Математическая олимпиада имени Дмитрия Никифоровича Хомякова

В 60-х годах прошлого века в школе № 11 начал свою трудовую деятельность педагог-новатор, учитель математики Дмитрий Никифорович Хомяков. По его инициативе были открыты первые в Новокузнецке классы с углубленным изучением математики. На протяжении почти сорока лет Дмитрий Никифорович завораживал ребят своим талантом, преданностью делу и необыкновенной жизненной простотой, порядочностью и скромностью. Год за годом выпускники одиннадцатой школы прославляли имя своего учителя. Сегодня ученики Дмитрия Никифоровича – это доктора и кандидаты наук, заведующие кафедрами и деканы факультетов, работающие в различных вузах нашей страны. Многие работают за рубежом.

По инициативе учителей, работавших в разное время с Дмитрием Никифоровичем, и выпускников лицея 25 февраля 2009 года стартовала Открытая городская олимпиада в память Дмитрия Никифоровича Хомякова, жизнь которого оборвалась от рук бандитов четыре года назад.

Комментарии представителей оргкомитета

Идею олимпиады поддержал Комитет образования и науки города Новокузнецка. Все школы, которые мы пригласили, активно откликнулись на наш призыв и выставили свои команды. Финансовую помощь оказал выпускник школы, бывший ученик Дмитрия Никифоровича и учитель математики профильных классов нашей школы в 90-х годах Валерий Георгиевич Базулин, а также президент благотворительного фонда «Квант» Евгений Владимирович Белый.

Главной особенностью этой олимпиады является то, что ее задумал сам Дмитрий Никифорович.

Неоспоримым достоинством конкурса стала его объективность. Учителя оценивают работы строго по критериям. Наша олимпиада бесплатная, и это позволяет всем желающим, начиная с 7-го класса, участвовать в ней. Очень важно не погасить творческий настрой в ребенке, поддержать желание учиться.

Необычным было и открытие олимпиады. Был показан небольшой видеофильм о Д.Н. Хомякове, звучали стихи в память о нем. На закрытии была исполнена песня «Кто, если не мы», авторами которой являются участники одного из томских молодежных проектов, но со словами которой мы полностью солидарны.

Мы надеемся, что олимпиада станет традиционной, увеличится банк нестандартных задач. Для этого планируем привлекать к сотрудничеству бывших учеников, продолжающих дело Дмитрия Никифоровича. Будем стараться, чтобы уровень олимпиады был достоин имени учителя.

Идея провести олимпиаду имени Д.Н. Хомякова витала в воздухе уже не один год. Однако именно с началом 2009 г. стараниями отдельных КСовцев (КС — координационный совет лицея), как равно и сочувствующим им, эта замечательная по своей сути идея проникла в умы и сердца представителей оргкомитета. По сему, в определенный момент олимпиада стала неизбежной.

А для чего эта олимпиада? Конечно, можно перечитать положение, но каждый преследовал свои цели! Остановимся на наиболее альтруистичных:

1. Заинтересовать школьников изучением математики.

2. Выявить единомышленников, для которых решение сложных задач – удовольствие, а не наказание.

3. Поощрить учащихся, систематически занимающихся математикой.

4. Распространить среди школьников опыт решения олимпиадных задач для дальнейшего успешного участия в олимпиадах различного уровня.

5. Еще раз добрым словом вспомнить замечательного учителя и человека — Д.Н. Хомякова.

На мой взгляд, олимпиада удалась, о чем свидетельствует должный интерес к решению задач со стороны школьников и учителей, исключительно положительные отзывы. Радует, что участники продемонстрировали оригинальные решения, они войдут в копилку лучших решений олимпиады.

Человеческая память — странная, избирательная штука. Лавина информации, которая обрушивается на нашу голову ежечасно, стирает порой самые необходимые воспоминания, которые невозможно потерять. Великий учитель – звание не подвластное времени, а если еще человек чудесный, а если чувство юмора фантастическое и обаяние стопроцентное! Редко за всю жизнь встретишь такого человека, а вот мне повезло, и не только мне, всем, кому посчастливилось оказаться рядом с Дмитрием Никифоровичем и учиться у него. Когда я включалась в процесс подготовки олимпиады, то хотела встряхнуть, оживить нашу память о Великом Учителе, хотела, чтобы дело его жизни продолжалось нашими замечательными детьми, нашими достойными учителями. Думаю, это удалось, а вопросы организации мы решим, ведь все мы — смена Хомякова (очень хочется так себя называть).

