Терминология, обозначения и соглашения в школьном курсе теории вероятностей и статистики

В 2003 году было принято 18¹ решение о включении элементов теории вероятностей и статистики в курс математики общеобразовательной школы. К этому моменту элементы теории вероятностей и статистики уже более десяти лет в разрозненном виде присутствовали в некоторых школьных учебниках для разных классов, например [1]–[4], и в виде отдельных учебных пособий [2], [5].

Принятый Министерством науки и образования в 2003 году документ предусматривал поэтапное включение этих разделов в школьные курсы, давая возможность преподавательскому сообществу подготовиться к соответствующим изменениям.

В условиях, когда переходный период внедрения в школьные программы завершился и разделы статистики и теории вероятностей заняли свое место в учебных планах 7–9-х классов, требуется анализ и осмысление согласованности основных определений и обозначений, используемых в этих учебных пособиях.

Учебные пособия создавались в условиях отсутствия традиций преподавания этих разделов математики в российской школе, что вольно или невольно провоцировало авторов на сравнение с имеющимися учебниками для вузов. Последние же, как правило, пишутся в рамках традиций, сложившихся в отдельных прикладных разделах или специальностях, и поэтому вузовские учебники часто пользуются различными терминами для одного и того же понятия, допускают различия в обозначениях основных объектов и в записи формул.

Анализ содержания школьных учебных пособий показывает, что они унаследовали от учебников высшей школы эти особенности. Но то, что допустимо в рамках четко очерченной специальности высшей школы, в общеобразовательной школе, на наш взгляд, неприемлемо.

Поэтому авторы школьных учебных пособий по теории вероятностей и статистике [6]–[10] решили объединить свои усилия под эгидой МИОО ² и выработать согласованные позиции по унификации основных определений и обозначений, используемых в школьной теории вероятностей и статистике. Итоги этой работы представлены в настоящей статье. Принятыми решениями мы будем руководствоваться при подготовке последующих изданий наших учебных пособий. При этом мы ни в коей мере не собираемся ограничивать методические подходы в изложении материала.

Преподавание элементов статистики в школьном курсе математики имеет свои особенности, сказывающиеся на используемой терминологии. В высшей школе статистика, как правило, изучается после того, как студенты познакомились в теории вероятностей с понятиями случайной величины, ее теоретическими характеристиками (законом распределения, математическим ожиданием, дисперсией, медианой и т.п.), а также c последовательностями независимых наблюдений случайной величины. Понятия случайной величины и выборки закладываются в основу статистического вывода, построения оценок характеристик случайных величин.

В школьном курсе изучение основных понятий статистики, очевидно, должно проходить на элементарном, интуитивном уровне. Поэтому авторы ряда основных школьных учебных пособий [6]–[8], [11] предлагают начинать знакомство с разделами теории вероятностей и статистики именно со статистики. Такой подход исходит из нескольких методических соображений.

Во-первых, большая часть материала описательной статистики (средние значения, медиана, размах) доступна для большинства учащихся шестых – восьмых классов.

Во-вторых, при обсуждении реальных статистических данных хорошо иллюстрируется случайная изменчивость окружающего нас мира. Тем самым готовится наглядная концептуальная база для понятий «случайный эксперимент» и «вероятность исхода» этого эксперимента.

В-третьих, на жизненном статистическом материале школьники видят, как формализуются и описываются данные.

В-четвертых, у учителей появляется возможность на неформальных примерах повторить и закрепить ряд тем школьного курса математики (доли и проценты, мера угла, навыки арифметических действий с числами разных знаков).

Вынося на первый этап изучение статистики, мы вынуждены говорить о числовых характеристиках данных в отсутствие случайной величины и закона распределения. В этих условиях предлагается использовать характеристики наборов чисел.

