Методика преподавания наглядной геометрии учащимся 5-6 классов. Лекция 1

РОСЛОВА Лариса Олеговна — кандидат педагогических наук, ведущий научный сотрудник Института содержания и методов обучения РАО, главный редактор газеты «Математика». Член авторского коллектива учебного комплекта «Математика, 5–6» под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, занимается разработкой геометрической составляющей курса. Входит в состав группы по разработке стандартов по математике, один из авторов экзамена для девятиклассников по алгебре в новой форме.

Концепция курса

Интеллектуальный образовательный потенциал геометрии определяется тем, что она располагает не только логическими, но и образными и практическими методами исследования. Поэтому, изучая геометрию, учащиеся могут последовательно пройти в развитии мышления от конкретных, практических его форм до абстрактных, логических. Однако в современной российской школе изучение геометрии осуществляется преимущественно в 7–11-х классах на основе дедуктивных методов познания, а геометрический материал в большинстве действующих курсов математики 5–6-х классов в значительной степени подчинен «интересам» арифметико-алгебраического материала и не учитывает логики формирования геометрических представлений.

Впервые мысль о необходимости начального практического этапа обучения геометрии была высказана еще Ж. Даламбером. Но лишь в конце XX в. усиление внимания к изучению геометрии детьми 7–12 лет: развитие их пространственных представлений и воображения, геометрической интуиции, графических навыков, глазомера, изобретательности и др., стало одной из мировых тенденций образования. Геометрия здесь – это естественнонаучный предмет, и основными методами получения знания являются наблюдение, измерение, эксперимент, использование которых предполагает обращение к деятельности органов чувств, опору на чувственные формы отражения действительности и практические действия.

Предлагаемый курс поможет учителю в освоении методики преподавания наглядной геометрии, основанной на деятельностном подходе.

Программа курса

№ газеты	Учебный материал
7	Лекция 1. Проблема пропедевтики изучения геометрии и анализ путей ее решения в прошлом и настоящем
18	Лекция 2. Особенности психического развития детей 10–12 лет в связи с обучением геометрии
19	Лекция 3. Содержание курса наглядной геометрии и основа методики его изучения Контрольная работа № 1
20	Лекция 4. Геометрическая деятельность: учим наблюдать и развиваем пространственное воображение
21	Лекция 5. Геометрическая деятельность: обучаем графическим действиям, навыкам конструирования, формируем метрические представления
22	Лекция 6. Методика организации геометрической деятельности учащихся на примере формирования представлений о симметрииКонтрольная работа № 2
23	Лекция 7. Приоритетные формы организации учебной работы и формы контроля учебных достижений
24	Лекция 8. Компьютерные технологии при изучении наглядной геометрии Итоговая работа

Лекция 1

Проблема пропедевтики изучения геометрии и анализ путей ее решения в прошлом и настоящем

У истоков начальной геометрии

Идея пропедевтического курса геометрии, как это ни удивительно, — идея даже не XX столетия. Первая постановка вопроса о необходимости начального этапа в обучении геометрии принадлежит еще Ж. Даламберу, а в России впервые об этом заговорил в конце XVIII в. С.Е. Гурьев, член Российской Академии наук, автор учебников по математике, много внимания уделявший вопросам методики и методологии математики. Мысли о необходимости предварительного, до начала изучения систематического курса, ознакомления учащихся с геометрическими объектами и их свойствами высказывались и Н.И. Лобачевским. Необходимость такого введения в мир геометрии обосновывалась теми трудностями, которые испытывали все, кто приступал к ее изучению.

Хотите узнать больше?

Пропедевтика (греч. propaideuo — предварительно учу) — предварительное упражнение, подготовительный вводный курс в к.-л. науку, изложенный в систематизированной и сжатой форме. Предшествует более обстоятельному изучению соответствующей отрасли знания. Философский словарь / Под ред. И.Т. Фролова. — 4-е изд. — М.: Политиздат, 1981.

