Методика преподавания наглядной геометрии учащимся 5—6 классов. Лекция 3. Контрольная работа № 1
Программа курса
|
№ газеты |
Учебный материал
|
|
17 |
Лекция 1. Проблема пропедевтики изучения геометрии и анализ путей ее решения в прошлом и настоящем |
|
18 |
Лекция 2. Особенности психического развития детей 10–12 лет в связи с обучением геометрии |
|
19 |
Лекция 3. Содержание курса наглядной геометрии и основа методики его изучения Контрольная работа № 1 |
|
20 |
Лекция 4. Геометрическая деятельность: учим наблюдать и развиваем пространственное воображение |
|
21 |
Лекция 5. Геометрическая деятельность: обучаем графическим действиям, навыкам конструирования, формируем метрические представления |
|
22 |
Лекция 6. Методика организации геометрической
деятельности учащихся на примере формирования представлений о симметрии |
|
23 |
Лекция 7. Приоритетные формы организации учебной работы и формы контроля учебных достижений |
|
24 |
Лекция 8. Компьютерные технологии при изучении
наглядной геометрии |
Лекция 3
Содержание курса наглядной геометрии и основа методики его изучения
Требования к отбору содержания
Каким же должно быть содержание курса наглядной геометрии, чтобы учащиеся смогли получить широкие геометрические представления, овладели наглядно-эмпирическим методом исследования, развили пространственное воображение, геометрическое восприятие, мышление? Мы уже говорили о том, что путь знакомства с простейшими фигурами: отрезок, прямая, угол и пр., без изучения их свойств, овладения способами построения, знакомства с различными геометрическими конфигурациями и отношениями фигур, оказался тупиковым и не дал положительных результатов. Давайте сформулируем те требования, которым содержание курса должно соответствовать.
Во-первых, это многообразие геометрических форм и конфигураций, которое бы обеспечивало широту формируемых представлений, в сочетании с выделением «главных» объектов. Параллельно должно осуществляться изучение плоской и пространственной геометрий. При этом плоские фигуры должны «выходить в пространство» и рассматриваться как элементы пространственных тел, а пространственные тела «переходить» на плоский лист бумаги в качестве изображений, разверток. При изучении линий акцент делается на прямую и окружность, при изучении фигур — на треугольники и четырехугольники. При изучении пространственных тел особое внимание следует уделить многогранникам; помимо этого, учащиеся должны получить представления и о круглых телах (шар, цилиндр, конус).
Чтобы представление о фигуре было всеобъемлющим, а не поверхностным, при его формировании должны учитываться различные аспекты. В качестве таких аспектов изучения геометрического объекта можно выделить: а) его элементы; б) способы моделирования и графического изображения; в) разбиение на фигуры и составление фигур; г) «выход в пространство» для плоских фигур — проекции на плоскость и сечения для пространственных тел; д) отношения с другими фигурами и классификации; е) симметрия; ж) измерение.
Второе требование — овладение способами действий с геометрическими фигурами также должно быть объектом изучения и входить в содержание образования. Это овладение способами графического построения геометрических фигур, приемами их моделирования, навыками практических измерений, действиями по визуальному восприятию геометрических объектов, созданию их мысленных образов и оперированию ими.
Примерная программа
Идея изучения учащимися 5–6-х классов наглядной геометрии пробивает себе дорогу. Отрадно, что она входит в учебный процесс не только через отдельные учебники или самостоятельные пособия, но и через нормативные документы. Впервые в проекте нового образовательного стандарта, обсуждаемого в настоящее время, в содержании математического образования появился соответствующий раздел. Поскольку проект стандарта реализует деятельностную парадигму образования, предлагаемая в нем примерная программа задает не только номенклатуру содержания, но и виды деятельности, которые должны присутствовать в процессе обучения и которыми учащиеся должны овладеть.
Хотите узнать больше?
