Тригонометрия в школе: Работа над ошибками
В 2005 году в газете «Математика» (№ 17–24) был опубликован цикл из восьми лекций «Тригонометрия в школе» для заочных курсов повышения квалификации учителей математики, проводимых Педагогическим университетом «Первое сентября».
В этих лекциях Н. Решетников дал довольно интересный исторический анализ школьного курса тригонометрии. Был рассмотрен порядок изучения тригонометрического материала по учебникам алгебры (9-й класс) и алгебры и начал анализа (10–11-е классы) авторского коллектива С.М. Никольского. Лекции содержали разбор большого числа заданий из этих учебников и из дидактических материалов к ним. Практическая часть лекций и контрольные работы были подготовлены автором этих строк.
Позднее те же лекции были изданы в виде брошюр и рассылались слушателям курсов.
По регламенту Педагогического университета «Первое сентября» каждый из слушателей должен был решить задачи двух контрольных работ и прислать итоговую работу (разработку открытого урока по теме курса и т.п.).
Стоит заметить, что не все слушатели с первого раза получали зачет за решение контрольных работ, так как допускали много ошибок, особенно при решении тригонометрических неравенств. Одно неравенство из контрольной работы № 2 вызвало столь массовые затруднения у слушателей курсов, что его пришлось исключить из контрольной работы (в данной статье приведено его решение).
Всем слушателям сообщались результаты проверки контрольных работ и высылались предполагаемые решения задач. Тем, кто не получал зачета, предлагался вариант повторной контрольной работы. Из него нужно было решить только те задачи, номера которых совпадали с номерами нерешенных задач.
Рассмотрим решения задач из контрольных работ № 1 и № 2 и характерные затруднения слушателей.
Контрольная работа № 1
(Зачет ставился за решение 8 или 9 задач из 9.) Эта контрольная работа была посвящена преобразованиям тригонометрических выражений и задачам вычислительного характера.
1. Докажите, что для любых α справедливо равенство cos (3π + α) = –cos α.
Решение.
cos (3π + α) = cos (2π +π + α) = cos (π + α) = –cos α,
что и требовалось доказать.
Комментарий. В учебнике С.М. Никольского и др. к моменту доказательства этого равенства были изучены формулы
cos (2π + α) = cos α и cos (π + α) = –cos α.
Слушатели курсов приводили доказательства, опирающиеся на симметричность относительно начала координат точек единичной окружности, соответствующих углам α и 3π + α. Принимались любые доказательства, но не такие, в которых слушатели писали: «С помощью формулы приведения получим: cos (3π + α) = –cos α», то есть для доказательства применяли формулу, которую требуется доказать.
2. Вычислите: 
Решение.
Ответ : 
Комментарий. Первые шаги решения содержат исключение из аргументов тригонометрических функций слагаемых, кратных 2π. Характерные ошибки слушателей курсов заключалась в применении неверных «тождеств»:
и др., а также в неверном нахождении «табличных» значений тригонометрических функций.
3. Вычислите: 
если 
Так как 
то 
Так как 
поэтому | cos α |
= –cos α.
Теперь вычислим значение выражения A:
Ответ: 9.
Комментарий. Здесь и в некоторых других случаях для того,
чтобы не переписывать несколько раз громоздкие выражения, мы обозначаем их
латинскими буквами. Слушатели курсов тоже применяли «разрыв» цепочки
преобразований выражения. Например, они заканчивали цепочку преобразований
выражения знаком 
. Затем писали обоснования проводимым преобразованиям и
продолжали преобразования с новой строки, в начало которой ставили тот же знак.
Мы не поддерживаем придумывание новых знаков, которые не являются
общеупотребимыми, вроде знака 
, изображающего человеческий глаз и используемого
для замены слова «рассмотрим». Так можно дойти и до древнеегипетских иероглифов.
Характерный недочет некоторых работ заключался в вычислении
значения cos α,
чего делать не нужно, так как на это значение дробь сокращается. Встречались
записи
| cos α |
= ±cos α,
приводящие к неверному ответу ±9.
4. Вычислите:
а) 
б) arccos (sin 0,9π);
в) arccos (cos 5).
Решение.