Казалось, что решение проблемы было найдено с введением пропедевтического изучения геометрии для школьников 10–12 лет, имевшее задачей усвоение важнейших первоначальных геометрических понятий, которое дало бы возможность уже сравнительно свободно и естественно перейти к постепенному введению дедукции. Однако овладение учащимися первоначальными геометрическими понятиями к готовности к изучению систематического курса не привело. При этом уже в середине 60-х годов в работах А.М. Пышкало отмечалось, что основная причина этого состоит в неверно выбранной цели преподавания геометрии, а именно, как это ни странно, в развитии логического мышления [11]. Давайте попытаемся разобраться в этой проблеме и мы.

Два полушария, две геометрии

Традиция рассматривать геометрию как предмет, развивающий в первую очередь логическое мышление, имеет древние корни и восходит, видимо, к школе Пифагора. По мнению Евдема, «Пифагор превратил занятия геометрией в настоящую науку, рассматривая ее основы с высшей точки зрения и исследуя ее теории менее материальным и более умственным образом» (цит. по стат. В.М. Тихомирова [12]). Но в школе Пифагора геометрия, кроме «тренировок мозга», служила еще и для получения базовых знаний обо всем, что окружает человека; а среди немногочисленных предметов преподавались астрономия — для того, чтобы иметь представление об окружающем мире, и гармония — для «тренировки души». Поэтому легко предположить, что обучение в такой школе служило всестороннему гармоничному развитию личности. Происходило это, скорее всего, потому, что обучение здесь опиралось, с одной стороны, на интуицию, воображение и живое созерцание, а с другой стороны, на логику. Обучение же в современной школе не приводит к гармонии в развитии мышления. В чем причина?

С началом школьного обучения левое («логическое») полушарие головного мозга становится доминантным, а следовательно, развитие логических компонентов мышления подавляет образные компоненты, нарушая, тем самым, гармонию работы мозга. Понятно, что винить в этом надо не математику, по своей природе связанную, прежде всего, с работой левого полушария, а всю систему школьного обучения, ориентированную на его интенсивную работу, и естественные причины — пишем мы правой рукой, связанной именно с ним. Геометрия же могла бы сыграть не последнюю роль в восстановлении необходимого баланса, так как в ней тесно переплетены логический и интуитивный аспекты. «Раскрыть перед человеком его возможности в области интеллекта — одна из важнейших задач именно геометрии, ибо для активной работы в ней важны обе половины мозга» [12].

Хотите узнать больше?

Найдите в Википедии статью о межполушарной асимметрии головного мозга.

Из Википедии: Межполушарная асимметрия — одна из фундаментальных закономерностей организации мозга не только человека, но и животных. Проявляется не только в морфологии мозга, но и в межполушарной асимметрии психических процессов. В левом полушарии сконцентрированы механизмы абстрактного, а в правом — конкретного образного мышления.

С методологической точки зрения геометрию можно разделить на два раздела: основания геометрии (построение теории) и собственно геометрия — геометрия фигур и тел. Эти два раздела отличаются как предметом, так и методом исследования. Если геометрические фигуры и тела — это идеализированные объекты реального мира, то основные объекты изучения в разделе оснований геометрии (прямая, точка, плоскость и пр.) — гораздо более абстрактны. Различие же в методах исследования — еще более значительно. Если в геометрии свойства фигур познаются путем созерцания, предметного манипулирования, графического построения, то в разделе «Основания геометрии» изучается некий список свойств, постулируемый в начале и расширяемый по правилам логики, причем геометрическая интерпретация объекта, задаваемого этим списком, даже не важна [13].

