Школьные Колмогоровские и Харитоновские чтения, 2009

Школьные Колмогоровские и Харитоновские чтения

Научные конференции стали уже той постоянной составляющей школьной жизни России, которая присутствует в рабочих планах многих школ. Выступление учеников с докладами на конференциях не только делает честь школе и ее учителям, но и способствует становлению устойчивого интереса учащихся к изучению той или иной дисциплины, созданию атмосферы творчества в школьных коллективах. Участники таких конференций и их победители становятся кумирами в детских коллективах и в значительной мере помогают учителю как в проведении уроков, так и при проведении факультативных занятий, кружков, олимпиад и конкурсов.

В этой короткой статье я расскажу о двух ежегодных престижных международных конференциях: «IХ Харитоновские чтения» и «IХ Колмогоровские чтения» (электронные адреса постоянно действующих оргкомитетов: kh.read@expd.vniief.ru, reading-07@aesc.msu.ru).

Харитоновские чтения традиционно проходят в конце февраля в г. Сарове, где расположен Российский федеральный ядерный центр, который в течение многих лет возглавлял выдающийся ученый и патриот, академик Юлий Борисович Харитон. Конечно, немаловажную роль в популярности чтений играет и то, что они проходят в местах, связанных с именем Серафима Саровского.

Колмогоровские научные чтения проходят в начале мая в Москве, их главными организаторами являются Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, его факультеты, а проходит она на базе Специализированного учебно-научного центра МГУ и школы им. А.Н. Колмогорова. Роль выдающегося ученого современности Андрея Николаевича Колмогорова в деле обновления и развития школьного образования, в организации широкой работы с талантливыми детьми трудно переоценить, а сама конференция проходит в стенах школы, которую он и создал, был многие годы ее научным руководителем и преподавателем.

На Харитоновских чтениях состав экспертных комиссий по математике, физике, информатике, биологии, химии формируется в основном из представителей ведущих вузов (МГУ, МФТИ, МИФИ) и естественно, что большая часть секций посвящена именно этим дисциплинам. К числу явных достоинств чтений следует отнести то, что в их программе присутствует и значительная гуманитарная часть, а в рамках работы чтений предусмотрены секции литературоведения, языкознания, западной филологии, истории и обществоведения, краеведения, психологии, экономики. На этой конференции в явной форме проявляется синтез гуманитарных и естественных наук, как и задумывалось организаторами чтений с самого начала.

На Колмогоровских чтениях работают секции математики, информатики, физики, химии и биологии (гуманитарных секций здесь нет), и это полностью соответствует тем специализациям, по которым проходит обучение в школе им. А.Н. Колмогорова. Состав экспертных комиссий формируется, главным образом, из профессоров и преподавателей Московского университета. Отличительной чертой Колмогоровских чтений является наличие в программе ее работы секции «Методика профильного преподавания», в которой участвуют научные руководители участников чтений, видные организаторы специализированного обучения в нашей стране. Основной круг обсуждаемых здесь вопросов связан с организацией научно-исследовательской деятельности школьников, с направлениями педагогического творчества и научных исследований учителей и обсуждением проблем, возникающих при взаимодействии вузов и школ при реализации идей и принципов непрерывного образования. В этом году итогом обсуждения трудностей организации научно-исследовательской работы школьников стало решение о создании на одном из активных сайтов школы им. А.Н. Колмогорова (www.mathshool.ru) базы данных с постановками новых задач исследовательского характера, предназначенных для учащихся, которые могли бы стать основой для исследований и подготовки научных докладов.

