Текстовые задачи в курсе математики средней школы: Работа над ошибками

В 2005 году в газете «Математика» (№ 17–24) был опубликован цикл из восьми лекций «Текстовые задачи в курсе математики средней школы (5–7-е классы)» для заочных курсов повышения квалификации учителей математики, проводимых в Педагогическом университете «Первое сентября».

В них был рассмотрен вопрос об использовании текстовых задач в процессе обучения математике в школе. При этом главный акцент был сделан на использование арифметических способов решения текстовых задач в 5–9-х классах, а в последних лекциях рассматривались и задачи конкурсных экзаменов в вузы. Позднее те же лекции были изданы в виде брошюр и рассылались слушателям курсов следующих потоков.

Учитывая, что учителей математики необходимо было обучать совсем не новым, но хорошо забытым идеям использования арифметических способов решения текстовых задач (их применение соответствует требованиям стандарта по математике), лекции были наполнены большим числом задач, которые учителя при желании могли бы использовать в учебном процессе.

По регламенту Педагогического университета «Первое сентября» каждый из слушателей должен был решить задачи двух контрольных работ и прислать итоговую работу (разработку открытого урока по теме курса и т.п.).

Заметим, что не все слушатели с первого раза получили зачет за решение контрольных работ (контрольная работа № 1), так как не обратили внимания на указание: «Решите задачи арифметическим способом». Они решали задачи с помощью уравнений. Некоторые другие задачи тоже вызвали затруднения у слушателей курсов и были решены неверно.

Всем слушателям сообщались результаты проверки контрольных работ и высылались предполагаемые решения задач. Тем, кто не получал зачета, высылался вариант повторной контрольной работы. Они должны были решить из него только те задачи, номера которых совпадали с номерами нерешенных задач.

Рассмотрим способы решения задач из контрольных работ 1 и 2 и характерные затруднения слушателей.

Предполагаемые решения задач контрольной работы № 1

(Зачет ставился за решение 4 или 5 задач.)

Эта контрольная работа была посвящена арифметическим способам решения задач. Требовалось решить задачи 1–3 арифметически.

Задача 1.  Для одной лошади и двух коров выдают ежедневно 34 кг сена, а для двух лошадей и одной коровы — 35 кг сена. Сколько сена выдают ежедневно одной лошади и сколько одной корове?

Решение. Запишем краткое условие задачи:

Для 1 лош. и 2 кор. — 34 кг,

для 2 лош. и 1 кор. — 35 кг.

Следовательно,

для 3 лош. и 3 кор. — 34 + 35 = 69 кг,

тогда

для 1 лош. и 1 кор. — 69 : 3 = 23 кг,

для 1 лош. — 35 – 23 = 12 кг,

для 1 кор. — 23 – 12 = 11 кг.

Ответ: 12 кг и 11 кг.

Комментарий. Оформление решения задачи отражает результат рассуждений, проведенных при ее решении. Конечно же, оно содержит в скрытом виде решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, но учащиеся 5-х классов, которым стоит предлагать задачи такого типа, решать системы еще не умеют, а разбор решений такого рода задач как раз готовит их к обучению решению систем в будущем. Характерная ошибка слушателей: решение задачи привычным для них способом — с помощью системы уравнений, хотя требовалось именно арифметическое решение (что это означает, какой способ имелся в виду, должно было стать понятным после прочтения лекций).

Стоит остановиться и на неверном использовании наименований величин. Надо считать ошибкой записи вида 1 л + 2 к = 34 кг. Это как раз тот случай, когда стремление к краткости записи порождает курьезный результат.

Задача 2.  У мальчика было 22 монеты — пятирублевые и десятирублевые, всего на сумму 150 р. Сколько было пятирублевых и сколько десятирублевых монет?

Решение.

1) 22 ∙5 = 110 р. — было бы у мальчика, если бы все 22 монеты были пятирублевые;

2) 150 – 110 = 40 р. — излишек за счет десятирублевых монет;

3) 10 – 5 = 5 р. — излишка приходится на одну десятирублевую монету;

4) 40 : 5 = 8 монет — десятирублевых;

5) 22 – 8 = 14 монет — пятирублевых.

