Итоги Межрегиональной заочной математической олимпиады 2008/09 учебного года

В межрегиональной заочной математической олимпиаде школьников, которую проводила Всероссийская школа математики и физики «Авангард», приняло участие 23 000 школьников изо всех регионов Российской Федерации.

Приводим краткие решения всех предлагавшихся задач и список победителей олимпиады – учащихся, абсолютно правильно решивших все предложенные задачи.

Помимо победителей дипломами различных степеней были награждены свыше 20% участников олимпиады. Все участники олимпиады, независимо от результатов, получили приглашение поступить на заочное отделение школы «Авангард».

Мы от души поздравляем всех победителей и дипломантов олимпиады и, конечно же, их учителей!

Следующая межрегиональная заочная математическая олимпиада школьников состоится в ноябре – декабре 2009 года. Условия задач будут опубликованы в газете «Математика».

Условия задач олимпиады

6-й класс

1.  Разрежьте произвольный треугольник на четыре одинаковых треугольника.

2.  Восстановите пропущенные цифры:

3.  На сколько частей делят пространство продолженные плоскости граней куба?

4.  В чемпионате страны СооБразилии по пляжному футболу, проходящем по круговой системе в два круга, было сыграно 9702 матча. Сколько команд приняло участие в чемпионате?

5.  Среди 2012 внешне неразличимых шариков половина имеет один вес, а вторая половина — другой. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы количество шариков в кучках было одинаковым, а массы кучек — разными. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?

7-й класс

1.  Вставьте пропущенные числа и найдите сумму: 4 + 18 + 48 + ... + 900.

2.  Что больше: 4⁵⁰⁰ или 5⁴⁰⁰?

3.  Восстановите пропущенные цифры:

4.  Автомобильный номер в стране Авангардии состоит из двух букв русского алфавита и пяти четных цифр. Сколько автомобилей можно зарегистрировать в Авангардии?

5.  На сколько частей делят пространство продолженные плоскости граней тетраэдра?

8-й класс

1.  Сравните числа

2.  Решите в целых числах уравнение x ³ – x = 2008.

3.  Дан равносторонний треугольник со стороной единица. В каком отношении делит его площадь окружность с центром в одной из его вершин, проходящая через центр треугольника?

4.  На рисунке приведены три графика (1), (2) и (3) функций вида y = kx + b. Расположите их в порядке возрастания:

а) k;

б) b;

в) k + b;

г) 2k² + 3kb + b².

5.  На какое максимальное число частей могут разбить плоскость 2008 прямых?

9-й класс

1.  Что больше: 1000²⁰⁰⁸ или 2008¹⁰⁰⁰?

2.  Каждый угол шестиугольника АВСDEF равен 120°. Найдите DE и AF, если

АВ = 3, ВС = 4, CD = 5, EF = 1.

3.  Решите в целых числах уравнение x ³ – x = 2008.

4.  На какое максимальное число частей могут разбить плоскость 2008 прямых?

5.  В треугольнике соединены основания биссектрис. Найдите отношение площади образовавшегося треугольника к площади исходного треугольника, если стороны исходного треугольника равны a, b и c.

10-й класс

1.  На координатной плоскости даны три точки: А с координатами (0; 0), В с координатами (1; 1) и С с координатами (3; 2). Каковы должны быть координаты точки D, чтобы точки А, В, С и D образовывали параллелограмм?

2. Решите уравнение cos x + cos² x + ... + cosⁿ x + ... = 1.

3.  На рисунке приведены три графика (1), (2) и (3) функций вида y = ax² + bx + c. Расположите их в порядке возрастания:

а) a; б) c; в) a + b + с;

г) 4a² + 2b² + c² + 6ab + 3bc + 5ac.

4.  Представьте произвольную функцию f(x), определенную на всей действительной оси, в виде суммы четной и нечетной функций.

5.  В треугольнике соединены основания биссектрис. Найдите отношение площади образовавшегося треугольника к площади исходного треугольника, если стороны исходного треугольника равны a, b и c.

Решения задач

6-й класс

1.  Для решения соединим середины сторон треугольника (см. рисунок).