При предварительном отборе оргкомитетом чтений в программу работы конференции «Харитоновские чтения-2009» были включены 22 работы (заметим, что помимо текста все работы имели еще и свои презентации в электронном виде). Лауреатами конференции в математической секции стали Сергей Фадеев (гимназия № 2, г. Саров; научный руководитель В.В. Вавилов) и Элен Акопян (школа им. А.Н. Колмогорова СУНЦ МГУ). В основу работы Сергея, названной им «Вокруг Ханойской башни», была положена классическая задача, которая состоит в следующем. Нужно с одного колышка (из трех имеющихся), на котором нанизаны в порядке убывания их размеров 8 дисков, за минимальное число перекладываний переместить всю башню на один из двух других колышков; переносить каждый раз разрешается только один диск, и нельзя помещать больший диск на меньший. В работе рассматривались различные варианты обобщения этой задачи; их решение потребовало привлечения широкого спектра комбинаторных методов и анализа довольно громоздких систем рекуррентных последовательностей. По итогам конференции на публичной пленарной лекции для всех участников чтений автор сделал доклад, основанный на очень красивой и доступной электронной презентации, который вызвал естественный интерес у слушателей.

Работа Элен Акопян «Парабола и касательные», выполненная также под руководством В.В. Вавилова, была посвящена изучению геометрических свойств параболы, в ней последовательно рассматриваются треугольники, образованные касательными к ней. В первой части рассматривается треугольник, ограниченный хордой параболы и двумя касательными к ней, проведенными в концах хорды; для него установлены теорема Архимеда о площади параболического сегмента и получены любопытные следствия. Для треугольника, ограниченного тремя касательными к параболе, получены новые доказательства классических теорем Аполлония и Ламберта и обнаружены новые свойства таких треугольников. Заключительная часть работы посвящена изучению свойств четырехугольников, образованных четырьмя различными касательными к параболе, и общих свойств пучка кривых второго порядка, касающихся четырех заданных прямых.

Дипломы второй степени получили Наталия Корепанова, Алексей Прошин и Александр Журавель — все из школы им. А.Н. Колмогорова СУНЦ МГУ.

Наталия Корепанова в работе «Теорема о неподвижной точке» (научный руководитель В.В. Вавилов) получила новый результат, сравнив «силу» чисто комбинаторной леммы Шпернера и чисто топологической, важной для приложений, теоремы Брауэра о неподвижной точке. Более точно, было показано, что они эквивалентны, то есть каждое из этих двух утверждений является следствием другого утверждения. Непрерывное отображение, построенное Наталией и играющее центральную роль в ее рассмотрениях, оказалось простым и не известным специалистам-топологам.

Основой работы Алексея Прошина «Метод спуска и решение уравнений в целых числах» (научный руководитель В.В. Вавилов) послужила одна сложная задача Международной математической олимпиады 1988 года. Задача такая: Для некоторых целых неотрицательных чисел a и b число

оказалось целым. Докажите, что n — полный квадрат. Отметим здесь, что тема для исследований была предложена выпускником школы им. А.Н. Колмогорова и ныне доктором физико-математических наук А.В. Устиновым (см. «Потенциал», 2008, № **). В работе найдены все тройки натуральных чисел a, b, n, для которых a² + b² + k = nab, где k — целое число. Трехмерные графические иллюстрации позволили автору наглядно показать слушателям множество найденных решений изучаемых уравнений.

Александр Журавель (научный руководитель Ю.Е. Егоров) изучил одно преобразование набора натуральных чисел. На этот раз отправной точкой послужила задача Всесоюзной математической олимпиады 1978 года. Задача, рассмотренная в докладе, состоит в следующем. Пусть первоначально дан набор натуральных чисел (а₁, а₂, ..., а_n). Разрешается производить с ним следующие две операции: деление пополам любого четного числа и сложение любых двух в одно. Нужно выяснить, возможно ли с помощью конечного числа операций получить набор (1; 1; ...; 1), состоящий из n единиц. Для решения этой задачи была построена значительная теория, применив которую, автору удалось найти множества «хороших» и «плохих» наборов.

Третью премию на чтениях этого года получили работы Ивана Мушаева из СУНЦ МГУ (научный руководитель В.В. Вавилов), Инны Мартыновой и Алексея Алексашкина — оба из г. Сарова (лицей № 15). Научные руководители Д.Б. Николаев, С.Ю. Горячева и Р.Р. Кудряков соответственно. Доклад И. Мартыновой назывался «В поисках простого... Новое применение дедуктивного метода Шерлока Холмса», а доклад А. Алексашкина — «Совершенные треугольники и способы их нахождения».

