К вопросу об организации исследовательской деятельности школьников

на примере решения уравнений вида X^N = Z
в табличном редакторе Microsoft Excel

Современное образование призвано формировать личность, способную вести свою деятельность в непрерывно изменяющихся условиях, быстрыми темпами осваивать и эффективно применять для достижения поставленных целей инновационные технологии, передовыми из которых правомерно считаются информационные технологии. Закладка фундамента для формирования личности с перечисленными качествами происходит в школе, и от его прочности зависит дальнейшая успешность совершенствования человеком своих способностей.

Немаловажное значение на этапе закладки фундамента отводится компьютерной технике, прочно вошедшей в образовательные учреждения в последние 10–15 лет. Но выполняемые ею функции в различных учебных дисциплинах существенно различаются. Например, на уроках информатики, где компьютер выступает и объектом изучения, и средством решения прикладных задач, цели по формированию творческой личности достигаются без особых проблем, чему способствует и специфика самой информатики. Не случайно на уроках данной дисциплины естественным образом организуется проектная деятельность, приучающая школьников самостоятельно решать поставленные перед ними задачи. В большинстве же других дисциплин формирование личности, владеющей информационными технологиями, сопряжено с определенными трудностями. Так, в изучении математики к таким трудностям мы относим сложности организации компьютерных уроков со всем классом, когда за одним компьютером располагаются по 2–3 человека; неэффективное распределение учебного времени, ибо школьникам приходится многократно переключаться от компьютера к доске для восприятия указаний к выполняемым упражнениям; велика вероятность потери личностного контакта учителя с учениками, когда красочность компьютерного мира вытесняет будничность мира физического. Проблемами становятся мотивация к учебной деятельности и дифференцированность в знаниях, умениях и навыках школьников. Как мотивировать ученика заниматься творческой математической деятельностью на компьютере, если кругом сопряженные с ним многочисленные искушения — компьютерные игры, цифровые фильмы, сервисы интернета и т.д.? Так как за компьютером находятся 2–3 человека различной подготовленности, то дифференцированность в математических знаниях и умениях у школьников в подобных микрогруппах достаточно высока и учителю затруднительно оказывать реальную помощь конкретному обучаемому, не затрагивая в то же время других учеников этой группы. При выполнении заданий по информатике учителю легче контролировать процесс обучения, потому что за компьютером располагаются не более двух человек с меньшим разрывом в знаниях и умениях.

Многочисленные публикации по включению информационных технологий в обучение математике, на наш взгляд, идеализируют состояние дел, а компьютер по-прежнему на уроках применим в качестве средства наглядности, позволяющего качественно отображать как статические, так и динамические модели. Существенно изменить ситуацию стало возможным с введением на старшей ступени общеобразовательной школы элективных курсов, когда на занятия приходит ограниченный контингент достаточно подготовленных к математической деятельности старшеклассников, желающих повысить уровень своей математической подготовки. Как следствие, деятельность обучаемых более осознанна и они готовы к открытию неких количественных и качественных закономерностей в структуре математического знания. Учителю необходимо только направить обучаемых в нужное русло и незаметно контролировать процесс усвоения материала.

В качестве примера организации исследовательской деятельности на элективных курсах рассмотрим процесс овладения умениями решения степенных уравнений вида xⁿ = z (где z — любое действительное число, а количество корней обязательно равно n). Методика решения подобных уравнений для натурального n и действительного z в средней школе хорошо отработана. Первоначально решаются линейные уравнения со степенью неизвестного, равной единице. Корень линейных уравнений всегда единственен. Далее происходит увеличение степени и, как правило, все ограничивается степенью, не превышающей четырех, причем уравнения степени три и четыре рассматриваются лишь в некоторых учебниках алгебры (см., например, [2]), зачастую включаясь в разделы по решению задач повышенной трудности. Решения по большей мере ограничиваются частными случаями, нередко приводящими к ложным ассоциациям. При решении квадратных уравнений ученики сталкиваются с первой проблемой, а именно, когда в зависимости от дискриминанта может быть два, один или ни одного действительного корня. В последнем случае у них укрепляется уверенность, что существуют уравнения, вообще не имеющие решений, так как либо не проговаривается, что решение ищется на множестве действительных чисел, либо ученики не воспринимают сам термин «на множестве действительных чисел», как не несущий для них смысловой нагрузки.

