержания в действующих учебниках авторы подошли по-разному. В одних учебниках элементы стохастики включены отдельными параграфами. Авторы же других учебников издают новое содержание в форме вкладышей — дополнительных глав к пособиям.

Попытка построения вероятностно-статистической линии в базовом курсе математики предпринята в следующих учебниках.

5-й класс начинается с комбинаторики, где на конкретных задачах и примерах рассматривается решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов, что иллюстрируется с помощью построения дерева возможных вариантов. Примеры и задачи — простые, позволяющие на этапе знакомства с комбинаторными задачами усвоить принцип простого, упорядоченного перебора возможных вариантов. В пункте «Случайные события» рассматриваются понятия: случайные, достоверные, невозможные и равновероятные события. Тут же приводятся реальные примеры, позволяющие учащимся лучше усвоить эти понятия. В последней главе учебника рассматриваются таблицы и диаграммы (как способ представления информации). Учащихся учат пользоваться таблицами, извлекать из них и анализировать необходимую информацию, учат и самих строить таблицы. В 5-м классе рассматриваются в основном столбчатые диаграммы. В пункте «Опрос общественного мнения» демонстрируется, как составление таблиц по данным опроса позволяет решить вопросы, возникающие в реальной жизни класса.

6-й класс начинаем с повторения таблиц и диаграмм. К изученным столбчатым диаграммам добавляются круговые (для представления соотношения между частями целого). Далее идут два параграфа по комбинаторике: логика перебора и правило умножения. Рассматриваются задачи, которые решаются уже известным способом перебора и предлагается упростить его, используя так называемое кодирование. Также рассматривается новый способ решения комбинаторных задач — с помощью правила умножения. Завершается учебник главой «Вероятность случайных событий». Учащимся предлагается провести ряд экспериментов, зафиксировав результаты в таблицах. После чего, используя полученные результаты, вводится понятие «частота и вероятность случайных событий».

7-й класс начинается с рассмотрения основных статистических характеристик: среднее арифметическое, мода, размах, опять же с множеством примеров из жизни. В одном из параграфов снова обращаемся к решению комбинаторных задач, которые решаются с помощью рассуждений. Рассматриваются перестановки. И заключительная глава продолжает рассматривать вероятность и частоту случайных событий.

В 8-м классе сначала повторяются статистические характеристики, изученные в 7-м классе, и вводится новая характеристика — медиана. Рассматриваются таблицы частот. Приводятся примеры, показывающие связь с практикой, описываются различные жизненные ситуации. В 8-м классе вводится классическое определение вероятности, данное Лапласом.

В 9-м классе рассматриваются статистические исследования, водится определение статистики. В главе рассматриваются доступные учащимся примеры статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках, вводятся новые понятия: выбор, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки. Рассматривается новый способ графического представления результатов — полигоны, вводятся понятия выборочной дисперсии и среднее квадратичное отклонение. В учебнике рассматриваются три примера статистических исследований, близких школьнику. Это вопросы: «Как исследуют качество знаний школьников», «Удобно ли расположена школа?», «Куда пойти работать?». Учащийся видит применение знаний по статистике в реальных жизненных ситуациях.

Изучив данный комплект учебников, можно отметить несколько моментов. Во-первых, курс рассчитан на 5–9-е классы, в то время как большинство других учебных пособий предлагают рассматривать эти вопросы лишь с 7-го по 9-й класс. Во-вторых, что тоже отличает предложенный в этих учебниках курс от других, это параллельное изложение линий.

В 5-м классе последняя глава «Введение в вероятность» содержит два параграфа. В одном рассматриваются достоверные, невозможные и случайные события и задачи на определение характера события (достоверное, невозможное или случайное). Во втором — комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов.