Условия задач

7.1. От двух бревен отпилили по одинаковому куску и первое бревно стало втрое длиннее второго. После того как от них еще раз отпилили по такому же куску, второе бревно стало короче первого в четыре раза. Во сколько раз первое бревно было длиннее второго первоначально?

7.2. Можно ли число 2004 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы и произведение всех этих чисел тоже было равно 2004?

7.3. Три рыбака решили сварить на обед уху. Первый рыбак предложил 3 рыбы, второй — 5 таких же рыб, а третий, за неимением рыб, заплатил за участие в обеде 16 рублей. Как должны распределить по справедливости между собой эти 16 рублей первый и второй рыбаки, если за обедом все съели поровну?

7.4. Выписаны подряд все цифры от 1 до 9 включительно. Можно ли, поставив между ними несколько знаков «+» получить в сумме число, равное 450? Число 480?

8.1. Имеется шахматная доска 10 x 10 , 90 шашек и 10 дамок. Играют двое, которые ходят по очереди. Каждый игрок своим ходом может поставить на доску одну дамку либо от одной до семи шашек. Проигрывает тот, кому при своем ходе нечего ставить. Как должен играть первый игрок, чтобы наверняка выиграть?

8.2. Числа x, y, z удовлетворяют равенству

Докажите, что хотя бы одно из них равно

8.3. Найдите углы треугольника ABC, если биссектриса BB₁ делит его на два таких треугольника, что AB = BB₁ = B₁C.

8.4. Задача 7.4.

9.1. Задача 8.2.

9.2. Найдите углы такого треугольника, у которого центры вписанной и описанной окружности симметричны относительно одной из его сторон.

9.3. Решите уравнение

(x² + 2x + 3)(2x⁴ – 4x² + 3) = 2.

9.4. В математической олимпиаде участвовали 100 учащихся. Было предложено четыре задачи. Первую задачу решили 95 человек, вторую — 85, третью — 65, четвертую — 55. Никто не решил все задачи, а награждены были те учащиеся, которые решили третью и четвертую задачи. Сколько учащихся было награждено?

9.5. Задача 8.1.

10.1. Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом 60°, спросил: «Как пройти в село D?» Ему ответили: «Иди по левой дороге до деревни B — это в восьми верстах отсюда,— там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая ровная дорога — это как раз дорога в D. А можешь идти другим путем: сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге, значит, половину пути прошел; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого D». —«Ну, а какой путь короче-то будет?» —«Да все равно, что так, что этак, никакой разницы». И пошел крестьянин по правой дороге. Сколько верст ему придется идти до D? Больше десяти или меньше? А если идти от развилки до D напрямик? (Все дороги прямые.)

10.2. Решите уравнение

10.3. Возрастающая последовательность u_n состоит из всех натуральных чисел, делящихся на 2 и на 3, возможно на оба одновременно. Найдите u₂₀₀₄.

10.4. Что больше: 2004²⁰⁰⁵ или 2005²⁰⁰⁴?

10.5. Задача 9.4.

11.1.  Задача 9.4.

11.2. Задача 10.4.

11.3. На сторонах AB, BC, CA правильного треугольника ABC найти такие точки X, Y, Z (соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямыми CX, BZ, AY, была вчетверо меньше площади треугольника ABC и чтобы было выполнено условие

11.4. Найдите два таких натуральных числа, что сумма их суммы, разности, произведения и частного равна 441.

11.5. Найдите геометрическое место точек — оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки пространства на прямые, лежащие в заданной плоскости и пересекающиеся в одной точке.

7.1. Пусть L₁, L₂ — длины соответственно первого и второго бревна, x — длина отрезаемого куска, тогда составим уравнения

откуда

7.2  Можно, если это числа

7.3.  Всего было поймано 8 рыб и каждый съел по рыбы. Так как второй рыбак поймал пять рыб, а первый — три, то на долю третьего от улова второго досталось а от улова первого Тогда деньги должны распределиться между первым и вторым рыбаком в отношении 1 : 7. То есть второй получит 14 рублей, а первый — 2 рубля.