Уравнения третьей степени в учебниках математики и учебных пособиях берутся такие, чтобы путем подбора корней или элементарных преобразований их можно было бы свести к более простым уравнениям (линейным, квадратным). В учебнике [1] кубические уравнения предлагается решать на основе теоремы:
«Если уравнение a₀xⁿ + a₁x^n – 1 + ... + a_n – 1x + a_n = 0 с целыми коэффициентами a₀,
a₁, ..., a_n – 1, a_n, где a_n≠0, имеет целый корень, то этот корень является делителем числа a_n (свободного члена уравнения)». А о наличии кратных корней и условиях их появления просто констатируется. Еще хуже ситуация обстоит с уравнениями четвертой степени: преимущественно рассматриваются биквадратные уравнения, решаемые подстановкой вида t = x², сводящей биквадратное уравнение к квадратному.

Основная теорема алгебры приводится не во всех учебниках, а ее трактовка разными авторами различна («Любое целое рациональное уравнение имеет комплексный корень» [3, c. 155–156], «На множестве комплексных чисел любое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень» [1, c. 15]). Возникает правомерный вопрос, а надо ли вообще знать данную теорему всем школьникам? На наш взгляд, учащимся физико-математического профиля — да. Причем наряду с ней целесообразно параллельно работать над расширением понятия числа, нахождением корней уравнения степени n с использованием и без использования компьютерной техники, сведя материал в единый блок. Деятельность школьников можно построить в виде проектной деятельности, когда они самостоятельно добывают знания, пользуясь при этом прикладными программными средствами компьютера, например, табличным редактором Microsoft Excel.

В настоящей статье укажем один из способов организации исследовательской деятельности на примере нахождения корней уравнения вида xⁿ = z средствами обозначенного выше табличного редактора.

Обязательные этапы деятельности:

1. Мотивация деятельности. 2. Ознакомление с теоретическими положениями. 3. Построение математической модели решения задачи. 4. Выделение возможностей программного средства по решению конкретной задачи. 5. Программирование решения задачи или анализ заранее подготовленной программы. 6. Экспериментальная деятельность по выявлению математических закономерностей.

Задача. Решить уравнение вида xⁿ= z, где z — любое число. Изобразить корни уравнения.

Решение задачи предваряет знакомство школьников с комплексными числами и рассмотрение основной теоремы алгебры. Мотивационным моментом может стать просьба решить уравнение x³ = 1 и обсуждение найденных корней. Ученики, решая уравнение на множестве действительных чисел, получат единственный корень, равный единице. Учитель может утверждать, что на множестве комплексных чисел ответ несколько другой, и в качестве аргумента привести корни

В ходе проверки подтверждается, что предложенные учителем корни действительно являются корнями рассматриваемого уравнения. Возникает вопрос, как находятся такие «экзотические корни» и есть ли какая-либо закономерность между ними? Можно обратить внимание учеников на знаки «+» и «–» между действительной и мнимой частями корня.

В теоретической части объясняется метод нахождения всех корней уравнения степени n на множестве комплексных чисел с акцентом на то, что решение уравнения базируется на основной теореме алгебры, что всякий многочлен n-й степени на множестве комплексных чисел имеет ровно n корней, если каждый кратный корень считать такое число раз, какова его кратность. Корни могут быть как действительными, так и комплексными числами и определяются по формуле

где  — арифметическое значение корня, а число k принимает значения 0, 1, 2, ..., n – 1.

В данном случае r определяется по формуле

Соответственно,

Аргумент φ определяется из условий Чтобы исключить неоднозначность, возникающую при вычислении аргумента, можно воспользоваться понятием главного аргумента комплексного числа, считая, что он располагается на отрезке [–π; π].

Для представления корней в более удобной алгебраической форме сначала по формуле находится вещественная часть корня уравнения Re_k:

Затем по формуле находится мнимая часть корня уравнения Im_k, записанного в алгебраической форме:

Корень уравнения x_k будет иметь вид:

x_k = Re_k + Im_k i.           (5)

Геометрически все корни уравнения изображаются точками, лежащими на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен , а центральные углы, образованные радиусами, проведенными в соседние точки, равны где k принимает значения 0, 1, 2, ..., n – 1.

Математическая модель строится на основе нахождения r и j и подстановки значений в формулы (3–5). Далее следует изобразить корни на комплексной плоскости.

Для программной реализации решения задачи на компьютере можно воспользоваться либо табличными редакторами, либо языками программирования. Предпочтение, из-за наглядности представления данных, должно остаться за табличными процессорами, в частности, наиболее популярным в России Microsoft Excel.

