Объем тетраэдра
Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». Греки в свою очередь позаимствовали это слово, как полагают, из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово «пирамус» в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от форм хлебцев в Древней Греции («пирос» — рожь). В связи с тем, что форма пламени иногда напоминает образ пирамиды, некоторые средневековые ученые считали, что термин происходит от греческого слова «пир» — огонь. Вот почему в учебниках геометрии XVI в. пирамида названа «огнеформное тело».
В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически правильную форму — например, пирамида Хеопса, высота которой достигает почти 147 м, и другие. Евклид определяет пирамиду как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине). Это определение подвергалось критике уже в древности. Например, Героном, предложившим следующее определение пирамиды: это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник. Важнейшим недостатком этого определения является использование неопределенного понятия основания. Тейлор определил пирамиду как многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке. Лежандр в «Элементах геометрии» так определяет пирамиду: «Телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке, и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания». После этой формулировки разъясняется понятие основания. Определение Лежандра является явно избыточным, то есть содержит признаки, которые можно вывести из других. А вот еще одно определение, которое фигурировало в учебниках ХIХ в.: пирамида — телесный угол, пересеченный плоскостью.
Первое непосредственное вычисление объема пирамиды, дошедшее до нас, встречается у Герона Александрийского. Интересно отметить, что в древних документах встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но нет правил вычисления объема полной пирамиды. В «Московском папирусе» имеется задача, озаглавленная «Действия с усеченной пирамидой», в которой излагается верное вычисление объема одной усеченной пирамиды. В вавилонских клинописных табличках также не встречается вычисления объема пирамиды, но зато в них есть много примеров вычисления объема усеченной пирамиды. Первыми формулу для объема пирамиды открыли, видимо, древние египтяне. Ведь нужно же было им хотя бы приближенно уметь вычислять, сколько камня потребуется на строительство той или иной пирамиды.
Согласно Архимеду, еще в V в. до н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой. Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV в. до н.э.
Вычисление объема пирамиды, основанием которой является некоторый многоугольник, сводится к вычислению объемов тетраэдров (треугольных пирамид). Поэтому основное внимание ниже будет сосредоточено на вычислении объемов именно этих простейших многогранников.
Обычно формула для вычисления объема тетраэдра ABCD мотивируется следующими соображениями. Во-первых, считается, что формула для вычисления объема призмы (в частности, треугольной) уже известна. Во-вторых, так или иначе, но обосновывается справедливость утверждения о том, что два различных тетраэдра с одной общей гранью и равными соответствующими ей высотами имеют равные объемы. Наиболее простым способом для обоснования второго утверждения является использование так называемого принципа Кавальери.
На рисунке 1 тетраэдры ABCD и ABCD' с общей гранью АВС имеют равные высоты, плоскости π1, π2 параллельны (плоскость π1 содержит треугольник АВС, а вершины D и D' этих тетраэдров принадлежат плоскости π2). Нетрудно показать, что треугольники A'B'C' и A''B''C'', получающиеся при пересечении данных тетраэдров произвольной плоскостью π3, параллельной первым двум плоскостям, равны (Докажите это!) и тем самым имеют равные площади. Отсюда делается вывод о том, что объемы таких тетраэдров равны («две стопки равных блинов заполняют один объем»).
При таких соглашениях основная формула для вычисления объема тетраэдра:
где S — площадь одной из граней тетраэдра, а Н — длина высоты, опущенной на эту грань, получается достраиванием данного тетраэдра до призмы так, как показано на рисунке 2, на котором плоскости АВС и А'B'C' параллельны. Тогда эта призма, объем которой равен произведению площади ее основания на высоту, составлена из трех равновеликих (по принципу Кавальери) тетраэдров ABCA', A'B'CB и A'B'CC' (два последних — равновелики, так как имеют общую грань A'B'C и равные высоты, опущенные на эту грань).