Другой методический подход [9]–[10] предлагает изучать элементы статистики в школе после комбинаторики и теории вероятностей. При этом, однако, случайная величина не изучается. По мнению авторов [9]–[10], в школьном курсе вполне можно обойтись без упоминания случайных величин. А значит, и в этом случае в статистике приходится говорить о числовых наборах.

Таким образом, любой из имеющихся в настоящее время методических подходов к преподаванию статистики приводит нас к необходимости рассматривать характеристики числовых наборов, никак не связанных ни со случайной величиной, ни с вероятностью вообще. Остановимся на числовых наборах и их характеристиках подробнее.

Набор чисел не нужно никак определять — ясно, что это такое. Как правило, под набором понимается неупорядоченное множество чисел. Числа в наборе могут повторяться. Упорядоченные наборы (например, временные ряды) являются гораздо более сложными объектами и требуют специальных методов работы с ними.

В записи набора можно использовать скобки, можно писать числа без скобок. В качестве разделителя предлагается использовать точку с запятой, а не запятую, поскольку запятая может быть ошибочно принята за запятую в десятичной дроби.

Примеры записи наборов: 1; 2; 4; 1,2; 5 или (1; 2; 3; 1,2; 5).

Среднее арифметическое, медиана, размах, отклонение от среднего и дисперсия определяются для набора чисел. Желательно говорить «среднее набора», «медиана набора» или «дисперсия набора», не использовать эти слова в отрыве от набора, так как в дальнейшем эти же термины будут использоваться для описания случайных величин. Будет говориться о среднем, медиане и дисперсии случайной величины ³.

Сходство терминов не случайно. Перечисленные характеристики набора чисел дают нам приближенное представление об аналогичных характеристиках случайной величины. Эта взаимосвязь является очень важной в математической статистике.

На наш взгляд, на этом этапе нет необходимости вводить в школьный курс термин «выборка» в его строгом математическом смысле. К этому вопросу мы вернемся, обсуждая генеральную совокупность и выбор из нее.

Одновременно представляется не вполне удачным называть набор чисел словом «данные» и использовать это слово как термин. С одной стороны, в обыденной речи слово «данные» имеет размытый и неопределенный смысл. С другой стороны, выражение «анализ данных» восходит к английскому «Data analysis» и прочно закрепилось как собирательное название ряда разделов математической статистики.

Числа в числовом наборе принято обозначать малыми латинскими буквами: x, y, z... или индексированными буквами: x₁, x₂, x₃... Прописные латинские буквы X, Y, Z в теории вероятностей используются для обозначения случайных величин. Для возможных значений случайных величин будут использоваться те же обозначения, что и для числового набора: x, y, z... или x₁, x₂, x₃...

Для обозначения среднего арифметического набора чисел x₁, x₂, x₃, ..., x_n (кратко — просто среднего значения) следует использовать (читается «икс с чертой»). Это соответствует общепринятой мировой практике. Записывать среднее арифметическое при вычислении лучше в виде дроби

Использование символа суммирования в основной школе представляется нецелесообразным.

Пример вычисления среднего арифметического набора чисел –3; 0; 7; 8; –2:

Для медианы набора чисел предлагается не вводить никаких специальных обозначений типа med, me и тому подобное.

Пример вычисления медианы набора чисел –3; 0; 7; 8; –2; 3.

Упорядочим набор: –3; –2; 0; 3; 7; 8. Медиана равна

Под размахом набора чисел понимается разность между самым большим и самым маленьким числом в этом наборе. Общепринятого обозначения для размаха не существует.

Для наибольшего и наименьшего чисел набора можно применять обозначения min и max, однако вряд ли можно дать общие рекомендации. Оставим учителю право выбрать, будет ли он применять формальные обозначения для наибольших и наименьших значений, да и для других числовых характеристик тоже.

Дисперсию числового набора (набора чисел) x₁, x₂, x₃, ..., x_n принято обозначать S² (читается «эс-квадрат»; заметим, что это именно обозначение, а не степень). При этом в знаменателе дроби

стоит количество чисел в наборе n, а не n – 1. Говоря языком математической статистики, величина S² является смещенной оценкой дисперсии D(X) случайной величины X, если считать числа x₁, x₂, x₃, ..., x_n независимыми наблюдениями значений этой случайной величины.