В 6-м классе авторы знакомят учащихся с понятием вероятность. Даны упражнения на определение степени вероятности того или иного события, выполнять которые учащиеся должны с опорой на интуицию. В следующем пункте вводится классическое определение вероятности. Рассматриваются задачи, в которых для вычисления вероятности используют комбинаторное правило умножения. По моему мнению, рассматриваемые комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов, подобраны не совсем удачно. Для первого знакомства с задачами на перебор возможных вариантов лучше взять более простые задачи. Еще одним недостатком, на мой взгляд, является то, что авторами вводится лишь классическое определение вероятности и не рассматривается понятие частоты. А более логично и целесообразно вводить классическое определение на основе частного. Некоторые учебные комплекты пополнились дополнительными пособиями, содержащими материал по стохастике.

Это пособие предназначено для учащихся 7–9-х классов, оно дополняет учебники Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой «Алгебра, 7», «Алгебра, 8», «Алгебра, 9» под редакцией С.А. Теляковского. Книга состоит из четырех параграфов. В каждом пункте содержатся теоретические сведения и соответствующие упражнения. В конце пункта приводятся упражнения для повторения. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения, более высокого уровня сложности по сравнению с основными.

В 7-м классе (§ 1) материал объединен в параграф «Статистические характеристики», который знакомит с простейшими статистическими характеристиками: среднее арифметическое, мода, медиана, размах. Упражнения к параграфу можно разделить на две группы. Первую группу составляют задания на отыскание рассматриваемых характеристик и истолкование их практического смысла. Ко второй группе относятся задания, которые требуют не только знания определений изучаемых статистических характеристик, но и умения проводить необходимые рассуждения, использовать ранее введенный алгебраический аппарат.

В 8-м классе (§ 2) материал также объединен в один параграф «Статистические исследования», где рассматриваются вопросы организации статистических исследований и наглядного представления статистической информации (таблицы частот). После повторения основных статистических характеристик вводятся новые понятия: интервальный ряд, сплошное и выборочное исследование, выборка, генеральная совокупность, репрезентативность. Идет знакомство с новыми видами наглядной интерпретации результатов статистических исследований — полигонами и гистограммами.

На 9-й класс приходится наибольший объем материала. Здесь два параграфа. В § 3 «Элементы комбинаторики» содержатся четыре пункта.

Примеры комбинаторных задач. На простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построения дерева возможных вариантов. Рассматривается правило умножения.

Перестановки. Вводится само понятие и формула подсчета перестановок.

Размещения. Понятие вводится на конкретном примере. Выводится формула числа размещений.

Сочетания. Понятие и формула числа сочетаний.

В § 4 «Начальные сведения из теории вероятностей» изложение материала начинается с рассмотрения эксперимента, после чего вводят понятия: случайное событие и относительная частота случайного события, статистическое и классическое определения вероятности. Параграф завершается пунктом «Сложение и умножение вероятностей». Рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей и связанные с ними понятия несовместных, противоположных событий. Этот материал рассчитан на учащихся, проявляющих интерес и склонности к математике, и может быть использован для индивидуальной работы или на внеклассных занятиях с учащимися.

В данном пособии некоторые элементы вводятся так же, как и в учебном комплекте Г.В. Дорофеева. Но материал сокращен, за исключением комбинаторики, которая содержит больше и теории, и практических упражнений. По моему мнению, комбинаторика и начальные сведения из теории вероятностей предлагается изучать слишком поздно. Как уже отмечалось выше, начинать обучать комбинаторике и формировать первые вероятностные представления лучше как можно раньше.

Методические рекомендации к учебнику даны в статьях Ю.Н. Макарычева и Н.Г. Миндюк («Математика в школе», 2004, № 5–7). Некоторые критические замечания по данному учебному пособию содержатся в статье В.Н. Студенецкой и О.М. Фадеевой («Математика в школе», 2004, № 6), которая поможет не допустить ошибок при работе с данным учебником.