«Итерации Ньютона» — так назывался доклад И. Мушаева. Рекуррентную последовательность вида

используют для приближенного решения уравнения f(x) = 0 и называют итерационной последовательностью И. Ньютона. В таком виде метод Ньютона изложен Л. Эйлером в «Основаниях дифференциального исчисления» в 1755 году, где он назван методом касательных Ньютона. В работе изучаются так называемые множества расходимости этого метода (аттракторы) для алгебраических уравнений, для которых был обнаружен эффект существования периодических последовательностей {x_n} произвольной длины. В частном случае, для уравнений третьей степени, полученный результат можно сформулировать так: Пусть многочлен f(x) = x³ + px + q имеет только один действительный корень и для некоторого натурального числа k существует такое х₀ = а, что итерационная последовательность Ньютона имеет период k, то есть x_k = x₀ = а. Тогда для любого натурального р существует такое х₀ = b, что итерационная последовательность Ньютона имеет период p + k. Кроме того, рассмотрены примеры функций f(x) = x³ – x ,
f(x) = x³ – 3x + 3, для которых описаны все множества расходимости, а также и некоторые другие примеры, иллюстрирующие различные особенности итерационного процесса Ньютона.

В глубокой работе «Многоликий алгоритм Евклида», обширной по содержанию, которую представили (в двух связанных между собой докладах) ученики СУНЦ МГУ Екатерина Деннике и Олег Король, была сделана попытка (включая и широкие математические компьютерные эксперименты) справиться с одной трудной проблемой современной теории чисел: как зависит число этажей в цепной дроби суммы двух цепных дробей с заданными высотами? Многоликость «прадедушки» всех алгоритмов была показана при нахождении НОД двух чисел и соответствующих интерпретациях на клетчатой бумаге, при установлении связи алгоритма с задачами разбиения прямоугольника на квадраты и при расчете электрических цепей. Не осталась без внимания и интерпретация Б.Н. Делоне с названием «алгоритм вытягивания носов», и геометрическая конструкция Полиа для цепных дробей, а также и многое другое. Эта работа была отмечена только сертификатом участника, но по своей глубине и широте охвата рассматриваемого круга вопросов была лучшей на конференции.

На Харитоновских чтениях-2009 кроме названных выше школьников выступили:

• Олеся Горбенко (г. Саранск, лицей № 4; научный руководитель Е.Г. Смольянова) с докладом «Построение локона Аньези из параболы»,
• Даниил Доника (г. Волгоград, лицей № 8 «Олимпия»; научный руководитель Н.А. Ким) с докладом «Функциональное описание реальных процессов методом регрессионального анализа»,
• Надежда Киселева (г. Нижний Новгород, средняя школа № 33; научный руководитель В.П. Савельев) с докладом «Об оптимальном ритмичном производстве»,
• Глеб Кузенков (г. Нижний Новгород, лицей № 38; научный руководитель Д.В. Баландин) с докладом «Математическая модель механических автоколебаний в зазоре»,
• Лев Кузьмин (г. Саров, лицей № 15; научные руководители Г.И. Калашникова и Р.Р. Кудряков) с докладом «Числа Вильсона и способы их преобразования»,
• Александр Куликов (г. Нижний Новгород, средняя школа № 186 «Авторская академическая школа»; научный руководитель Н.И. Трояновская) с докладом «Решение экономических задач средствами математики»,
• Игорь Левин (г. Кулебаки, средняя школа № 1; научный руководитель Т.С. Киселева) с докладом «Кривые Серпинского»,
• Анастасия Порхун (СУНЦ МГУ; научный руководитель Е.В. Шивринская) с докладом «Объем тетраэдра»,
• Павел Смирнов (г. Нижний Новгород, лицей № 180; научный руководитель О.В. Голованова) с докладом «Вписанная окружность»,
• Маргарита Ульянова (г. Подольск Московской области, лицей № 2; научный руководитель Е.В. Борисова),
• Алексей Хлебников (г. Саров, лицей № 15; научные руководители Р.Р. Кудряков и Г.И. Калашникова).