Модификацию этого выражения со знаменателем n – 1 в школьном курсе предлагается не рассматривать ⁴.

Во избежание путаницы не рекомендуется обозначать дисперсию набора чисел символом D, зарезервированным в российской математической традиции для дисперсии случайной величины. В европейских странах и в США вместо термина «дисперсия случайной величины» используется термин «вариация» и соответствующее обозначение var(X). На наш взгляд, учитывая национальную традицию, не следует в школе использовать слово «вариация» для дисперсии, оставляя его для обозначения изменчивости в других смыслах ⁵.

В старшей школе наряду с дисперсией набора чисел рассматривается корень квадратный из этой величины . Такую характеристику предпочтительней именовать «стандартным отклонением», придерживаясь общей традиции. Часто можно встретить другое название этой величины: «среднее квадратичное отклонение».

Под модой понимается самое часто встречаемое значение в наборе. Из этого определения ясно, что мода может не быть однозначно определена. Поэтому в определении моды требуются уточнения. Для наборов, где каждое значение встречается только один раз или одинаковое число раз (скажем, два), говорят, что мода отсутствует. Если несколько значений в наборе (но не все) встречаются с одинаковой наибольшей частотой, то говорят, что мода принимает несколько значений.

Например, в наборе чисел 1, 2, 2, 4, 4, 5, 7, 7 мода принимает одновременно три значения 2, 4, 7.

Для обозначения моды не существует общепринятого обозначения. Не следует вводить для моды обозначения типа moda, mod или mo.

Информационная культура давно ввела в оборот понятие «генеральной совокупности». Оно употребляется в средствах массовой информации. Однако нет необходимости обсуждать это понятие в школьном курсе во всей полноте. На наш взгляд, этот термин, если он употребляется учителем или встречается в учебных пособиях, должен использоваться для обозначения только конечного множества всех обсуждаемых объектов ⁶.

Скажем, если при решении конкретной задачи рассматриваются учащиеся конкретного класса, то все эти учащиеся и будут для нас составлять генеральную совокупность. При обсуждении вопросов, относящихся к учащимся всей школы, генеральная совокупность будет состоять из учащихся этой школы.

На практике обо всей генеральной совокупности часто судят лишь по какой-то ее части. В курсе статистики основной школы мы называем «выборкой» часть объектов, выбранных из конечной генеральной совокупности, не оговаривая каких-либо требований к самому способу отбора. У выбранных объектов может быть измерена какая-то их числовая характеристика. Так получается «набор чисел» ⁷, который можно считать выборкой из рассматриваемой генеральной совокупности.

На наш взгляд, не следует упоминать выборку без указания генеральной совокупности, из которой она получена.

Разные источники предлагают слово «частота» для обозначения то абсолютной, то относительной частоты. Это различие в толковании термина порождает серьезную путаницу.

В теории вероятностей частота нужна для частотного определения вероятности события, и здесь речь идет, конечно, о частоте относительной. Абсолютная частота редко употребляется в современной литературе, и поэтому использование термина «частота» в этом смысле уже можно считать архаизмом.

В соответствии с практикой последних десятилетий, мы предлагаем использовать в школьном курсе слово «частота» только в смысле относительной частоты.

Итак, частота — это отношение числа наступлений события к общему числу наблюдений или, другими словами, доля события в наборе наблюдений.

Термин «абсолютная частота» лучше не употреблять совсем, а говорить о числе наступлений интересующего нас события.

К графическим способам представления статистических данных в школьном курсе, прежде всего, относятся диаграммы — столбиковая, круговая и диаграмма рассеивания. В учебной и научной литературе и широко распространенных компьютерных пакетах можно встретить исторически сложившиеся различия в употреблении и даже написании этих терминов. Мы предлагаем упорядочить в школьном курсе терминологию в этой области.

