Трудные задачи «Кенгуру»-2009

19 марта 2009 года российские школьники в 16-й раз приняли участие в международном математическом конкурсе «Кенгуру». Конкурс прошел практически во всех регионах России, более чем в 22 тыс. школ. Количество участников превысило 1 млн 800 тыс. человек.

Эта заметка посвящена задачам конкурса, которые оказались наиболее трудными для его участников. По результатам конкурса для каждой задачи вычисляется процент участников, решивших ее. Чем меньше эта величина, тем более трудной считается задача.

В варианте для 5–6-х классов самой трудной по этому показателю оказалась следующая задача.

Задача 1 (№ 26 для 5–6-х классов). «Бабочка» — это фигура, составленная из четырех отрезков, два из которых пересекаются (такая, как на рис. 1). Проведем на этом рисунке еще один отрезок. Какое наибольшее число «бабочек» может оказаться на полученном чертеже (рис. 2)?

(А) 2 (Б) 3 (В) 4 (Г) 5 (Д) 6

Решение. Следующий рисунок показывает, что можно получить 5 «бабочек». Кроме первоначальной «бабочки», появляются две новые с центром в точке А и две с центром в точке В. Так как большего числа точек пересечения дополнительного отрезка с первоначальной «бабочкой» получить невозможно, то и большего числа «бабочек» получить не удастся. Итак, верный ответ к этой задаче — Г.

Этот ответ выбрали всего 9% участников, зато ответы А и Б выбрали около 60% ребят в обеих параллелях.

Немного больше верных ответов получила задача № 15 этого же варианта.

Задача 2 (№ 15 для 5–6-х классов). Через 7 часов уже будет «завтра». Сколько часов назад наверняка было «вчера»?

(А) 10 (Б) 15 (В) 20 (Г) 25 (Д) 45

Решение. Сейчас — от 17 до 24 часов сегодняшнего дня, значит, 25 часов назад было от 16 до 23 часов вчерашнего дня, то есть Г — верный ответ. Так же легко проверить, что и 10, и 15 часов назад точно было «сегодня», 20 часов назад могло быть «сегодня», а могло быть и «вчера», а 45 часов назад могло быть «вчера», а могло быть и «позавчера». Итак, Г — единственный верный ответ.

Этот ответ указали 9% пятиклассников и 11% шестиклассников. Кажущаяся неопределенность условий задачи обманула очень многих ребят. Даже самые старшие участники конкурса справились с аналогичной задачей (№ 8 для 9–10-х классов) ненамного лучше, чем малыши, — верные ответы к ней указали 12% девятиклассников и 14% десятиклассников.

Очень трудной оказалась и последняя задача этого варианта, с ней справились около 14% участников.

Задача 3 (№ 30 для 5–6-х классов). Три стрелочки, изображенные на рисунке 3, соединяют некоторые из 9 точек, отмеченных на клетчатой бумаге. При этом ни одна стрелочка не идет по границе клетки, а в каждой строчке и в каждом столбце начинается ровно одна стрелочка и заканчивается ровно одна стрелочка. Сколько всего троек стрелочек с такими свойствами можно провести?

(А) 4 (Б) 8 (В) 12 (Г) 24 (Д) 36

Решение. Ясно, что рисунок, иллюстрирующий задачу, изображает один из искомых наборов стрелочек. Повернув его на 90°, 180° и 270°, получим еще 3 набора стрелочек, удовлетворяющих данным условиям. Изменив в каждом из этих наборов направления всех стрелочек на противоположные, мы получим еще 4 набора. Из рисунка 4 с помощью таких же преобразований получим еще 8 наборов. Наборы, изображенные на рисунках 5 и 6, дают новые изображения при повороте на 90° и при изменении направлений всех стрелочек, — это еще 8 наборов. Всего мы получили 24 разных набора стрелочек. Чтобы убедиться, что других вариантов нет, рассмотрим процесс построения требуемых наборов. В первом слева вертикальном ряду начинается ровно одна стрелочка, для ее начала есть 3 возможных варианта, а для ее конца вариантов ровно 4 (по две точки второго и третьего рядов, не лежащих на одной горизонтали с началом). Итак, для первой стрелочки мы насчитали 3x4 = 12 возможностей. Ясно, что после того, как эта стрелочка выбрана, для начала стрелочки из средней вертикали остается всего два варианта. Нетрудно показать, что все дальнейшие построения определяются этими выборами однозначно.

Любопытно, что почти такую же долю верных ответов получила следующая несложная задача «на оценку».

Задача 4 (№ 28 для 5–6-х классов). Сережа очень любит поспать, и спит не меньше 10 часов в сутки. Сейчас ему 10 лет. Сколько часов он мог проспать за все эти годы?

