Исследовательская работа учащихся в условиях лицея

Лицей — особое учебно-воспитательное учреждение, ориентированное на работу с одаренными детьми, имеющими высокие интеллектуальные способности и познавательную активность, а также устойчивую положительную мотивацию к учению. Лицей дает образование повышенного уровня, готовит учащихся к творческому труду. Успешность работы с одаренными детьми зависит во многом от организации образовательного процесса. Исследовательская деятельность лицеистов является одной из форм обучения, способствующей профессиональному самоопределению учащихся. Организация работы с лицеистами включает деятельность: учителей, которые развивают интерес к предмету и формируют основы системы знаний, и наставников (сильных учителей и математиков-профессионалов, имеющих опыт собственной научной работы), под руководством которых учащиеся осуществляют индивидуальную и коллективную учебно-исследовательскую деятельность.

В лицее № 4 г. Саранска эту работу традиционно проводят в рамках НОУ «Искатель», члены которого работают в творческом поисковом режиме, создавая в школьных условиях модель научного поиска и реализуя свое право на образование в соответствии со своими потребностями и способностями. При этом и перед учителем открываются новые возможности для творчества и самореализации, роста профессиональной компетентности. Немаловажным фактором в решении задач учебно-исследовательской деятельности является и то, что учащиеся работают над отдельными темами в течение нескольких лет, углубляя и расширяя исследования. Результаты этих исследований учащиеся докладывают на уроках, семинарах, занятиях НОУ «Искатель», а также на научно-практических конференциях. Так, за последние пять лет творческие работы по математике учащихся нашего лицея были удостоены дипломов XIV Межгосударственной научно-практической конференции одаренных школьников «Intel–Авангард-2005» (Москва), XV Межгосударственной научно-практической конференции одаренных школьников «Intel–Авангард-2006» (Москва), Международной научной конференции старшеклассников «IX школьные Харитоновских чтениях-2009» (г. Саров), XVIII Российской научной конференции школьников «Открытие-2005» (г. Ярославль), Всероссийского открытого конкурса научно-исследовательских, изобретательских и творческих работ обучающихся «Юность, наука, культура» (Москва, 2004 г.), а также ежегодных городских конференций «Школьники города — науке XXI века» и республиканских научно-практических конференций «Интеллектуальное будущее Мордовии» (г. Саранск).

Приведем в качестве примера несколько тем исследовательских работ наших учащихся: «Подобные функции и их свойства», «Исследование на экстремум функции двух действительных переменных средствами теории функции одной действительной переменной», «Обобщенные прогрессии и их свойства», «Применение свойств f-выпуклой функции к доказательству неравенств», «Вычисление косинуса направляющего угла параболы», «О полноте "полной" схемы исследования функции», «Восстановление площади по длине», «Решение уравнений
F(U(x; y)) = 0, где U(x; y) = (min {f_i(x; y)}; max {g_ki(x; y)})».

На последней конференции старшеклассников «IX школьные Харитоновские чтения», которая состоялась в феврале этого года в г. Сарове Нижегородской области, ученица 9-го класса Олеся Горбенко представила работу по математике на тему «Построение локона Аньези из параболы», выполненную под руководством Е.Г. Смольяновой (МГУ им. Н.П. Огарева). Решением совета экспертов конференции работа прошла отборочный тур и была удостоена диплома за «геометрический подход при решении задач математического анализа» и специального приза Intel за «оригинальность темы доклада, прекрасное изложение и знание материала».

Работа посвящена исследованию нового метода построения кривых из семейства локонов Аньези с помощью парабол. Выяснилось, что геометрическое место G середин «движущейся» хорды параболы подходящей длины связано непосредственно с кривой Аньези. А именно, если сначала построить кривую G (длина хорды рассчитывается по заданному значению параметра a), то локон Аньези определяется как разность (по ординатам) кривой G и графика функции f(x) = a·x². Обнаружилось, что длина хорды и значение параметра прямо пропорциональны с коэффициентом, равным

Новизну и самостоятельный интерес представляет «неклассический» подход к определению этой кривой. Приведем основные моменты исследования.

Напомним, что плоская кривая третьего порядка, названная по имени ее исследователя, итальянского математика Марии Аньези, жившей в середине XVIII в., определяется следующим образом. Если a —диаметр окружности с центром в точке ВD — секущая, параллельная оси Oх, AM — параллельна оси Oy, то локон Аньези есть множество точек M, для каждой из которых OB : BD = DC : BM.

Получим другое определение этой кривой.

Построим на координатной плоскости xOy параболу с уравнением y = f(x), где f(x) = a ∙x². Зафиксируем число k > 0 и рассмотрим хорду MN параболы длины k. Пусть (a; f(a)) и (b; f(b)) — координаты точек M и N соответственно. Тогда имеем:

(a – b)² + α²(f(a) – f(b))² = k²,

или

(a – b)² + α²(a² – b²)² = k². (1)

Пусть точка P делит отрезок MN в отношении 1 : 1, то есть P — середина хорды MN. Ее координаты:

Будем непрерывно изменять положение хорды MN, сохраняя ее длину. При этом точка P опишет кривую, которую обозначим через Г . Исследуем вид этой кривой, а именно зависимость y_P = φ(x_P). Для этого преобразуем (1):

Если заметить, что α∙ab = 2α∙x²_p- y _p, то предыдущее равенство можно переписать так:

и, значит, уравнение кривой Г есть:

Обозначая придадим уравнению кривой Г вид:

y = f(x) + L(x) ( φ (x)) = f(x) + L(x)).

Теперь подберем числа a и k из условия

Находим, что

Значит,

Итак, кривая Г есть сумма графиков функций α∙x² и L(x) и поэтому локон Аньези с параметром можно определить как разность (по ординатам) графиков функций φ(x) и f(x) Заметим, что хорда подходящей длины (по заданному параметру a) параллельна оси абсцисс и проходит через точку с координатами (0; a).

В заключение отметим, что задача, выбранная для исследования, должна быть математически содержательной, интересной для самого исследователя и допускать продолжение, развитие идеи исследования. В случае с параболой, например, можно научиться, используя только чисто геометрический подход, строить не только кривую Аньези, но и такие кривые, как гиперболу и трезубец Ньютона.

Малышкина Н., Смольянова Е.