7-й класс. Глава 1 «Введение в комбинаторику» начинается с исторических комбинаторных задач о магических и латинских квадратах и др. Затем рассматриваются различные комбинации из трех элементов (сочетания, перестановки и размещения), но вводить сами термины не обязательно. Рассматривается таблица подсчета вариантов, которая подводит к правилу умножения. Также рассматриваются графы, но лишь как средство подсчета возможных вариантов. Эта глава имеет и дополнительные параграфы: перестановки и разбиение на две группы, выдвижение гипотез.

8-й класс. Глава 2 «Случайные события». Сначала рассматриваются события: достоверные, невозможные, случайные, совместные и несовместные, равновозможные. В следующем пункте вводится сразу классическое определение вероятности, после чего рассматривается решение вероятностных задач с помощью комбинаторики. Дальше, как дополнительный пункт, рассматривается геометрическая вероятность, вводится понятие противоположных событий и их вероятность. Понятие относительной частоты и статистическое определение вероятности вводится уже в конце главы. И завершается глава дополнительным пунктом «Тактика игр».

9-й класс. Глава 3 «Случайные величины». Вводятся понятия случайной величины — дискретной и непрерывной. Рассматриваются таблицы распределения значений случайной величины и его графическое представление (полигоны). Далее рассматриваются такие понятия, как генеральная совокупность и выборка, мода, медиана, размах. А завершается глава дополнительными параграфами, в которых рассматриваются отклонения от среднего, дисперсия, среднее квадратичное отклонение и правило трёх сигм.

На мой взгляд, изложение некоторых вопросов в этом пособии не совсем удачно. Во-первых, классическое определение вероятности вводится до того, как рассматриваются понятие частоты и статистическое определение вероятности, что, как мне кажется, не совсем логично. Во-вторых, в главе о случайных величинах с простейшими статистическими характеристиками знакомят в последнюю очередь, а ведь именно их учащиеся могут использовать при анализе статистической информации. В-третьих, в учебнике вообще мало внимания уделено работе со статистическими данными. В конце учебника содержатся краткие методические рекомендации для учителя. Также методические рекомендации к первой главе данного учебного пособия можно найти в статье М.В. Ткачевой («Математика в школе», 2003, № 3).

Первые два параграфа посвящены комбинаторике. Начинается изложение с рассмотрения простых комбинаторных задач, рассматривается таблица возможных вариантов, которая показывает принцип правила умножения. Затем рассматриваются деревья возможных вариантов и перестановки. После теоретического материала идут упражнения по каждому из подпунктов. Далее — выбор нескольких элементов, в котором рассматриваются сочетания. Сначала выводятся формулы для двух элементов, затем для трех, а потом общая для n элементов.

Третий параграф — случайные события и их вероятность. Вводится классическое определение вероятности.

Четвертый параграф посвящен статистике. Рассматривается представление информации в виде таблиц. В этом разделе вводится много новых терминов, и авторы оформили их в виде таблицы, где кроме определений идет еще и описание этих терминов. Дальше рассматривается таблица распределения и ее графическое представление (многоугольник распределений), нормальное распределение. Числовые характеристики выборки (среднее арифметическое, мода, медиана). Следующий пункт — экспериментальные данные и вероятности событий, в котором говорится о связи между вероятностью и экспериментальными статистическими данными, после чего вводится определение статистической вероятности.

И завершает учебник параграф, содержащий материал по следующим вопросам: схема Бернулли (при рассмотрении двух возможных исходов), вычисление вероятности с помощью функцииj, закон больших чисел.

В этом учебном пособии так же мало внимания уделено теории вероятностей, что напоминает учебник М.В. Ткачевой. В нем сначала вводится классическое определение вероятности и уже намного позже вводится статистическое определение, связанное с экспериментальными статистическими данными. Статистические характеристики вводятся для выборки и после рассмотрения вопроса о распределении значений случайной величины. Материал по комбинаторике изложен более удачно. Критические замечания по данному пособию содержатся в статье В.М. Студенецкой и О.М. Фадеевой («Математика в школе», 2004, № 7).