Понятно, что отсутствие предварительной геометрической подготовки усугубляет и без того весьма непростую ситуацию одновременного изучения двух столь разнящихся составных частей единого курса геометрии. Н.М. Бескин в книге «Методика геометрии» пишет: «Если ученик только с 6 класса впервые знакомится с геометрией, то перед ним возникают сразу две трудности:

1) он впервые узнает геометрические факты;

2) он должен усвоить геометрическую методологию (определения, логические доказа- тельства).

Если же простейшие факты ему уже знакомы и геометрическое воображение у него уже несколько развито, то в начале систематического курса он может сосредоточить больше внимания на методологической стороне. Здесь мы имеем вполне обоснованный концентризм» [1]. Таким образом, встает вопрос об объеме геометрических знаний и уровне развития воображения, необходимых для изучения систематического курса, и, конечно же, о методике овладения ими.

Геометрия в традиционных учебниках для 5–6-х классов

Давайте проведем анализ содержания геометрического материала наиболее популярного из действующих учебников для 5–6-х классов (Н.Я. Виленкин и др.) [3, 4]. Основными объектами изучения здесь являются прямая, луч, отрезок, угол, то есть те абстрактные геометрические фигуры, которые относятся к разделу оснований геометрии, а не собственно геометрические фигуры — треугольник, окружность, различные виды четырехугольников. В 5–6-х классах учащиеся фактически не знакомятся с новыми для них геометрическими фигурами, ведь распознавать треугольник, прямоугольник, окружность они умеют уже в начальной школе. Очевидным следствием такого отбора содержания является невозможность широкого овладения геометрическими методами исследования фигур. В лучшем случае, учащиеся способны справиться с заданиями на воспроизведение (построение) фигур по заданным параметрам, на вычисление их количественных характеристик. Но чаще всего они затрудняются даже при распознавании знакомых фигур в нестандартных положениях и различных конфигурациях.

Еще хуже обстоит дело с пространственными телами — учащимся предлагается познакомиться лишь с такими телами, как куб и прямоугольный параллелепипед. И это несмотря на то, что, как показывают данные психологических исследований [2], уже трех-четырехмесячный младенец способен воспринимать форму предмета, а к 10 годам у детей уже накоплен значительный опыт «общения» с геометрическими телами. Закономерными в этой ситуации являются зафиксированные в международных исследованиях недостатки в пространственных представлениях школьников [10]. И это неудивительно, ведь на протяжении первых пяти лет обучения им почти не приходится встречаться с пространственными телами, знакомиться с их свойствами, учиться распознавать изображения и изображать пространственные тела.

Легко заметить, что представленная в учебнике геометрическая линия целиком подчинена арифметико-алгебраической линии курса. Логика появления (расположения) того или иного геометрического вопроса подчинена логике расположения того арифметического или алгебраического вопроса, для которого он служит опорой, иллюстрацией и т.д. Например, за пунктом «Центр симметрии» следует пункт «Противоположные числа». Вот еще несколько пар аналогичного свойства: «Окружность и круг» — «Доли. Обыкновенные дроби»; «Плоскость, прямая, луч» — «Шкалы и координаты»; «Перпендикулярные прямые. Параллельные прямые» — «Координатная плоскость». А ведь названные вопросы практически исчерпывают геометрическое содержание курса. Понятно, что здесь не приходится говорить о неком едином курсе, служащем развитию геометрического мышления, воображения, пространственных представлений учащихся. В таком содержании нет элементарных логических связей между изучаемыми вопросами, не говоря уже о соответствии логики развития геометрии психологическим особенностям детей данного возраста. Так, например, пункт «Центральная симметрия» расположен в главе 1, а пункт «Осевая симметрия» — в главе 2; разрыв по времени между изучением этих вопросов составляет около половины учебного года, что неизбежно приводит к тому, что представление о симметрии у учащихся не формируется. Кроме того, представление о центральной симметрии складывается значительно труднее, чем об осевой симметрии, так как этот вид симметрии встречается в практической жизни значительно реже.

