На путях взаимодействия с другими линиями
С введением в содержание школьного математического образования элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей возникла потребность согласования традиционных и стохастических понятий, без которого невозможно построение полноценной содержательно-методической линии. Органичное вхождение нового содержания обучения в устоявшиеся разделы курса математики позволит сделать его более логичным, компактным, внутренне целостным. При этом анализ случайных явлений должен осуществляться не только вероятностно-статистическими методами, но и путем широкого привлечения средств «обычной» математики. А значит, нужны задачи, требующие для своего решения комплексного взаимодействия стохастической линии с другими линиями школьного курса математики. Рассмотрим примеры, показывающие, что элементы стохастики вполне могут вписываться в канву привычной всем математики.
Так, изучение в пятом классе натуральных чисел учащиеся могут совместить с анализом результатов случайных экспериментов. Приведем лишь одну из задач такого характера.
Задача 1. Алина, Клава и Марат вращали вертушку (рис. 1) и записывали цифры, на которых останавливалась стрелка:
Алина: 3, 1, 0, 0, 9
Клава: 9, 2, 8, 0, 1, 2, 0
Марат: 0, 0, 3, 2, 7, 0, 5, 4
Сколько опытов провела Алина? Сколько Клава? Сколько Марат? Запишите и прочитайте числа, получившиеся из этих цифр, в порядке их появления.
Попутно учащиеся могут познакомиться со способами регистрации статистических сведений, постепенно приобщаясь к анализу и составлению таблиц. Здесь же пятиклассники могут применить и комбинаторный перебор вариантов.
Тема «Меньше или больше» дает благодатные возможности для сравнения числовых данных статистических исследований и случайных экспериментов, в том числе и с использованием координатного луча.
С понятиями «больше» и «меньше» вполне естественно увязывается разговор о «более возможных», «менее возможных», «мало вероятных», «очень вероятных», о «равновозможных» событиях. В этой теме уместно познакомить детей с понятиями моды и медианы. Рассматривая разность между наибольшим и наименьшим значениями статистических данных, они приходят к понятию размах.
Задача 2. В известном мультфильме рассказывается, как «корову на рынке старик продавал». Представьте, что старик, торгуясь, привел следующие данные о суточных удоях его Буренки:9; 3; 1; 6; 4; 8; 5; 12; 7; 10; 2; 14 (л),
а помогавший ему паренек:
10; 11; 9; 10; 9; 12; 10; 11; 10; 12; 9; 12 (л).
С помощью какого показателя паренек мог заинтересовать покупателей и убедить старика, что «такая скотина нужна самому»? Укажите этот показатель для каждой совокупности сведений.
Решая эту задачу, учащиеся выясняют, что сведения, приведенные стариком, имеют больший разброс: размах равен 14 – 1 = 13 (л), а сведения паренька убеждают в стабильности надоев от Буренки: размах равен 12 – 9 = 3 (л). Кроме того, во втором случае большинство чисел превышают многие числа первой совокупности.
Числовые и буквенные выражения пятиклассники могут записывать при нахождении количества наблюдений, не указанного в статистической таблице. Например, если из 25 вращений трехцветной вертушки стрелка останавливалась на красном 7 раз, а на синем 10 раз, то на зеленом 25 – (7 + 10) раз.
Задача 3. При подбрасываниях монеты герб выпал k раз, а цифра — m раз. Сколько всего было проведено испытаний? Составьте выражение и найдите его значение:а) при k = 16, m = 9; б) k = 51, m = 49.
Следующая задача устанавливает взаимосвязь статистики с такими вопросами традиционного курса математики, как преобразование обыкновенных и десятичных дробей, арифметические действия с дробями, вычисление процентов, окружность и круг, транспортир, градусные меры угла.
Задача 4. Учитель биологии поручил ребятам измерить длину 10 листьев березы. Выполняя это задание, Лена заполнила таблицу 1. Составьте таблицу частот. Выразите частоты в процентах. Постройте по полученным данным круговую диаграмму. Найдите среднее арифметическое этих данных.
Таблица 1
| Номер опыта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Длина листа, см |
4,5 |
3,5 |
3,8 |
4,5 |
3,5 |
4,0 |
4,5 |
4,8 |
4,5 |
4,8 |
Нахождение дроби от числа и числа по его дроби естественным образом вписывается в решение разного рода стохастических задач.