а) Число 
принадлежит промежутку 
поэтому 
б) Преобразуем sin 0,9π так:
sin 0,9π = sin (0,5π + 0,4π) = cos 0,4π.
Так как 0,4π 
[0; π],
то
arccos (sin 0,9π) = arccos (cos 0,4π) = 0,4π.
в) Число 5 не принадлежит промежутку [0;
π],
преобразуем cos 5 так, чтобы аргумент косинуса принадлежал промежутку [0;
π]:
cos 5 = cos (2π – 5).
Так как (2π – 5) [0; π],
то
arccos (cos 5) = arccos (cos (2π – 5)) = 2π – 5.
Ответ: а) 
б) 0,4π;
в) 2π – 5.
Комментарий. Характерной ошибкой слушателей курсов было
использование неверного равенства arccos (cos 5) = 5. А равенство это неверно,
так как arccos (cos 5) [0; π],
а 
[0; π].
5. Вычислите: 
Решение. Для решения задачи умножим и разделим выражение
C на 
и преобразуем полученную дробь:
Учитывая, что 
окончательно имеем: 
Ответ: 
Комментарий. Здесь встречались решения, не доведенные до числового результата.
6. Вычислите sin α,
cos α,
ctg α,
если 
Решение.
1. 
2. 
Так как 
поэтому 
3. Из формулы 
следует, что 
Ответ: 
Комментарий. Ошибки в этой стандартной задаче были лишь
вычислительного характера. Часть слушателей курсов использовала равенство 
хотя cos a
имеет одно, а не два значения. Сравните: в формуле корней квадратного уравнения
запись 
означает, что для D > 0 имеется два корня уравнения.
7. Вычислите: cos (arcctg a).
Решение. Обозначим α = arcctg a, тогда ctg α
= a,
0 < α < π.
Вычислим 
Так как 0 < α < π,
то sin α > 0, поэтому 
Из формулы 
следует, что 
Ответ: 
Комментарий. Характерным недочетом при выполнении этого
задания был необоснованный знак «+» перед корнем в равенстве 
Были и такие «решения», в которых требуемый результат
получался из формулы 
которую здесь требовалось доказать.
8. Вычислите tg 4α,
если 
Решение. Применим два раза формулу тангенса двойного угла:
Ответ: 
Комментарий. Здесь встречались вычислительные ошибки и
ответы, полученные округлением числа 
записанного в виде десятичные дроби. Общее
правило таково: точный ответ лучше приближенного. Если в задании не требуется
округлить результат, то не следует этого делать.
9. Вычислите: 
Решение. Способ I. Выразим 
через 
из
формулы
Решив последнее уравнение, найдем его единственный
положительный корень 
. Следовательно, 
Ответ: 
Комментарий. Способ I требует решения уравнения, это
общий прием. А учитывая, что 
— половина «табличного» угла 
, возможно другое
решение.
Способ II.
Контрольная работа № 2
(Зачет ставился за решение 8, 9 или 10 задач из 10.)
1. Решите уравнение 
Решение. Это однородное уравнение первой степени, оно
равносильно уравнению 
которое имеет решения 
Ответ: 
Комментарий. При решении этого уравнения некоторые
слушатели курсов переходила к аргументу x. Получалось однородное
уравнение второй степени, имеющее серию решений 
mZ. Такое усложнение решения не кажется нам оправданным.
2. Решите уравнение 2cos2 x + 4sin х cos x = –1.
Решение. Перепишем уравнение в виде
sin2 x + 4sin х cos x + 3cos2 x = 0. (1)
Это однородное уравнение второй степени, оно равносильно уравнению
tg2 x + 4tg х + 3 = 0, (2)
все решения которого являются решениями или уравнения
1) tg x = –1,
или уравнения
2) tg х = –3.
Уравнение 1) имеет единственную серию решений 
а уравнение 2) имеет единственную серию решений хm = –arctg 3 + πm,
m Z.
Ответ: 
Комментарий. При решении уравнения (1) иногда обосновывался переход к уравнению (2) следующим образом: «ОДЗ: cos x ≠ 0». Но левая часть уравнения (1) имеет смысл при любом значении x. Правильнее было бы писать, что ни одно число x, для которого cos x = 0, не является корнем уравнения (1), поэтому, разделив уравнение (1) на cos x, получим уравнение (2), равносильное уравнению (1). При решении уравнения (1) также наблюдалось неоправданное усложнение решения, связанное с переходом к аргументу 2x.