Решение задачи целесообразно представить на двух листах. На первом приводятся исходные данные и результат, на втором — промежуточные вычисления. Так как для решения понадобится надстройка Пакет анализа, ее следует подключить подачей команд Сервис, Надстройки и установкой флажка напротив пункта Пакет анализа.

Начало программной реализации: на первом листе вводятся показатель степени и число, вычисляются и φ (рис. 1). Следует предусмотреть ввод z как в комплексной форме, так и в действительной.

Результат выполненных действий приведен на рисунке 1.

Имя ячейки	Содержимое ячейки	Примечание
C1	"Решение уравнения вида xn=z, где z — комплексное число"
А4	"Степень"
А5	"Число"
А7	""
А8	"ф= "
В4	Вводится степень	Числа от 3 до 35
В5	Вводится число
В7	=СТЕПЕНЬ(МНИМ.ABS(B5);1/B4)
В8	=МНИМ.АРГУМЕНТ(B5)

На втором листе (рис. 2) по формулам 3 и 4 определяется значение действительной и мнимой частей корня исходного уравнения.

Так как предполагается сделать решение универсальным, то количество корней берется с избытком, например, 35. При этом необходимо ввести ограничения на «лишние» корни. Одним из способов их «отсечения» может стать дублирование последнего корня. Возможный результат выполненных действий приведен на рисунке 2.

Имя ячейки	Содержимое ячейки	Примечание
В1	"Промежуточные вычисления"
А3	"Re"
В3	"Im"
А4	=ЕСЛИ(Лист1!A11="";"";Лист1!$B$7*COS(Лист1!$B$8/ Лист1!$B$4+2*ПИ()*Лист1!A11/Лист1!$B$4))	Вычисление действительной части корней уравнения
А5	=ЕСЛИ(Лист1!A12="";A4;Лист1!$B$7*COS(Лист1!$B$8/ Лист1!$B$4+2*ПИ()*Лист1!A12/Лист1!$B$4))
A6:A38	"Протягивается" ячейка A5
В4	=ЕСЛИ(Лист1!A11="";"";Лист1!$B$7*SIN(Лист1!$B$8/ Лист1!$B$4+2*ПИ()*Лист1!A11/Лист1!$B$4))	Вычисление мнимой части корней уравнения
В5	=ЕСЛИ(Лист1!A12="";B4;Лист1!$B$7* SIN(Лист1!$B$8/Лист1!$B$4+2*ПИ()*Лист1!A12/Лист1!$B$4))
B6:B38	"Протягивается" ячейка B5

На первом листе происходит нумерация корней, считывание действительной и мнимой частей корней уравнения со второго листа, компоновка из них самого корня, отбрасывание «лишних» корней.

Отметим особенности, связанные с компоновкой корня в виде a + bi:

1) при считывании действительных и мнимых частей корней уравнения со второго листа целесообразно округлить их до сотых;

2) при сцеплении корней должны быть учтены условия, связанные с визуализацией ответа (по формуле (5) корень уравнения имеет вид x_k = Re_k + Im_k i. Значения Re действительной части корня содержатся в ячейках С11–С45, а значения Im мнимой части корня – в ячейках D11–D45):

Значения действительной и мнимой частей	Программная реализация
Re=0	Действительная часть не выводится
Re=0 и Im=0	Значение корня равно 0
Re=0, Im=-1	Ответ -i
Re=0 и Im=1	Ответ i
Im=±1	Коэффициент при мнимой части не указывается
Im>0	При выводе корней уравнения в алгебраической форме перед значением b дописывается знак «+»

 

Имя ячейки	Содержимое ячейки	Примечание
A10	"№ корня"
В10	"Корень"
С10	"Re"
D10	"Im"
A11	=ЕСЛИ(ИЛИ(B4="";B4=0);"";1)	Определяется необходимость нумерации корня уравнения
A12	=ЕСЛИ(A11="";"";ЕСЛИ(A11+1>$B$4;"";A11+1))
A12:A45	"Протягивается" ячейка А12	Количество корней уравнения
C11	=ОКРУГЛ(Лист2!A4;2)	Считывание действительной части с Листа 2
C12	=ЕСЛИ(A12="";"";ОКРУГЛ(Лист2!A5;2))
C13:C45	"Протягивается" ячейка С12
D11	=ОКРУГЛ(Лист2!B4;2)	Считывание мнимой части с Листа 2
D12	=ЕСЛИ(A12="";"";ОКРУГЛ(Лист2!B5;2))
D13:D45	"Протягивается" ячейка D12
B11	=ЕСЛИ(A11="";"";ЕСЛИ(И(C11=0;D11=0);0; ЕСЛИ(D11=0;C11;ЕСЛИ(D11>0;ЕСЛИ(D11=1; ЕСЛИ(C11=0;"i";СЦЕПИТЬ(C11;"+";"i")); ЕСЛИ(C11=0;СЦЕПИТЬ(D11;"i"); СЦЕПИТЬ(C11;"+";D11;"i"))); ЕСЛИ(D11=-1; ЕСЛИ(C11=0;"-i"; СЦЕПИТЬ(C11;"-i")); ЕСЛИ(C11=0;СЦЕПИТЬ(D11;"i"); СЦЕПИТЬ(C11;D11;"i")))))))	Запись корней уравнения в алгебраической форме с учетом всех ограничений
B12:B45	"Протягивается" ячейка B11