Ответ: 14 монет пятирублевых и 8 монет десятирублевых.

Комментарий. Это классическая задача «на предположение». Ее арифметическое решение начинается так: предположим, что все 22 монеты были по 5 рублей... Характерная ошибка слушателей: решение задачи с помощью системы уравнений, тогда как требовалось именно арифметическое решение.

Задача 3.  Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 18 км, одновременно выезжают два велосипедиста. Скорость одного из них на 5 км/ч меньше скорости другого. Велосипедист, который первым прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил другого велосипедиста через 1 ч 20 мин после выезда из А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?

Решение. Способ I.

1) 18∙2 = 36 км — расстояние, которое преодолели велосипедисты до встречи;

2)  — скорость сближения велосипедистов;

3) 27 – 5 = 22 км/ч — удвоенная скорость первого велосипедиста;

4) 22 : 2 = 11 км/ч — скорость первого велосипедиста;

6)   — путь первого велосипедиста до встречи;

7)   — расстояние от пункта В до места встречи.

Способ II.

1)   — на столько километров один велосипедист проехал больше, чем другой;

2)   — расстояние от пункта В до места встречи.

Ответ:  

Комментарий. Второй способ решения задачи показывает, что ее текст содержит лишнее условие.

В части работ вместо термина «скорость сближения» неправильно использовался термин «общая скорость».

Решите задачу 4 «с пояснениями».

Задача 4. За пять недель пират Ерема способен выпить бочку рома. А у пирата у Емели ушло б на это две недели. За сколько дней прикончат ром пираты, действуя вдвоем?

Решение.

1) 5∙7 = 35 дней — время «работы» Еремы;

2) 2∙7 = 14 дней — время «работы» Емели;

3)  бочки — выпивает Ерема в день;

4)   бочки — выпивает Емеля в день;

5)   бочки — выпивают Ерема и Емеля в день при совместной «работе»;

6)   дней — за столько дней пираты «прикончат» ром.

Ответ: 10 дней.

Комментарий. Часть слушателей решали задачу, вычисляя время «работы» в неделях, что усложнило вычисления.

Задачу можно решить и без дробей.

За 70 дней «работы» Ерема выпил бы 2, а Емеля — 5 бочек рома, всего 7 бочек рома. Тогда на одну бочку они тратят 70 : 7 = 10 дней.

Характерная ошибка слушателей: некоторые из них решали эту задачу с помощью уравнения с неизвестным в знаменателе. Это явно не метод решения задач в 5–6-х классах.

Отметим, что «алкогольное» содержание задачи возмутило трех слушательниц, которые написали, что нельзя давать детям таких задач в то время, когда «Россия спивается». Мы тоже обеспокоены будущим страны, но считаем, что Россия спивается по более веским причинам экономического и социального характера.

Эта задача как раз дает повод для иронического комментария учителя, который может оказаться полезным ученикам в том нежном возрасте, когда дети еще не знакомы с алкоголем. Кроме того, это же задача про пиратов!

Решите задачу 5 с введением буквы х.

Задача 5. Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А и В по течению реки за 2 ч, а плот — за 8 ч. Какое время затратит моторная лодка на обратный путь?

Решение. Обозначим расстояние AB = x км.

1)   — скорость моторной лодки по течению реки;

2)   — скорость течения реки;

3)   — скорость моторной лодки в стоячей воде;

4)   — скорость моторной лодки против течения реки;

5)   — время движения моторной лодки против течения реки.

Ответ: 4 ч.

Комментарий. В лекции показан способ решения, при котором весь путь принимается за единицу. Это классический арифметический способ, доставляющий учащимся определенные трудности при пояснении каждого действия. Приведенный выше способ решения задачи с введением буквы х нацелен на подготовку учащихся к изучению алгебраических дробей. Его ценность заключается в том, что наименования получаемых величин и пояснения действий проще, чем при обозначении расстояния через единицу.