(А) 15 000 (Б) 25 000

(В) 36 000 (Г) 40 000 (Д) 100 000

Решение. Сосчитаем самое маленькое число часов, которые мог проспать Сережа. Если не считать високосные годы, то получим 365∙10∙10 = 36 500 часов, а поскольку за это время было не меньше чем 2 високосных года, в качестве самой маленькой из возможных величин получаем 36 500 + 20 = 36 520 часов. Таким образом, ответы А, Б и В надо отвергнуть. С другой стороны, за 10 лет Сережиной жизни прошло не больше чем 365∙24∙10 + 3∙24 = 87 672 часа, значит, и проспать больше этого времени он не мог, так что ответ Д тоже не подходит. А вот 40 000, как и любое другое число, лежащее между найденными нами величинами, может служить верным ответом к этой задаче.

Самым популярным ответом к этой задаче оказался ответ В, его выбрали 45% пятиклассников и 52% шестиклассников. Скорее всего, первую, грубую оценку они выполнили, а какие из нее следуют выводы, подумать не успели.

Следующая задача с незначительными вариациями предлагалась в параллелях с 3-го по 8-й классы, и оказалась для всех возрастов примерно одинаково трудной — с ней справились примерно 13–15% участников всех параллелей.

Задача 5 (№ 28 для 5–6-х классов). Дикарь Пятница написал в строчку несколько различных натуральных чисел, не превосходящих 10. Робинзон Крузо заметил, что в любой паре соседних чисел одно из них делится на другое. Какое наибольшее количество чисел мог выписать Пятница?

(А) 6 (Б) 7 (В) 8 (Г) 9 (Д) 10

Решение. 9 чисел из набора 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 можно расположить требуемым образом, например, так: 4, 8, 2, 6, 3, 9, 1, 5, 10. Почему нельзя разместить все 10 чисел? Допустим, нам удалось это сделать. Тогда число 7 — крайнее (оно делится лишь на 1, а на него не делится ни одно из этих чисел). Рядом с ним должно стоять число 1. Соседями числа 5 могут быть только 10 и 1, числа 9 — только 3 и 1. Значит, если после 1 стоит 5, то 9 стоит в конце (у него может быть в этом случае только один сосед – 3). И наоборот: если после 1 стоит 9, то 5 стоит в конце.

Рассмотрим вариант 7, 1, 5, ..., 9. В этом случае перед 9 должно стоять число 3, после 5 — 10, то есть получаем: 7, 1, 5, 10, ... , 3, 9. Значит, после 10 должно стоять число 2, а перед 3 – число 6, получаем: 7, 1, 5, 10, 2, ..., 6, 3, 9. Остается разместить числа 4 и 8. Но ни одно из них не может стоять рядом с числом 6!

Аналогично отвергается и второй вариант.

Эта задача оказалась самой трудной в варианте для 7–8-х классов. Почти не отличаются от нее по сложности следующие две задачи.

Задача 6 (№ 28 для 7–8-х классов). В четырехугольнике ABCD известны длины сторон: AB = 2007, BC = 2008, CD = 2009 и DA = 2006. При какой из вершин внутренний угол такого четырехугольника может оказаться больше 180°?

(А) A (Б) B (В) C (Г) D (Д) таких вершин нет

Решение. Чтобы один из углов четырехугольника был больше 180°, нужно, чтобы четырех-угольник был невыпуклым. Ясно, что сумма «внутренних» сторон у такого четырехугольника меньше суммы его «наружных» сторон, причем вершиной угла, большего 180°, служит общая вершина «внутренних» сторон. Теперь заметим, что AB + BC = CD + AD, следовательно, ни B, ни D не являются нужной нам вершиной. Но если мы рассмотрим две другие пары смежных сторон, то увидим, что DC + CB > DA + AB, следовательно, можно попытаться построить требуемый четырехугольник с углом, большим 180°, при вершине А (и только при ней). Построим треугольник BСD со стороной BD = 4012,5 (это возможно, так как
BС + СD > 4012,5). Поскольку

DA + AB = 2006 + 2007 = 4013 > 4012,5,

то можно построить треугольник АBD так, чтобы вершина А лежала внутри треугольника BCD. Но тогда ABCD — невыпуклый четырехугольник с углом при вершине А, большим 180°.

Задача 7 (№ 27 для 7–8-х классов). В доме между любыми двумя комнатами имеется не более одной двери и из каждой комнаты не более одной двери ведет в сад. Всего в доме 12 дверей. Какое наименьшее число комнат может быть в этом доме?

(А) 3 (Б) 4 (В) 5 (Г) 6 (Д) 7

Решение. Понятно, что 4 комнат не хватит: даже если у каждой комнаты есть дверь в сад (4 двери) и между любыми двумя комнатами есть дверь (еще 6 дверей), то всего получится 10 дверей. Покажем, что 5 комнат может быть. Если в доме, план которого изображен ниже (рис. 7), в каждой комнате сделать по наружной двери (выходящей в сад) и между каждыми двумя соседними комнатами сделать дверь, то получится ровно 12 дверей.

Надо заметить, что построить пример дома с шестью комнатами намного легче, и примерно половина участников конкурса выбрали ответ Г.

