Ошибки в решении задач части С в вариантах ЕГЭ-2009 по математике
В этой статье собраны реальные примеры ошибок, которые были выявлены в ходе проверки экзаменационных работ, и приведены методические комментарии, предназначенные, в первую очередь, для работы в методических объединениях.
Необходимо особо обратить внимание на то, что экзаменационные работы изобилуют так называемыми ассоциативными ошибками. Ошибками, которые появляются в результате нечеткого знания алгоритмов решения типовых задач или их фрагментов и сопряжены с неверным (ассоциированным) переносом алгоритма между типами задач.
Кроме того, при всей несложности задач С1 и С2 наблюдается неумение учащихся составить по условию задачи соответствующее уравнение или неравенство. Это говорит о необходимости в обязательном порядке включения в дидактическое сопровождение урока математики, начиная с 7-го класса, задач соответствующего содержания.
Итак, задачи, ошибки и комментарии.
Задача С1. Найдите
абсциссы всех точек графика функции 
касательные в которых параллельны прямой y = 50x или совпадают с ней.
Одно из возможных решений1. Df = (– ∞; 6)
.
2. 
3. Две прямые параллельны или совпадают, если равны их угловые коэффициенты, то есть
x 2 + 1 = 50.
x 2 + 1 = 50; x2 = 49, x = 7 или x = –7.4. 7 
Df, следовательно, (–7) — искомая абсцисса.
Ответ: –7.
Основные ошибки1. Ошибка в выполнении порядка действий: 
2. В ответ включались оба значения, 7 и –7. То есть не была учтена область определения функции f или учтена формально.
3. Составлялось уравнение x2 + 1 = 50x, в котором производная функции f «приравнивалась» к прямой.
4. Учащиеся сводили задачу к решению уравнения 
которое после преобразования к виду x 3 – 147x – 18 = 0 либо не решалось, либо решалось путем нахождения
дискриминанта (!), либо предлагался следующий путь решения:
x 3 – 147x – 18 = 0;
x (x2 – 147) – 18 = 0;
x – 18 = 0, x = 18 или x2 – 147 = 0,
x 2 = 147, x » ±12.Ответ: ±12; 18.
5. Речевые ошибки:
— приравниваем производную функции f и функцию касательной y = 50x;
— записав область определения, мы можем сократить по правилу логарифмирования.
Комментарии1. На всех этапах изучения функции в школе необходимо подчеркивать, что говорить о свойствах функции или ее значениях в тех точках, где она не определена, — бессмысленно.
2. Для лучшего усвоения учащимися алгоритма составления уравнения касательной, параллельной какой-либо прямой, целесообразно предлагать задачи с разной формой записи прямой (y = 2x + 4, y = 4 + 2x, 0,5y – x = 4 и т.п.).
3. На протяжении уже нескольких лет составители контрольно-измерительных материалов для ЕГЭ по математике в задачах части С предлагают функции, которые сначала необходимо упростить. В связи с этим включение задач с промежуточным этапом решения по упрощению аналитического вида функции при итоговом повторении и на этапах финального закрепления материала представляется весьма оправданным и разумным.
Задача С2. Найдите
все значения x, при каждом из которых произведение значений выражения 
отрицательно.
Решение. Способ I. Задача сводится к решению неравенства 
решим его методом интервалов. Рассмотрим функцию 
Так как 5x – 4 – 25 ≥ 0, 5x – 4 = 52, x – 4 ≥ 2, x ≥ 6,
то функция f определена и непрерывна на луче [6; +∞). Найдем нули функции f:
1) 
Так как 
то нулями функции f будут числа 6 и 
которые
разбивают луч [6; + ∞)
на два промежутка, в каждом из которых функция сохраняет знак своих значений.
f (10) > 0, f(7) < 0.
Интервал 
— искомое множество чисел.
