«Случайность вокруг нас». Элективный курс

Пояснительная записка

Бурное развитие общества, постоянно меняющиеся условия жизни поставили перед человечеством ряд задач и проблем, на которые необходимо дать своевременные и точные ответы, найти выход из сложившихся ситуаций. Причина тому – присутствие случайностей в природных процессах, технике, экономике и других отраслях. Все подвержено случаю, ничего не происходит без вмешательства случайностей, возникающих под воздействием непостоянных, побочных причинных связей, изменяющих ход событий.

Наука, изучающая случайные явления (стохастика), в последнее время превратилась в одну из самых быстро развивающихся математических наук. Новые теоретические результаты открывают возможности для естественнонаучного и практического использования методов стохастики. Изучение явлений природы, а также производственных, технических, экономических и иных процессов наталкивает на разыскание новых методов, закономерностей, которые порождаются случаем.

Таким образом, знакомство учащихся с элементами стохастики открывает широкие возможности для иллюстрации применимости математики к решению важных прикладных задач. Изучение этого материала имеет также большое значение для формирования научного мировоззрения учащихся. Владение азами теории вероятностей и математической статистики позволяет на содержательных (как в математическом, так и прикладном отношениях) примерах изучать различные процессы, показать известную универсальность математических методов, продемонстрировать основные этапы решения прикладных задач средствами математики.

Изучение элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики вооружает школьников знаниями и умениями, которые помогают воспринимать и анализировать статистические сведения, встречающиеся в современных средствах массовой информации, на их основе делать выводы и принимать решения.

Требования к уровню освоения содержания

Учащиеся должны
Знать:	Уметь:
Основные правила и методы решения комбинаторных задач	Решать простейшие комбинаторные задачи
определения и свойства вероятности, определение и виды событий, их комбинации, формулировки теорем сложения и умножения, их следствий	решать простейшие задачи на определение вероятности события; применять теоремы сложения и умножения и их следствий для определения неизвестной вероятности
формулировки теорем о независимых повторных испытаниях, условия их применения	грамотно использовать теоремы о независимых повторных испытаниях в конкретных ситуациях
понятия случайной величины, ее виды, понятие закона распределения случайной величины, способы задания и основные виды	составлять законы распределения для дискретной случайной величины, определять ее вид
основные числовые характеристики дискретной случайной величины, их вероятностный смысл и свойства	вычислять числовые характеристики дискретной случайной величины различными способами
определение функции нормального распределения, вероятностный смысл параметров, ее определяющих	использовать нормальное распределение для решения прикладных задач
неравенство П.Л. Чебышева, различные трактовки закона больших чисел.	применять неравенство П.Л. Чебышева, теоремы Я. Бернулли и П.Л. Чебышева к описанию реальных процессов
основные положения выборочного метода	находить выборочные характеристики по эмпирическому распределению
определение статистической гипотезы, критериев согласия	использовать статистические гипотезы при проверке согласования теоретических и эмпирических сведений, полученных в результате наблюдений и экспериментов

Содержание курса

Исторический очерк развития стохастики. Истоки науки: азартные игры, демографические показатели. Зарубежные школы теории вероятностей и математической статистики (становление и современность). Отечественные школы теории вероятностей и математической статистики (становление и современность).

Основы комбинаторики. Исторический экскурс. Перебор всевозможных вариантов, «дерево» испытаний. Правило умножения и сложения. Перестановки, размещения и сочетания с повторениями и без повторений. Прикладные задачи.

События и вероятность. Исторический экскурс. Достоверные, случайные и невозможные события. Статистическое определение вероятности. Классическое и геометрическое определения вероятности. Элементы аксиоматики А.Н. Колмогорова. Совместные и несовместные, зависимые и независимые, противоположные события, условная вероятность. Сложение и умножение вероятностей. Формула полной вероятности, формулы Байеса. Прикладные задачи.

Независимые повторные испытания. Исторический экскурс. Формула Я. Бернулли. Формулы А. де Муавра – П.С. Лапласа. Прикладные задачи.

Понятие случайной величины. Исторический экскурс. Случайные величины. Понятие дискретной случайной величины (ДСВ) и непрерывной случайной величины (НСВ). Закон распределения ДСВ, многоугольник распределения. Операции над случайными величинами. Распределение Я. Бернулли. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение. Интерпретация «закона больших чисел». Понятие нормального распределения. Прикладные задачи.