Предполагаемые решения задач контрольной работы № 2

(Зачет ставился за решение 4 или 5 задач.)

Эта работа была посвящена алгебраическим способам решения задач. Требовалось решить задачи 1–5.

Задача 1.  Блокнот дороже тетради в 5 раз. Хотят купить 3 тетради и 2 блокнота, но если купить 5 тетрадей и 1 блокнот, то покупка будет дешевле на 6 р. Сколько стоит блокнот?

Решение. Пусть тетрадь стоит x р., тогда блокнот стоит 5x р. Составим уравнение:

3x + 2∙5x – (5x + 5x) = 6.

Уравнение имеет единственный корень 2. Следовательно, тетрадь стоит 2 р., а блокнот
2∙5 = 10 р.

Ответ: 10 р.

Комментарий. Задачу можно решить арифметически. Заменим каждый блокнот пятью тетрадями, тогда 13 тетрадей дороже 10 тетрадей на 6 р., то есть 3 тетради стоят 6 р., откуда найдем стоимость тетради (2 р.) и стоимость блокнота (10 р.).

Здесь некоторые слушатели давали в ответе излишнюю информацию — стоимость тетради. Надо считать правилом, что ответ к задаче должен содержать только ответ на поставленный вопрос.

Задача 2.  Двое очистили 400 картофелин; один очищал 3 штуки в минуту, другой — 2. Второй работал на 25 мин больше, чем первый. Сколько времени работал каждый?

Решение. Пусть первый работал x мин, тогда второй работал (x + 25) мин. Составим уравнение:

3x + 2(x + 25) = 400.

Уравнение имеет единственный корень 70, значит, первый работал 70 мин, а второй 95 мин.

Ответ: 70 мин и 95 мин.

Комментарий. Задачу можно решить арифметически.

За 25 минут второй очистил 2∙25 = 50 картофелин. Оставшиеся 400 – 50 = 350 картофелин они очистят за 350 : (3 + 2) = 70 минут совместной работы. Тогда первый работал 70 минут, а второй 70 + 25 = 95 минут.

Задача 3.  Купили два сорта краски. Первого сорта на 3600 р., а второго — на 2400 р. При этом краски второго сорта купили на 6 килограммов больше, чем первого, но килограмм краски второго сорта на 100 р. дешевле килограмма краски первого сорта. Сколько было куплено килограммов краски первого сорта?

Решение. Пусть краски первого сорта купили x кг, тогда краски второго сорта купили (x + 6) кг. Килограмм краски первого сорта стоил второго сорта   что на 100 р. меньше, чем Составим уравнение:

Уравнение (1) имеет два корня: x₁ = 18 и x₂ = –12. Но по смыслу задачи x > 0, поэтому было куплено 18 кг краски первого сорта.

Ответ: 18 кг.

Комментарий. При решении уравнения (1) слушатели не всегда убеждались, что для корней уравнения x² – 6x – 216 = 0 выполняется условие x(x + 6) ≠ 0. Ограничиться замечанием, что x₂ = –12 не отвечает условию задачи, не достаточно, так как сначала должно быть установлено, что x₁ и x₂ — корни уравнения (1). Получить верный ответ все же следует с соблюдением процедуры решения уравнения с неизвестным в знаменателе.

Приведем курьезное «решение», приводящее к верному ответу.

1) 3600 – 2400 = 1200 р. — на столько меньше заплатили за краску второго сорта;

2) 1200 : 100 = 12 кг — было краски второго сорта;

3) 12 + 6 = 18 кг — было краски первого сорта.

Это «решение» противоречит условию задачи: «краски второго сорта купили на 6 кг больше, чем первого». Бессмысленность второго действия не обсуждаем.

Учитель, конечно же, может ошибаться, но он должен уметь находить свои ошибки, соотнося полученный результат с условиями задачи.