Почти отсутствуют задачи на построение геометрических фигур. В рамках одного часа, отводимого на изучение пункта «Окружность и круг», трудно научить детей даже пользоваться циркулем. Но даже если учителю это сделать и удалось, то следующий раз им это понадобится, когда учитель рискнет построить с детьми круговую диаграмму, а затем — ровно через год — при построении треугольника по трем сторонам. Не удивительно, что часто можно видеть, как дети пытаются строить треугольник по трем сторонам, вооружившись лишь линейкой, — им даже в голову не приходит воспользоваться циркулем.

Если просмотреть тематику задач учебника, то может показаться, что геометрические задачи составляют среди них значительную часть. Но это впечатление обманчиво, так как задачи эти геометрические только по сюжету, а суть решения либо арифметическая, либо алгебраическая. Это, прежде всего, задачи на вычисление периметра и площади прямоугольника. Так, в пункте 2 «Сложение и вычисление натуральных чисел» таких задач 28. Тем не менее вычислить площадь прямоугольника с заданными сторонами не в состоянии половина будущих семиклассников.

И здесь мы выходим на еще одну, на наш взгляд, важную проблему. На ряд недостатков традиционной системы преподавания геометрии указывал еще Ж. Пиаже. Одним из самых существенных недостатков он считал такое построение курса, в котором обучение, минуя качественную фазу преобразования пространственных операций в логические операции, начинается сразу с измерений. Тем не менее в действующих учебниках сразу вслед за введением новой для учащихся геометрической фигуры «угол» вводится измерение угла с помощью транспортира. Недостаточное владение свойствами новой фигуры приводит к многочисленным ошибкам при его измерении. Аналогичная ситуация имеет место и при знакомстве учащихся с прямоугольным параллелепипедом и правилом вычисления его объема.

От пропедевтики к наглядной геометрии

Что же получается? Поскольку центр тяжести при изучении систематического курса смещен в сторону изучения оснований геометрии, то и пропедевтические курсы неизбежно ориентируются на объекты и методы исследования именно этой составляющей курса. При этом геометрический материал традиционных учебников математики 5–6-х классов, как мы показали, трудно даже назвать пропедевтическим в силу незначительности его объема, разрозненности, подчинения арифметико-алгебраической составляющей курса и больших перерывов в его изучении.

Анализ состояния школьной практики показывает низкий уровень геометрических знаний учащихся, приступающих к изучению систематического курса, и особенно ярко это проявляется на начальном его этапе. В то же время овладение простейшими геометрическими понятиями не влияет сколько-нибудь заметно на развитие воображения и геометрического мышления школьников, недостатки в формулировании которых ощущаются на всем протяжении изучения геометрии. Таким образом, приходится делать вывод, что идея введения пропедевтического курса для овладения простейшими понятиями геометрии себя не оправдала.

Однако на протяжении многих лет существовал и другой подход к решению проблемы досистематического изучения геометрии, согласно которому решение проблемы надо искать на пути создания широкого круга геометрических представлений, развития воображения, геометрического видения и мышления школьников. При этом пропедевтический и систематический курсы должны существенно отличаться друг от друга как по содержанию, так и по методике изучения. Особо подчеркивается значение изучения наглядной геометрия. Эта идея начала стремительно развиваться в начале XX века, и первые ее реализации сначала имели чисто практическую, прикладную направленность.

Хотите узнать больше?

В интернете можно скачать: Астряб А.М. Наглядная геометрия. — Москва–Ленинград: ГИЗ, 1923.