Для наглядности представления корней целесообразно воспользоваться диаграммой (ее построение описано ниже). Результат программной реализации приведен на рисунке 3.

Диаграмма строится по данным Листа 2:

— на первом листе подается команда Вставка, Диаграмма; — на вкладке Стандартная выбирается тип Точечная и фиксируется кнопка Далее; — в качестве диапазона данных выбираются данные с листа 2 (в окне Диапазон делается запись =Лист2!$A$4:$B$45); — указывается, что данные берутся из столбцов (режим Ряды в столбцах), и фиксируется кнопка Далее; — задаются название диаграммы и осей на вкладке Заголовки, на вкладке Оси отмечаются ось Х (категорий) и ось Y (значений), а на вкладке Линии сетки — основные линии для обеих осей, на вкладке Легенда убирается значок Добавить легенду, на вкладке Подписи данных включаются подписи значения Х и значения Y, вводится Разделитель «+»; — диаграмма помещается на текущем листе.

Описанную программу учитель математики может использовать как для подбора фактического материала, так и для организации экспериментальной деятельности школьников. Следует учесть, что при решении вручную обычно происходит оперирование корнями, компьютер же выдаст ответ в виде десятичной дроби.

Экспериментальная работа с программой позволяет организовать исследовательскую деятельность школьников по нахождению некоторых математических закономерностей. Структурировать деятельность возможно следующей системой вопросов.

1. Изменяя значения числа z ¹ и показателя степени n, определите расположение корней уравнения на координатной плоскости. (Корни уравнения являются вершинами правильного n-угольника)².

2. Пусть z принимает действительные значения. Изменяя значения z и показателя степени n, определите, наблюдается ли симметричность расположения корней уравнения? [Да.]

3. Определите ось, относительно которой симметричны корни уравнения в этом случае. [Вещественная ось Re.]

4. Выясните, как проявляется данное свойство симметрии относительно оси Re расположения корней уравнения в зависимости от четности показателя степени n при условии, что z — действительное. [При четном n все корни симметричны, при нечетном — n – 1 корней симметричны.]

5. Чем обусловлена данная особенность? [При четном n все корни уравнения попарно сопряженные числа, а при нечетном n один корень не будет иметь сопряженного.]

6. Выясните, существует ли закономерность в расположении корней уравнения на координатных осях в зависимости от знака числа z и четности показателя степени n?

7. Определите закономерность расположения корней уравнения xⁿ = z при z > 0 на оси Re в зависимости от четности n. [В случае четного n два корня уравнения располагаются на оси Re, при нечетном n — один корень.]

8. На каком направлении оси Re располагаются корни уравнения в случае нечетного n? [На положительном направлении оси Re.]

9. Выявите закономерность расположения корней уравнения xⁿ = z при z < 0 на отрицательном направлении оси Re в зависимости от четности n. [В случае нечетного n один корень уравнения располагается на отрицательном направлении оси Re.]

10. Наблюдаются ли закономерности, выявленные для уравнений вида xⁿ = z, где z — действительное число, также для уравнений вида xⁿ = z, где z — комплексное число? Рассмотрите все возможные варианты значений n, a и b.

Практика показывает, что ученикам нравится подобная экспериментальная работа, позволяющая приобщить их к научно-исследовательской деятельности, а элективные курсы превращаются в увлекательные занятия, полные математических открытий.

Литература

1.  Алимов А.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений. — 9-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 255 с.

2.  Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10–11 кл. общеобразоват. учреждений / Под. ред. А.Н. Колмогорова. — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2006. — 384 с.

3.  Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала анализа. 11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений. — М.: Дрофа, 2004. — 253 с.

---

¹ Первоначально z рассматривается как действительное число, далее происходит его рассмотрение как комплексного числа.

² В скобках указаны возможные ответы.

Зубрилин А. , Лобурева О.