7.4.  Попробуем из данной записи выбрать наибольшее число — меньшее чем 450, это 345. До 450 не хватает 450 – 345 = 105. Теперь выберем наибольшее число, меньшее 105, это число 89. До 105 не хватает 105 – 89 = 16, а это и есть сумма оставшихся чисел 1 + 2 + 6 + 7. Итак получившийся расклад:

1 + 2 + 345 + 6 + 7 + 89.

Возможен и другой расклад:

12 + 345 + 6 + 78 + 9 = 450.

Составить сумму равную 480 невозможно из следующих соображений.

Способ I. Любая составленная сумма, которую можно представить в виде

будет делиться на 9, так как любая натуральная степень десяти имеет остаток 1 от деления на 9. Это значит, что делимость на 9 любой суммы такая же, как и делимость суммы

которая очевидно делится на 9. Число же 480 на 9 не делится.

Способ II. Пусть a и b — два подряд идущих числа заданного набора подряд идущих натуральных чисел от 1 до 9. Добавляя плюс между числами a и b, получим разность между новой суммой и предыдущей: a·10 + b – a – b = 9·a — делится на 9. Далее, добавляя еще плюсы, получим разности делящиеся на 9. В силу того, что

делится на 9, то любая составленная таким образом сумма делится на 9, а число 480 на 9 не делится.

8.1.  Очевидно, что выигрывает тот, кто заканчивает игру (ставит последние фигуры). Пусть мы — первый игрок. Условимся, что на каждый ход противника дамкой будем отвечать тоже дамкой. В этом случае задача сводится к игре шашками (от 1 до 7) на поле в 90 клеток, наш ход — первый. Для выигрыша своим первым ходом мы должны оставить на поле столько клеток, чтобы их количество можно было представить в виде произведения двух натуральных чисел mжn, где n — количество пар ходов (второй игрок – первый игрок), m = 8 (число до которого мы могли бы дополнить любой ход противника). Далее, дополняя ход противника до восьми шашек, — выигрываем (ставим последние шашки). Итак, число 90 – x, где x — количество шашек в нашем первом ходу, должно делиться на 8. Это возможно при x = 2. Итак, выигрышная стратегия для первого игрока:

1) первый ход — 2 шашки;

2) на каждый ход противника дамкой отвечаем дамкой;

3) на каждый ход противника из k шашек, отвечаем ходом из 8 – k шашек.

8.2.  Заметим, что

— симметрический многочлен третьей степени от трех переменных, так как он состоит из линейной комбинации основных симметрических многочленов и константы Известно, что все произведения вида (x + a)(y + a)(z + a) — симметрические многочлены. Возможно, данный многочлен такого же вида. Проверим это, раскрыв скобки в произведении В результате получим многочлен, тождественный исходному. Если хотя бы одна переменная исходного уравнения равна то равенство выполняется, в противном случае — нет.

8.3. Обозначим ABB₁ = CBB₁ = α. Треугольник CB₁B — равнобедренный, поэтому CB₁B = 180° – 2α. BB₁A = 2α — как смежный углу CB₁B.

В равнобедренном треугольнике ABB₁ сумма углов

B₁BA + BAB₁ + AB₁B = α + 2α + 2α = 5α = 180°.

Тогда α = 36°. Углы в треугольнике ABC A = B = 72°, C = 36°.

9.2. Пусть центры описанной O₁ и вписанной O₂ окружностей симметричны относительно стороны AB. Тогда треугольник ACB — равнобедренный, треугольники AO₂B и AO₁B — равны, треугольник AO₁C — равнобедренный. Так как O₂A — биссектриса треугольника BAC, то, обозначив угол CAO₂ через a, получим, что

CAB = 2α, O₁AC = O₁CA = 3α.

Так как

CAB = ACO₂ = 90°,

то 2α+ 3α= 90° α= 18° CAB = CBA = 36°,

ACB = 180° – 72° = 108°.

9.3.  (x² + 2x + 3)(2x⁴ – 4x² + 3) = 2,

((x + 1)² + 2)(2(x² – 1)² + 1) = 2.

Первый множитель не меньше двух, второй — не меньше одного. Значит,

9.4.  Задачи 3 и 4 решили как минимум 55 + 65 – 100 = 20 чел. Задачи 1 и 2 решили как минимум 85 + 95 – 100 = 80 чел. Задачи 1–4 решили 0 чел. Значит, решивших задачи 3 и 4 не больше 20. Тогда были награждены все 20 человек решившие задачи 3 и 4.