Задача 4.  Два туриста, сменяясь, перенесли рюкзак на расстояние 11 км. При этом каждый нес рюкзак по одному часу. Какова скорость второго туриста, если 3 км он проходил на 6 мин медленнее, чем первый турист проходил 2 км?

Решение. Пусть скорость первого туриста x км/ч. За 1 ч он прошел x км, а оставшиеся (11 – x) км прошел второй турист за 1 ч, следовательно, скорость второго туриста составляет (11 – x) км/ч. Первый турист 2 км проходил за ч., а второй 3 км проходил за  ч., что на больше, чем ч. Составим уравнение:

  (2)

Уравнение (2) имеет единственный положительный корень 5, поэтому скорость первого туриста 5 км/ч, а скорость второго туриста 11 – 5 = 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч.

Комментарий. Решение этой задачи вызывало затруднения из-за сложности ситуации, описанной в ней. Некоторым слушателям даже казалось, что такая ситуация невозможна.

Характерной ошибкой решения было получение ответа «5 км/ч», что говорит об отсутствии проверки решения.

Часть слушателей обозначила скорость второго туриста через x км/ч. При этом получилось уравнение

(3)

Далее обе части уравнения умножали на общий знаменатель трех дробей 10x(11 – x) и после преобразования получали уравнение

x ² – 61x + 330 = 0. (4)

Уравнение (4) имеет два корня: x₁ = 6 и x₂ = 55, но в решениях обычно не указывалось, что оба эти числа являются корнями уравнения (3). Корень 55 почему-то назывался «посторонним» и отбрасывался, так как такая скорость туриста невозможна.

Заметим, что термин «посторонний корень» уже «занят»: это корень уравнения-следствия, не являющийся корнем исходного уравнения. В данном случае уравнение (4) является следствием уравнения (3), но множества корней уравнений (3) и (4) совпадают. То есть число 55 не является посторонним корнем для уравнения (3), но оно действительно не отвечает условию задачи — только по другой причине: при x = 55 скорость первого туриста, равная (11 – x) км/ч, отрицательна.

Задача 5.  Бригада лесорубов должна заготовить 600 м³ дров. Первые 8 дней бригада работала по плану, а затем перевыполняла план ежедневно на 10 м³. Поэтому уже за 2 дня до срока бригада заготовила 640 м³ дров. Какова ежедневная норма (в кубических метрах) по плану?

Решение. Пусть бригада должна была x дней заготавливать по y м³ дров в день, и заготовить 600 м³ дров. Составим первое уравнение:

xy = 600.

Перевыполняя норму, бригада заготавливала по (y + 10) м³ дров в день и работала
x – 8 – 2 = = x – 10 дней, поэтому за 8 дней работы по плану и (x – 10) дней работы с перевыполнением плана бригада заготовила 8y + (y + 10)(x – 10) м³ дров. Составим второе уравнение:

8y + (y + 10)(x – 10) = 640.

Решив систему

получим два ее решения x₁ = 20, y₁ = 30 и x₂ = –6, y₂ = –100. Так как по смыслу задачи x > 0 и y > 0, только первое решение соответствует условиям задачи, а второе — нет. Поэтому ежедневная норма по плану составляет 30 м³.

Ответ: 30 м³.

Комментарий. Второй способ решения задачи связан с составлением уравнения с неизвестным в знаменателе дроби.

В заключение остается добавить, что курс лекций нам удалось донести до большой учительской аудитории (за 5 лет курс прошли 1247 слушателей из различных регионов России и ближнего зарубежья). Мы получили много положительных отзывов от слушателей, а также сообщений об использовании сборника задач, включенного в лекции, при обучении школьников математике. Для нового учебного года тексты контрольных работ переработаны, задачи заменены, их тематика расширена, но для решения любой задачи достаточно внимательно изучить лекции, которые будут присланы каждому слушателю курсов повышения квалификации Педагогического университета «Первое сентября», и учесть замечания, сделанные в данной статье.

Шевкин А.