Задача 5. Владелец детского кафе «Сладкоежка» планирует
закупку товара на предстоящую неделю. Среди посетителей кафе в
течение прошедшей недели было 330 взрослых и 900 детей. Каждый посетитель
заказал только один вид лакомства. Мороженое заказали 60% детей и 20% взрослых,
остальные взрослые посетители заказали минеральную воду; 
детей, отказавшихся от
мороженого, заказали фрукты, а остальные дети — минеральную воду. Какой вид
лакомства заказывали чаще? Реже? Найдите соответствующие частоты. Сколько
процентов лакомств каждого вида заготовит, вероятнее всего, владелец кафе на
предстоящую неделю?
Решение данной задачи целесообразно проиллюстрировать деревом с указанными на его ветвях частотами (рис. 2).
Такие рисунки должны послужить в дальнейшем зрительной опорой для понимания правила умножения вероятностей, развиваемого в ходе решения задач на нахождение «частей от части».
Формирование представлений о случайных ошибках измерений можно начинать исподволь уже при ознакомлении с понятиями положительного и отрицательного числа.
Задача 6. 11 января в 6-й класс пришел новичок Валера. Он сказал, что в январе у него будет день рождения, и предложил ребятам угадать этот день. Жанна воскликнула первая: «Этот день — 25 января!». «Ты ошибаешься», — сказал Валера. Другие ребята продолжили называть дни, но никто не угадал. Тогда Валера записал разность между каждым названным числом и настоящим днем рождения, назвал такую разность «ошибкой» и составил таблицу 2.
Каким числом выражается ошибка, допущенная Жанной? Эдиком? Кто из ребят ошибся больше всех? У кого равнозначные ошибки? Какого числа Валера отмечает свой день рождения?
Изучение длины окружности и площади круга в 6-м классе уместно сопроводить статистическим исследованием.
Таблица 2
|
Имя |
Ошибка |
|
Жанна |
9 |
|
Толя |
4 |
|
Роза |
14 |
|
Зоя |
15 |
|
Люда |
–1 |
|
Рая |
2 |
|
Юля |
1 |
|
Таня |
10 |
|
Галя |
–2 |
|
Миша |
–4 |
|
Коля |
3 |
|
Вова |
13 |
|
Аня |
11 |
|
Эдик |
–3 |
|
Витя |
5 |
|
Надя |
12 |
|
Валя |
6 |
|
Катя |
8 |
|
Оля |
7 |
Задача 7. Герои известного мультфильма измеряли «рост» Удава. Получилось 38 попугаев и одно попугайское крылышко. Если бы Удав свернулся в кольцо, то чему бы примерно был равен диаметр такого кольца?
Ученикам в качестве домашнего задания поручается провести
измерения круглых предметов (кружки, вазы и т.п.) с помощью нити. Составив
таблицу объединенных сведений, собранных всеми учениками класса, вычисляют
среднее арифметическое частных от деления длины окружности на длину ее диаметра.
Если, например, округляя до сотых, получилось 3,13, то тогда есть основания
сказать, что длина окружности больше ее диаметра в «три с лишним» раза. Если
посчитать примерно попугайское крылышко как 
Попугая, то диаметр кольца, в
которое свернулся Удав, примерно равен
Ознакомление с координатной плоскостью также полезно сопровождать решением задач статистического характера. Первое знакомство с графиками вполне можно использовать в целях формирования вероятностной интуиции, приобщения учащихся к установлению статистических закономерностей. Так, следующая задача связана с простейшим вероятностным прогнозированием.
Задача 8. Найдите квитанции по оплате расходов электроэнергии вашей семьей. Постройте график расхода электроэнергии за несколько последних месяцев. Какой расход электроэнергии вы ожидаете в будущем? Изобразите «предполагаемую» часть графика.
После построения учащимися линейного графика рекомендуется обсудить с ними несколько вариантов изображения еще одного звена — в «будущее». Из нескольких предполагаемых вариантов выбирается наиболее «вероятный», то есть тот, который в наибольшей степени соответствует общей картине, а значит, имеет больше шансов отразить истинное состояние расхода электроэнергии в будущем месяце.
Понятие функциональной зависимости будет лучше осознаваться учащимися в сопоставлении со стохастическими зависимостями.
