Исследуем квадратичную функцию с использованием графического калькулятора

Предлагаем к рассмотрению некоторые аспекты применения графического калькулятора CASIO fx-9860G, который фактически является микрокомпьютером и легко вписывается в компьютерные технологии обучения.

Достоинства калькуляторов с точки зрения простоты обращения, удобства и надежности очевидны. Возможности современных моделей графических калькуляторов для решения типичных школьных задач практически идентичны возможностям компьютеров. При этом освоение калькулятора существенно проще, нежели овладение компьютерной культурой. Поэтому при разумной постановке дела работа с калькулятором может стать этапом формирования информационной культуры, предшествующим освоению компьютеров. Следует добавить, что во многих школах компьютеров крайне мало и они используются, как правило, при изучении курса информатики, но не на уроках физики и математики.

В преподавании математики графический калькулятор может быть использован на всех этапах урока — при объяснении нового материала, закреплении, повторении, контроле. Остановимся на некоторых примерах, рассматриваемых при изучении темы «Квадратичная функция».

Многие знакомые ученикам задачи приводят к квадратичной функции. Это задачи о площади фигур, задачи о движении тел и др.

В системе упражнений значительное место отводится задачам на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Задача 1. Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.

Решение. 1. Зададим формулой функцию площади прямоугольных треугольников с данной суммой катетов. Если длина одного катета равна х см, то длина второго катета равна (6 – х) см, S(х) = 0,5х(6 – х) см², или S(х) = (–0,5х² + 3х) см². По смыслу задачи область изменения аргумента: 0 ≤ х ≤ 6.

2. В режиме GRAPH введем полученную функцию в калькулятор и построим ее график.

Площадь не может быть отрицательной, поэтому по точкам, снятым с графика на экране калькулятора, в тетради вычертим только часть параболы, расположенную выше оси х.

3. По графику на калькуляторе определим значения функции в граничных точках области определения:

Нули функции: х₁ = 0 и х₂ = 6.

Если х = 0 или х = 6, то у = 0, то есть при этих значениях х прямоугольный треугольник «превращается» в отрезок.

4. При каких значениях длин катетов площадь треугольника будет наибольшей? Ответ на вопрос «дают» координаты верхней точки параболы — ее вершины.

Координаты вершины параболы: х = 3, у = 4,5.

Площадь прямоугольного треугольника будет наибольшей при х = 3, то есть тогда, когда катеты будут равны, иначе говоря, когда этот прямоугольный треугольник окажется равнобедренным.

При решении этой задачи с использованием графического калькулятора учащиеся начинают более полно понимать и осознанно применять свойства квадратичной функции, открывают для себя области применения полученных знаний.

Задача 2. Мячик падает с высоты 20 м, начальная скорость его равна 0.

1. Запишите уравнение, которое задает соотношение между высотой h (в м) мячика над землей и временем падения t (в с).

2. Начертите график зависимости высоты от времени падения.

3. Определите по графику:

а) сколько примерно времени будет падать мячик;

б) когда мячик падает быстрее — в первую секунду или во вторую;

в) на каком расстоянии от земли окажется мячик через 1,5 с.

Решение. 1. Подставив в формулу

значения v₀ = 0 и h₀ = 20 м и считая g = 9,8 м/с², получим зависимость h = –4,9t² + 20.

2. Для ввода выражения в графический калькулятор заменим буквенные символы: t на X, а h на Y. Полученную формулу введем в калькулятор в графическом режиме, зададим параметры окна вывода графиков и построим график:

3. Поскольку время и расстояние не могут быть отрицательными, будем работать только с частью параболы, которая расположена в первой четверти. Используя функции анализа графиков, определим:

а)  мячик будет падать примерно 2 с;

б) в первую секунду падения мячик оказался на высоте 15,1 м от земли (то есть пролетел за эту секунду 4,9 м), а во вторую — на высоте 0,4 м от земли (то есть пролетел за эту секунду 14,7 м), значит во вторую секунду мячик падает быстрее;

в) через 1,5 с мячик окажется на расстоянии приблизительно 9 м от земли.

Задача 3. Длина окружности вычисляется по формуле С = 2πr, а площадь круга — S=πr², где r — радиус.

а) Постройте график зависимости площади круга S от радиуса r (считая π = 3).

б) Сравните значения площади круга при и r =1.

Решение. а) Зависимость площади круга от радиуса приближенно выражается формулой S = 3 r², где r ≥ 0. Графиком зависимости служит правая ветвь параболы, включающая
точку О(0; 0).

б) В режиме анализа графиков TRACE замечаем, что при увеличении радиуса в 2 раза площадь увеличивается в 4 раза.