К сожалению, следующая, почти школьная задача, тоже оказалась трудной для участников конкурса. Правильный ответ к ней указали 11% семиклассников и 15% восьмиклассников.

Задача 8 (№ 13 для 7–8-х классов). На числовой прямой (рис. 8) изображены числа Какая точка изображает число ?

(А) P (Б) Q (В) R (Г) S (Д) T

Решение. Разность равна на рисунке этой величине соответствует 8 клеточек. Значит, сторона клетки равна Далее, значит, точка удалена от точки на 3 клеточки, то есть она совпадает с точкой Q.

Примерно три четверти участников выбрали ответ В, то есть они решили, что искомая точка лежит ровно посередине между

Для самых старших участников конкурса наиболее трудной оказалась следующая задача, с ней справились примерно 8% ребят.

Задача 9 (№ 25 для 9–10-х классов). На плоскости заданы прямые y = ax – 1 и y = x + b. Известно, что первая прямая пересекает ось Ох правее, чем вторая, а ось Оу — выше, чем вторая. Какое из неравенств может быть неверным?

(A) a > 0 (Б) ab > –1 (В) a < 1 (Г) a + b < 0

(Д) все неравенства А–Г обязательно верны

Решение. Первая прямая пересекает ось Ох при а вторая — при x = –b, ось Oy первая прямая пересекает при y = –1, а вторая — при y = b. Значит, условия задачи могут быть записаны следующим образом:Отсюда получаем, что b < 0, но тогда –b > 0, следовательно, a > 0. Итак, условие А всегда верно. Так как а всегда положительно, из неравенства следует, что –ab < 1, или ab > –1, то есть условие Б тоже всегда верно. Заметим, что из этого условия следует, что или но b < –1, а значит, следовательно, a < 1. Таким образом, условие В тоже выполняется.

Проверим условие Г. Как мы уже знаем, 0 < a < 1 и b < –1, следовательно, a + b < 0. Итак, все неравенства А–Г обязательно верны.

Примерно одинаковыми по трудности оказались следующие две задачи этого же варианта. С ними справились по 15–16% участников.

Задача 10 (№ 20 для 9–10-х классов). Два различных трехзначных числа назовем родственниками, если для их записи используется один и тот же набор цифр. Например, 244 и 424 — родственники, а 244 и 224 — нет. Сколько родственников не бывает у трехзначного числа с суммой цифр 5?

(A) 0 (Б) 1 (В) 2 (Г) 3

(Д) возможно любое из чисел 0, 1, 2 и 3

Решение. У числа 500 нет родственников, у числа 221 — два родственника (212 и 122), у числа 140 — 3 родственника (104, 401 и 410). Таким образом, ответы А, В и Г следует отвергнуть.

Покажем, что одного родственника число с суммой цифр 5 иметь не может. Действительно, чтобы у числа был один родственник, нужно, чтобы только одна перестановка его цифр приводила к новому числу. Это возможно только в том случае, когда одна из его цифр равна 0, а две другие совпадают между собой, но тогда сумма цифр этого числа обязательно окажется четной.

Задача 11 (№ 30 для 9–10-х классов). В некотором треугольнике измерили три высоты. Какая тройка чисел могла получиться?

(A) 1, 2, 3 (Б) 4, 7, 8 (В) 3, 6, 8 (Г) 2, 4, 5 (Д) 5, 10, 11

Решение. Пусть a, b, c — стороны треугольника ABC, и пусть h_a, h_b, h_c —соответствующие им высоты. Если S — площадь этого треугольника, стороны выражаются через высоты равенствами

Неравенство треугольника означает, что сумма любых двух сторон больше третьей стороны, но тогда такому же условию удовлетворяют величины, обратные длинам высот. Среди всех данных троек этому условию удовлетворяет только одна: 4, 7 и 8.

Закончим наш обзор не очень сложной геометрической задачей. Для ее решения не требуется никаких специальных знаний, только немного зрительного воображения. Тем не менее, с ней справились всего 18% участников.

Задача 12 (№ 29 для 9–10-х классов). Назовем прямоугольный параллелепипед хорошим, если его можно разрезать на два равных прямоугольных параллелепипеда, имеющих хотя бы по одной квадратной грани. Сколько существует хороших прямоугольных параллелепипедов, имеющих грань 2 ´ 6?

(A) 2 (Б) 4 (В) 5 (Г) 6 (Д) 8

Решение. Хороший параллелепипед — это параллелепипед, у которого либо есть квадратная грань, либо есть грань с отношением сторон 1 : 2. Среди параллелепипедов с гранью 2 x 6 имеется ровно 6 хороших: 2 x 2 x 6, 2 x 6 x 6, 4 x  2 x 6, 1 x 2 x 6, 2 x 6 x 12 и 2 x 6 x 3.

Со всеми задачами конкурса и некоторыми статистическими данными можно ознакомиться на сайте www.kenguru.ru.

Жарковская Н.