Начинается пособие с рассмотрения случайных событий и сравнения их вероятности (что вероятнее). Затем, опираясь на эксперимент, вводится понятие частоты (тут же рассматриваются таблицы частот и гистограммы). После чего идет пункт с названием «Куда стремятся частоты?», где вводится статистическое определение вероятности и лишь потом классическое.

В пункте «Вероятность и комбинаторика» рассматриваются правила умножения, вычитания, сочетания и число сочетаний. Все эти формулы используются для вычисления вероятности. А в пункте «Точка тоже бывает случайной» речь идет о геометрическом определении вероятности.

В последнем пункте — «Сколько изюма в булке и сколько рыб в пруду?» — рассматриваются вопросы статистического оценивания и прогнозирования.

Я считаю, что в данном пособии удачным является введение понятия вероятности. Последовательность изложения данной линии вполне логична.

Последний пункт имеет практическое значение, содержит ряд интересных задач, непосредственно связанных с реальной жизнью.

Это пособие предназначено для учащихся 7–9-х классов. Первые две главы посвящены таблицам и диаграммам. Статистические данные представлены в таблицах, идет обучение работе с ними (поиск информации, вычисления, занесение результатов подсчетов и измерений в таблицы). Рассматриваются столбиковая, круговая диаграммы и диаграмма рассеивания.

В третьей главе, кроме основных статистических характеристик, вводятся понятия «отклонение» и «дисперсия».

Четвертая глава посвящена случайной изменчивости, содержит ряд примеров изменчивых величин (температура воздуха каждый день, рост или вес человека и т.п.).

В пятой главе переходим к изучению случайных событий и их вероятностей. Вероятность случайного события определяется здесь как числовая мера его правдоподобия. После определения вероятности рассматривается частота и эксперименты с монетой и игральной костью. Дальше вероятностная линия продолжается и рассматриваются элементарные события, их равновозможность, противоположные события, диаграммы Эйлера, объединения и пересечения событий, сложение и умножение вероятностей.

После этого идет блок комбинаторики, где рассматривается правило умножения, перестановки, сочетания, формулы числа перестановок и сочетаний, а затем с их помощью решаются задачи на вычисление вероятностей. В отдельных главах рассматриваются геометрические вероятности и испытания Бернулли (о двух возможных исходах).

Следующие главы посвящены случайным величинам: примеры случайных величин, распределение вероятностей случайных величин, их числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия), случайные величины в статистике, дается определение частоты и теорема, утверждающая, что частота приближенно равна вероятности при большом числе опытов.

Приложение включает в себя вопросы: формула бинома Ньютона, треугольник Паскаля, также имеется несколько самостоятельных и контрольных работ по предложенному материалу.

Плюсом данного пособия является то, что оно одно из немногих содержит пункты, в которых рассматриваются таблицы и диаграммы. Этот пункт необходим, так как именно таблицы и диаграммы учат учащихся представлению и первоначальному анализу данных.

Немало внимания уделено случайным величинам и вероятности, но я считаю, что некоторые пункты можно рассматривать как дополнительные. А понятия дисперсии и математическое ожидание лучше перенести для изучения в старшие классы. Комбинаторные формулы в данном пособии рассматриваются как средство для подсчета вероятности и даются после определения вероятности.

О подготовке учителей к обучению школьников стохастике

Введение вероятностно-статистического материала в базовый курс математики породило немало проблем.

Остро встают проблемы методической готовности учителей к реализации этой линии. Школьников нельзя ориентировать на вузовские варианты построения курса теории вероятностей. Вузовский материал должен быть переосмыслен и лишь тогда перенесен в школу. Учитель обязан владеть специфической методикой, направленной на развитие особого типа мышления и формирование особых, недетерминированных представлений у учащихся.

Вопрос о подготовке учителей рассмотрен в статье В.Д. Селютина («Математика в школе», 2003, № 4).