Рассмотрим ряд заданий, которые мы предлагаем на этапе проверки и контроля знаний и умений учащихся.

От графика функции к задающей формуле

Обычный путь формирования графических представлений учащихся — от формулы, задающей функцию, к ее графику. Обратная задача: по графику функции установить задающую ее формулу — редко встречается в упражнениях школьных учебников, хотя решение таких задач формирует более высокий уровень усвоения координатного метода. Отметим, что графические изображения выводятся из эмулятора калькулятора на интерактивную доску или на экран с помощью кодоскопа.

На уроке-практикуме можно провести небольшую самостоятельную работу в форме теста с заданиями с выбором верного ответа из нескольких предложенных вариантов. Предлагаем вашему вниманию несколько таких заданий.

Тест

1.  Укажите, какой линией выделен график функции у = х² – 1.

2.  Укажите график функции у = (х + 1)².

3.  График какой функции изображен на рисунке?

4.  По графику функции у = ах² + вх + с определите знаки коэффициентов а, b, с.

5.  На рисунке изображен график функции у = х² – х – 6.
Используя график, решите неравенство х² – х – 6 > 0.

Графическое изображение и аналитическое выражение свойств функции

не должны ограничиваться умениями строить графики конкретных функций и читать конкретные графики, хотя эти умения и имеют серьезное значение, во многом определяя уровень графической грамотности учеников. Но важно формирование и более общих графических представлений: как изображаются графически свойства сохранения знака, возрастания (убывания), постоянства, четности и нечетности и др. Эти цели достигаются, прежде всего, при выполнении упражнений и решении задач. По мере распространения графических калькуляторов акцент может быть перенесен на уверенное «чтение графиков», то есть достаточно полное описание свойств функции по ее графику. Начинать желательно с выяснения свойств функций по их графикам. Имея графический калькулятор, учитель может не проводить построение графиков на доске, а проецировать их с дисплея калькулятора на экран.

Например:

— укажите промежутки возрастания и убывания функции;

— найдите множество значений функции;

— найдите наибольшее (наименьшее) значение функции;

— назовите ось симметрии параболы;

— найдите промежуток, на котором функция принимает положительные (отрицательные) значения;

— определите, чему равен свободный член квадратного трехчлена;

— найдите координаты вершины параболы.

Следующий шаг — упражнения на конструирование функций по заданным свойствам. Эти упражнения полезны тем, что мыслительные процессы, протекающие при их выполнении, обратны тем процессам, что совершаются при определении свойств функций по их графикам. Такие упражнения совершенствуют графические представления учащихся.

Например, учащимся предлагается привести графические и аналитические примеры функций, являющихся:

а) четными;

б) убывающими на всей области определения;

в) положительными и четными.

И в этом им поможет самоконтроль с помощью графического калькулятора.

Построение графиков квадратичной функции, содержащей модуль

Предлагаем фрагмент урока по этой теме на этапе закрепления материала.

Вспоминаем алгоритм построения графика функции у = │ f(х)│.

1. Строим график функции у = f(х).

2. Часть графика, для которой значения функции положительны, оставляем без изменения.

3. Часть графика, для которой значения функции отрицательны, зеркально отображаем в верхнюю полуплоскость.

Самостоятельное построение графиков и проверка с использованием графического калькулятора.

Постройте графики функций:

а) у = │х²│; б) у = │х²│ + 5;

в) у = │х² – 4│; г) у = │(х – 3)² – 1│;

д) у = │–(х + 2)² + 3│.

Ученики самостоятельно строят, используя шаблон параболы, графики функций, записанных на доске.

Пока ученики работают самостоятельно, учитель подключает панель и вводит в калькулятор данные функции (удобнее, если они набраны учителем заранее).

Далее проводится проверка правильности построения графиков функций, которая не потребует больших временных затрат. Аналогично можно отработать построение графиков вида

у = f(│х│), у = | f (│х│)|.

Подчеркнем, что использование графического калькулятора позволяет перенести акцент с построения графика на исследование функции. При выполнении подобной работы строится большое количество графиков, а без калькулятора временные затраты были бы огромны. Естественно, указанные нами примеры не исчерпывают всех возможностей использования графического калькулятора при изучении темы «Квадратичная функция», но, безусловно, позволят повысить интерес учащихся к построению графиков функций, получению новых знаний и усвоению способов аналитической поисковой деятельности.

Литература

1.  Вострокнутов И.Е. и др. Методические рекомендации к изучению алгебры в 7–9 классах с использованием возможностей применения малых вычислительных средств. — М.: Навигатор, 2006.

2.  Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра, 9 кл. — М.: Просвещение, 2006.

Короткова О. , Рощина Н.