На конференции «Колмогоровские чтения-2009» были присуждены две первые премии. Ее получила совместная работа Бакытжана Незерке и Алтынай Джамульдаевой «Об уточнении теоремы МакМагона об индексах перестановок (спецшкола-интернат им. О.А. Жаутыкова, г. Алматы; научный руководитель К.М. Туленбаев) и работа Алексея Прошина «Метод спуска и решение уравнений в целых числах» (СУНЦ МГУ; научный руководитель В.В. Вавилов). В работе казахских школьников получено обобщение (и уточнение) классической теоремы майора Вооруженных сил Великобритании П. МакМагона о распределении количества инверсий и главных индексов в множестве подстановок. О работе А. Прошина уже шла речь выше и здесь стоит только добавить, что на Колмогоровских чтениях работа докладывалась в более полном объеме.

Вторые премии были присуждены Наталие Корепановой (СУНЦ МГУ; научный руководитель В.В. Вавилов) за доклад «Теорема о неподвижной точке», Элен Акопян (СУНЦ МГУ; научный руководитель В.В. Вавилов) за доклад «Параболические этюды» и Федору Амосову, который выступил с докладом «Замощение прямоугольника прямоугольниками» (лицей № 533, ЮМШ СПбГУ; научный руководитель Е.Е. Жукова). Началом исследования Ф. Амосова стала одна трудная задача Всесоюзной математической олимпиады; в работе получен критерий, позволяющий по заданным размерам установить возможность разбиения заданного прямоугольника на заданные равные прямоугольники.

Третьи премии Колмогоровских чтений жюри присудило работе Станислава Маркелова «Неравенства, связанные с корневыми решениями обобщенного уравнения Маркова» (ОССИУ «Эрудит», г. Донецк, Украина; научный руководитель В.Л. Потемкин) и Ивану Максимову за работу «Цепные дроби» (СОШ № 1173, г. Москва; научный руководитель С.А. Беляев). В работе С. Маркелова установлены интересные неравенства на произведение компонент корневого решения, позволившие создать алгоритм для более экономного перебора при отыскании решений диафантова уравнения Маркова-Гурвица. Работа И. Максимова носила экспериментальный характер и позволила подтвердить гипотезу В.И. Арнольда о высоте непрерывной дроби рационального числа.

Среди отмеченных на Колмогоровских чтениях-2009 были следующие работы:

• доклад Алины Алтаевой «Применение фрактальной геометрии в естественных науках» (МОУ СОШ № 26, г. Владимир; научный руководитель Г.И. Радченко),
• доклад Серика Бекетаева «Заполнение плоскости многоугольниками (спецшкола-интернат им. О.А. Жаутыкова, г. Алматы; научный руководитель К.М. Туленбаев),
• совместный доклад Натальи Павленко и Анны Волковой (школа № 192, г. Москва и школа № 8, г. Красногорск, Московская область; научный руководитель Г.И. Сыркин),
• совместный доклад Екатерины Деннике и Олега Короля «О высоте этажной дроби» (СУНЦ МГУ; научный руководитель В.В. Вавилов),
• доклад Анастасии Порхун «Объем тетраэдра» (СУНЦ МГУ; научный руководитель Е.В. Шивринская),
• доклад Анатолия Геращенко «Исследование зависимости клетчатых автоматов от начальных данных» (лицей № 533, г. Санкт-Петербург; научный руководитель Е.И. Мосейко),
• доклад Алены Головко «Самопорожденные числа и применение их в криптографии» (лицей № 3, г. Прохладный, Республика Кабардино-Балкария; научный руководитель Н.В. Мануфричева),
• доклад Павла Тюрина «Об арифметике чисел Фибоначчи» (лицей № 533, г. Санкт-Петербург; научный руководитель Б.Б. Лурье).

