Главная страница «Первого сентября» • Главная страница журнала «Математика» • Содержание №16/2009

ЕГЭ-2010 по математике: Проект

Пояснительная записка к демонстрационной версии экзаменационного варианта

Стратегия развития России как высокотехнологичной державы требует обеспечения достаточного уровня естественнонаучной грамотности всего населения, которая обеспечивается, в частности, обязательностью экзамена по математике за курс полной (средней) школы. При этом требования, предъявляемые к выпускникам школы на базовом уровне, должны быть восприняты обществом как действительно необходимые.

Предлагаемая концепция экзамена сохраняет основные традиции российского математического образования, преемственность по отношению к традиционным выпускным и вступительным экзаменам, учитывает результаты эксперимента по ЕГЭ 2001–2007 гг. и задает определенный вектор изменения.

В содержательном аспекте — это переход от экзамена по «курсу алгебры и начал анализа за 10–11 кл.» к экзамену по математике. Так, в новой модели экзамена сделан большой акцент на проверку базовых математических компетенций учащихся, необходимых в реальных жизненных ситуациях, увеличен вес заданий по геометрии. В то же время для выпускников, планирующих продолжение образования, естественно, необходимым является хорошее знание материала старшей школы, поэтому предполагается существенно расширить тематику заданий части С за рамки начавшего формироваться «стиля ЕГЭ».

В предлагаемой модели экзамена не используются задания с выбором ответа и сокращено общее число заданий. Такой подход, в отличие от прежних моделей ЕГЭ по математике, позволяет сохранить позитивные черты отечественного математического образования, связанные с развитием мышления и коммуникации.

Обязательность экзамена, при условии честного соблюдения всех процедурных правил, влечет необходимость установления достаточно низкого уровня требований для прохождения аттестационного порога. Это даст возможность, не «наказывая» детей, сконцентрировать усилия педагогических коллективов, органов управления образованием на проблемных зонах (группах учащихся, темах программы), требующих особого внимания. Вместе с тем, отдельные образовательные учреждения и регионы могут устанавливать для себя более высокие пороги, считая их преодоление показателем позитивного результата работы учащегося и учителя.

Важным элементом открытости экзамена, средством влияния на тенденции развития математического образования будет формирование открытого банка заданий с кратким ответом, создание которого планируется в ближайшее время.

А.Л. Семенов,
ректор Московского института открытого образования, член-корреспондент РАН,

И.В. Ященко,
директор Московского центра непрерывного математического образования, заведующий кафедрой математики Московского института открытого образования

Спецификация экзаменационной работы по математике единого государственного экзамена 2010 г.

1. Преамбула

Представленная модель экзаменационной работы по математике (кодификаторы, спецификация, демонстрационный вариант и система оценивания заданий) предназначена для использования в качестве комплекта нормативных документов, регламентирующих разработку контрольных измерительных материалов ЕГЭ по математике в 2010 г., и имеет ряд принципиальных отличий от моделей предыдущих лет.

В соответствии с нормативными документами 2009 г., результат выполнения экзаменационной работы ЕГЭ не влияет на аттестационную отметку выпускника. По результатам ЕГЭ устанавливается только пороговый балл, достижение которого необходимо для получения аттестата о среднем (полном) образовании. В этих условиях в экзаменационную работу включена группа заданий, выполнение которых свидетельствует о наличии у выпускника общематематических навыков, необходимых человеку в современном обществе. Задания этой группы проверяют базовые вычислительные и логические умения и навыки, умение анализировать информацию, представленную в графиках и таблицах, ориентироваться в простейших геометрических конструкциях.

В экзаменационную работу не включены задания с выбором ответа, что отвечает существующим традициям преподавания математики в российской школе и позволяет качественно проверить усвоение математических знаний, умений и навыков на базовом уровне. По сравнению с предыдущими моделями экзаменационных работ общее число заданий работы уменьшено. В то же время число заданий с кратким ответом и с развернутым ответом увеличено.