С идеологией образовательного стандарта второго поколения можно познакомиться здесь http://standart.edu.ru
Приведем здесь раздел Примерной программы, озаглавленный
«Наглядная геометрия»
Основное содержание
Наглядные представления о фигурах на плоскости: прямая, отрезок, луч, угол, ломаная, многоугольник, окружность, круг. Изображение геометрических фигур на нелинованной бумаге с использованием циркуля, линейки, угольника, транспортира. Построения на клетчатой бумаге. Взаимное расположение двух прямых, двух окружностей. Длина отрезка, ломаной. Единицы измерения длины. Измерения и построения, выполняемые с помощью линейки.
Виды углов. Градусная мера угла. Измерение и построение углов с помощью транспортира.
Многоугольник, правильный многоугольник. Четырехугольник, прямоугольник, квадрат. Треугольник, виды треугольников.
Периметр многоугольника. Понятие площади фигуры; единицы измерения площади. Площадь прямоугольника, квадрата. Приближенное измерение площади фигур на клетчатой бумаге. Равновеликие фигуры.
Наглядные представления о пространственных фигурах: куб, параллелепипед, призма, пирамида, шар, сфера, конус, цилиндр. Изображение пространственных фигур. Примеры сечений. Многогранники. Примеры разверток многогранников, цилиндра и конуса. Создание моделей пространственных фигур (из бумаги, проволоки, пластилина и др.).
Понятие объема; единицы объема. Объем прямоугольного параллелепипеда, куба.
Симметрия. Понятие о равенстве фигур. Центральная, осевая и зеркальная симметрии. Изображение симметричных фигур.
Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)
Распознавать на чертежах, рисунках, в окружающем мире геометрические фигуры, конфигурации фигур (плоские и пространственные); приводить примеры аналогов геометрических фигур в окружающем мире.
Изображать геометрические фигуры и их конфигурации от руки и с использованием чертежных инструментов; изображать геометрические фигуры на клетчатой бумаге с использованием ее свойств.
Измерять с помощью инструментов и сравнивать длины отрезков и величины углов, строить отрезки, заданной длины, и углы, заданной величины; вычислять периметры многоугольников, площади прямоугольников, объемы параллелепипедов. Выражать одни единицы измерения длин, площади, объема через другие.
Исследовать и описывать свойства геометрических фигур (плоских и пространственных), используя эксперимент, наблюдение, измерение, моделирование. Использовать компьютерное моделирование и эксперимент для изучения свойств геометрических объектов.
Моделировать геометрические объекты, используя бумагу, пластилин, проволоку и др.
Рассматривать простейшие сечения пространственных фигур, получаемые путем предметного или компьютерного моделирования, определять их вид. Соотносить пространственные фигуры с их проекциями на плоскость. Изготавливать пространственные фигуры из разверток; распознавать развертки куба, параллелепипеда, пирамиды, цилиндра и конуса.
Находить в окружающем мире плоские и пространственные симметричные фигуры.
Изображать равные фигуры; симметричные фигуры. Конструировать орнаменты и паркеты, изображая их от руки, с помощью инструментов, а также используя компьютер.
Решать задачи на нахождение длин отрезков, градусной меры углов, площадей.
Авторская программа
На основе примерных программ авторы учебников разрабатывают свои программы курса, которые являются более детальными и могут содержать дополнительные вопросы, расширяющие и углубляющие основное содержание, задаваемое стандартом. Приведем здесь программу геометрического фрагмента курса математики 5–6-х классов, представленного в учебниках под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина [1–2]. Перечень основных объектов изучения дан в ней по двум линиям — геометрические фигуры (их свойства и отношения) и геометрические величины — и содержит наиболее существенные аспекты их изучения.
Геометрические фигуры
Предлагаемое содержание знакомит учащихся со следующими геометрическими понятиями:
равенство фигур — представление о равенстве как совпадении при наложении; условия равенства отрезков, углов, окружностей; построение фигуры, равной данной;
симметрия — осевая, центральная, зеркальная симметрии; равенство симметричных фигур; построение фигуры, симметричной данной относительно прямой; построение фигуры, симметричной данной относительно точки; ось и центр симметрии фигуры.