Задача 9. После измерений в медицинском кабинете роста и массы школьников получена таблица 3. Отметьте на координатной плоскости точки, абсциссами которых являются значения массы, а ординатами – значения роста.Показывает ли таблица 3, что масса школьников является функцией их роста? А может быть, рост является функцией массы?Таблица 3
|
Фамилия |
Рост, см | Масса, кг |
|
Андреев |
136 |
25 |
|
Берестов |
124 |
26 |
|
Володина |
127 |
28 |
|
Гребешков |
130 |
26 |
|
Деева |
135 |
29 |
|
Егорова |
141 |
27 |
|
Жолобова |
130 |
27 |
Задача 10. Показывает ли рисунок 3 функциональную зависимость между переменными x и y и почему?
Отрицательные ответы на поставленные вопросы обусловлены тем, что в таблице 3, например, представлены статистические данные не об одном, а о нескольких школьниках. Для каждой переменной в ней содержатся значения, которым соответствует не единственное значение другой переменной.
Для того чтобы понятие «вероятность события» не воспринималось обособленным, можно ввести его в теме «Длина окружности и площадь круга».
Задача 11. Горошина наудачу бросается на прямоугольный стол (рис. 4). Какое событие более вероятно:
а) горошина попадет в круг I;
б) горошина попадет в круг II;
в) горошина попадет в квадрат III?
Сопоставляя площади фигур, учащиеся смогут сравнить возможности наступления рассмотренных событий. Различные фигуры могут иметь разные площади. Так же и события: одни более возможны, а другие менее возможны. Возможность наступления события можно выразить числом. Такое число, скажет учитель, называют вероятностью события.
Как же найти это число? Когда мы не знали формулу площади круга, то вычисляли ее приближенно при помощи палетки, то есть экспериментально. Также можно вычислить вероятность события, если провести опыты, наблюдения, измерения и т.д. Рассказывая далее об опытах Бюффона и Пирсона, убеждаем, что число 0,5 есть вероятность выпадения герба (орла) при подбрасывании «правильной» монеты. Обсуждая результаты экспериментов с канцелярской кнопкой, подводим к выводу, что число 0,6 можно принять за вероятность выпадения кнопки острием вверх, а число 0,4 — за вероятность выпадения острием вниз.
Возвращаясь к приближенным значениям площади фигуры, отмечаем, что они могут быть различными. Но точное значение площади фигуры единственное. Аналогично, частота события получается различной в разных исследованиях. Но при большом числе наблюдений частоты группируются (за редким исключением) около числа, которое и является вероятностью данного события.
Дальнейшее изучение понятия вероятности необходимо тесно увязывать и с оценкой погрешностей, и с решением уравнений и неравенств и т.д.
Задача 12. Римма заинтересовалась: чему равна площадь фигуры, заключенной между графиками функций y = 3x и y = x2? Она вырезала фигуру из бумаги, положила в картонный ящик с дном площадью 40 ед.2 и бросила наугад в ящик 50 крупинок пшена. На данную фигуру упали 7 крупинок, а остальные оказались вне фигуры. Чему равно найденное Риммой приближенное значение площади фигуры и какова абсолютная погрешность, если сестра – студентка университета Яна назвала точное значение площади этой фигуры: 4,5 ед.2? Какими причинами можно объяснить столь значительную погрешность?
Обсуждая ситуацию, полезно подвести учеников к выводу, что Римме, по-видимому, не удалось добиться равновозможности исходов эксперимента. Кроме этого, для получения более точного результата требуется увеличение числа опытов.
Следующая задача связывает между собой составление уравнений и наложение ограничений на числовое значение буквенной величины, свойства дробей и пропорций, тождественные преобразования.
Задача 13. Затрудняясь в решении квадратных уравнений, восьмиклассник Максим пришел за помощью к десятикласснику Кириллу. В это время к Максиму обратилась трехлетняя племянница Кирилла Даша: угадать количество красных яблок, которые она положила в корзину. При этом она сообщила ему лишь то, что кроме красных в корзине находятся только 2 зеленых яблока. Зная ответ, Кирилл дополнительно подсказал, что вероятность вынуть из корзины 2 зеленых яблока подряд (без возвращения) равна 0,1. Сколько красных яблок в корзине у Даши?
Задача 14. При подбрасываниях монеты над столом в 23% опытов она скатилась на пол. Найдите частоты событий «Выпал герб» и «Выпала цифра», если на пол пришлось 20% всех выпадений герба и 30% всех выпадений цифры.
Используя рисунок 5 (x — частота выпадения «герба», y — частота выпадения «цифры»), семиклассники составляют и решают систему уравнений
Задача 15. Руководитель бального кружка набирает группу из 11 школьников с таким расчетом, чтобы можно было образовать 30 всевозможных разнополых танцевальных пар. Из скольких мальчиков и скольких девочек должен состоять кружок?
