Методика преподавания наглядной геометрии учащимся 5–6 классов

Программа курса

№ газеты	Учебный материал
17	Лекция 1. Проблема пропедевтики изучения геометрии и анализ путей ее решения в прошлом и настоящем
18	Лекция 2. Особенности психического развития детей 10–12 лет в связи с обучением геометрии
19	Лекция 3. Содержание курса наглядной геометрии и основа методики его изучения Контрольная работа № 1
20	Лекция 4. Геометрическая деятельность: учим наблюдать и развиваем пространственное воображение
21	Лекция 5. Геометрическая деятельность: обучаем графическим действиям, навыкам конструирования, формируем метрические представления
22	Лекция 6. Методика организации геометрической деятельности учащихся на примере формирования представлений о симметрии Контрольная работа № 2
23	Лекция 7. Приоритетные формы организации учебной работы и формы контроля учебных достижений
24	Лекция 8. Компьютерные технологии при изучении наглядной геометрии Итоговая работа

Лекция 5

Геометрическая деятельность:
обучаем графическим действиям, навыкам конструирования,
формируем метрические представления

Графические действия представляют собой операции по созданию графических изображений геометрических объектов.

Хотите узнать больше?

Графика (греч. γραφικος — письменный, от греч. γραφω — пишу) — вид изобразительного искусства, использующий в качестве основных изобразительных средств линии, штрихи и пятна.

Графические действия различаются по использованию чертежных инструментов, по способу их задания, по использованию клетчатой или нелинованной бумаги. Эти действия составляют основное содержание задач, целью которых является:

• выполнение схематического рисунка, изображения фигуры от руки;
• построение с помощью инструментов фигуры или конфигурации по заданному алгоритму;
• воспроизведение заданного изображения;
• построение с помощью инструментов изображения по описанию.

Построить схематический рисунок к задаче, качественно отобразив в нем основные конструктивные особенности конфигурации, зафиксировать в графической форме мысленно созданный образ — важное умение, необходимое при решении геометрической задачи. А для этого учащиеся должны научиться выполнять изображения от руки. При этом учащиеся 5—6-х классов уже способны не просто копировать данные им изображения, а выполнять более сложные действия, например, преобразовать рисунок в проекционное изображение или перенести на бумагу созданный мысленный образ.

Пример 1. Нарисуйте от руки фигуру, симметричную данной относительно проведенной прямой (рис.1).

На основе данного изображения и представления об осевой симметрии учащиеся должны создать образ симметричной «птички» и постараться как можно точнее отобразить его на листе бумаги. Проверять правильность действий здесь необходимо уже по ходу их выполнения. Упражнение требует хорошо скоординированных движений.

Пример 2. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно 4 см, а радиус окружности равен 3 см? Сделайте схематический рисунок.

Выполнение схематического рисунка помогает учащимся «увидеть» описанную конфигурацию, если создание образа на основе описания вызвало затруднения. Учащиеся изображают окружность, проводят ее радиус, отмечают, что радиус равен 3 см. Далее они должны провести прямую; при этом понятно, что прямая, удаленная от центра окружности на 4 см, окружность не пересекает. Важно, чтобы прямая была проведена перпендикулярно радиусу с соблюдением масштаба.

Пример 3. На рисунке 2 изображен прозрачный цилиндр. Нарисуйте от руки цилиндр, проведя видимые линии сплошными, а невидимые — штриховыми.

Умение изобразить пространственное тело можно по праву отнести к практически важным.

Еще одно важное геометрическое умение — выполнять построения с помощью инструментов по заданному алгоритму, которые делятся на построения, выполняемые с использованием любых чертежных инструментов, и классические построения, выполняемые с помощью циркуля и линейки без делений.

Попросите пятиклассников рассказать, как построить квадрат, и вы увидите, что не у всех из них есть представления о действиях, подлежащих выполнению. Ну, или попросите квадрат начертить. Вы уверены, что с этим заданием справятся все учащиеся? Если уверены, советую проверить. Что уж говорить о более сложных фигурах или конфигурациях!