Мы рекомендуем использовать термин «столбиковая диаграмма» и не использовать слово «столбчатая».

По внешнему виду столбиковую диаграмму часто путают с другим графиком — гистограммой, отражающим совершенно другие характеристики набора чисел.

Заметим, что в русификации компьютерной программы Excel, столбиковая диаграмма неверно названа гистограммой.

На это стоит обратить внимание учащихся, если в курсе информатики рассматриваются графические способы представления данных.

Термин «гистограмма» имеет четко очерченный смысл. Гистограмма является частным случаем столбиковой диаграммы, строится специальным образом для сгруппированных исходных наборов чисел.

При построении гистограммы ось абсцисс делится на интервалы, чаще всего одинаковые. С каждым интервалом группировки данных мы связываем частоту попадания чисел из заданного набора в указанный интервал. Эта частота и откладывается на графике гистограммы по оси ординат.

Пример . В наборе дан рост 18 школьников: 163; 155; 165; 145; 153; 150; 145; 165; 162; 160; 143; 157; 170; 147; 151; 155; 160; 167. Слева диаграмма, а справа гистограмма, построенные по этим данным. Для гистограммы производилась группировка данных по трем интервалам ⁸.

Для наглядного представления частоты наблюдений может привлекаться график, именуемый «полигоном частот». По способу построения, назначению и отображаемой информации он аналогичен гистограмме. На рисунке построены полигоны частот для приведенного выше примера. Способы построения немного отличаются.

Использование графиков этого вида оставляется на усмотрение учителя. Иногда полигон частот называют «многоугольником частот» ⁹. Это название также возможно, только следует помнить, что этот график не является многоугольником в геометрическом смысле — ломаная не замкнута, а фигура под графиком может состоять из нескольких областей.

Примеры круговых диаграмм, построенных с помощью Excel

Иногда многоугольную область под ломаной закрашивают, как на рисунке справа. Тогда сходство с многоугольником становится очевидным.

Термин «круговая диаграмма» не имеет в русском языке столь образного синонима, как в английском, где ее часто называют pie chart (pie — пирог). На практике (в той же программе Excel, например) можно встретить названия «квадратная», «кольцевая», «секторная» и т.п. Эти названия отражают декоративное оформление диаграммы, но не ее суть. Предлагается использовать термин «круговая диаграмма», как бы причудливо она ни выглядела.

В литературе можно встретить две формы написания: диаграмма рассеивания и диаграмма рассеяния. На наш взгляд, допустимо использование любого из этих вариантов.

Главная задача комбинаторики в курсе вероятности, на наш взгляд, состоит в том, чтобы учащиеся получили представление об изменчивости, о различных вариантах и их числе, которые могут возникнуть во многих житейских ситуациях. Разбор элементарных комбинаторных задач в школьном курсе следует начинать с обычного перечисления вариантов, получаемых естественным образом, а не с заучивания формальных обозначений. Например, учащиеся должны убедиться, что им вполне по силам выписать все возможные варианты и найти число различных бутербродов из двух сортов хлеба и трех сортов колбасы.

Комбинаторное правило умножения вытекает из подобных задач естественным, интуитивно понятным образом. Точно так же следует подходить и к задачам на перестановки. Сначала учащиеся должны на простых примерах понять, что в задаче о перестановке трех элементов на первое место может претендовать любой из трех элементов, на второе — любой из двух оставшихся, а на последнее — только один, не выбранный ранее. Нужно научиться выписывать все возможные перестановки в подобных задачах. И лишь затем переходить к формальному описанию числа перестановок с помощью факториала. Формальное вычисление факториала следует закрепить, так как оно возникает во многих комбинаторных задачах.

Большую вспомогательную роль при первичном знакомстве с комбинаторными правилами могут сыграть графы. Построение дерева вариантов (дерева перебора) иллюстрирует не только правило умножения, но и дает школьнику естественный алгоритм несложного перечисления.