В целях более эффективного отбора выпускников для продолжения образования в высших учебных заведениях с различными требованиями к уровню математической подготовки учащихся расширена вторая часть работы, состоящая из заданий с развернутым ответом. Первые четыре задания этой части предназначены для проверки знаний на том уровне требований, который традиционно предъявляется вступительными экзаменами по математике при поступлении в педагогические и технические вузы. Последние два задания второй части предназначены для конкурсного отбора абитуриентов в ведущие университеты.

Значительно изменена, по сравнению с предыдущими моделями, система оценивания заданий с развернутым ответом. Новая система, продолжающая традиции выпускных и вступительных экзаменов по математике, основывается на следующих принципах:

— Возможны различные способы решения и записи развернутого ответа. Главное требование — решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений автора работы. В остальном (метод, форма записи) решение может быть произвольным. Оценивается степень полноты и обоснованности рассуждений, независимо от конкретного хода решения.

— При выполнении задания экзаменуемый может использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, допущенных или рекомендованных Министерством образования и науки РФ.

Настоящая модель экзаменационной работы разработана в предположении, что варианты ЕГЭ могут формироваться с использованием открытого банка заданий, доступного школьникам, учителям и родителям.

Экзаменационные задания разрабатываются на основе Федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего (полного) образования. Тексты заданий предлагаемой модели экзаменационной работы в целом соответствуют формулировкам, принятым в учебниках и учебных пособиях, включенных в Федеральный перечень.

2. Назначение экзаменационной работы —

оценить уровень общеобразовательной подготовки по математике выпускников XI класса общеобразовательных учреждений для принятия решения об итоговой аттестации и для отбора выпускников в высшие и средние специальные учебные заведения.

3. Документы, определяющие нормативно-правовую базу экзаменационной работы

Содержание экзаменационной работы определяется на основе следующих документов:

1. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования (приказ Минобразования России «Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования» от 05.03.2004 г. № 1089).

4. Характеристика структуры и содержания экзаменационной работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий. Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:

— часть 1 содержит задания с кратким ответом;

— часть 2 содержит задания с развернутым ответом.

Задания с кратким ответом части 1 экзаменационной работы предназначены для определения математических компетентностей выпускников образовательных учреждений, реализующих программы среднего (полного) общего образования на базовом уровне.

Задание с кратким ответом считается выполненным, если верный ответ зафиксирован в бланке ответов № 1 в той форме, которая предусмотрена инструкцией по выполнению задания. Ответом на задания части 1 является целое число или конечная десятичная дробь.

Часть 2 включает 6 заданий с развернутым ответом, в числе которых 4 задания повышенного и 2 задания высокого уровня сложности, предназначенные для более точной дифференциации абитуриентов вузов.

В заданиях с развернутым ответом части 2 экзаменационной работы должно быть записано подробное обоснованное решение задачи и ответ в бланке ответов № 2.

В таблице 1 приведена структура экзаменационной работы.

Таблица 1

Структура вариантов КИМ 2010 г.

Часть 1

Часть 2
Число заданий — 18

12

6

Тип заданий и форма ответа

В1–В12
с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби

С1–С6
с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий)

Уровень сложности

Базовый

Повышенный и высокий

Проверяемый учебный материал курсов математики

1. Математика 5–6-х классов.
2. Алгебра 7–9-х классов.
3. Алгебра и начала анализа 10–11-х классов.
4. Геометрия 7–11-х классов.

1. Алгебра 7–11-х классов.
2. Геометрия 7–11-х классов.

5. Распределение заданий экзаменационной работы по содержанию, проверяемым умениям и видам деятельности

В работе проверяются основные элементы содержания, изученные в курсе математики средней (полной) школы: вычисления и преобразования числовых и буквенных выражений, уравнения и неравенства, числовые функции и последовательности, геометрические величины и их свойства.