2.  См. решение задачи 3 для 7-го класса.

3.  Продолженные грани куба представляют собой три пары параллельных плоскостей. Каждая пара делит пространство на три части. Следовательно, всего будет 3·3·3 = 27 частей.

4.  Турнирная таблица двухкругового чемпионата из N команд имеет размер N x N с перечеркнутыми диагональными клетками, то есть содержит N ² – N = N(N – 1) клеток для внесения результатов. Столько должно быть и матчей. То есть число 9702 нужно представить в виде произведения двух последовательных натуральных чисел. 9702 = 2·3²·7²·11 и представимо в искомом виде единственным способом: 9702 = 99·98. В чемпионате участвуют 99 команд.

5.  Задача может быть решена в одно взвешивание. Разделим шарики на две кучки по 1006 шариков и взвесим их. Если неравенство — задача решена. Если в результате взвешивания получится равенство, то значит, что в каждой кучке по 503 шарика каждого вида (понятно, что равные по весу кучки из равного количества шариков должны быть одинаковы по их составу). Теперь разделим любую из этих кучек по 1006 шариков на две по 503 (взвешивать для этого ничего не надо). Полученные две кучки всегда имеют разный вес. Действительно, если предположить, что их вес может быть одинаковым, то в этом случае в обеих кучках должно быть равное количество шариков каждого вида, что невозможно, так как 503 не делится на 2.

7-й класс

1.  Угадаем закономерность.

4 = 2³ – 2², 18 = 3³ – 3², 48 = 4³ – 4², ..., 900 = 10³ – 10².

Сумму можно подсчитать непосредственно. Она равна 2640.

2.  4⁵⁰⁰ = (4⁵)¹⁰⁰ = 1024¹⁰⁰ > 625¹⁰⁰ = (5⁴)¹⁰⁰ = 5⁴⁰⁰.

3.  Очевидно, что вторая цифра второго сомножителя — 0. Последняя цифра второго сомножителя может быть либо четверкой, либо девяткой. В первом случае первая строка результата — 3764, а во втором — 8469. Чтобы третья от конца цифра произведения равнялась трем, последняя цифра второй строки результата (и соответственно первая цифра второго сомножителя) должна быть в первом случае — 6, а во втором — 9. При этом вторая строка результата в первом случае будет 5646, а во втором — 8469. Второй случай невозможен, поэтому второй сомножитель — 604. Пример принимает вид: 941·604 = 568 364.

4.  В автомобильном номере 7 позиций. На каждой из пяти позиций может стоять один из пяти символов (четная цифра), а на каждой из двух позиций — один из 33 символов (буквы). Постановка символов независима, поэтому каждому символу в одной из позиций соответствует полный набор в следующей позиции. Поэтому возможных расстановок символов по позициям, а значит, и автомобильных номеров, будет

5⁵·33² = 3 403 125.

5.  Каждая плоскость делит пространство на две части. Две плоскости делят его на четыре части, три — на восемь частей. Последняя из четырех плоскостей граней тетраэдра пересекает три остальных в одной точке, поэтому число частей, на которые данные плоскости делят пространство, будет 15, а не 16.

Ответ: 15.

Можно решить и по-другому. Плоскости выделяют в пространстве внутреннюю часть тетраэдра, четыре части, прилегающие к его граням, шесть частей, прилегающих к его ребрам, и четыре части, прилегающие к его вершинам. Всего 15.

8-й класс

1.  Домножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженную сумму радикалов. Получим:

2.  Левая часть уравнения x ³ – x = (x – 1)x(x + 1) —

произведение трех последовательных целых чисел и делится на 3. Правая же часть не делится на 3. Уравнение не имеет решений в целых числах.

3.  Радиус R рассматриваемой окружности равен двум третям медианы треугольника, то есть

и площадь сектора с углом 60° этой окружности внутри треугольника равна

Площадь же данного треугольника равна Таким образом, искомое отношение есть

4.  См. решение задачи 4 для 7-го класса.

5.  Докажем по индукции следующее утверждение:

Максимальное число частей, на которые могут разбить плоскость n прямых, равно и достигается, когда прямые находятся в общем положении (пересекаются в максимальном числе точек).