Предлагаемое содержание обучения дает учащимся возможность научиться распознавать основные геометрические фигуры курса, овладеть связанной с ними терминологией, навыками построения, познакомиться с некоторыми их свойствами и связанными с ними фактами геометрии.
Линии — замкнутые и незамкнутые линии, самопересекающиеся линии; линии на плоскости и в пространстве; ломаная;
прямая — проведение прямой с помощью линейки; бесконечность прямой; единственность прямой, проходящей через две точки; части прямой (луч, отрезок); взаимное расположение двух прямых на плоскости (параллельные и перпендикулярные прямые) и в пространстве (скрещивающиеся прямые); построение параллельных и перпендикулярных прямых с помощью линейки и угольника;
окружность — радиус, диаметр, центр окружности, круга; построение окружности с помощью циркуля; взаимное расположение прямой и окружности (касательная к окружности); взаимное расположение двух окружностей; окружности на шаре; оси и центр симметрии окружности, круга;
угол — стороны и вершина угла; биссектриса угла; острый, тупой, прямой и развернутый углы; углы, образованные двумя пересекающимися прямыми.
Многоугольники — стороны, вершины, углы многоугольника; диагонали многоугольника; составление паркетов из многоугольников; правильные многоугольники; симметрия правильных многоугольников;
треугольник — элементы треугольника; классификации треугольников по углам и по сторонам (равнобедренный, равносторонний, прямоугольный треугольники); зависимость между углами и сторонами треугольника; равенство углов при основании равнобедренного треугольника; симметрия равнобедренного и равностороннего треугольников; построение треугольника по трем сторонам; сумма углов треугольника;
четырехугольник — выпуклый четырехугольник; прямоугольник и квадрат; равенство углов, равенство и параллельность противоположных сторон прямоугольника; построение прямоугольника; свойства диагоналей прямоугольника; оси и центр симметрии квадрата, прямоугольника; параллелограмм общего вида; параллельность и равенство противолежащих сторон, равенство противолежащих углов параллелограмма; центр симметрии параллелограмма; построение параллелограмма; классификация параллелограммов (ромб, прямоугольник, квадрат); свойства диагоналей параллелограммов разных видов.
Многогранники — грани, ребра, вершины многогранника; изображение многогранника (проекционный чертеж);
прямоугольный параллелепипед — особенности расположения и число граней, ребер и вершин параллелепипеда; измерения параллелепипеда; куб; изображение параллелепипеда; развертка куба; плоскости симметрии параллелепипеда, куба; сечения параллелепипеда, куба плоскостями, параллельными граням;
пирамида — основание, боковые грани пирамиды; число граней, ребер и вершин пирамиды; классификация пирамид; изображение пирамиды; развертка пирамиды.
Шар, сфера — диаметр и радиус шара, сферы; симметрия шара; сечения шара, сферы.
Цилиндр — основания, боковая поверхность цилиндра; сечения цилиндра; развертка; плоскости симметрии цилиндра.
Конус — основание, боковая поверхность конуса; сечения конуса; развертка; плоскости симметрии конуса.
Геометрические величины
Предлагаемое содержание обучения дает учащимся возможность расширить представления об измерении геометрических величин, научиться выполнять практические измерения, находить величины некоторых геометрических фигур.
Линейные величины — понятие длины; длина отрезка, ломаной, произвольной линии; единицы длины; линейные меры, принятые в других странах, российские и иностранные меры, вышедшие из употребления; периметр многоугольника; расстояние между двумя точками; расстояние от точки до прямой; расстояние между двумя параллельными прямыми.
Площадь — понятие площади; единицы измерения площади; приближенное измерение площади фигуры; правило вычисления площади прямоугольника; площадь фигуры, составленной из прямоугольников; равновеликие фигуры, равенство площадей равновеликих фигур; нахождение площади параллелограмма и треугольника путем перекраивания в прямоугольник.