Давайте внимательно вчитаемся в слова П.А. Карасева [5], написанные им в середине столетия: «Наглядная геометрия, в отличие от систематического курса геометрии, изучает свойства геометрических форм путем "живого созерцания", то есть непосредственных восприятий и представлений конкретных предметов и их изображений. Изучение свойств геометрических фигур обосновывается индуктивным методом — обобщением частных однородных случаев. Задача учителя — дать детям большое количество систематизированных зрительных впечатлений, в которых дети должны разобраться и сделать свои выводы при помощи объяснений и наводящих вопросов учителя... Учителям... надо отрешиться от обычных приемов преподавания систематического курса геометрии... с обязательным заучиванием определений, с задаванием на дом, «спрашиванием» уроков... Этот метод индуктивного и непосредственного опытного усвоения геометрических законов, тесно связанный с практикой построения и измерения геометрических форм, более отвечает особенностям детской психики с ее остротой восприятий, с активным воображением, с памятью главным образом моторного и зрительного типа, но еще со слабо развитым логическим мышлением... В отличие от "геометрического материала" в современной начальной школе, "наглядная геометрия" не должна быть придатком к арифметике, вырождаясь в изучение мер длины, площади и объема и способов измерения прямолинейных отрезков, площадей прямоугольников и объемов прямоугольных параллелепипедов».

Этот подход продолжает сохранять актуальность и для современной школы; он заслуживает того, чтобы мы познакомились с ним более подробно.

Основные идеи курса наглядной геометрии П.А. Карасева

Каковы же задачи изучения наглядной геометрии?

1. Развитие геометрических представлений учащихся посредством рисования геометри- ческих фигур и тел, изготовления их моделей.

2. Усвоение начальных приемов черчения с помощью линейки, угольника и циркуля.

3. Ознакомление со способами нахождения длин, углов, площадей и объемов.

4. Усвоение некоторых элементарных сведений по геометрии, полезных в практической жизни и необходимых при изучении других предметов.

5. Активизация мышления путем постановки и решения геометрических задач.

6. Введение начал логического мышления в степени и форме, доступных возрасту уча- щихся.

7. Развитие речи — письменной и устной — в области, относящейся к пространственным представлениям детей.

Автор не ограничивается простейшими фигурами (прямая, отрезок, угол и др.), а считает необходимым познакомить учащихся с основными плоскими фигурами (например, среди них есть трапеция и параллелограмм) и их важнейшими свойствами, с пространственными телами. Он не ограничивается измерением длин, площадей и объемов этих геометрических объектов — это только одна из составляющих предлагаемого им курса. И надо отметить, что очень интересная составляющая; например, рассматриваются понятия равносоставленности и равновеликости, вычисляются площади трапеции, ромба, треугольника, причем не по выведенному правилу или формуле, а путем перекраивания этих фигур в равновеликие прямоугольники.

В предложенной методике активно и интересно используются свойства клетчатой бумаги для перерисовывания фигур, их построения, перекраивания, измерения длины и площади и др. Помимо построений на клетчатой бумаге, учащиеся знакомятся и с построениями на гладкой бумаге с использованием чертежных инструментов.

Активно используются различные виды моделирования, прежде всего из бумаги, доступные детям. Одним из типов задач здесь является построение фигур путем перегибания листа бумаги. Полоски бумаги служат моделями отрезков прямых; из полосок образуется подвижная модель угла и др. Еще один вид моделирования — построение всевозможных фигур из частей квадрата. Комбинируя и составляя фигуры, дети учатся различать их, называть элементы, находить равные элементы, составлять из острых углов прямые, конструировать заданные фигуры.

Интересны предлагаемые игры, — например, глазомерная игра с квадратами, которая заключается в том, что, глядя на фигуру и положив рядом один квадрат, учащиеся соображают, сколько таких квадратов надо взять, чтобы закрыть всю фигуру, после чего они проверяют себя, выложив фигуру квадратами. В этой игре не только развивается глазомер, но и формируется начальное представление о площади фигуры, о равновеликости фигур.

Отбор содержания и методика его изучения происходят в соответствии со следующими принципами.

1. Процесс обучения должен зависеть не только от содержания геометрического материала, но и от психологических особенностей детского возраста, от общих целей образования.

2. Основными методическими принципами являются наглядность и максимальное количество практических упражнений конструктивного и изобразительного характера.