Одно из главных отличий школьного изучения стохастики состоит в тесной связи отвлеченных понятий и структур с окружающим миром. Поэтому деятельность школьников не должна ограничиваться изучением только готовых вероятностных моделей. Напротив, процессы построения и истолкования моделей рассматриваются как ведущие формы ученической деятельности. Учитель призван направлять такую деятельность, а для этого сам должен владеть методами формализации и интерпретации. Выполнение учащимися заданий, связанных с принятием решений в реальных (не математических) ситуациях, играет важную роль и требует умелого управления со стороны учителя. Владение искусством стохастических рассуждений — непременное условие успешной деятельности учителя математики. Нужен взгляд на стохастику не только как на систему понятий, фактов и утверждений, а как на специфическую методологию, охватывающую вероятностные и статистические умозаключения в их взаимосвязи. Анализ тех ситуаций, где для решаемой проблемы не оказывается однозначного или определенного ответа, не должен вызывать растерянности у учителя. Нужно быть гибко мыслящим человеком, лишенным догматической веры в абсолютную истинность чужих выводов.

Особенности стохастических умозаключений проявляются, прежде всего, в ходе интерпретации результатов решения математической задачи, возникшей на базе статистической информации. По этой причине во многих случаях одну и ту же статистическую информацию разные люди могут трактовать по-разному. Примером может служить следующая модель.

Владелец одного частного предприятия уволил большую часть рабочих, а оставшимся снизил зарплату на 20% (табл. 1). После этого он заявил, что средний заработок рабочих повысился. Так ли это?

Таблица 1

Заработок	до увольнения		после увольнения
	1000 р.	400 р.	800 р.	320 р.
Число рабочих	200	800	200	120

Если вычислить средние характеристики — моду, медиану и среднее арифметическое, то получим, что их значения после увольнения части рабочих будут больше, чем до увольнения. Но в данном случае, если внимательно посмотреть на таблицу, то можно заметить, что жизнь рабочих не улучшилась, а только ухудшилась, не говоря уже о тех, кто вообще потерял работу. Видимость повышения зарплаты создается из-за увольнения значительной части низкооплачиваемых рабочих. Здесь итоги решения математической задачи противоречат здравому смыслу.

Математическая модель, как видно из данного примера, не всегда адекватна практической ситуации.

Выступая в качестве дирижера и помощника учащихся, учитель призван прививать им критическое отношение к статистическим выводам и обобщениям, умение правильно истолковать статистическую информацию, самостоятельно разоблачить различного рода фальсификации, кажущиеся на первый взгляд правдоподобной информацией.

Учитель должен понимать причины принятия неправильных решений в ходе анализа явлений, происходящих под воздействием случая. Обманчивое впечатление может возникать из-за неполноты статистической информации. Например, рассматривая сведения о числе женщин, занятых в промышленности и в системе образования, можно прийти к выводу, что женский труд преобладает в промышленности:

Где работают	В промышленности	В образовании
Число женщин	129 483	41 769

Однако мнение меняется после того, как дополнительно становится известным, что в образовании работает 57 218 человек, а в промышленности — 264 251 человек. В результате получается, что число женщин составляет около 73% от всех работников образования и меньше 50% от всех работников, занятых в промышленности.

Специфика стохастической линии требует от учителя умений так организовать деятельность школьников, чтобы изучение понятий и методов происходило в форме открытия новых инструментов познания окружающего мира. При обучении стохастике создается благоприятная почва для эвристической деятельности учащихся. У педагогов появляется возможность использования новых, непривычных для уроков математики, подходов к обучению. Определяя уровень усвоения учениками тех или иных стохастических умений, учитель может столкнуться со следующей трудностью: при решении задач ученикам чаще приходится опираться на здравый смысл, а не действовать строго по алгоритму, поэтому ответы разных учащихся на один и тот же вопрос могут звучать по-разному. В данном случае задачей учителя является оценка «права на ошибку» учащегося, поскольку сама такая оценка носит вероятностный характер.