В 2010 году не предполагается включение в работу заданий по разделу «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Однако могут быть включены задания, предполагающие анализ данных, представленных в табличной или графической форме.

В таблице 2 показано распределение заданий экзаменационной работы по содержательным блокам курса математики.

Таблица 2

Распределение заданий по содержательным блокам учебного предмета

Содержательный блок по кодификатору КЭС

Число заданий

Максимальный первичный балл

Процент максимального первичного балла за задания данного блока содержания от максимального первичного балла за всю работу, равного 31

Алгебра

5

8

25,8%

Уравнения и неравенства

6

12

38,7%

Функции

1

1

3,2%

Начала математического анализа

2

2

6,5%

Геометрия

4

8

25,8%

Итого

18

31

100%

Содержание и структура экзаменационной работы дают возможность достаточно полно проверить комплекс умений по предмету:

— уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни;

— уметь выполнять вычисления и преобразования;

— уметь решать уравнения и неравенства;

— уметь выполнять действия с функциями;

— уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами;

— уметь строить и исследовать математические модели.

В таблице 3 представлено распределение заданий экзаменационной работы по проверяемым умениям и видам деятельности.

Таблица 3

Распределение заданий по проверяемым умениям и видам деятельности

Проверяемое умение и вид деятельности (по кодификатору КТ)

Число заданий

Максимальный первичный балл

Процент максимального первичного балла за задания данного вида учебной деятельности от максимального первичного балла за всю работу, равного 31

Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

4

4

12,9%

Уметь выполнять вычисления и преобразования

2

2

6,5%

Уметь решать уравнения и неравенства

4

10

32,2%

Уметь выполнять действия с функциями

2

2

6,5%

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

4

8

25,8%

Уметь строить и исследовать математические модели

2

5

16,1%

Итого

18

31

100%

Таблица 4

Распределение заданий по уровням сложности

Уровень сложности
заданий

Число заданий

Максимальный первичный балл

Процент максимального первичного балла за задания данного уровня сложности от максимального первичного балла за всю работу, равного 31

Базовый

12

12

38,7%

Повышенный

4

11

35,5%

Высокий

2

8

25,8%

Итого

18

31

100%

6. Распределение заданий работы по уровню сложности

Часть 1 содержит 12 заданий базового уровня (В1–В12). Часть 2 содержит 4 задания повышенного уровня (С1–С4) и 2 задания высокого уровня сложности (С5, С6).

В таблице 4 представлено распределение заданий экзаменационной работы по уровням сложности.

7. Время выполнения работы

На выполнение экзаменационной работы отводится 240 минут.

8. План экзаменационной работы 2010 года

Содержание экзаменационной работы по математике отражено в обобщенном плане работы, который дан в приложении.

На основе обобщенного плана экзаменационной работы формируются планы для отдельных вариантов экзаменационных КИМ.

9. Дополнительные материалы и оборудование

Дополнительного оборудования не требуется, справочные материалы выдаются вместе с текстом экзаменационной работы.

10. Условия проведения и проверки экзамена (требования к персоналу)

На экзамене в аудиторию не допускаются специалисты по математике и преподаванию математики. Использование единой инструкции по проведению экзамена позволяет обеспечить соблюдение единых условий без привлечения лиц со специальным математическим образованием.

Проверку экзаменационных работ (заданий с развернутым ответом) осуществляют специалисты по математике, прошедшие специальную подготовку по оценке выполнения заданий. Эта проверка проводится в соответствии с методическими рекомендациями по оцениванию заданий с развернутым ответом, подготовленными специалистами ФИПИ.

11. Рекомендации по подготовке к экзамену

К экзамену можно готовиться по учебникам, имеющим гриф Министерства образования и науки Российской Федерации, а также по пособиям, включенным в перечень учебных изданий, допущенных Министерством образования и науки Российской Федерации, и пособиям, рекомендованным федеральными и региональными органами образования для подготовки к единому государственному экзамену.