3. В основу должен быть положен индуктивный метод, базирующийся на наглядном и практическом изучении конкретных фактов и последующем их обобщении, и отказ от дедуктивно-логического метода доказательства геометрических положений.

4. Построение курса и метод его преподавания должны идти в развитии геометрического мышления от простого к сложному, от конкретного к отвлеченному.

5. Движение — важнейший фактор как создания геометрических форм, так и уяснения их свойств.

6. В учебной работе необходимо задействовать все виды памяти: зрительную, моторную, слуховую.

7. Необходимо отказаться от заучивания определений, правил и др. Вместо этого необходимо вводить «живое описание» детьми своих наблюдений, подмеченных геометрических свойств.

8. Главным критерием усвоения геометрии должно быть умение (умение построить фигуру, описать ее построение и др.).

К сожалению, многие идеи, высказанные П.А. Карасевым, остались не реализованными. Причину тому надо искать, по-видимому, в недостаточном осознании в теории обучения роли образных компонент в структуре мышления, их значения для развития мышления логического. Кроме того, школа тех лет ориентировалась в основном на репродуктивные методы обучения и не была готова к организации самостоятельной исследовательской деятельности учащихся по изучению геометрических объектов.

Наглядная геометрия как часть современной системы обучения математике

Переориентация современной методической системы обучения на приоритет развивающей функции обучения потребовала, во-первых, пересмотра содержания геометрического образования и, во-вторых, нового структурирования всей геометрической линии. Подход, разработанный в отделе математического образования ИОСО РАО (И.Ф. Шарыгин, Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.), предполагает три основных концентра изучения геометрии в школе: наглядно-эмпирическая геометрия (1–6-е классы), систематический курс планиметрии (7–9-е классы), систематический курс стереометрии (10–11-е классы). Важным отличием такой структуры школьного геометрического образования от предшествующей является возможность овладения содержанием на двух уровнях — наглядно-эмпирическом (1–6-е классы) и систематическом (7–11-е классы). В качестве основной цели этапа, связанного с младшим подростковым возрастом, выдвигается развитие пространственных представлений и воображения, геометрической интуиции, изобразительно-графических навыков, глазомера, изобретательности.

И вот в конце XX в. снова вспомнили о наглядной геометрии. И в очередной раз этому термину было придано иное звучание, прежде всего благодаря влиянию деятельностного подхода в обучении и идее усиления развивающей функции обучения. Современные авторы под наглядной геометрией понимают изучение плоских фигур и пространственных тел, которое основано на предметной деятельности учащихся, опирается на их жизненный опыт и пространственные представления, полученные из ближайшей природной и социальной среды, изучение, которое вовлекает в работу преимущественно наглядно-образное мышление учащихся, развивая и обогащая его. Изучение наглядной геометрии преследует цель формирования опыта геометрической деятельности, обеспечивающего подготовку к изучению систематического курса геометрии, и решает следующие задачи:

• ознакомление с геометрическими фигурами и их свойствами;
• знакомство с геометрическими методами исследования;
• приобретение изобразительно-графических умений, измерительных навыков;
• развитие пространственных представлений, геометрического мышления, творческих способностей.

Хотите узнать больше?

В издательстве «Просвещение» изданы пособия под названием «Наглядная геометрия» авторов Т.Г. Ходот и др., а также в рамках МПИ-проекта. Разрабатывают авторские курсы и учителя. На сайте Фестиваля «Открытый урок» можно прочитать, например, статьи: Л.А. Мосенковой «Программа «Наглядная геометрия для 5–6-х классов»; А.Г. Белоусовой «Введение курса наглядно-практической геометрии как пропедевтики систематического курса геометрии»; С.В. Кирилловой «Наглядно-практическая геометрия для учащихся 5–6-х классов» и др.