Следует учитывать, что учащиеся с опережающими темпами общего развития раньше начинают самостоятельно осуществлять деятельность, связанную с проведением статистических экспериментов и исследований, раньше переходят от использования эмпирических характеристик к построению вероятностных моделей. Поэтому особое значение имеет разграничение уровня умений и навыков самостоятельного получения выводов об изучаемых явлениях.

Приступая к обучению школьников стохастике, учитель должен ясно представлять, чем обусловлена необходимость введения новой содержательно-методической линии. Осознание учителем целей обучения стохастике в школе, их соотношений с общими целями обучения математике и места стохастики в ряду других тем, знание итоговых требований к стохастической подготовке учащихся составляют важнейший общезначимый компонент методической готовности учителя математики к реализации новой линии.

Некоторые выводы реализации стохастической линии в основной школе

Анализ учебной литературы показал, что разные авторы подошли к реализации нового содержания в учебниках по-разному. Я считаю, что для школы более приемлем учебник под редакцией Г.В. Дорофеева, который, на мой взгляд, имеет ряд преимуществ.

Во-первых, материал включен непосредственно в сам учебник, и работа по всем направлениям ведется параллельно. Материал рассчитан на 5–9-е классы. Это позволяет уже в 5–6-х классах начать формировать вероятностные представления, что, по мнению психологов, считается удачным.

С самого начала ведется работа по анализу данных (сбор, представление и анализ информации). Работа с таблицами и диаграммами.

В качестве упражнений предлагается провести ряд экспериментов (что необычно для уроков математики и призвано вызвать у учащихся неподдельный интерес) и, опираясь на результаты проведенных опытов, ввести понятие частоты, а потом частотное определение вероятности.

В большинстве учебников комбинаторные формулы рассматриваются лишь как средство для подсчета вероятности, это сказывается на содержании этого материала в учебниках и месте его изучения. Но комбинаторика ставит и другие цели: в первую очередь — это развитие мышления и использование комбинаторных знаний для решения задач прикладного характера.

Реализация любой темы в школьном курсе сталкивается с рядом проблем. Одна из них — проблема содержания материала: что именно и в каких количествах изучать в школе. Так как школьный курс ограничен временными рамками, то приходится выбирать некоторый минимум, достаточный для достижения поставленных целей обучения по данной линии и математике вообще.

Опираясь на государственные стандарты образования, анализ учебной и методической литературы, можно выделить следующие моменты в содержании и последовательности изложения материала по данной линии.

Во-первых, необходимо изучать этот материал на протяжении всего курса средней школы. Курс можно разбить на несколько этапов (5–6, 7–8-е классы, 9-й класс). На каждом этапе формируются одни и те же виды деятельности, но на разных уровнях и различными средствами. На каждом этапе материал усложняется, дополняется, отрабатываются усвоенные ранее и формируются новые умения и навыки.

Важным элементом стохастической линии является работа с данными: их сбор, обработка, представление, анализ, практические выводы. Всем этим занимается статистика.

На первом (подготовительном) этапе обучения необходимо обучить учащихся не только работе с готовыми данными, но и научить их самостоятельно собирать информацию и представлять ее в различных формах. Одним из самых распространенных способов представления информации являются таблицы. Учащиеся часто сталкиваются с ними — это расписание уроков, страница классного журнала, программа телепередач, турнирные таблицы и т.п.

Учащиеся должны научиться анализировать данные, используя таблицы и диаграммы. Это позволит в дальнейшем не останавливаться на обучении работе с табличными данными, а сконцентрировать внимание на обучении делать статистические и практические выводы.

Можно показать практическую значимость таблиц, построенных по результатам опроса общественного мнения (в классной жизни такие таблицы могут быть использованы, например, для организации досуга).

Для представления различных данных также удобно использовать диаграммы.

Одним из направлений стохастической линии является теория вероятностей, и одной из важных задач на первом этапе является формирование понятия вероятность случайного события.