При n = 1 прямая разбивает плоскость на части, что очевидно.

Предположим, что утверждение верно при n = k. Рассмотрим какие-то k прямых и проведем еще одну прямую. Тогда, если она пересекла прямые в s различных точках, то добавится еще s + 1 область. Видно, что максимальное число областей будет, если прямые будут в общем положении. Тогда число областей будет равно

что и требовалось доказать. Для n = 2008 получаем ответ: на 2 017 037 частей.

9-й класс

1. 1000²⁰⁰⁸>(1000²)¹⁰⁰⁰>2008¹⁰⁰⁰.

2.  Продолжим стороны АВ, CD и EF до их попарного пересечения в точках M, N и L (см. рис. слева). Тогда в каждом из треугольников MAF, BNC и DLE есть по два угла, равных 60°, то есть эти треугольники равносторонние. Следовательно, треугольник MNL – также равносторонний. Пусть AF = x, DE = y. Тогда

x + 3 + 4 = 4 + 5 + y = y + 1 + x,

откуда x = 8, y = 6.

3.  а) Коэффициент a отвечает за направление (вверх-вниз) и сжатие ветвей параболы. Ответом будет: (2), (3), (1).

б) с = y(0) — значение квадратного трехчлена при х = 0. Ответом снова будет: (2), (3), (1).

в) a + b + c = y(1). Ответ тот же, что и в пунктах (а) и (б): (2), (3), (1).

г) 4a² + 2b² + c² + 6ab + 3bc + 5ac = (a + b + c)(4a + 2b + c) = y(1)·y(2).

(Понятно, что на рисунке х = 2 соответствует большему корню второй параболы.) Ответ тот же, что и в пунктах (а), (б) и (в).

4. Левая часть уравнения x³ – x = (x – 1)x(x + 1) —

произведение трех последовательных целых чисел и делится на 3. Правая же часть не делится на 3. Уравнение не имеет решений в целых числах.

5. Если сторона a треугольника ABC биссектрисой AA₁ разделена на отрезки a₁ и a₂, то можно записать следующие соотношения (см. рис):

Решая эту систему уравнений относительно a₁ и a₂, получим

Вычислим аналогично отрезки, на которые разделены стороны b и c треугольника ABC:

Так как отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, между которыми лежит этот общий угол, то

Аналогично находим

Теперь найдем отношение

10-й класс

1. Возможны три разных параллелограмма: ABD₁C, ABCD₂, ACBD₃. Чтобы четыре точки образовывали параллелограмм, необходимо и достаточно выполнение одного из равенств:

где O — произвольная точка (в частности, начало координат). Это следует, например, из того, что точка пересечения диагоналей делит диагонали пополам. Решая по очереди выписанные системы линейных уравнений, находим ответы: (4; 3);
(2; 1); (–2; –1).

Задачу можно решить и графически.

2. Преобразуем исходное уравнение:

3.  См. решение задачи 3 для 9-го класса.

4.  

Очевидно, что первое слагаемое есть четная функция, а второе – нечетная.

5.  См. решение задачи 5 для 9-го класса.