До сих пор в учебниках наблюдается тенденция сведения элементарной теории вероятностей к комбинаторике. Это явление восходит к XVII–XIX вв., когда теория вероятностей, прежде всего, использовалась в задачах, связанных с азартными играми. Однако современная теория вероятностей давно выросла из игровых задач. Роль комбинаторики сейчас невелика, что ни в коей мере не умаляет значения комбинаторных методов в современной математике, в частности в дискретной математике и в важных технических приложениях.

Говоря о комбинаторных обозначениях в массовой школе, мы считаем, что следует ограничиться минимальным числом. А именно, факториалом n! и числом сочетаний

Обозначения P_n для числа перестановок, для числа размещений не следует использовать, чтобы не множить число значков и не вносить избыточный формализм. Последнее не означает, что не надо вообще обсуждать перестановки и размещения, но говоря о них, следует, не экономя бумаги, называть понятия своими именами, а не трудными для написания (с учетом верхнего и нижнего индексов) символьными выражениями. Точно так же, на наш взгляд, лучше избегать формальных определений типа

В использовании комбинаторных обозначений мы делаем исключение для числа сочетаний Это связано с тем, что число сочетаний используется в ряде других важных тем школьного курса: в треугольнике Паскаля, биноме Ньютона и в биномиальном распределении.

Важно, чтобы в обозначении числа сочетаний индекс стоял внизу. Сейчас в некоторых школьных учебниках можно встретить запись (речь идет о выборе n элементов из m). Конечно, строго говоря, не играет роли, какие выбраны буквы. Но следует помнить, что учащимся плохо даются индексы вообще, а тем более их порядок. Поэтому нужно обеспечить единство обозначений во всей школьной учебной литературе.

По этой же причине мы считаем, что следует избегать использования в школьном курсе для обозначения числа сочетаний выражения

Базовым понятием теории вероятностей является случайный эксперимент или случайный опыт. Это синонимы.

В результате случайного эксперимента может произойти или не произойти то или иное элементарное событие. Опыт оканчивается одним и только одним из элементарных событий.

Наряду с термином «элементарное событие» можно употреблять термин «исход». Во многих вузовских учебниках по теории вероятностей для элементарных событий по традиции пользуются буквой омега: ω₁, ω₂, ω₃...

В школе для обозначения различных элементарных событий мы предлагаем не привлекать греческий алфавит, а использовать начальные строчные латинские буквы: a, b, c, d... Также мы рекомендуем не употреблять без крайней необходимости для обозначения исходов символы с индексами, например: a₁, a₂, a₃...

Начальные прописные буквы латинского алфавита A, B, C... принято использовать для обозначения произвольных событий ¹⁰.

Однако школьная практика показывает, что в общих обозначениях исходов обычно нет нужды. В конкретном случайном эксперименте обозначение элементарного события, как правило, связано с существом эксперимента. Скажем, если игральную кость бросают дважды, то элементарные события в этом случайном эксперименте могут быть записаны так: a = (3; 4), b = (1; 1), где первое число в скобках обозначает количество очков, выпавших при первом броске, а второе — при втором.

Можно записать эти же события, не обозначая их буквами: (3; 4), (1; 1). Обозначения элементарных событий, как и событий вообще, удобны для записи их вероятности. Например, вероятности указанных выше элементарных событий записываются так: P(a), P(b). Отсутствие скобок в записи вероятности следует считать ошибкой. По смыслу P(a) — число, приписываемое элементарному событию a.

Если не возникает недоразумений, скобки при записи исхода могут быть опущены. Например, элементарные события при двух подбрасываниях монеты можно записать ОО, ОР, РО, РР, где символы О и Р соответственно обозначают «орла» и «решку». При записи вероятностей элементарных событий допустимы выражения P(ОО), P(РР) и т.п.

