Математическое многоборье СУНЦ МГУ
Математическое многоборье впервые проводилось 3–8 ноября 2008 г. в формате лично-командного турнира, который сохранил лучшие традиции проводившихся ранее Открытых командно-личных турниров российских регионов по математике.
Одна из основных идей проведения турнира состояла в том, чтобы дать возможность проявить себя тем школьникам, которые увлекаются определенными разделами школьной математики. Именно с этой целью в программу включены личные олимпиады по алгебре, геометрии и комбинаторике, и победители каждой из трех олимпиад награждаются отдельно.
В турнире по результатам пяти соревнований (трех личных и двух командных олимпиад) подводится общекомандный итог, награждаются и победители каждого из соревнований. Два командных соревнования являются полной противоположностью друг друга: одно — «скоростное» и письменное, другое — «медленное» и устное. В этом заключается еще одна особенность турнира: в нем каждое соревнование уникально.
В ноябре 2009 г. в СУНЦ МГУ состоится Второе математическое многоборье. Вся информация будет своевременно опубликована на сайте кафедры математики www.mathschool.ru. Собственно, уже сейчас на этом сайте расположены материалы и хронология Первого математического многоборья.
Участники
Это 48 команд из четырех стран: России, Сербии, Украины, Казахстана, и более чем двадцати городов — Ангарска, Екатеринбурга, Елизово (Камчатский край), Кургана, Сарова, Иркутска, Краснодара, Москвы, Майкопа, Санкт-Петербурга, Харькова (Украина), Астаны (Казахстан), Белграда (Сербия) и др., которые боролись за призовые места в старшей и младшей лигах. Каждая команда состояла из четырех человек. При этом если в команде был хотя бы один старшеклассник, то команда обязана была участвовать в старшей лиге. Впрочем, ни одна из команд без старшеклассников самовольно не пожелала быть в старшей лиге — все понимали, что в обеих лигах очень сильные соперники. Заслуженную победу одержали команда г. Белграда среди команд 10–11-х классов и команда г. Харькова среди команд 8–9-х классов. Успех иностранных команд не может не радовать, но и не должен вводить в заблуждение относительно силы российских команд. В частности, на текущий момент два участника турнира включены в команду России для участия в международной олимпиаде, еще один — абсолютный победитель Московской математической олимпиады.
Методическая комиссия и жюри
Составляла варианты и руководила проверкой методическая комиссия под председательством Д.В. Трещева, д.ф.-м.н., член-корр. РАН, проф. мехмата МГУ, зам. директора Математического института РАН. В состав комиссии вошли А.В. Акопян, А.А. Глазырин и С.И. Токарев, члены Центральной методической комиссии Всероссийской олимпиады школьников по математике; В.В. Вавилов, к.ф.-м.н., многие годы руководивший командой СССР на Международных математических олимпиадах; А.Я. Канель-Белов, д.ф.-м.н., проф. Московского института открытого образования; Ф.В. Петров, к.ф.-м.н., сотрудник Санкт-Петербургского отделения математического института РАН.
В жюри турнира были приглашены руководители команд и преподаватели, но основную его часть составили студенты (в основном мехмата МГУ), сами в прошлом участники олимпиад, причем участники успешные — четверо медалистов международных олимпиад по математике: И. Ба жов, А. Есин, М. Илюхина, И. Митрофанов, а также обладатели дипломов заключительных этапов Всероссийской олимпиады по математике.
Оргкомитет и гости
Основные действующие лица: ассистенты кафедры математики СУНЦ МГУ А.А. Пономарев, В.В. Никитин, студентка мехмата МГУ А.В. Янгирова, а также автор статьи. Все мы — выпускники СУНЦ МГУ. И конечно, на протяжении всего турнира ощущалась поддержка со стороны директора СУНЦ МГУ А.А. Часовских.
Не обошлось без интересных гостей. В один из дней
соревнований были организованы встречи для школьников и руководителей команд с
представителями мехмата и ВМиК МГУ, а также с директором МЦНМО И.В. Ященко,
основателем Турнира городов
Программа
Турнир под названием «Математическое многоборье» не может не состоять из самых разных соревнований. В программу многоборья вошли три личные и две командные олимпиады, а также экспериментальный тур.