12. Изменения в структуре и содержании экзаменационной работы 2010 г. по сравнению с работой 2009 г.

В структуру и содержание экзаменационной работы внесены следующие изменения:

1) общее число заданий уменьшено до 18;

2) число частей работы уменьшено до двух;

3) исключены задания с выбором ответа;

4) добавлены задания на проверку общематематических компетенций учащихся;

5) увеличено число заданий с полной записью решения;

6) увеличена доля заданий по геометрии.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Обобщенный план экзаменационной работы ЕГЭ 2010 г. по математике

№ п/п

Обозн. задания в работе

Провер. умение

Коды провер. треб. (умений) (по КТ)

Коды провер. элементов содерж. (по КЭС)

Уровень сложн. задания

Макс. балл за выполн. задания

Прим. время выполн. задания, уч-ся, изуч. матем. на базовом уровне

Прим. время выполн. задания, уч-ся, изуч. матем. на проф. уровне

1

В1

Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

6.1

1.1.1, 1.1.3, 2.1.12

Б

1

5

2

2

В2

Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

6.2, 3.1

3.1 – 3.3, 6.2.1

Б

1

5

2

3

В3

Уметь решать уравнения и неравенства

2.1

2.1, 2.2

Б

1

8

3

4

В4

Уметь выполнять вычисления и преобразования

1.2, 1.3

1.1 –1.4

Б

1

10

3

5

В5

Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

6.3

2.1.12,

1.4, 6.2.1

Б

1

15

7

6

В6

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

4.1, 5.2

5.1

Б

1

14

5

7

В7

Уметь выполнять вычисления и преобразования

1.1

1.1 –1.4

Б

1

10

3

8

В8

Уметь выполнять действия с функциями

3.1, 3.2

4.1

Б

1

14

5

9

В9

Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

6.3

2.1 – 2.2, 2.1.12

Б

1

22

10

10

В10

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

4.2

5.2–5.5

Б

1

25

5

11

В11

Уметь выполнять действия с функциями

3.3

4.2 –4.3

Б

1

20

10

12

В12

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели

5.1

2.1.1, 2.1.2, 2.1.12

Б

1

22

10

13

C1

Уметь решать уравнения и неравенства

2.1, 2.2

2.1 –2.2

П

2

30

20

14

C2

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

4.2,

4.3

5.2 –5.6

П

3

40

25

15

C3

Уметь решать уравнения и неравенства

2.3

2.1 –2.2

П

3

–

30

16

C4

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

4.1

5.1

П

3

–

30

17

C5

Уметь решать уравнения и неравенства

2.1

2.1 –2.2,

3.2 –3.3

В

4

–

30

18

C6

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели

5.1,

5.3

1.1 –1.3

В

4

–

40

Обозначение заданий в работе и бланке ответов: В — задания с кратким ответом, С — задания с развернутым ответом.
Уровни сложности заданий: Б — базовый, П – повышенный, В – высокий.
Всего заданий — 18, из них по типу заданий: В — 12, С — 6. По уровню сложности: Б — 12, П — 4, В — 2.
Максимальный первичный балл за всю работу — 31. Общее время выполнения работы — 240 минут.


Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников по математике для составления контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2010 г.

Кодификатор требований к уровню подготовки по математике выпускников средней (полной) школы составлен на основе обязательного минимума содержания основных образовательных программ и требований к уровню подготовки выпускников средней (полной) школы (Приказ МО РФ «Об утверждении федерального компонента Государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования от 05.03.2004 № 1089).

Кодификатор требований по всем разделам включает в себя требования к уровню подготовки выпускников средней (полной) школы (базовый уровень). В соответствии со стандартом средней (полной) школы в требования к уровню подготовки включаются также знания, необходимые для освоения соответствующих умений.