Перечисляя возможные исходы случайного опыта, мы приходим к совокупности всех элементарных событий. Эту совокупность часто называют пространством элементарных событий. Слово «пространство» в школе следует рассматривать не как строго определенный термин, а лишь как образное выражение, призванное вызвать геометрические ассоциации. Эту совокупность элементарных исходов можно называть также множеством всех элементарных событий или исходов. Математическая теория вероятностей, с которой многие школьники встретятся в вузах, использует термин «пространство» в строгом смысле, однако делать это в школе совершенно не обязательно.

Для произвольных случайных событий обычно используются начальные заглавные буквы латинского алфавита: A, B, C... Для противоположных событий применяются те же буквы, но с чертой над ними

Каждое случайное событие, кроме невозможного, состоит из элементарных событий. Про исходы, при которых происходит событие A, говорят, что они благоприятствуют событию A. Сами такие исходы называют благоприятствующими событию A или благоприятными для события A. От длинного и неудобного слова «благоприятствующие» в дальнейшем можно отказаться. Важно, чтобы учащиеся понимали, что случайные события состоят из элементарных событий, объединяют некоторую их часть. Например, запись A = {a, b, c} говорит, что событие A состоит из трех элементарных событий a, b и c. Это означает, что событие A происходит, когда в результате случайного эксперимента мы наблюдаем одно из элементарных событий a, b или c. Для того, чтобы подчеркнуть, что речь идет именно о множестве элементарных исходов в записи A = {a, b, c}, используются фигурные, а не круглые скобки.

Элементарные исходы a, b и c при этом называются благоприятствующими наступлению события A.

Фигурные скобки можно использовать и при словесном описании событий. Например, фразу: «Событие A состоит в том, что на экзамене в 9-м классе выпадет 43 работа» — можно записать формально:

A = {На экзамене в 9 классе выпадет работа № 43}.

Вероятность случайного события обозначают P(A). Вероятность любого случайного события — это некоторое число, заключенное между нулем и единицей. То есть для любого случайного события верно соотношение 0 £ P(A) £ 1. Иногда в разговоре, в средствах массовой информации и в некоторых книгах можно прочесть или услышать выражение: «вероятность составляет 50%». Мы предлагаем не измерять вероятности в процентах. Четкое представление о том, что вероятность — число и что она не может быть больше единицы, позволяет учащимся избегать ошибок при вычислении вероятностей, дает им дополнительный инструмент контроля возможных ошибок.

Среди всех случайных событий выделяют события двух специальных видов. Достоверные события, то есть те, которые в результате эксперимента происходят непременно, и невозможные события, то есть те, которые в результате эксперимента точно не происходят. Слова «достоверное» и «невозможное» — являются общепринятыми терминами в теории вероятностей. Нужно помнить, что достоверные и невозможные события тоже являются случайными, поскольку они относятся к случайному эксперименту.

При этом вероятность невозможного события равна нулю, а вероятность достоверного события равна единице.

Говоря о событии, которое не является ни достоверным, ни невозможным, иногда его называют неопределенным событием. Слово «неопределенное» не является общепринятым, и мы рекомендуем его использовать только для того, чтобы отделить достоверные и невозможные случайные события от прочих случайных событий ¹¹.

На практике нас часто интересуют различные комбинации событий и их вероятности.

В школьном курсе рассматриваются понятия «противоположное событие», «объединение событий» и «пересечение событий». Рассматриваются и простейшие комбинации действий над событиями. В настоящее время в вузовских учебниках и научной литературе можно встретить различные способы обозначений операций над событиями.

Существуют две традиции. Одна из них использует теоретико-множественные обозначения для объединения и пересечения событий. При этом объединение событий A и B обозначается A c B, а пересечение обозначается A B. Мы считаем, что в школьном курсе целесообразно придерживаться именно этой системы.