Объем — понятие объема; единицы объема; правило вычисления объема прямоугольного параллелепипеда; объем тела, составленного из параллелепипедов.
Угловые величины — градусная мера угла; измерение и построение углов с помощью транспортира.
Основа методики
Предъявление содержания курса в виде теории и задачного материала, изложение его в учебнике задают, как правило, и методику его преподавания. Какие принципы могут составить основу методики изучения курса наглядной геометри? Проиллюстрируем их примерами из учебников [1–2].
Принцип первый. Содержание курса наглядной геометрии должно разворачиваться «по спирали». При этом на первом, принципиально важном этапе, знания формируются на наглядно-интуитивном уровне в ходе предметно-практической деятельности. На последующих этапах правила и алгоритмы построения возникают как обобщенное наглядно-вербальное выражение способов действий, уже освоенных на интуитивном уровне.
Хорошо известно, что успешное умственное развитие учащихся является результатом усвоения ими не каких-либо отдельных, мозаичных знаний и умений, а определенной системы, отражающей существенные связи и зависимости изучаемой области. Переход от познания отдельных внешних свойств объектов к познанию их внутренних существенных связей происходит тогда, когда формируемое представление или понятие вытекает из сформированного ранее. Системность знаний означает наличие в сознании ученика связей между отдельно изучаемыми объектами вне зависимости от той последовательности, в которой они изучаются. Линейно-концентрическое построение курса позволяет включать вновь изучаемый объект в различные связи с объектами уже известными, возвращаться к рассмотрению этого объекта на более высоком уровне знания и расширять знания о нем за счет привлечения новой информации.
П р и м е р 1. В 5-м классе учащиеся знакомятся с двумя главными линиями на плоскости — прямой и окружностью, учатся проводить эти линии, овладевают связанной с ними терминологией. В 6-м классе они вновь возвращаются к этим геометрическим объектам и рассматривают случаи взаимного расположения двух прямых, двух окружностей, прямой и окружности. Следующий «виток» в овладении новыми знаниями об этих фигурах происходит при изучении симметрии: прямая приобретает новое качество — она предстает как ось симметрии, а конфигурация из двух окружностей равных радиусов рассматривается в качестве опорной для выполнения построений фигур с помощью циркуля и линейки.
П р и м е р 2. Происходит постепенное расширение понятия «расстояние»: в 5-м классе учащиеся овладевают понятием расстояния между двумя точками, в 6-м классе — определяют расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя параллельными прямыми. При этом предлагаемый подход позволяет находить расстояние между любыми двумя фигурами.
Принцип второй. Изучение геометрического объекта должно строиться на основе приоритета в качестве единицы информации образа, а не слова. Мы, конечно, хорошо знаем, что «сначала было слово». Но так ли это, когда речь идет о геометрии? Вспомним (см. лекцию 2), что адекватное восприятие вербального определения детям 10– 12 лет, в силу несформированности необходимого уровня словесно-логического мышления, еще не доступно, поэтому формировать понятие с помощью определения, его заучивания не следует, это ничего не даст. Прежде всего нужно создать образ изучаемого объекта. Создание образа новой фигуры или конфигурации должно опираться на практические действия по ее графическому построению или предметное моделирование, а также и на имеющееся у учащихся интуитивное зрительное представление, сложившееся в результате предыдущего обучения или вытекающее из их жизненного опыта. Созданный образ, а также описание фигуры, к которому учащиеся приходят через практические действия, должен закрепиться соответствующим термином, на создание зрительного образа «работает» часто и разъяснение происхождения термина.
Зрительный образ может носить как единичный характер, так и, рассматриваясь в различных пространственных положениях и в разнообразных конфигурациях, может «приобрести статус» эталона. Эталоны служат опорой при восприятии новых изображений, исходными пунктами анализа конфигурации — они участвуют в первоначальном построении ориентировочного действия, приводящего к выделению свойств нового объекта. На рисунке 1 показано, как происходит включение конфигурации «смежные углы» (рис. а) в конфигурации «две пересекающиеся прямые» (рис. б) и «треугольник» (рис. в).