В первом столбце таблицы указаны коды разделов, на которые разбиты требования к уровню подготовки по математике. Во втором столбце указан код требования, для которого создаются экзаменационные задания. В третьем столбце указаны требования (умения), проверяемые заданиями экзаменационной работы.

Код раздела
Код контролируемого требования (умения)
Требование (умение), проверяемое заданиями экзаменационной работы

1

Уметь выполнять вычисления и преобразования

1.1

Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма

1.2

Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования

1.3

Проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции

2

Уметь решать уравнения и неравенства

2.1

Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы

2.2

Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод

2.3

Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы

3

Уметь выполнять действия с функциями

3.1

Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения; строить графики изученных функций

3.2

Вычислять производные и первообразные элементарных функций

3.3

Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций

4

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

4.1

Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей)

4.2

Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы

4.3

Определять координаты точки; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами

5

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели

5.1

Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры

5.2

Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин

5.3

Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения

6

Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

6.1

Анализировать реальные числовые данные; осуществлять практические расчеты по формулам, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах

6.2

Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках

6.3

Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения

Демонстрационный вариант

экзаменационной работы по математике единого государственного экзамена 2010 г.

Пояснения

Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2010 года разработан по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации.

При ознакомлении с демонстрационным вариантом 2010 года следует иметь в виду, что задания, включенные в него, не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть включены в варианты КИМ в 2010 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень вопросов приведен в кодификаторах требований и содержания, входящих в настоящий комплект.

Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить представление о структуре будущих КИМ, количестве заданий, их форме, уровне сложности.

К каждому заданию с развернутым ответом, включенному в демонстрационный вариант, дается одно, а в некоторых случаях два-три возможных решения. Приведенные критерии оценивания позволят составить представление о требованиях к полноте и правильности решений учащихся.

Сведения, содержащиеся в демоверсии, критериях оценивания, спецификации, кодификаторах, позволят выпускникам выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.

Состав экзаменационных материалов

В экзаменационные материалы входят задания В1–В12, к которым следует дать краткий ответ, и задания С1–С6, для которых следует привести полное решение.

Время выполнения работы

На выполнение работы отводится 240 мин.

Номера заданий

Максимальное число баллов за одно задание

В1–В12

1

C1

2

С2–С4

3

С5, С6

4

Часть 1

Ответом на задания В1–В12 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и десятичную запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

B1  Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

В2  На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат — значение температуры в градусах. Определите по графику наибольшую температуру воздуха 15 августа.

B3  Найдите корень уравнения 3x – 2 = 27.

B4  Найдите 5(1 – cos2  a), если

B5

Велосипедист собирается проехать из пункта A в пункт E, в который ведут три маршрута: через B, через C и через D. Расстояния в километрах между соседними пунктами показаны на схеме. Известно, что если ехать через B, то средняя скорость будет равна 16 км/ч, если ехать через D — то 18 км/ч, а если ехать через C — то 20 км/ч. Велосипедист выбрал маршрут так, чтобы доехать до E за наименьшее время. Сколько часов он пробудет в пути?

B6  На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см x 1 см изображен треугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

B7  Вычислите значение выражения

B8

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной 2. Найдите значение производной этой функции в точке x = 2.

B9  Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t) = –5t2 + 18t (h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

B10  Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра.

B11  Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 12x + 3 на отрезке [–1; 3].

B12  Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

Часть 2

Для записи решений и ответов на задания С1–С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение и ответ.

C1  Решите систему уравнений

С2  К диагонали куба провели перпендикуляры из остальных вершин куба. На сколько частей и в каком отношении основания этих перпендикуляров разделили диагональ?

С3  Решите неравенство

С4  На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

С5  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 4x – | 3x – | x + a | | = 9| x – 1 | имеет хотя бы один корень.