Другую возможность для вычисления объема тетраэдра дает еще одна важная конструкция, связанная с тетраэдром, — так называемый описанный параллелепипед. Он получается проведением трех пар параллельных плоскостей, каждая из которых проводится через противолежащие ребра тетраэдра (рис. 3)
Противолежащие ребра тетраэдра являются диагоналями противоположных граней описанного параллелепипеда. Кроме исходного тетраэдра, параллелепипед содержит еще четыре «маленьких» равновеликих тетраэдра, объемы которых равны одной шестой объема описанного параллелепипеда (равновеликость этих тетраэдров следует из основной формулы). Отсюда следует, что объем исходного тетраэдра равен трети объема описанного параллелепипеда. Тем самым, для вычисления объема тетраэдра получаем следующую формулу:
где а = BD, b = A'C',
d и φ —
расстояние и угол соответственно между скрещивающимися прямыми BD и A'C'.
Действительно, величина 
равна площади грани ABCD, а d является
длиной высоты этого параллелепипеда.
Отсюда, в частности, следует, что если два противоположных ребра тетраэдра перемещаются по двум данным скрещивающимся прямым (d и φ — заданы) без изменения их длин, то объем тетраэдра не изменяется
Замечание 1. Тот факт, что в любом тетраэдре произведение площади грани на высоту, проведенную к ней, не зависит от выбора основания и высоты, можно доказать и непосредственно. Для этого выберем две произвольные грани тетраэдра с площадями S1 и S2, соответствующими высотами H1 и H2 и общим ребром длины a (рис. 4).
Нам требуется доказать, что отношение 
Обозначим через h1
и h2 высоты, проведенные к общему ребру в «первой» и «второй»
грани. Из подобия прямоугольных треугольников (первый с катетом H1
и гипотенузой h2, а второй — с катетом H2 и
гипотенузой h1; подобие следует из того, что острые углы
являются линейными углами двугранного угла при ребре a) имеем, что 
Кроме того, 
Из этих двух равенств и получаем нужное утверждение.
Замечание 2. В своей знаменитой речи на Международном математическом конгрессе в Париже в августе 1900 г. Д. Гильберт среди 23 поставленных им проблем под третьим номером упомянул проблему, тесно связанную с вопросами преподавания теории объемов многогранников. В ней обращено внимание на то, что при выводе формулы для вычисления объема тетраэдра приходится использовать довольно сложный предельный переход (так называемая «чертова лестница») или использовать принцип Кавальери, как это было сделано выше. Гильберт обратил внимание на это обстоятельство и высказал гипотезу о возможности строго доказать, что без операции предельного перехода теория объемов многогранников не может быть построена так, как это делается в планиметрии в теории площадей многоугольников. В том же 1900-м году немецкий математик Макс Ден, ученик Гильберта, подтвердил высказанную его учителем гипотезу, доказав, что существуют многогранники равного объема, которые не являются равносоставленными. Другими словами, один из них нельзя разбить на такие многогранники, из которых можно было бы сложить другой многогранник (именно на идее равносоставленности строится теория площадей многоугольников). Одной из пар таких равновеликих многогранников является куб и правильный тетраэдр. Более подробно см. [1], [2].
В связи с мотивировкой основной формулы для вычисления объема тетраэдра была использована призма, состоящая из трех равновеликих тетраэдров.
А какие треугольные призмы можно разбить на три равных тетраэдра? Из каких трех равных тетраэдров можно сконструировать призму?
Чтобы дать ответ на первый вопрос, рассмотрим (см. рис. 2) треугольную призму ABCA'B'C' и предположим, что тетраэдры ABCA', A'B'C'C и A'B'BC равны между собой (последний из них лежит между двумя другими).
Тогда тетраэдры ABCA' и A'B'BC имеют общую грань A'BC, и так как они равны, то равны и ребра, выходящие из вершин A и B'. Но AA' = BB' как боковые ребра призмы, AB = A'B' как соответствующие стороны оснований призмы, поэтому AC = B'C.
Аналогичным образом рассмотрим тетраэдры A'B'C'C и A'B'BC как тетраэдры с общей гранью A'B'C и четвертыми вершинами B и C' соответственно. Снова сравним боковые ребра: BB' = C'C как боковые ребра призмы; C'B' = BC как соответствующие стороны оснований призмы. Тогда из равенства этих тетраэдров следует, что A'B = A'C'.