Какова же роль слова в наглядной геометрии? Образ не дает полного представления о фигуре, он лишь вводит в некоторую область, которая служит источником соответствующего понятия. Дальнейшее обучение, определяемое системой задач, должно строиться таким образом, чтобы в процессе геометрической деятельности с фигурой учащиеся раскрыли новые ее свойства, выделение среди которых существенных свойств приведет позднее к образованию понятия. Следовательно, слово выступает, во-первых, в качестве термина, фиксирующего созданный образ, во-вторых, в качестве средства общения, позволяющего описать произведенное действие или найденное свойство геометрической фигуры. Не так уж и мало для первого этапа серьезного изучения.
П р и м е р 3. Рассмотрим процесс изучения конфигурации «две пересекающиеся прямые». Учащиеся изображают эту конфигурацию на листе бумаги и разрезают лист по проведенным прямым. Полученная предметная модель служит для изучения свойств углов, образованных пересекающимися прямыми. Накладывая углы друг на друга, составляя различные пары углов, учащиеся выделяют смежные и вертикальные углы, убеждаются в равенстве вертикальных углов, фиксируют, что смежные углы образуют развернутый угол.
П р и м е р 4. Рассмотрим процесс изучения новой конфигурации «две параллельные прямые и секущая» (рис. 2,а) на основе уже известных — «две пересекающиеся прямые» (рис. 2,б) и «две параллельные прямые» (рис. 2,в).
Конфигурация возникает следующим образом: «Построим несколько параллельных прямых и проведем прямую, их пересекающую. Эта прямая пересечет каждую из параллельных прямых под одним и тем же углом». Интуитивно это представление формируется, например, когда учащийся только учится писать, пользуясь тетрадью «в косую линейку»: наклон букв как раз и задается прямой, пересекающей параллельные строки.
Новое свойство данной конфигурации — сохранение углов при пересечении с параллельными прямыми — дает учащимся способ построения параллельных прямых, обогащая тем самым ранее сформированный образ новым содержанием. Существует и еще одна взаимосвязь между конфигурациями «а» и «б», она состоит в том, что первая конфигурация содержит две равные вторые. Следовательно, если учащийся может вычислить все углы между двумя пересекающимися прямыми, то он может определить величины углов, образуемых прямой при пересечении пары параллельных прямых. Чтобы указать на рисунке 2, г, все углы, равные углу 1, учащемуся необходимо оперировать тремя рассмотренными образами, последовательно выделяя их из предложенной конфигурации.
Принцип третий. Измерение геометрической фигуры должно предваряться работой, направленной на всестороннее ее изучение и осознание учащимися проблемы ее измерения, возможности или невозможности применения известных способов измерения. Таким образом, обучение геометрии будет идти от «геометрии формы» к «геометрии измерений», что соответствует установленной психологами (Ж. Пиаже, Дж. Брунер и др.) закономерности развития геометрических операций у детей — от качественных операций к количественным.
П р и м е р 5. Знакомство, овладение основными понятиями, связанными с новой геометрической фигурой «угол», и измерение угла могут быть разделены следующим содержанием: изображение угла, изготовление моделей угла, знакомство с биссектрисой угла; классификация углов; моделирование суммы и разности двух углов. За то время, пока учащиеся выполняют соответствующие этому содержанию задания, они не только усваивают необходимую терминологию, но и осознают основные особенности новой фигуры. Переход к введению градусной меры угла целесообразен только в том случае, если учащийся, получив от учителя две модели угла, вырезанные из бумаги, и наложив один угол на другой, могут верно ответить на вопрос, какой из них больше, а какой меньше, не сбиваясь при этом на линейные размеры кусков бумаги или на их площади.