10.1.  Пусть точка A — развилка с углом в 60°. Точка B — деревня, D — село, C — точка пересечения с железной дорогой. Тогда AB = 8. Обозначим

AC = CD = x, BAD = α, DAC = 60° – α.

По условию задачи BD + AB = AC + CD, кроме того: из треугольника ABD

из треугольника ACD

AD = 2ACcos (60° – α) = 2xcos (60° – α).

Тогда задача сводится к решению системы:

Решая второе уравнение системы, получаем, что

Получаем два ответа:

tg α = 9,816, x = 32,264; tg α = 0,38, x = 5,52.

Первый ответ не удовлетворяет условию, что α< 60° (arctg 9,816 ≈ 84°). Вычислим короткий путь:

Итак, AC + CD = 11,04, AD = 8,588.

Ответ. Крестьянину придется пройти 11,04 верст, если он пойдет по правой дороге. Напрямик до села D — 8,588 верст.

10.2. Уравнение

решим относительно x + 1:

10.3. Выпишем элементы последовательности: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22... Заметим, что каждый четвертый элемент кратен шести, а каждый член последовательности можно вычислить по формуле:

тогда для n = 2004

10.4. Способ I.

2004²⁰⁰⁵ 2005²⁰⁰⁴;

2004·2004²⁰⁰⁴ 2005²⁰⁰⁴;

Известно, что   — возрастающая сходящаяся последовательность, тогда

Способ II.

Рассмотрим последовательность Докажем, что это последовательность возрастающая:

Теперь достаточно проверить, что уже при n = 3

11.3. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ — равносторонние. По условию задачи

Пусть AB = 1, тогда Пусть BX = AZ = CY = x. Треугольник ABZ подобен треугольнику A₁AZ по трем углам, следовательно,

Из треугольника ABZ по теореме косинусов:

тогда

Подставим эти выражения в равенство

Теперь найдем отношение

11.4. Пусть a, b такие числа, тогда

где

Пусть a = xb, тогда:

2xb + xb² + x = 441;

x (b² + 2b + 1) = 441; x(b + 1)² = 21²;

x (b + 1)² = 7²·3²;

С учетом того, что a, b — натуральные и a = xb, получаем пары (a; b): (54; 6), (98; 2), (20; 20).

11.5. Пусть M — точка вне плоскости, M₁ — основание перпендикуляра, опущенного на плоскость из точки M. Прямые плоскости a₀, a₁, a₂ и т.д. пересекаются в точке О. Точки O, K₁, K₂ и т.д. — основания перпендикуляров, опущенных из точки M₁ на прямые a₀, a₁, a₂ и т.д. По теореме о трех перпендикулярах, MO, MK₁, MK₂ и т.д. — перпендикуляры соответственно к прямым a₀, a₁, a₂. В силу того, что все углы M₁K₁O, M₁K₂O и т.д. — прямые, то M₁O — диаметр окружности, состоящей из точек O, K₁, K₂ и т.д., — это и есть искомое геометрическое место точек.

Комментарии участников

Я считаю, что это замечательная идея, организовать такую олимпиаду. Она объединяет учеников разных школ и при этом присутствует дух соревнований. Также это прекрасная возможность познакомить нынешнее поколение с таким выдающимся учителем и человеком, как Дмитрий Никифорович Хомяков, отдать должное его памяти. В целом, мне кажется, первая олимпиада прошла на «Ура!». Надеюсь, что она действительно перерастет в традицию и будет проходить с каждым годом все более торжественно.

Такие олимпиады очень нужны. Я смогу узнать, на что я способна, в каких задачах сильна и в будущем смогу развить свои способности.

Олимпиада — это отличная тренировка и опыт. Конечно, хочется занять призовое место. Но это не главное.

Максим Вахрушев, 9-й класс, гимназия № 44

Задачи очень необычные. Не укладываются в нормы и стереотипы городских и областных олимпиад. По началу было довольно сложно, и я много провозился с задачами, но потом почти всю олимпиаду сделал. Очень понравилось открытие.

Макаров А. , Миняйлова Н. , Пересыпкин В. , Шестакова Л.