Необходимо познакомить учащихся с понятием «случайное событие» и сформировать у них представление о том, какое событие называется достоверным, какое невозможным и какие события называются равновероятными. Все эти понятия нужно вводить, опираясь на понятные примеры, и просить школьников самих приводить такие примеры. Учитель должен все время фиксировать внимание учащихся на случайных событиях в быту, в природе и технике.

Необходимо развивать у учащихся понимание степени случайности различных явлений и событий.

Перед введением понятия «вероятность случайного события» полезно провести эксперименты со случайными исходами и сравнить результаты учащихся с результатами экспериментов, которые неоднократно проводились на протяжении нескольких столетий. Учащиеся с удивлением заметят, что результаты очень похожи. Проведение экспериментов должно возбудить у учащихся неподдельный интерес и, хотя эксперимент является эмпирическим методом обучения, математика не является экспериментальной наукой. Но опыт дает учащимся возможность сделать открытия, увидеть закономерности, а теория вероятностей опирается именно на результаты многочисленных экспериментов.

При проведении опытов учащиеся могут убедиться в том, что с увеличением числа испытаний значения статистической частоты (выбранного для наблюдения исхода) устойчиво сосредотачиваются возле некоторого числа p, которое и называют вероятностью наблюдаемого исхода или события.

Но нужно отметить, что говорить о статистической вероятности мы можем лишь при проведении достаточно большого числа экспериментов. Поэтому всегда возникает вопрос о точности такой оценки вероятности, поскольку не всегда возможно проведение достаточно большого числа экспериментов.

Параллельно с вероятностной линией должна изучаться и комбинаторика. Оптимальный вариант, если работа по формированию комбинаторного мышления начинается уже с начальных классов.

Начинать обучение комбинаторике целесообразно с решения простых комбинаторных задач методом непосредственного перебора. Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой формирования комбинаторных понятий и хорошей подготовкой к выводу комбинаторных формул и закономерностей.

Основными комбинаторными понятиями являются сочетания, перестановки и размещения. Но сами термины вводить не обязательно, главное, чтобы учащийся осознавал, наборы какого типа требуется составить в данной задаче (важен ли порядок и возможны ли повторения).

После того как учащиеся научатся составлять наборы из элементов заданного множества по заданному свойству, на первый план выходит задача по подсчету количества возможных наборов. Такие комбинаторные задачи решаются с помощью рассуждений, раскрывая принцип умножения. Хорошей наглядной иллюстрацией правила умножения является дерево возможных вариантов. Очень важно показать его применение при решении комбинаторных задач.

Первое знакомство со статистикой происходит при изучении основных статистических характеристик, при их нахождении и использовании для анализа и практических выводов. При изучении основных статистических характеристик важно понимать их практическую значимость, уметь использовать их для анализа имеющейся информации и делать правильные выводы на их основе.

В продолжение вероятностной линии следующим шагом идет введение классического определения вероятности. Необходимо, чтобы учащиеся понимали разницу между статистическим и классическим определениями вероятности. Чтобы они осознавали, что это не еще одно определение вероятности, а один из способов вычисления вероятности.

Сопоставляя определение классической вероятности и статистической вероятности, заключаем: определение классической вероятности не требует, чтобы испытания проводились в действительности; определение же статистической вероятности предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, классическую вероятность вычисляют до опыта, относительную частоту — после опыта.

После введения классического определения вероятности можно рассмотреть геометрическую вероятность. В этом случае рассматривается не количество возможных и благоприятных исходов, а отношение площади области, благоприятствующей появлению рассматриваемого случайного события, к площади всей области. То есть геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения на случай, когда число равновозможных исходов бесконечно.

Статистические исследования являются завершающим фрагментом вероятностно-статистической линии курса. Здесь рассматриваются доступные учащимся примеры комплексных статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания. Также вводятся некоторые новые понятия. Изучение этого материала направлено на формирование умения понимать и интерпретировать статистические результаты.

Баландина И.