Победители межрегиональной математической олимпиады 2008/09 года

6 класс

С. Колмаков (Н.В. Городилова), П. Перманцева (Т.Ф. Бутыгина), М. Кравец (А.А. Болбас), В. Вострикова (О.И. Барышева), М. Пережогина (Л.И. Загоздина), В. Васильченко (Н.В. Чепелева), Д. Лопарев, К. Назаренко, К. Бакирова (Л.И. Алферова), К. Алексеева (О.Н. Дементьева), А. Кашурников (Г.П. Зайков), А. Култышева (Л.С. Козликина), Д. Мартыненко (Л.А. Миронова), С. Николаева (Н.К. Амирова), А. Косянчук (Е.А. Крюкова), А. Зимина (Л.С. Козликина), А. Шеремеева (Т.Ф. Бутыгина), П. Кондаков (В.В. Багаева), А. Агабекян (И.А. Слепенкова), Б. Майснер (Н.В. Климова), Д. Горянская (Л.И. Алферова), Е. Дворникова (Н.А. Пинчук), Г. Пылаев (Т.М. Лебедева), К. Криштал (Е.А. Краснова), Е. Пшкова (Г.Е. Семакина), А. Мальцева (Л.С. Козликина), А. Московченко (Л.Л. Меньших), И. Суровегин (В.И. Смирнова), И. Огнева (О.П. Скаморохова), В. Андреева (В.И. Смирнова), И. Емельянова (О.Ю. Долгих), Т. Сорокина (М.С. Пяткина), П. Баранова (О. Фирсова), П. Романов (А.И. Мисливец), Н. Випс (Л.И. Шевнякова), А. Кримицын (М.В. Кримицына), Е. Спирова (З.К. Порывкина), К. Быструшкина (Е.А. Барашко), В. Петрова (З.Г. Ларионова), А. Мармылев (Н.А. Исакова), Д. Войтышин (А.И. Мисливец), Н. Лаикина (Л.А. Миронова), М. Власова (В.С. Варламова), С. Вирясов (В.С. Варламова), А. Тихонова (Н.В. Журавлева), А. Солониченко (Т.А. Розина), А. Картоннова (О.М. Борисова), П. Крылов (Т.В. Тюрина), А. Кофанова (Е.Ю. Шумова), Д. Шевелев (Т.А. Розина), И. Помыткина (Л.С. Козликина), С. Петрова (Л.В. Екименко), Д. Алексеенко (Л.В. Титова), А. Лечкина (А.А. Голубихина), Т. Юдина (Л.С. Козликина), Н. Петрунина (Г.А. Колесова), А. Бочарова (З.К. Порывкина), А. Дуняева (О.В. Кашпур), Д. Хечуашвили (В.В. Багаева).