3. Определите, при каких а уравнение
sin2 x – 3sin х cos x + аcos2 x = 0
не имеет решения.
Решение. Это однородное уравнение второй степени,
оно равносильно уравнению
Ответ: при a > 2,25.
Комментарий. Эта задача вызвала мало затруднений, но и здесь были ошибки, например, при вычислении дискриминанта квадратного уравнения.
4. Решите неравенство 
Решение. Все решения данного неравенства являются решениями двойного неравенства
откуда получаем, что 
.
Ответ: 
Комментарий. Здесь и далее при решении тригонометрических
неравенств допускались ошибки, связанные с неправильным чтением числовых
промежутков, изображенных на единичной окружности. Тригонометрические
неравенства являются «слабым местом» многих слушателей курсов. В контрольной
работе № 2 встречались ошибки, приводящие к бессмысленным ответам вроде такого:
х ≥ πn,
n Z.
5. Определите все а, при каждом из которых неравенство
5sin x – 12cos x ≤ а + 1
не имеет решений.
Решение. Разделив обе части неравенства на 
получим неравенство, равносильное данному: 
которое можно переписать в виде 
где 
Так как –1 ≤
sin (x – α)
≤
1, то данное неравенство не имеет решений при условии, что 
то есть если а < –14.
Ответ: при а < –14.
Комментарий. Часть слушателей курсов ошибочно полагала,
что исходное неравенство не имеет решений еще и при условии 
Хотя очевидно, что,
например, при а = 25 решением неравенства sin (x –
α) ≤ 2
является любое число. Еще один способ получения неверного ответа заключался в
применении универсальной подстановки:
приводящей к сложному неравенству относительно тангенса половинного угла, который определен для любых значений x.
6. Решите уравнение 
Решение. Разделив обе части уравнения на 
получим уравнение 
равносильное данному. Перепишем его в виде
Все решения уравнения (3) являются решениями уравнения
1) 
или уравнения
2) 
.
Все решения уравнения 1) составляют серию 
а все решения уравнения 2) составляют серию 
Следовательно, все решения исходного уравнения составляют две серии решений: хk и хn.
Ответ: 
Комментарий. Распространенной ошибкой решения уравнения (3) является потеря второй серии решений. Иногда ответ получался по формуле
откуда затем получали
забывая, что в формуле (4) скрыт период 2π.
В самом деле, при k = 2m имеем:
а при k = 2m + 1 имеем:
7. Решите уравнение 5sin х + 4sin х cos х – 5cos х = 5.
Решение. Обозначим t = sin х – cos х, тогда
t 2 = sin2 х – 2sin х cos х + cos2 х = 1 – 2sin х cos х,
откуда следует, что 2sin х cos х = 1 – t2.
Перепишем уравнение в виде 2t2 – 5t + 3 = 0, t1 = 1, t2 = 1,5.
Все решения данного уравнения являются решениями уравнения
1) sin х + cos х = 1
или уравнения
2) sin х – cos х = 1,5.
Уравнение 1) можно переписать в виде 
оно имеет две серии решений
и хn = π + 2πn,
n Z.
Уравнение 2) можно переписать в виде 
оно не имеет решений, так как 
для каждого x R. Следовательно, все решения данного уравнения составляют две серии
решений: хk и хn.
Ответ: 
Комментарий. Здесь при решении уравнения 
повторялись ошибки, описанные в комментарии к заданию 6,
кроме того, в ответе встречался несуществующий 
Обратим внимание на еще один источник ошибок. Пытаясь
избежать решения двух уравнений, 1) и 2), некоторые слушатели курсов переходили
к аргументу 2x следующим образом: «Так как sin 2x = 2sin х cos х
= 1 – t2, то все решения данного уравнения являются решениями
или уравнения sin 2x = 0, или уравнения sin 2x = –1,25». Далее
получался ответ 
содержащий посторонние корни исходного уравнения. Например, при k = 4 получался посторонний корень 2π. Дело в том, что в предложенном «решении» уравнения 1) и 2) по сути возведены в квадрат, поэтому уравнение sin 2x = 0 — это уравнение-следствие уравнения 1). Оно и дало посторонние корни.