Ответ на вопрос учащиеся получат, решив систему уравнений, в которой x — число мальчиков, y — число девочек:
Стохастическое разнообразие может быть внесено и в тему «Рациональные дроби».
Задача 16. Найдите значение дроби
если a — частота посещений кафе «Сладкоежка» взрослыми, b — частота заказов мороженого в задаче 5.
Задача 17. Определите знак дроби 
если p — вероятность некоторого события.
Эмпирический аспект проникает и в геометрию. Статистическим методом ученики могут прийти к выдвижению некоторых гипотез: о соотношении стороны треугольника и суммы двух других его сторон, о сумме углов любого треугольника и др. И только потом убедиться в справедливости утверждений путем логических рассуждений.
Задача 18. Баба-яга решила переселиться в высотное здание с основанием треугольной формы. Она разрешила Лешему, Кикиморе и Дикому Коту сделать одноэтажные пристройки с квадратными основаниями вдоль ребер треугольника.
Того из них, у кого жилплощадь окажется больше общей жилплощади двух других, она обещает назначить Первым советником. Дикому Коту очень хочется стать Первым советником. Каким должен быть треугольник, чтобы он смог добиться желаемого?
Решая задачу, учащиеся начертят в тетради остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Затем измерят длины сторон каждого треугольника: a, b, c. Возведя в квадрат числа a, b, c, заполнят таблицу 4.
Таблица 4
|
Треугольник |
a2 | b2 | c2 | a2 + b2 | a2 + c2 | b2 + c2 |
|
Остроугольный |
||||||
|
Прямоугольный |
||||||
|
Тупоугольный |
Осуществив перебор возможных вариантов, ребята запишут неравенства и равенства:
c2 < a2 + b2, c2 > a2 + b2,c2 = a2 + b2,
a2 < b2 + c2 и т.д.
Выяснят затем, какие из них верные (истинные), а какие неверные (ложные).
Несмотря на погрешности измерений, они приходят к выводу, что Дикому Коту повезет, если основание нового жилища Бабы-яги будет тупоугольным треугольником. Тогда он будет добиваться, чтобы его пристройка прилегала к той стене, которая будет против тупого угла.
Учащиеся получат экспериментальное доказательство теоремы Пифагора, а также соотношений между квадратом стороны и суммой квадратов двух других его сторон. Позже данные утверждения доказываются путем логических рассуждений.
Решение неравенств и их систем вполне приемлемо в задачах стохастической направленности.
Задача 19. В лукошке находится 9 красных яблок. Сколько
зеленых яблок нужно добавить в лукошко, чтобы вероятность случайно вынуть
красное яблоко оказалась не менее 
Раздел «Арифметическая и геометрическая прогрессии» пополняется текстовыми задачами нового типа.
Задача 20. Имеются 2 билета в цирк, на которые претендуют трое ребят: Артур, Борис и Владислав.
Они решили поступить так. Из набора шашек взять 2 белых и 1 черную, положить в темный пакет и в алфавитном порядке по очереди вынимать наудачу по одной. Каждый имеет право на одну попытку. Кто первым вынет черную шашку, тот не получит билета в цирк. Если черную шашку никто не вынет, то они сдадут билеты в кассу. Владислав настаивает, чтобы вынутая шашка каждый раз возвращалась обратно. Как следует поступить другим ребятам, если решение принимается большинством голосов?
Построив дерево для выбора шашки с возвращением (рис. 7), учащиеся убеждаются, что шансы мальчиков на черную шашку уменьшаются с каждой попыткой.
Событие А — черную шашку вынимает Артур,
событие Б — черную шашку вынимает Борис,
событие В — черную шашку вынимает Владислав.
Действительно: 
Вероятности образуют геометрическую прогрессию. При таком выборе шансы на черную шашку у Владислава наименьшие.
Если из условия задачи исключить договоренность об ограничении числа попыток и возвращении билетов в кассу, то розыгрыш окажется бесконечным. В таком случае применяется формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Например, вероятность того, что черную шашку вынет Артур, равна
Дерево для выбора без возвращения (рис. 8) показывает, что игра в этом случае справедливая.
Таким образом, статистико-вероятностное содержание органично переплетается внутри «обычных» тем математики, способствуя их закреплению. Открываются резервы поиска учебного времени для новой линии. Уже не за счет повторения пройденного материала, а путем реализации потенциала внутрипредметных связей.