7 класс

А. Петухов (С.В. Щеглова), И. Морозова (Л.А. Крякунова), Е. Улаева (В.В. Почуева), С. Ячменцева (С.Б. Аверина), Е. Баранова (О.А. Леонова), Е. Каримова (Г.Н. Беловодская), В. Калашникова (В.Т. Олейникова), А. Васильева (Н.В. Жерлицина), А. Кашникова (Н.И. Анисимова), А. Жорыкбаева (О.А. Беседина), Д. Патырина (П.Д. Прибытков), Ю. Пупина (С.И. Кара), И. Стельмах (Н.И. Рухледева), В. Петров (Ю.А. Менделеева), Л. Белая (З.К. Порывкина), Д. Шишкалов (С.И. Леухина), О. Краснова (Ф.Ю. Мигунов), Н. Кустов (Л.И. Кобозева), Д. Вылегжанина (В.И. Федуро), О. Камышникова (Т.В. Фатеева), Ю. Бувина (С.В. Думушкина), Р. Абдульменова (Е.А. Орлова), А. Васин (О.Е. Лобанова), Г. Валеева (Л.Н. Никонова), К. Кашников (Ю.В. Буркина), Е. Мунтяновна (Е.В. Бугайчук), В. Ретюнская (О.В. Швец), Е. Еськова (В.А. Лычева, Н.В. Кравцова), В. Митина (Н.В. Трушина), А. Низамеева (Г.Г. Гобделхаева), Ю. Кесаева (Н.И. Рогачева), С. Тимофеева (Г.В. Яковлева), О. Кызьюров (Т.Н. Перфильева), М. Моргунова (Л.П. Бондаренко), Б. Тагиров (Г.Ф. Тагирова), Д. Денисов (А.А. Власова), А. Власова (Л.Н. Митина), И. Алексеенко (С.И. Лагойда), В. Шигорова (В.И. Рыбникова), А. Шабрин (М.А. Сарбаева), Ю. Фирстова (М.А. Боигова), И. Шембякова (Е.В. Самсикова), Е. Кириенко (Ю.В. Дайбова), О. Харитонова (Н.И. Рухледева), А. Кисель (З.Н. Солодкова), И. Гарматина (О.Е. Лобанова), М. Доманов (Е.Т. Гвоздей), А. Новикова (С.Н. Машурова), Д. Абубакиров (Л.Н. Фралова), О. Левушкина (В.И. Алексеева), М. Мельникова (А.В. Кочнева), И. Матвеев (Е.В. Паршева), В. Шебалков (Л.Н. Шульга), А. Толстав (В.И. Ромодина), А. Салихов (Е.А. Шафранская), М. Павлов (И.В. Шаповал), А. Гарифуллина (Е.В. Бугайчук), Л. Фандеева (Т.Ю. Рюмина), И. Парилов (М.В. Баранова), А. Сучкова (В.П. Ляпугина), Э. Рыжих (П.И. Попельнух), Д. Сижажева (З.К. Шишкина), М. Погонец (Н.С. Погонец), О. Рублевик (А.В. Палаткина), Н. Шестакова (И.В. Манакова), В. Токарев (С.Л. Микушкина), Н. Мартыненко (Л.С. Лагуткина), П. Зубкова (О.Ф. Гришина), С. Красноперов (В.И. Аравиди), Г. Русскова (Р.Т. Гурьева), В. Граудина (Г.В. Акимова), Н. Григорьев (О.В. Мартыщенко), Т. Сидирякова (В.С. Варламова), Ф. Минниханов (Г.Р. Хисматова), Т. Молина (А.А. Ятайкина), А. Лаврентьев (С.В. Ефимова), В. Пинзберг (С.М. Уварова), М. Шумилин (С.Н. Ельникова), Е. Образцова (А.П. Глухова), А. Богданов (А.А. Власова), Г. Нигматзянова (А.З. Шакурова), С. Шмний (Л.Н. Синицына), К. Глонь (В.В. Копуев), А. Терских (В.В. Соловьева), Л. Ахметова (З.Х. Заляева), И. Горшков (В.А. Бормотова), Н. Борисенко (Н.А. Чуракова), С. Круликов (Т.М. Богданова), Е. Шадрин (Е.Ф. Градова), А. Сабадаш (В.А. Орлова), О. Мрязева (Т.В. Шаймарданова), М. Кривопляс (Е.В. Лукина), Е. Широкова (Е.А. Сухарева), В. Старостина (Е.В. Бугайчук), Д. Пискунова (С.В. Мельникова), К. Байкалова (С.А. Кривошей), И. Хмитунова (О.Н. Краснова), Е. Лосева (О.А. Беседина), В. Песов, А. Гаязова (Р.Н. Гаптуллина).

8 класс

В. Трунова (Г.В. Богомолова), В. Ерешкин (Э.В. Касьянова), Н. Соболев (В.П. Ляпугина), А. Фролова (А.А. Чернеда), И. Казяева (Л.Н. Митина), А. Поюдис (С.В. Симонова), И. Петров (Р.Т. Гурьева), А. Пурис (Л.И. Чеметева), В. Тищенко (В.А. Захарова), Л. Леонтьева (Л.Н. Акимова), К. Балкарова (З.З. Лукожева), Т. Меняйло (С.И. Коломыцев), А. Фомина (Л.Я. Грищенко), А. Сабиева (Г.З. Зайнуллина), Т. Ешиева (М.Г. Валиулина), О. Фадеева (Н.А. Колечева), О. Ручина (Е.Б. Адмайкина), Н. Моргунов (Г.И. Марченко), В. Попов (А.В. Воронина), А. Уваров (С.М. Уварова), В. Фломина (Г.А. Фомичева), Е. Казанина (Н.Л. Волчек), Р. Крайнов (И.А. Седова), С. Дубровский (В.Л. Маркель), А. Петрова (Л.В. Салихова), Д. Кутузов (И.Ю. Бурова), Д. Олейник (Н.А. Пышная), А. Иванов (Л.И. Ширяева), Д. Лысенко (О.Ю. Имназирова), С. Баримико (Т.П. Сапрыкина), Т. Соломон (Л.Г. Фомченкова), З. Забирова (Ш.Р. Галиев), А. Ипатьева (Р.Н. Филлипова), И. Федоров (Г.И. Иванова), Е. Добролюбова (Н.В. Бурова), Д. Быстричкин (И.В. Лысова), В. Боршова (Г.А. Чиликина), С. Иванникова (Е.И. Пукова), З. Воробьев (Г.С. Барлыкова), А. Лазарев (Т. Мещерякова), В. Дорогинин (С.А. Данелян), А. Анастасиев (И.С. Юдина), М. Ткачева (Г.А. Дементева), О. Гайша (Т.А. Лычагина), Н. Милинцова (Г.Н. Алмиева), В. Никитин (Л.Г. Гоганина), М. Раевский (М.И. Евдокимова), О. Кандрашин (Л.Ф. Шмелева), Р. Шарипова (Ф.Г. Аюпова), В. Воробьев (Р.А. Коврова), В. Тебенькова (Е.М. Тебенькова), А. Киселева (О.К. Иванова), Е. Новикова (Л.Н. Зайцева), В. Ляданцев (А.А. Погодина), А. Лисина (Л.А. Сорокина), М. Гуляева (Л.С. Аммосова), Ю. Москаленко (И.А. Матюхина), Д. Смольянинова (Г.В. Тамахина), О. Прохорова (Т.П. Шацких), К. Белбородов (Н.И. Воробьева).