Принцип четвертый. Изучение геометрических объектов должно происходить на основе сочетания статического и динамического подходов. Необходимость усвоения детьми различных подходов к описанию рассматриваемых объектов, различных точек зрения на них подчеркивается многими исследователями. Так, Ж. Пиаже решение проблемы совершенствования знаний видел в развитии способности ребенка гибко переходить от одной точки зрения к другой (способность к децентрации), в динамизме формируемых образов.
Одним из основных свойств предметов окружающего мира является движение. Движение, динамическое развитие ситуации оказывают воздействие на развитие пространственного воображения ребенка. «Свободный переход от фиксированной в себе точки отсчета (координат) к системе со свободно перемещаемой точкой отсчета является стержнем общего развития понимания пространства» [6]. Реализация этого принципа особенно важна потому, что прослеживание «умственным взором» преобразований, совершаемых в пространстве, затрудняет многих учащихся.
Хотите знать больше?
Попросите учащихся представить, что они строят башню из кубиков, мысленно выкладывая один кубик за другим, и подсчитать, какой высоты башню удастся построить. Вы увидите, что у кого-то башня упадет уже на третьем кубике, но, возможно, найдутся и такие, у кого башня будет состоять более чем из 10 кубиков.
С целью наиболее эффективного развития образного, пространственного мышления учащихся в систему упражнений целесообразно включать задания, содержащие такие геометрические преобразования, как параллельный перенос, поворот, центральная симметрия, осевая симметрия.
Идея движения может использоваться и как вспомогательное средство. Например, она помогает охватить единым взором все возможные случаи взаимного расположения на плоскости двух окружностей (рис. 3): окружности не пересекаются; касаются внешним образом; пересекаются; касаются внутренним образом; не пересекаются, но одна из них расположена внутри другой; отдельный случай здесь — концентрические окружности. Достаточно лишь представить, что одна окружность неподвижна, а другая движется, сначала приближаясь к ней, затем – пересекая. Все этапы движения фиксируются отдельными рисунками. Аналогичным образом можно рассмотреть и взаимное расположение прямой и окружности.
Реализация идеи движения должна осуществляется путем выполнения сначала реальных перемещений геометрических фигур, а затем — мысленных. Знакомство с отдельными видами симметрии, построение симметричных фигур основано на реальных движениях — перегибании листа бумаги, повороте на 180°, постепенно переводимых в умственный план и претерпевающих сокращения.
П р и м е р 6. Учащиеся с помощью циркуля сначала «поворачивают» точку относительно центра на 180°, а затем подмечают, что достаточно провести через две заданные точки прямую и отложить по другую сторону от центра отрезок, равный расстоянию от центра до данной точки. Но, несмотря на то, что учащиеся «открыли» способ построения центрально-симметричной точки, вполне допустимо и выполнение реального поворота фигуры. К нему учащиеся снова возвращаются при знакомстве с параллелограммом, все свойства которого они обнаруживают при повороте параллелограмма относительно его центра симметрии.
Принцип пятый. Основным методом исследования геометрических объектов должен стать эксперимент как реальное физическое действие: наложение фигур, перегибание по оси симметрии, поворот вокруг центра симметрии и др. Опираясь на его результаты, рассмотрев и проанализировав различные частные случаи, учащиеся на основе индуктивных рассуждений выдвигают гипотезу, отражающую найденную закономерность. Следовательно, доминирующим методом познания в курсе наглядной геометрии является индукция. Дедукция имеет место в основном как переход в процессе познания от общего к частному и единичному. Например, среди многообразия пространственных форм выделяются многогранники, и дальнейшее изучение концентрируется на параллелепипеде, пирамиде, призме. Дедуктивные рассуждения — как процесс логического вывода, как способ получения знаний, противопоставляемый непосредственным наблюдениям и эксперименту — могут появляться только постепенно и параллельно с ними, проявляться локально. Таким образом можно реализовать положение, согласно которому развитие ребенка происходит в двух направлениях — и к более конкретному, и к более абстрактному (П.П. Блонский, Н.А. Менчинская и др.), а выбор пути усвоения знаний зависит от возрастных особенностей, целей обучения и от природы самого знания.