В заключение отмечу, что в Ярославском государственном университете им. К.Д. Ушинского в конце мая состоялись «взрослые» VII Международные Колмогоровские чтения, на которые обычно собираются учителя и преподаватели педагогических вузов страны. Пленарный доклад автора настоящей статьи, прочитанный там, был посвящен рассказу о работах учащихся — победителей школьных Колмогоровских чтений. Интерес слушателей был неподдельным, доклад вызвал много вопросов, посвященных, главных образом, постановкам задач для самостоятельных исследований учащихся и трудностям с этим связанным. Рекомендации этих чтений готовятся к печати и будут полезны, в частности, при организации учебно-научной работы учащихся.

Математический бой между командами «МГУ» и «Гости МГУ» на Колмогоровских чтениях-2009

1. Доказать, что уравнение четвертой степени ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 относительно неизвестной х, в котором коэффициенты a, b, c, d, e — произвольные целые нечетные числа, не имеет рациональных корней.

2. О функции f известно, что равенство

имеет место для любого действительного значения х. Найти функцию f(x) и построить эскиз ее графика.

3. Дана функция f такая, что для всех действительных х, отличных от 1, и f(x) не определено при х = 1. Пусть (g₁; g₂; ...; g_n; ...) — последовательность итераций функции f, определяемая индукцией (по n):

1) g₀(x) = f(x), 2) g_n + 1(x) = f(g_n(x)),

причем левая часть каждого из этих равенств определена только тогда, когда определена соответствующая ей правая часть. Решить уравнения:

1) g₀(x) = 0; 2) g₁(x) = 1; 3) g₂₀₀₉(x) = 2009.

4. Найти, какое наибольшее значение может принимать числовое выражение

при условии что

5. Найти все значения переменной х, удовлетворяющие неравенству

(a + 2)x³ – (1 + 2a)x² – 6x + (a² + 4a – 5) > 0

хотя бы при одном значении а, принадлежащем отрезку [–2; 1].

6. Дан трехгранный угол и точка Р внутри него. Через точку Р проведена плоскость таким образом, что она отсекает от данного трехгранного угла пирамиду наименьшего объема. Доказать, что точка Р является точкой пересечения медиан треугольника, являющегося пересечением этой плоскости и данного трехгранного угла.

Заочные олимпиадные задания Харитоновских чтений

1. На экскурсию поехала группа из 52 школьников, причем с 23 из них Федя был знаком. Он был знаком с дюжиной мальчиков и половиной девочек. Сколько всего мальчиков было в экскурсионной группе?

2. Определить угол А треугольника между сторонами 2 и 4, если медиана, выходящая из вершины А, равна

3. Решить уравнение

4. Построить треугольник, зная точки пересечения высоты, биссектрисы и медианы, выходящих из одной вершины, с описанной окружностью.

5. Найти все такие натуральные n, для которых n³ + 3 делится на n + 3.

6. Решить систему

Ответы: 1. 30.  2. 60°.  3.   4. Указание. По трем данным точкам построить центр окружности.  5. 1, 2, 3, 5,9, 21.  6. при n, k Z, k ≥5.

Тест-олимпиада по математике

(очный тур)

1. Цена товара изменяется два раза в год: в апреле она повышается на 20%, а в сентябре снижается на 20%. Какова будет цена товара в декабре 2009 г., если в январе 2008г. она составляла 6250 р.?

2. Медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС. Угол между АМ и высотой АН равен 40°. Найти углы треугольника АВС.

3. Найти все целочисленные решения системы

4. Дана арифметическая прогрессия а₁, а₂, а₃, ..., у которой а₃ = –13, а₇ = 3. Найти n, для которых сумма первых n членов прогрессии будет наименьшей?

5. Найти все значения параметра а, для каждого из которых неравенство

2х + 2| х – а | + | х –1 | > 3

выполняется для всех х.

6. Найти площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 1, а длины всех его высот — целые числа.

Ответы: 1. 5760.  2. 90°, 25°, 65°.  3. (2; 3), (3; 2), (3; 3), (4; 3), (5; 4).  4. n = 6.  5.

_________________________________________________________________

Подготовка к юбилейным, десятым, Колмогоровским и Харитоновским чтениям, которые пройдут в 2010 г., началась, и мы желаем учителям-наставникам успехов в их педагогическом творчестве, а их воспитанникам – содержательных и интересных докладов.

Вавилов В.