Личные олимпиады мы сделали тематическими: письменная по алгебре и теории чисел в первый день турнира, устная по комбинаторике и логике — во второй, письменная по геометрии — в третий. Участникам было дано 4 часа на решение 4–5 задач. По результатам каждой из олимпиад подводился итог, награждались лучшие участники. Но более престижно было стать призером по итогам всех трех личных олимпиад. Вот они, лучшие участники турнира:
в 8-м классе — Д. Матвеевский (г. Харьков, Украина);
в 9-м классе — А. Кислинский (г. Харьков, Украина);
в 10-м классе — М. Матдинов (г. Оренбург, СУНЦ МГУ) и Т. вон Бург (г. Белград, Сербия);
в 11-м классе —
Г. Ненашев (г. Санкт-Петербург), Лука Миличевич (г. Белград, Сербия),
Командные олимпиады — математическую регату и устную олимпиаду — мы провели в первый и последний дни соревнований. В первый день — математическую регату, скоростное письменное соревнование: 12 задач и около 1,5 ч на их решение. Соревнование было разбито на 4 раунда по 3 задачи: в каждом раунде первая задача по алгебре и теории чисел, вторая — по геометрии, третья — по комбинаторике и логике; в среднем около 20–25 мин на один раунд. Победили команды «Эврика» (в младшей лиге) и «Санкт-Петербург 239», «СУНЦ МГУ 11Б», «СУНЦ МГУ 10Б», «Математичка гимназија» (в старшей лиге). В последний день мы провели устную командную олимпиаду: 8 задач на 4 ч. Но задачи были уже существенно сложнее, и ни одна из команд так и не справилась со всеми задачами. Снова победили «Эврика» (в младшей лиге) и «Санкт-Петербург 239» (в старшей лиге).
Досуг
Посещение театра, экскурсия в музей истории МГУ, интеллектуальные игры — неотъемлемая часть культурной программы. В течение всего турнира в распоряжении любителей активного отдыха были спортзал, а на территории школы — футбольное поле и беговая дорожка; ну а для тех, кто предпочитает спокойных отдых на природе, — большой яблоневый сад.
Экспериментальный тур
На турнире впервые был проведен экспериментальный тур. «Экспериментальность» тура получилась двоякой. С одной стороны, задачи здесь были не совсем стандартными олимпиадными, а предполагали исследовательский подход к их решению. В частности, формирование команд и выбор метода решения мы оставили на усмотрение участников. С другой стороны, проведение тура стало определенным показателем того, насколько школьники устали от математики за четыре дня непрерывных соревнований. Выяснилось, что, несмотря на пять непростых соревнований за спиной и тот факт, что экспериментальный тур никак не влиял на определение победителей турнира, 33 команды, насчитывавшие в своих рядах в общей сложности более 100 человек, с удовольствием взялись за решение интересных задач, даже несмотря на то, что альтернативой была прогулка по Москве.
Вариант представлял из себя шесть задач. Требования были стандартные: к каждой задаче должны были быть предоставлены ответ и его обоснование. Задания экспериментального тура приводятся ниже.
Победителями тура стали команды «СПб ФМЛ239» и «СУНЦ МГУ 11».
Условия задач
1. У какого из двух треугольников радиус вписанной окружности больше: у треугольника со сторонами 97, 169, 122 или у треугольника со сторонами 97, 169, 228?
2. Разгадайте числовой ребус (вместо каждой звездочки нужно поставить одну из цифр):
3. При помощи линейки с параллельными краями найдите центр данной окружности.
4. Имеется большое количество одинаковых единичных
сопротивлений. Составьте электрическую цепь, имеющую полное сопротивление,
равное 
Каким минимальным числом сопротивлений здесь можно обойтись?
5. Как должна проходить прямолинейная дорога, чтобы сумма расстояний от нее до трех данных населенных пунктов была наименьшей?
6. В каком из треугольников АНО, ВНО, СНО находится центр I вписанной окружности разностороннего остроугольного треугольника АВС, где Н — ортоцентр, а О — центр описанной окружности треугольника АВС? Ответ обоснуйте.
Ответы или указания к решению
1. Радиусы равны.
2. 631938 : 625 = 1011,1008.
3. Указание. Используйте следующее свойство трапеции: середины параллельных сторон и точка пересечения диагоналей трапеции лежат на одной прямой.
4. 8.
5. Эта прямая содержит наибольшую сторону треугольника.
6. Если С > B > A, то I обязательно принадлежит треугольнику ВНО.