С6  Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную запись числа b, то получится десятичная запись числа, равного

Система оценивания демонстрационного варианта экзаменационной работы по математике

Ответы к заданиям части 1

Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

№ задания

Ответ

№ задания

Ответ

№ задания

Ответ

В1

5

В5

2

В9

2,4

В2

14

В6

10

В10

9

В3

5

В7

6

В11

–13

В4

3,2

В8

2

В12

20

Ответы к заданиям части 2

№ задания

Ответ

С1

С2

на три части в отношении 1 : 1 : 1

С3

[–2; –1),

[0; 1]

С4

1 или 7

С5

–8 ≤ a ≤ 6

С6

 a = 2, b = 5

Решения и критерии оценивания части 2

Оценки заданий части 2 зависят от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развернутым ответом: решение должно быть математически грамотным, содержать рассмотрение всех возможных случаев (если таковые имеются); из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. В остальном (метод, форма записи) решение может быть произвольным. Задания допускают различные методы решения и записи ответа. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают. Некоторые ошибки в решениях могут квалифицироваться экспертами как описки или неточности, не влияющие на оценку выполнения задания.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов. Однако они не исчерпывают всех возможных ситуаций. При проверке работ предметной комиссии в ряде случаев придется принимать решение, как квалифицировать тот или иной недочет учащегося, сопоставляя продвижения в решении задачи с приведенными критериями.

Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

При выполнении задания экзаменуемый может использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, допущенных или рекомендованных Министерством образования и науки РФ.

С1  Решите систему уравнений

Решение. 1. Сделаем замену Тогда x2 + 3x = t2 + 1. Из первого уравнения получаем: t2 – t – 6 = 0. Корни: t = 3 или t = –2. Получаем: или

Второе уравнение не имеет корней. Решим первое: x2 + 3x – 10 = 0, x = –5 или x = 2.

2. При каждом из найденных значений x решим второе уравнение.

а) Если x = –5, из второго уравнения получаем: поэтому

значит, уравнение не имеет решений, поскольку правая часть меньше, чем –1.

б) Если x = 2, из второго уравнения получаем:

Ответ: x = 2, Z.

Возможны другие варианты записи ответа. Например:

А) x = 2, или n = 0, ±1, ±2, ... 

Б) 

В)  .

Баллы

Критерии оценивания выполнения заданий С1

2

В представленном решении обоснованно получен верный ответ

1

Верно решено первое уравнение, но в системе получен неточный ответ (отличающийся от верного тем, что в него включена посторонняя серия, в которой x = −5)

0

Решение не закончено или приводит к неверному ответу (отличному и от верного, и от неточного)

2

Максимальный балл

С2  К диагонали куба, соединяющей две его вершины, не лежащие в одной грани, провели перпендикуляры из остальных вершин куба. На сколько частей и в каком отношении основания этих перпендикуляров разделили диагональ?

Решение. Пусть на диагональ AC1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 спроектировали все остальные вершины. Для вершины B имеем:

Диагональ куба AC1 равна В треугольнике ABC1 AB2 = AM жAC1, откуда (пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике). Следовательно, откуда AM : MC1 = 1 : 2.

Таким же способом находим, что проекции точек A1 и D делят диагональ AC1 в том же отношении. Значит, вершины A1 и D проектируются также в точку M.

Аналогично, вершины D1, C и B1 имеют общую проекцию N, которая делит диагональ в отношении AN : NC1 = 2 : 1.

Поэтому AM : MN : NC1 = 1 : 1 : 1.

Ответ: на три части в отношении 1 : 1 : 1.

Возможны другие варианты записи ответа. Например:

А) на 3 равные части;

Б) основания перпендикуляров разделили диагональ на три равные части.

Другие варианты решения

А.  Рассмотрим три некомпланарных вектора

Длина каждого вектора равна 1, и эти три вектора попарно перпендикулярны. Пусть точка B проектируется на диагональ AC1 в точку M. Тогда

Так как их скалярное произведение равно нулю: то есть

Аналогично,

Пусть D1 проектируется в точку N; аналогично получаем, что

Значит, отрезки AM, MN и NC1 равны, то есть диагональ AC1 разделилась в отношении 1 : 1 : 1.