9 класс

К. Баладурин (Е.Ф. Коваленко), Р. Садыков (Е.Н. Набережнова), С. Минаев (Л.Г. Слепохурова), А. Ершова (Н.А. Галкова), М. Карпов (М.П. Кычанова), Г. Гадлевский (В.Г. Логачева), А. Миниев (Н.Н. Ружитова), И. Шакиров (М.Б. Анохин), И. Гуткова (Е.Н. Приставко), П. Кандрацкая (В.С. Такмазьян), М. Носова (Г.М. Свенцицкая), С. Лхасаранова (А.Ю. Цыбикова), Р. Чикиров (Т.Н. Каторгина), Л. Мурзаева (Л.Ф. Ешмейкина), П. Пимурзин, Е. Рагозина (Э.А. Петросян), А. Митяева (Л.Ф. Сидорова), Е. Бутеей (Е.А. Грибовская), В. Савченко (Е.А. Товстоног), Т. Байтман (Е.В. Животова), О. Смирнова (Т.Н. Коновалова), А. Сагидулина (Е.А. Климова), В. Горбунов (Н.Л. Будлянская), А. Скуров (Т.А. Журавлева), А. Сафина (Е.А. Потапова), О. Шумейко (Г.В. Осипова), М. Макашова (Н.В. Браузман), А. Ковалева (Л.Г. Мирошниченко), Т. Нархова (И.М. Присекина), А. Габидулилина (Г.И. Сабирова), Е. Лебедев (А.И. Капустиан), А. Мирошникова (И.А. Шаповалова), М. Шакиров (С.В. Титова), А. Шогенов (И.А. Кочесоков), Ю. Малахова (Т.А. Шупарская), И. Давлетгареев (В.М. Шайхинурова), А. Тушина (Л.В. Морозова), А. Климентьева (В.А. Матвеева), А. Семененко (Е.А. Потапова), Т. Малёвана (В.П. Ляпугина), Е. Малинкин (С.В. Евсеева), Н. Черницын (В.А. Матвеева), Е. Загуменнов (О.Н. Куприянова), В. Качалова (В.В. Зайцев), Е. Картошкина (Г.М. Каржавых), М. Корелетов (Н.Ф. Абросинова), А. Колодинская (Н.С. Пчеянская), М. Максимович (Л.И. Шерстнева), М. Бабанова (Н.Н. Яговитова), И. Орлов (М.Б. Трофимова).

10 класс

В. Колосов (Т.А. Парферова), Д. Орлов (Е.В. Сивченкова), Л. Журов (Е.В. Сивченкова), М. Ястребова (Г.Н. Колпакова), Э. Никельшпарг (И.Г. Алексеев), А. Верещака (И.И. Гурова), А. Апарин (А.А. Трубецких), Д. Сальников (С.А. Васюков), Р. Осин (Л.М. Фильченкова), М. Артемьев (Т.В. Луру), Т. Никонова (Л.Б. Ходакова).

Филатов Е.