Межрегиональная заочная олимпиада по математике «Авангард»
Всероссийская школа математики и физики «Авангард» проводит Межрегиональную заочную математическую олимпиаду для школьников 6–10-х классов.
Срок проведения олимпиады: сентябрь – декабрь 2009 г.
Для участия в олимпиаде необходимо решить хотя бы одну задачу. Все участники олимпиады, приславшие свои решения в оргкомитет олимпиады, независимо от результатов их проверки, получат решения олимпиадных задач и информацию о заочном отделении Всероссийской школы математики и физики «Авангард». Списки победителей будут опубликованы в газете «Математика».
К сведению участников олимпиады Оргкомитет оставляет за собой право не рассматривать работы, в которых не выполнены следующие требования. 1. Участником олимпиады считается школьник, приславший решение хотя бы одной задачи. К рассмотрению принимаются только индивидуально присланные работы. 2. Решения аккуратно оформляются на двойных тетрадных листах с отрезанными полями (около 2 см, для удобства пересылки в обычном почтовом конверте), сшитых книжечкой и пронумерованных. 3. На первом листе указывается ФИ учащегося, индекс и домашний адрес, номер школы, класс, ФИО учителя математики. Решение каждой следующей задачи начинается с новой страницы. Последовательность задач — в соответствии с их нумерацией в данной статье. 4. К решениям необходимо приложить два конверта с марками с надписанными домашним адресом участника и обратным адресом оргкомитета. В первом конверте участнику будет выслано сообщение о регистрации работы, во втором — результаты проверки и решения задач. 5. Работа должна быть выслана не позднее 31 декабря с.г. На конверте после обратного адреса обязательно указывается предмет и класс (например, М10). Адрес оргкомитета: 115446, Москва, а/я 450, оргкомитет М – номер класса. |
Условия задач
6 класс
1. Дочери 10 лет, а матери 36 лет. Через сколько лет мать будет вдвое старше дочери?
2. Можно ли составить магический квадрат из первых 25 простых чисел? Магический квадрат — это квадратная таблица, заполненная числами, в которой суммы чисел во всех строках и столбцах равны.
3. Есть три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Саша взял себе один треугольник, а Боря — два оставшихся. Оказалось, что Боря может приложить (без наложения) один из своих треугольников к другому и получить треугольник, равный Сашиному. Какой из этих треугольников взял Саша?
4. В пробирке находятся марсианские амебы трех типов: A, B и C. Две амебы любых двух разных типов могут слиться в одну амебу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробирке оказалась одна амеба. Каков ее тип, если исходно амеб типа A было 20 штук, типа B — 21 штука и типа C — 22 штуки?
5. К натуральному числу А приписали справа три цифры. Получившееся число оказалось равным сумме всех натуральных чисел от 1 до А. Найдите А.
7 класс
1. Можно ли составить магический квадрат из первых 25 простых чисел? Магический квадрат — это квадратная таблица, заполненная числами, в которой суммы чисел во всех строках и столбцах равны.
2. Решите уравнение в целых числах: x 3 – x2 + x – 6 = 0.
3. В пробирке находятся марсианские амебы трех типов: A, B и C. Две амебы любых двух разных типов могут слиться в одну амебу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробирке оказалась одна амеба. Каков ее тип, если исходно амеб типа A было 20 штук, типа B — 21 штука и типа C — 22 штуки?
4. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Периметр треугольника АВС равен периметру треугольника АВD, а периметр треугольника ACD равен периметру треугольника BCD. Найдите длину АО, если ВО = 10 см.
5. К натуральному числу А приписали справа три цифры. Получившееся число оказалось равным сумме всех натуральных чисел от 1 до А. Найдите А.
8 класс
1. Найдите остаток от деления 62009на 7.
2. В треугольнике ABC из вершины C проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов. Первая биссектриса образует со стороной AB угол, равный 40° . Какой угол образует с продолжением стороны AB вторая биссектриса?
3. Найдите сумму коэффициентов многочлена
P(x) = (1 – x)7 + (x2 – 6x + 9)3(x5 + 3x4 – 2x3 + x2 + 4x – 7)2 + (x2 – 3x + 1)3(x3 + 5x + 7)2.
4. Найдите все такие пары простых чисел p и q, что p3 – q5 + (p + q)2.
5. Загадано число от 1 до 144. Разрешается выделить одно
подмножество чисел от 1 до 144 и спросить, принадлежит ли ему загаданное число.
За ответ «да» придется заплатить
9 класс
1. Рассматриваются квадратичные функции y = x2 + px + q, для которых p + q = 2009. Найдите точку, в которой пересекаются все графики таких функций.
2. Найдите сумму коэффициентов многочлена при нечетных степенях:
(2x4 – x3 – x2 + 4x – 2)3 + (x3 + x2 – 1)2(x4 – x2 + 1)2 + (x + 1)4(x – 1)4.
3. На листе бумаги нарисован выпуклый многоугольник M периметра P = 16 и площади S = 25. Взяли все возможные круги радиуса r = 1 с центрами внутри этого многоугольника и закрасили. Найдите площадь закрашенной фигуры F.
4. Решите в целых числах уравнение (x2 – y2)2 = 1 + 16y.
5. Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на любой горизонтали, вертикали и диагонали находилось четное число фишек?
10 класс
1. Найдите сумму:
2. Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = (p – q)3.
3. Основание пирамиды — ромб с острым углом в 30° . Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 60° . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен r = 1.
4. Найдите все пары чисел x и 
удовлетворяющие
равенству sin x + sin y = sin xy.
5. Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n?