Б.  Используем координатно-векторный метод. Введем систему координат, считая, что начало координат в точке A, а оси координат проходят через точки B, D и A1 (рис. 1). Тогда в прямоугольном треугольнике AA1C1 (рис. 2) находим:

Так же находим, что если M — проекция точки D или точки B.

Пусть N — проекция точки C на AC1. В треугольнике ACC1 находим:

Аналогично находим, что если точка N — проекция точки B1 или D1.

Баллы

Критерии оценивания выполнения заданий С2

3

В представленном решении обоснованно получены верные ответы на оба вопроса задачи

2

Получен и обоснован верный ответ на первый вопрос задачи, а на второй вопрос ответ не дан или неверен

1

Получен, но не обоснован верный ответ на первый вопрос задачи, а на второй вопрос ответ не дан или неверен

0

Решение не закончено или получен неверный ответ на первый вопрос задачи

3

Максимальный балл

С3  Решите неравенство

Решение.

Заметим, что x2 + x + 1 > 0 при всех x. Значит, обе части неравенства можно разделить на

Выражение в числителе при всех допустимых x имеет тот же знак, что и выражение (1 – x)(x2 + x + 1).

Получаем систему

–2 ≤ x < –1 или 0 ≤ x ≤ 1.

Ответ : [–2; –1), [0; 1].

Возможны другие варианты записи ответа. Например:

А) –2 ≤ x < –1, 0 ≤ x ≤ 1.

Б) x [–2; –1) [0; 1].

Другой вариант решения. Преобразуем неравенство:

Учитывая, что

при всех x, можем записать:

Рассмотрим два случая:

 

Баллы

Критерии оценивания выполнения заданий С3

3

В представленном решении обоснованно получен верный ответ

2

Получен неточный ответ (отличающийся от верного тем, что из него исключены какие-либо из чисел −2, 0, 1)

1

Из-за арифметических ошибок получен неверный ответ, содержащийся в области x ≤ 1 и/или в ответ включено число 1

0

Решение не закончено или получен неверный ответ (кроме тех случаев, в которых выставляется 1–2 балла; см. выше)

3

Максимальный балл

С4  На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

Решение. Центр искомой окружности лежит на пересечении серединного перпендикуляра к отрезку AD с перпендикуляром к прямой BC, проходящим через точку касания. Для точки X касания искомой окружности с прямой BC по теореме о касательной и секущей имеем BX 2 = BD· AB = 1·3,

откуда

Существуют две возможности.

1. Точка касания X лежит на луче BC (рис. 4). Тогда центр окружности совпадает с серединой O отрезка AD, так как в прямоугольном треугольнике OBE

OBE = 30°, OB = 2,

и точка X совпадает с точкой E.

Искомый радиус окружности равен 1, поскольку OE = OA = OD = 1.

2. Точка касания X лежит на продолжении луча BC за точку B. Пусть Q — центр искомой окружности, F = X — основание перпендикуляра, опущенного из Q на прямую BC, а G — точка пересечения прямых QF и AD.

Тогда

GBF = 30°, QGO = 60°,

BG = 2, GF = 1, OG = 2 + 2 = 4,

GQ = 8,

Значит,

и поэтому искомый радиус окружности равен 7.

Ответ: 1 или 7.

Возможны другие варианты записи ответа. Например,

А) 1, 7.

Б) Радиус окружности равен 7 или 1.

Баллы

Критерии оценивания выполнения заданий С4

3

В представленном решении верно найдены радиусы обеих окружностей

2

Рассмотрены оба случая расположения окружности, но верно найден радиус только в одном из них

1

Рассмотрен только один случай расположения окружности и верно найден ее радиус

0

Оба радиуса найдены неверно

3

Максимальный балл

С5  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

4x – | 3x – | x + a | | = 9| x – 1 |

имеет хотя бы один корень.