Ответ: 
Способ II. 1. Выражение 
при всех допустимых значениях
переменной принимает только неотрицательные значения, следовательно,
произведение исходных выражений будет принимать отрицательные значения, если
выполняется неравенство
2. Для выражения 
допустимые значения переменной удовлетворяют
неравенству 5x – 4 – 25 ≥ 0:
5x – 4 – 25 ≥ 0, 5x – 4 ≥ 52, x – 4 ≥ 2, x ≥ 6.
3. Решим неравенство
4. Так как x > 6, то 
Ответ: 
Способ III (метод равносильных преобразований). Искомое множество значений переменной совпадает с множеством решений неравенства
Ответ : 
1. Не учли область допустимых значений переменной выражения
поэтому в качестве ответа указан интервал 
2. Указан нестрогий знак неравенства 
в ответ включено значение, не удовлетворяющее требованию
задачи — 
3. Значением, при котором 
разбивался интервал 
и ответ записывался в виде объединения 
4. Условие задачи записывалось в виде требования:
5. 
Здесь, как говорится, «уж сколько раз твердили миру...»
6. Задача сведена к решению двух неравенств:
5x – 4 – 25 > 0 и
Но после нахождения соответствующих значений и расположения их на числовой прямой, произведено не решение системы неравенств (пусть даже в явном виде и не обозначенной), а чередование знаков.
7. Ошибка в проведении равносильного преобразования неравенства:
8. 
«Сократили» на x:
Следующие ошибки относятся к так называемым ассоциированным ошибкам.
9. Для определения области допустимых значений переменной
выражения 
составлено неравенство 
Это характерный пример ассоциированных ошибок
школьников, когда возникает путаница между тем, что искать и как искать.
10. Условию задачи соответствует неравенство
1) 
5x – 4 – 25 = 0, 5x – 4 = 25, 5x – 4 = 52, x – 4 = 2, x = 6;
2) 
Ответ: 
11. 
Комментарии
1. Третий способ решения основан на приеме декомпозиции показательных неравенств.
2. Велика доля учеников, которые не смогли по условию задачи просто составить нужное неравенство. Отчасти эта беда определяется тем, что в действующих учебниках слишком мало представлено дидактического материала, который способствовал бы формированию у учащихся таких устойчивых навыков. Поэтому учителю необходимо к урокам составлять подборки задач по сюжетам, например, такого содержания:
1) Найдите все значения переменной, при каждом из которых выражения A(x) и B(x) принимают равные значения.
2) Определите множество всех значений x, при которых функции y = f(x) и y = g(x) имеют одинаковые знаки значений.
3) Определите множество всех значений x, при которых график функции y = f(x) расположен выше графика функции y = g(x).
4) Определите множество всех значений x, при которых график функции y = f(x) лежит ниже биссектрисы I и III координатных углов.
5) Найдите координаты точки пересечения графиков функций y = f(x) и y = g(x).
Задача С3. Найдите все значения a > 1, при каждом из которых все значения функции
принадлежат промежутку [–3; log2 a – 2).
Одно из возможных решений1. Поскольку выполнены неравенства | x |
≥ 0
(свойство модуля) и a > 1 (по условию), то в силу того, что функция f(t)
= log2 t возрастает на промежутке (0; +∞),
имеем следующую цепочку неравенств:
| x | ≥ 0 и a > 1, | x | + a > a,
log2 (| x | + a) > log2 a.
a > 1, log2 a > 0.
2. Пусть log2 (a + | x
|) = u. Так как на промежутке (0; +∞)
функция 
убывает, то
3. Все значения заданной функции y, то есть числа из
промежутка 
будут принадлежать промежутку [–3; log2 a – 2),
если для значений a выполнено неравенство
4. Решим неравенство:
log2 a > 5, log2 a > log2 32, a > 32.
Ответ: (32; +∞).
Основные ошибки1. Логарифм не может быть отрицательным, поэтому 
2. Так как 2 > 1, то 
— возрастающая функция.
3. При исследовании функции 
встречались такие записи: (| x |)' = 1.