В вузовских учебниках, в иностранной учебной литературе часто можно встретить другую систему записи, использующую знаки сложения и умножения. В этом случае объединение событий записывается A + B, а пересечение — AB. Мы думаем, что для средней школы эта система неприемлема, так как привычные для школьников символы сложения и умножения чисел она использует в совершенно ином смысле. Это ведет к двусмысленности и путанице.

Мы предлагаем, говоря об операциях объединения и пересечения событий, употреблять в школьных учебниках обозначения A B и A ∩ B. Эти обозначения подчеркивают, что события не имеют ничего общего с числами. При начальном знакомстве с операциями над событиями не надо злоупотреблять формальными обозначениями объединения и пересечения событий, не порождать длинные формулы. При первом знакомстве с объединением и пересечением событий, на наш взгляд, реализуется подход, при котором допустимо использование слов вместо знаков «», «∩». Например, обозначим объединение событий A и B через C. Подобный подход реализован в учебном пособии [8].

Если пересечение событий A и B не содержит ни одного элементарного события, то говорят, что события A и B несовместны. Их пересечение — невозможное событие. Для него используется принятое в теории множеств обозначение , то есть A ∩ B = . Вероятность невозможного события (пустого множества исходов) по определению равна нулю: P() = 0.

Рекомендация не употреблять в школьных учебниках обозначения суммы и произведения для операций с событиями распространяется и на знаки «–» и «\». То есть вместо выражения A – B или A\B следует писать: «Произошло событие A, но событие B не наступило» (кратко: «A, но не B).
Аналогичным образом следует поступать для записи симметрической разности. Вместо обозначения AњB, принятого в теории множеств, следует словами писать: «наступило только одно из событий A и B».

Для обозначения противоположного события предлагается использовать черту над символом:  — событие, противоположное событию A. Не рекомендуется использовать обозначение . Чтобы не привлекать к обсуждению ненужные идеи из теории множеств, мы предлагаем не использовать выражение «дополнительное событие» для обозначения противоположного события.

С учетом высказанных пожеланий к обозначениям, формула сложения вероятностей для непересекающихся (несовместных) событий A и B примет вид:

P (A B) = P(A) + P(B).

Эта формула обобщается на случай произвольных событий A и B:

P (A B) = P(A) + P(B) – P(A ∩B).

Заметим, что в этих формулах складываются и вычитаются числа —вероятности событий, а не сами события.

Формула произведения вероятностей независимых событий записывается так:

P (A ∩ B) = P(A)·P(B).

Опять же речь идет об умножении вероятностей, а не событий.

В старшей школе предполагается изучение вероятности события A при условии, что произошло событие B. В школьном курсе условная вероятность изучается только для событий B, вероятность которых отлична от нуля: P(B) ≠ 0.

Для обозначения условной вероятности рекомендуется использовать запись P(A|B), отделяя событие B вертикальной чертой. Не рекомендуется использовать обозначение P_B(A), которое можно еще встретить в литературе. Это обозначение не соответствует сложившейся мировой практике. Кроме того, оно просто неудобно, если событие B само по себе записывается длинно.

1.  Дорофеев Г.В. Математика. 6 класс. —М.: Дрофа 1995. — 416 с.
2.  Бунимович Е.А. Вероятность и статистика. 5–9 классы: Пособие для общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 2002. — 160 с.
3.  Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ. 11 класс. — М.: Мнемозина, 2003. — 288 с.
4.  Зубарева И.И. Математика. 6 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2002. — 280 с.
5.  Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп. параграфы к курсу алгебры 7–9 кл. общеобразоват. учреждений. — М.: Мнемозина, 2003. — 112 с.
6.  Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. — М.: МЦНМО; ОАО «Московские учебники», 2004. — 256 с.
7.  Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. — 2-изд., перераб. — М.: МЦНМО; ОАО «Московские учебники», 2008. — 256 с.
8.  Бунимович Е.А. Булычев В.А. Основы статистики и вероятность. 5–11 кл.: учебное пособие. — М.: Дрофа, 2008. — 286 с.
9.  Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра–9. — М: Мнемозина 2008. — 223 с.
10.  Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа, 10 класс (11 класс), профильный уровень. — М: Мнемозина, 2006. — 407 с.
11.  Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7–9 кл. общеобразоват. учреждений/Под ред. С.А. Теляковского. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — 78 с.
12.  Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность: Учеб. пособие для 7–9 кл. общеобразоват. учреждений. — М.: Просвещение, 2004. — 112 с.
13.  Тюрин Ю.Н. Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика: Методическое пособие для учителя. — 2-е изд., исправленное и дополненное. — М.: МЦНМО; МИОО, 2008. — 56 с.
14.  Бродский И.Л., Литвиненко Р.А. Вероятность и статистика. 7–9 классы. Решение задач из учебников под редакцией Г.В. Дорофеева. — М.: АРКТИ, 2006. — 88 с.