Постепенный переход к увеличению элементов дедукции дает учителю возможность, исходя из подготовленности класса, выбрать тот или иной путь изучения геометрического объекта, например, ограничиться физическим экспериментом и решать все задачи с опорой на физическое действие или увеличить долю доказательных, обосновывающих рассуждений. Для ученика такой подход означает возможность восприятия материала на доступном ему уровне, при этом он имеет возможность знакомиться и с другими вариантами решения, лежащими пока в зоне его ближайшего развития.
П р и м е р 7. Организовав экспериментальное исследование свойства суммы углов треугольника, которое заключается в том, что каждый учащийся начертил произвольный треугольник, измерил величины его углов, нашел их сумму, а затем сравнил полученный результат с результатами своих одноклассников, учитель может предложить классу прийти к открытию этого факта путем рассуждений. Рассуждения основаны на перешедшем во внутренний план реально выполнявшемся действии по параллельному переносу прямой с помощью угольника и линейки. Перемещая мысленно прямую, на которой лежит одна из сторон треугольника, параллельно самой себе к противолежащей вершине, учащиеся «собирают» все углы треугольника в один развернутый угол (рис. 4).
Вся методика в одном примере
Давайте посмотрим, как можно реализовать все выделенные нами положения при изучении параллелограмма. Заметим, прежде всего, что в основе рассмотрения свойств этой фигуры лежат две системы представлений: параллельность и центральная симметрия. Образ параллелограмма возникает перед учащимися в результате построения ими двух пар параллельных прямых (рис. 5).
Опираясь на визуальное изучение и выполненные построения, учащиеся фиксируют внимание на том, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Таким образом, уже на этом этапе они имеют возможность самостоятельно изобразить его, при этом термин «параллелограмм» ассоциируется у них с параллельностью и через способ построения.
Перейдем к симметрии. И здесь нам поможет эксперимент. Параллелограмм — центрально-симметричная фигура. Опираясь на практическое действие поворота фигуры на 180°, уже знакомое учащимся по изучению этого свойства у других фигур, они открывают для себя такие свойства параллелограмма: равенство противолежащих сторон и углов; равенство треугольников, на которые делится параллелограмм диагональю; диагонали делятся в точке пересечения пополам (рис. 6).
Последнее из выявленных свойств дает еще один способ изображения параллелограмма – начертить два отрезка, пересекающихся своими серединами, и последовательно соединить их концы. Кроме того, этот эксперимент позволяет сформировать динамичный образ параллелограмма, которым несложно манипулировать мысленно.
Следующий этап — знакомство с классификацией параллелограммов. Здесь учащиеся сопоставляют свойства диагоналей параллелограмма общего вида, прямоугольника, ромба, квадрата, рассматривают на предмет наличия осей симметрии, выясняют, какие из этих свойств можно использовать для их построения.
Последний шаг в изучении параллелограмма — нахождение площади параллелограмма путем перекраивания его в прямоугольник (рис. 7).
Этот фрагмент рассматривается при изучении пункта, посвященного равновеликим и равносоставленным фигурам.
Методический практикум
1. Сравните примерную программу и авторскую программу УМК под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина. Покажите:
а) как содержание примерной программы конкретизируется в учебнике;
б) какие дополнительные вопросы включены авторами в свой курс.
2. Сравните примерную программу и геометрический материал учебника, по которому вы работаете.
Литература
1. Математика Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. — 7-е изд. — М.: Просвещение, 2004–2009.
2. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. — 7-е изд. — М.: Просвещение, 2004–2009.
3. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника. — М.: Педагогика, 1989. — 224 с.
4. Пиаже Ж. Избранные психологические труды / Пер. с франц. — М.: Просвещение, 1969.
5. Примерные программы основного общего образования. Математика. — М: Просвещение, 2009. — (Стандарты второго поколения).
6. Примерные программы основного общего образования. Математика // Математика, № 16, 2009.
7. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1946.
8. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. — М.: Педагогика, 1980.