4
. 
Комментарии
1. Необходимо, чтобы выпускники четко представляли, что знак минус перед числом означает в первую очередь противоположность и уж затем отрицательность. Например, log2 0,1 — число отрицательное, а (–log2 0,1) — положительное.
2. Изучая свойства элементарных функций, было бы правильно при рассмотрении композиций элементарных функций четко выделять, значения какой из них являются аргументом для другой. Это особенно актуально для успешного решения задач с параметрами.
Задача С5. Решите уравнение
x 8 + 90cos (15 – 8x) = 90cos x2 + (15 – 8x)4.
Одно из возможных решений
x 8 + 90cos (15 – 8x) = 90cos x2 + (15 – 8x)4,
x 8 – 90cos x2 = (15 – 8x)4 – 90cos (15 – 8x),
(x2)4 – 90cos x2 = (15 – 8x)4 – 90cos (15 – 8x),
(x2)4 – 90cos x2 = | 15 – 8x |4 – 90cos | 15 – 8x |.
Рассмотрим на промежутке [0; +∞) функцию f(t) = t4 – 90cos t и исследуем ее монотонность.
f'(t) = 4t3 + 90sin t:
– если t = 0, то f'(0) = 0;
– если t ≥ π, то 4t3 > 90 в силу ограниченности множества значений выражения sin t, f'(t) > 0;
– если 0 < t < π, то производная функции f представляет собой сумму двух положительных величин, следовательно, и в этом случае f'(t) > 0.
Оказалось, что для всех значений аргумента функции f из промежутка [0; +∞) производная принимает неотрицательные значения, причем равенство нулю достигается только в одной точке, следовательно, функция f возрастает на промежутке [0; +∞). Так как на промежутке [0; +∞) функция f возрастает, то уравнение
f (x2) = f(| 15 – 8x |)
равносильно уравнению
Ответ: 
1. Получив уравнение
(x2)4 – 90cos x2 = (15 – 8x)4 – 90cos (15 – 8x)
и заметив, что его можно представить в виде
f(x2) = f(15 – 8x),
где f(t) = t4 – 90cos t, учащиеся перешли к уравнению
Тем самым были потеряны корни, поскольку эта функция не является монотонной, хотя бы в силу своей четности.
2. x8 + 90cos (15 – 8x) = 90cos x2 + (15 – 8x)4,
x 8 – (15 – 8x)4 = 90cos x2 – 90cos (15 – 8x),
3. x8 – (15 – 8x)4 = (x2)4 – (15 – 8x)4 = (x2 – 15 + 8x)(x2 + 15 – 8x) —
характерный пример ассоциированной ошибки: перенос действия с формулы разности квадратов (ученики не чувствуют так называемых границ применения формулы или правила).
Комментарии1. Явное преобразование к уравнению
(x2)4 – 90cos x2 = | 15 – 8x |4 – 90cos | 15 – 8x |,
в котором записаны выражения с модулем, является равносильным, но не обязательным. Такое преобразование и его преимущества, безусловно, необходимо видеть. В намеренно приведенном решении показано, что оно несколько упрощает дальнейшее решение, в особенности в части установления свойства функции f. Можно было заметить четность функции и тогда использовать уже это свойство.
2. Заметить вложение (0; 3)
(0;
π)
не всегда бывает очевидным, в то же время работа с приближенным значением числа
π для учащихся является обыденным делом.
3. Эта задача наглядно показала, как мало внимания уделяется на уроках развитию такого важнейшего элемента мышления, как обобщение. Очень жалко видеть работы, в которых ученик запросто справляется с неравенством
log0,2 (2x – 1) > log0,2 x,
а вот уже с неравенством arccos
(2x – 1) > arccos x
он испытывает непреодолимые трудности, хотя метод решения у них один и тот же.
Очень важно понять, что задача современного учителя заключается, помимо всего прочего, в систематизации знаний учащихся и в явном выделении аналогий и обобщений.