Решение. Запишем уравнение в виде 9| x – 1 | + | 3x – | x + a | | – 4x = 0.

Функция f(x) = 9| x – 1 | + | 3x – | x + a | | – 4x

1) неограниченно возрастает при x ≥ 1, так как при любом раскрытии модулей имеем:

f (x) = 9x – 9 – 4x ± 3x ± x ± a = kx + m,

где k ≥ 9 – 4 – 4 = 1 > 0;

2) убывает при x ≤ 1, так как при любом раскрытии модулей имеем:

f (x) = –9x + 9 – 4x ± 3x ± x ± a = kx + m,

где k ≤ –9 – 4 + 4 = –9 < 0.

Следовательно, x = 1 — точка минимума функции f, а область ее значений есть множество [f(1); +∞). Поэтому уравнение будет иметь корень тогда и только тогда, когда

f (1) ≤ 0.

Решим это неравенство:

| 3 – | 1 + a | | ≤ 4, –4 ≤ | a + 1 | – 3 ≤ 4,

| a + 1 | ≤ 7, –7 ≤ a + 1 ≤ 7, –8 ≤ a ≤ 6.

Ответ: –8 ≤ a ≤ 6.

Возможны другие варианты записи ответа. Например:

А) [–8; 6].

Б) a [–8; 6].

Баллы

Критерии оценивания выполнения заданий C5

4

В представленном решении обоснованно получен верный ответ

3

Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован (например, не указано явно, что функция принимает все значения из множества [f(1); +∞) или решение содержит ошибки

2

Верно рассмотрены отдельные случаи расположения x, в результате чего получена часть верного ответа (возможно, другие случаи не рассмотрены или в них допущены ошибки)

1

Верно рассмотрены отдельные случаи, но не найдена никакая часть верного ответа

0

Решение не содержит ни одного верно рассмотренного случая

4

Максимальный балл

С6  Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел, наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную запись числа b, то получится десятичная запись числа, равного

Решение. Пусть десятичная запись числа b состоит из n цифр. Тогда по условию задачи можно записать равенство

поэтому 10n(b – a2) = ab. (1)

Из этого уравнения следует, что b > a2 ≥ a2.

Так как числа a и b взаимно простые, то числа b – a2 и ab тоже взаимно простые. (Действительно, пусть p — общий простой делитель этих чисел. Тогда, если p делитель a, то p будет делителем b. Если же p — делитель b, то p будет делителем a2, значит p — делитель a. Поэтому p — общий делитель a и b, то есть p = 1.)

Значит, уравнение (1) равносильно системе

Поэтому возможны только два случая:

1. b = 10n, a = 1, но тогда уравнение b – a2 = 1

принимает вид 10n = 2 и не имеет натуральных решений.

2. b = 5n, a = 2n. Для этой пары уравнение b – a2 = 1

принимает вид 5n – 4n = 1, откуда

Так как функция от n, стоящая в левой части последнего уравнения возрастает, а в правой — убывает, то решение n = 1 единственное.

Ответ: a = 2, b = 5.

Возможны другие варианты записи ответа. Например:

Баллы

Критерии оценивания выполнения заданий C6

4

В представленном решении обоснованно получен верный ответ

3

Получена система необходимых и достаточных условий на пару искомых чисел и найдено ее решение, но недостаточно обоснована его единственность

2

Угадан ответ и составлено верное уравнение в натуральных числах, из которого сделаны какие-либо существенные выводы для нахождения искомой пары чисел

1

Угадан ответ и составлено верное уравнение в натуральных числах

0

Ответ не найден
ИЛИ ответ неверен
ИЛИ в решении не составлено верное уравнение в натуральных числах

4

Максимальный балл

Семенов А., Ященко И.