Идеология И.Ф. Шарыгина

Основоположником возрождения наглядной геометрии стал И.Ф. Шарыгин. Он рассматривал ее как часть математического образования, способную осуществить развивающие функции обучения, вооружить учащихся геометрическим методом познания, внести вклад в общекультурное развитие учащихся, сформировать у них положительное эмоционально-ценностное отношение к миру.

Курс наглядно-эмпирической геометрии не предполагает, по его мнению, изучение геометрической теории как таковой: обучение организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, связанной с различными геометрическими объектами и направленной на развитие геометрического кругозора, воображения, зоркости, интуиции. Существенно, что изучение геометрии на досистематическом этапе разворачивается практически на том же содержании, что и систематический курс, при этом планиметрия и стереометрия выступают равноправными партнерами. Предметом изучения здесь являются геометрические фигуры (треугольник, окружность, параллелепипед и др.), геометрические величины (длина, площадь, объем, мера угла и др.) и отношения (равенство, параллельность и др.). Здесь «геометрия выступает в виде естественнонаучного предмета, основные методы получения геометрического знания — наблюдение, эксперимент, возможно умозрительный. В каком-то смысле, на этом этапе мы имеем аналог доевклидова этапа развития геометрии, но с некоторыми включениями достижений современной науки. На примере геометрии учащиеся знакомятся с важнейшими общенаучными идеями, понятиями и методами исследования: свойство и признак, классификация объектов, непрерывность и дискретность, перебор вариантов и т.д. Особенно важной на этом этапе является учебная геометрическая деятельность, связанная с пространственными объектами» [13]. Интересной является и реализация автором цели расширения общего кругозора, развития у учащихся чувства прекрасного посредством ознакомления их с ролью геометрии в искусстве, с историей геометрии, с красивыми геометрическими фактами и рассуждениями. В соответствии с возрастными особенностями школьников 5–6-х классов предлагается использовать в учебном процессе игры, соревнования.

По мнению И.Ф. Шарыгина, логикой изложения содержания должно стать сочетание индуктивного подхода, основанного на интеллектуально-практическом опыте учащихся, и начал дедукции. В такой курс могут быть включены наглядные доказательства. Например, доказательство равенства углов при основании равнобедренного треугольника, принадлежащее Льюису Кэрроллу: «Возьмем равнобедренный треугольник, нарисованный, скажем, на листе бумаги. Вырежем его (ножницами или мысленно), перевернем и вложим его обратно. Нетрудно объяснить или реально проверить, что этот треугольник "заткнет" образовавшуюся дыру, а это и будет означать равенство соответствующих углов».

Важна мысль и о многоуровневом решении задачи, когда решение может быть результатом как предметной, так и образной или мыслительной деятельности. Каждый ученик, справившись с задачей в соответствии со своим уровнем развития, получит чувство удовлетворения от ее решения. При этом это требование надо понимать не только в смысле отбора задач, а и в смысле ознакомления учителя с приемами практического, предметного решения тех задач, которые он привык решать или работой воображения, или путем логических рассуждений. Проблема заключается не в том, что задачи не содержат в себе возможностей решения посредством выполнения практических, реальных действий, а в том, что, даже если сюжет задачи прямо указывает на такую возможность, учитель в лучшем случае пытается добиться от учащихся ее мысленного, образного решения, не понимая того, что мысленно повторить ребенок может только действие, неоднократно выполненное им ранее практически.

И.Ф. Шарыгин высказывает положение об отличии курса геометрии 5–6-х классов от курса 1–4-х классов, которое заключается в увеличении объема изучаемых геометрических объектов и отношений, введении различных классификации, увеличении доли графических упражнений и заданий, выполняемых в визуальном плане, введении новых методов исследования. Задача курса геометрии 5–6-х классов — заинтересовать, привлечь внимание учащихся к математике, показав многогранность и разнообразие ее проявлений. Связано это с тенденцией к снижению интереса к учению на рубеже перехода в основную школу.