Здесь же иногда применялась универсальная подстановка, приводящая к уравнению
где 
Но все x =π + 2πn,
n Z, как раз и являются решениями исходного уравнения. Это и привело
к потере корней слушателями.
8. Решите неравенство 
Решение. Выразив sin2 х и 2sin х cos х
через cos 2х и sin 2х, перепишем данное неравенство в виде 
или в виде 
Все решения этого неравенства найдем, решив двойное
неравенство 
которое имеет решения 
Ответ: 
Комментарий. Распространенная ошибка в решении данного неравенства заключается в том, что данное неравенство сначала переписывают в виде
затем обе его части делят на cos2 х, как это делали при решении однородного уравнения
Обратим внимание на различие двух ситуаций: все такие x, для каждого из которых cos х = 0, являются решениями неравенства (5) и не являются решениями уравнения (6). Поэтому деление неравенства (5) на cos 2х приводит к потере решений неравенства — как раз тех x, для каждого из которых cos х = 0.
9. Решите неравенство 3sin х + 3cos х + 2sin х cos х < –3.
Решение. Обозначим t = sin х + cos х,
перепишем данное неравенство в виде неравенства
которую можно переписать в виде
Первое неравенство системы справедливо при любом x
R, а все решения второго неравенства системы являются решениями
двойного неравенства
Ответ: 
Комментарий. Здесь допускались описанные выше ошибки при решении второго неравенства системы, а также неправильное применение универсальной подстановки.
10. При каких а уравнение 5sin х + 12cos х = а – 4 имеет хотя бы одно решение?
Решение. Разделив обе части неравенства на 
получим
уравнение 
равносильное исходному. Перепишем его в виде
где 
Так как –1 ≤
sin (x + α)
≤
1, то данное уравнение имеет хотя бы одно решение при условии, что 
то есть если
–9 ≤ а ≤ 17.
Ответ: а [–9; 17].
Комментарий. В части работ слушателей терялось одно из
условий –1 ≤ sin (x + α)
или
sin (x + α)
≤ 1,
что и приводило к неправильному ответу.
Остановимся теперь на неравенстве, которое оказалось настолько сложным, что некоторые слушатели курсов и после разбора его решения не могли решить аналогичное неравенство в работе над ошибками. Пришлось исключить его из контрольной работы № 2.
11. Решите неравенство 
Решение. Перенеся все члены неравенства в правую часть и заменив 4cos2 х на 4 – 4sin2 х, разложим эту правую часть неравенства на множители:
Введя новое неизвестное t = sin х, перепишем неравенство (7) в виде
Неравенство (8) имеет решениями все t такие, что 
Следовательно, неравенство (7) имеет решения: все x
такие, что 
Все решения этого двойного неравенства принадлежат промежуткам
Объединение всех таких промежутков и составляет множество решений исходного неравенства.
Ответ: 
Комментарий. Здесь и в других случаях некоторым слушателям мешало увлечение записью решений уравнений в общем виде. Даже в простых ситуациях, например при решении уравнения cos x = –1, обычно сначала записывали
x = ±arcсos (–1) + 2πn,
n Z,
а потом x = ±π +
2πn,
n Z,
не замечая, что полученная формула содержит повторы решений.
Было бы проще записать x =π+ 2πn, n Z.
При решении неравенства 
увлечение записью решений в общем виде приводило к таким записям:
Бессмысленность такого рода записей ясна уже для n = 1:
Здесь уж комментарии излишни.
В заключение остается добавить, что за 5 лет курс лекций прослушали 733 человека из различных регионов России и ближнего зарубежья. Мы получили много положительных отзывов от слушателей о содержании лекций, а также сообщений о том, что с помощью лекций нашим слушателям удалось разобраться в некоторых деталях и тонкостях, которые порой упускаются в повседневной работе.
Для нового учебного года тексты контрольных работ переработаны, задания заменены, их тематика расширена, но для решения любого из них достаточно внимательно изучить лекции, которые будут присланы каждому слушателю курсов повышения квалификации Педагогического университета «Первое сентября», и учесть комментарии, приведенные в данной статье.