Итак, если призма составлена из трех равных тетраэдров так, как показано на рисунке 2, то
AC = A'C' = A'B = B'C. (*)
Данная призма может быть разбита на три тетраэдра и другими способами. (Всего таких способов 6. Докажите это самостоятельно!) В каждом таком разбиении, аналогично тому, как было рассмотрено только что, убеждаемся в том, что выполнено соотношение (*). Тем самым, если призма может быть разбита на три равных тетраэдра, то непересекающиеся диагонали двух боковых граней призмы должны быть равны между собой и равны стороне основания, лежащей в третьей боковой грани.
Прежде чем дать развернутый ответ на второй вопрос, остановимся на одном способе конструирования призмы из трех равных тетраэдров.
Обозначим через a плоскость, проходящую через точку A. Рассмотрим равносторонний треугольник AMN в этой плоскости. Восстановим в его вершинах перпендикуляры к a. На этих прямых выберем три точки A', B, C такие, что AA' = 3l,MB = l, NC = 2l, где l — произвольное положительное число (см. рис. 5). Достроим теперь получившийся тетраэдр ABCA' до призмы с основанием ABC и боковыми ребрами BB', CC'. Полученная таким образом призма удовлетворяет условию (*) и, следовательно, состоит из трех равных тетраэдров: ABCA', A'B'BC, A'B'C'C. Действительно, обозначая за a длину стороны треугольника AMN и используя теорему Пифагора, несложно вычислить, что
Полный же ответ на поставленный вопрос содержится в задаче 2.
Задачи и упражнения
1. Можно ли разрезать куб: а) на 5 треугольных пирамид; б) на 4 треугольные пирамиды?
2. Из каких трех равных тетраэдров можно составить призму? Найдите соотношение, которому должны удовлетворять его ребра.
Указание. Пусть дан тетраэдр ABCA' и известны длины всех его ребер. Достройте его до призмы ABCA'B'C' и выразите BC' через известные величины.
3. Докажите, что из трех правильных тетраэдров невозможно сконструировать призму.
4. Пусть все грани тетраэдра являются равными треугольниками, стороны которых равны a, b и c. Вычислите объем тетраэдра.
5. Даны три параллельные прямые p, q и r, не лежащие в одной плоскости. Ребро тетраэдра свободно перемещается по прямой p (не изменяя своей длины), а остальные две вершины — по прямым q и r. Докажите, что объем тетраэдра при этом остается постоянным.
6. Параллельные прямые p, q, r и l, не лежащие в одной плоскости, пересекают первую плоскость в точках A, B, C и D, а вторую — в точках A', B', C' и D' соответственно. Докажите, что тетраэдры AB'C'D' и A'BCD имеют одинаковые объемы.
7*. (Всероссийская олимпиада, 1988.) а) Можно ли внутри куба с ребром 1 расположить два непересекающихся правильных тетраэдра с ребром 1?
б) Какое наибольшее количество правильных тетраэдров с ребром 1 помещается внутри куба с ребром 1, если тетраэдры могут только касаться гранями?
Ответы
2. С точностью до перестановки вершин должно выполняться равенство AB = CA', а также одно из двух следующих соотношений:
(AB)2 = (AC)2 + (BA')2 – (BC)2 – (AA')2,
3(AB)2 = (AC)2 + (BA')2 + (BC)2 + (AA')2 .
4. 
7. а) Можно; б) 3 тетраэдра.
Литература
1. Болтянский В. Г. Третья проблема Гильберта. — М.: Наука, 1977.
2. Гильберт Д., Фоссен К. Наглядная геометрия. — М.: Наука, 1981.
3. Понарин Я.П. Элементарная геометрия: В 2 томах. — Т. 1. Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004.
4. Понарин Я.П. Элементарная геометрия: В 2 томах. — Т. 1. Стереометрия, преобразо- вания пространства. — М.: МЦНМО, 2006.
5. Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Часть 2: Стереометрия. — М.: Просвещение, 1957.