Первоначально эти идеи были реализованы в пособии «Наглядная геометрия», написанном им в соавторстве с Л.Н. Ерганжиевой [14], а чуть позже и в рамках интегрированного курса в учебниках по математике для учащихся 5–6-х классов «Математика, 5» и «Математика, 6», под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, совместно с автором этой статьи [6–9].

Подведем итоги

1. Основной целью изучения геометрии на досистематическом этапе является создание широкого круга представлений о геометрических объектах, их свойствах и основных фактах геометрии, развитие пространственного воображения, геометрической зоркости и навыков моделирования геометрических объектов. В 5–6-х классах учащийся должен накопить значительный запас геометрических знаний в виде фактов, понятий, свойств, способов действий с геометрическими объектами, которые в 7–9-х классах он будет приводить в систему, выстраивать в теорию, основанную на аксиоматическом методе и дедукции. Реализовать эту цель возможно в ходе изучения наглядной геометрии.

2. Отбор содержания и методика его изучения должны быть адекватны возрастным психологическим особенностям учащихся 5–6-х классов. Нельзя забывать и о непрерывности геометрического образования, о геометрической целесообразности и значимости. Содержание распределяется по двум линиям: геометрические фигуры и их свойства; измерение геометрических величин. Логикой изложения содержания является сочетание индуктивного подхода, основанного на приобретенном опыте, и элементов дедукции. В основе изучения содержания лежит наглядно-эмпирический метод познания. Он включает в себя визуальное и практическое изучение геометрических объектов, представленных в предметном и графическом виде, а также в виде мысленных образов. Главным же критерием усвоения содержания является умение (умение построить фигуру, описать ее свойства и т.п.).

Методический практикум

Проведите анализ учебников математики для 5–6-х классов (например, того, по которому вы работаете) по следующему плану:

1. Выпишите содержание геометрической линии курса: основные понятия, факты, виды деятельности.

2. Определите, представляет ли геометрическое содержание систему знаний.

3. Определите долю геометрических заданий в общей системе упражнений учебника.

4. Насколько разнообразны геометрические задания по содержанию и видам деятельности?

5. Выпишите наиболее типичные геометрические задания.

Ответьте на вопрос: «Является ли геометрическое содержание анализируемого вами учебника курсом наглядной геометрии?»

Литература

1. Бескин Н.М. Методика геометрии. С приложением главы «Методика преподавания наглядной геометрии» А.М. Астряба: Учебник для пед. ин-ов. — М.: Учпедгиз, 1947.

2. Венгер Л.А. О способах зрительного восприятия формы предметов в раннем и дошкольном детстве // Развитие познавательных и волевых процессов у дошкольников: Сб. статей. — М., 1965.

3. Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. школы. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1988.

4. Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. и др. Математика: Учеб. для 6 кл. сред. школы. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1992.

5. Карасев П.А. Элементы наглядной геометрии в школе. — М.: Учпедгиз, 1955.

6. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. — 7-е изд. — М.: Просвещение, 2004.

7. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. — 7-е изд. — М.: Просвещение, 2004.

8. Математика: рабочая тетрадь для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Е.А. Бунимович и др. — М.: Просвещение, 2004.

9. Математика: рабочая тетрадь для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Е.А. Бунимович и др. — М.: Просвещение, 2004.

10. Основные результаты международного исследования качества мат. и ест.-науч. образования TIMSS-2004. — М.: НФПК, ИСМО РАО, 2004.

11. Пышкало А.М. Геометрия в 1–4 классах. — изд. 2-е, испр. и доп. — М.: Просвещение, 1968.

12. Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании // Математика в школе, 1993, № 4.

13. Шарыгин И.Ф. Некоторые размышления по поводу школьного курса геометрии // Учительская газета, 1992, № 20, с.11–13.

14. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для 5–6 классов. — М.: Дрофа 1998.

Рослова Л.