Статистические характеристики. Исторический экскурс. Выборки, основы выборочного метода. Представление данных (диаграммы, гистограммы). Числовые характеристики выборки: характеристики положения (выборочная средняя, мода, медиана), характеристики разброса (размах, дисперсия, среднее квадратичное отклонение и др.). Прикладные задачи.

Статистические гипотезы. Исторический экскурс. Статистические гипотезы, их проверка. Нулевая и альтернативная гипотезы. Уровень значимости, число «степеней свободы». Критерии различия. Прикладные задачи.

Программа курса

№	Наименование тем и разделов	Всего часов	Аудиторные занятия			Самостоятельная работа
			лекция	практикум	лабораторная работа
I	Исторический очерк развития стохастики	6	2	–	–	4
II	Основы комбинаторики	18	3	3	–	12
	Контрольная работа № 1	1	–	1	–	–
III	События и вероятность	15	2	3	–	10
IV	Независимые повторные испытания	9	1	2	–	6
V	Понятие случайной величины	18	3	3	–	12
	Зачетный практикум	1	–	1	–	–
VI	Статистические характеристики	12	2	2	–	8
VII	Статистические гипотезы	15	2	3	–	10
	Контрольная работа № 2	1	–	1	–	–
	ВСЕГО	96	15	19	–	62

Материалы для контроля

Контрольная работа № 1

1. Для множеств А = {–8; –6; –4; –2} и В = {–8; –4; 0; 4; 8}

найдите: A ∩ B, A B, A\B, B\A.

2.  Докажите тождество P_n = (n – 1)·(P_n – 1 + P_n – 2).

3.  В разложении бинома найти член, который не зависит от а и содержит b⁴.

4. В вазе стоят 15 красных и 10 белых хризантем. Сколькими способами можно выбрать из вазы три хризантемы?

5. На птицеперерабатывающей фабрике 50 рабочих, среди них 15 работают в первой бригаде, 25 — во второй и 10 — в третьей. Сколькими способами кассир в один день может выдать заработную плату всем рабочим?

В зачетном практикуме, который может пройти в любой удобной для учителя форме, школьникам предлагается решить ряд задач, а также ответить на теоретические вопросы.

Данный практикум ориентирован на проверку знаний по темам «События и вероятность», «Независимые повторные испытания» и «Понятие случайной величины».

По итогам практикума выставляется рейтинговая оценка.

Контрольная работа № 2

1.  При определении всхожести партии семян взяли пробу из 1500 единиц. Из отобранных семян не взошло 137. Какова относительная частота появления всхожего семени?

2. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 25 денежных и 12 вещевых выигрышей. Гражданин Кравцов приобрел 2 билета. Какова вероятность выигрыша: по первому билету денег, а по второму – вещи; б) хотя бы по одному билету?

3.  Экспериментально установлено, что всхожесть зерна, хранящегося на складе, равна 92%. Какова вероятность того, что среди 120 посеянных зерен взойдет не менее 118?

4. Рабочие бригады, состоящей из десяти человек, имеют следующие тарифные разряды:

6, 4, 4, 3, 4, 5, 3, 3, 4, 6.

Вычислите средний разряд работников бригады, а также моду.

5. Г. Мендель при скрещивании сортов гороха наблюдал во втором поколении (F₂) частоты признаков (число особей), приведенные в таблице:

Признак	Число изученных особей F2
Растения с лилово красными цветками	705
Растения с белыми цветками	224
Всего	929

Можно ли утверждать, что подобное расщепление подчиняется закону Г. Менделя (моногибридное скрещивание)?

Рекомендуемая литература

1.  Баврин И.И. Высшая математика: учеб. для студ. естественнонаучных специальностей пед. вузов. — М.: Издательский центр «Академия»; Высшая школа, 2000.
2. Владимирский Б.М. Математические методы в биологии: учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «биология». — Ростов: Изд-во Ростовского университета, 1983.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 2003.
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Высшая школа, 2003.
5. Гнеденко Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей. — М.: Наука, 1982.
6. Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: учебное пособие для вузов. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2002.
7. Зайцев И.А. Высшая математика: учеб. для сельскохозяйственных вузов. — 3-е изд., испр. — М.: Дрофа, 2004.
8. Золотаревская Д.И. Теория вероятностей: Задачи с решениями: учебное пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Едиториал УРСС, 2003.
9. Лакин Г.Ф. Биометрия: учеб. пособие для биологич. спец. вузов. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1980.
10. Солодовников А.С. Теория вероятностей: учеб. пособие для студентов пед. вузов по спец. математика. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Вербум-М, 1999.

Щербатых С.