¹ Болотов В.А. Инструктивное письмо № 03-93ин/13-03 МО РФ «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы»// Математика в школе, 2003, № 9.
² Московский институт открытого образования.
³ Если рассматриваемый нами набор чисел является результатом наблюдений над некоторой случайной величиной, среднее, медиана и дисперсия этого набора чаще всего не совпадают со средним, медианой и дисперсией случайной величины. Одноименные характеристики числовых наборов и случайных величин даже рассчитываются по разным формулам.
⁴ Величина является несмещенной оценкой дисперсии случайной величины, но само понятие оценки, а тем более несмещенной оценки, вряд ли следует обсуждать со школьниками.
⁵ Вариацией в анализе называется полное изменение функции. Например, для дифференцируемой функции Слово «вариация» используется в теории музыки, а также в других смыслах – в биологии, теории поэзии, астрономии и даже в теории страхования.
⁶ Генеральные совокупности могут быть и бесконечными. Однако это значительно более сложное понятие, которое, на наш взгляд, не следует обсуждать в школе. Точно так же не стоит обсуждать и выбор из бесконечной генеральной совокупности. Введение уточненного термина «конечная генеральная совокупность» не является обязательным и оставляется на усмотрение учителя и авторов учебных пособий.
⁷ Например, школьники класса прыгают в высоту. Можно выбрать несколько прыгунов и записать их результаты. Получится числовой набор. Генеральная совокупность — множество всех школьников или множество всех результатов прыжков, в зависимости от того, как удобнее исследователю устроить описание и обработку данных.
⁸ Описанная процедура приводит к простому определению гистограммы. Гистограмма — это столбиковая диаграмма частот попадания чисел в интервалы группировки. Таким образом, при построении гистограмм учащиеся должны быть знакомы с понятием частоты.
⁹ Греческое слово polygon переводится на русский язык именно как «многоугольник».
¹⁰ Таким произвольным событием может быть, в частности, элементарное. Чтобы не попадать в парадоксальные ситуации, не нужно добиваться строгого разграничения в обозначениях произвольных и элементарных событий, так как операции над событиями, скажем пересечение событий, могут в результате давать элементарные события.
¹¹ Часто «невозможное событие» или «достоверное событие» употребляют как противопоставление «случайному событию». Это ошибка. И невозможное, и достоверное события следует считать случайными событиями, иначе легко впасть в парадоксальную ситуацию, когда комбинация двух случайных событий оказывается событием неслучайным.

Изучение теории вероятностей и статистики в школьной программе не ограничивается основной школой. Оно предусмотрено и в старшей школе. Но в настоящей статье основное внимание было сосредоточено на материале, изучаемом в 7–9-х классах. В частности, мы не касались вопросов, связанных с изучением случайных величин и их характеристик, хотя эти разделы присутствуют в учебных пособиях (например, [6], [7]). Эти материалы будут представлены в последующих публикациях.

Булычев В., Бунимович Е., Высоцкий И., Макаров А. , Семенов П., Тюрин Ю., Ященко И.