Одна из причин затруднений кроется в том, что у учащихся нет четкого представления о той последовательности действий, которая должна привести к желаемому результату. Это и не мудрено, поскольку действия эти, как правило, не фиксируются, ведь на рисунке в учебнике и предлагается конечный результат, который на самом деле возникает постепенно, в несколько шагов. Опытный учитель, выполняя построения на доске, все необходимые шаги, конечно, зафиксирует, а ученик, возможно, и повторит их у себя в тетради. Но запомнит ли? Сможет ли воспроизвести дома? Помочь учащимся выстроить алгоритм может последовательность рисунков стоп-кадров: изображений, последовательно фиксирующих отдельные, наиболее характерные моменты построения конфигурации. Последовательность рисунков содержит, как правило, кроме начальной и конечной конфигураций, одну-две промежуточные; каждая следующая конфигурация включает в себя предыдущую. Здесь необычайно важно, что рисунки дают учащимся возможность контролировать в ходе работы правильность выполняемых ими действий.

Последовательность рисунков должна быть подкреплена вербальным описанием производимых действий, зафиксированных рисунками. Описание может включать необходимые, для упрощения восприятия, пояснения, логические ссылки, другие возможные варианты построения.

Пример 4. Учащиеся должны изучить алгоритм построения касательной к окружности, параллельной данной прямой, и выполнить построения. Им предлагается прочесть описание построения, рассматривая по ходу чтения соответствующий рисунок:

«Пусть дана окружность с центром в точке О и прямая k (рис. 3,а). Построим касательные к окружности, параллельные данной прямой. Для этого нужно:

1) провести через центр окружности прямую, перпендикулярную прямой k (на рис. 3,б эта прямая обозначена буквой m);

2) провести через точки пересечения прямой m с окружностью прямые, параллельные k (или перпендикулярные m) (рис. 3,в)».

Если учащийся из прочитанного текста не до конца уяснил описанное действие, он может сравнить предыдущий рисунок с тем, на котором изображен результат выполнения этого действия, и на основе анализа вычленить произошедшие изменения.

Особенностью этого задания является существование двух вариантов выполнения последнего действия: провести через точки пересечения прямой m с окружностью прямые, параллельные k, или прямые, перпендикулярные m. Учащиеся находят этому объяснение, а затем при построении выбирают одну из возможностей — по своему усмотрению.

Выполнение классических геометрических построений — выполняемых с помощью циркуля и линейки без делений — более характерно для курса планиметрии, т.к. вряд ли их можно отнести к естественным, все они основаны на логически обоснованных геометрических фактах. Кроме того, и саму идею введения весьма искусственного ограничения на пользование лишь двумя названными инструментами учащиеся воспринять пока не могут. В 5—6-х классах полезна как раз противоположная постановка вопроса – задействовать разные инструменты, придумывать разные алгоритмы и способы построения, активно используя при этом полученные знания о свойствах фигур и развивая фантазию. При этом основой для многих построений, выполняемых циркулем и линейкой, служит конфигурация, образуемая двумя пересекающимися окружностями. Это построения треугольника по трем сторонам, серединного перпендикуляра к отрезку; точки, симметричной данной относительно прямой. Вот как выглядит алгоритм построения треугольника с заданными сторонами (рис. 4).

Задачу воспроизведения заданного изображения полезно решать как на клетчатой, так и на нелинованной бумаге. Эта задача требует от учащихся самостоятельно создать алгоритм построения заданной конфигурации на основе ее анализа. Клетчатая бумага, обладая мерной сеткой, параллельностью и перпендикулярностью линий, ее образующих, служит основой для определения особенностей конфигурации, подходов к ее воспроизведению, задает числовые характеристики составляющих элементов. Нелинованная бумага не содержит таких явных подсказок и требует более внимательного изучения заданного рисунка.

Через такого рода задачи учащиеся могут получить представление о новых способах построения известных им геометрических фигур. Например, воспроизводя конфигурацию «прямоугольник, вписанный в окружность», и увидев, что диаметры окружности являются диагоналями прямоугольника, учащиеся могут осознать, что начертить прямоугольник можно так: провести окружность и в ней два диаметра, после чего последовательно соединить их концы.

Пример 5. Скопируйте отрезок в тетрадь (рис. 5).

Выполняя это упражнение, учащиеся должны научиться «ходить» от узла к узлу не только по линиям сетки. Учащиеся определяют «путь» от точки А до точки В следующим образом: отсчитывают от точки А пять клеток вправо и три клетки вверх.

Освоенный прием может использоваться в дальнейшем при воспроизведении различных фигур. Может использоваться и учителем, например, чтобы «продиктовать» классу необходимый для дальнейшей работы треугольник.

Пример 6.Скопируйте в тетрадь фигуру, составленную из окружности и частей окружности (рис. 6).

В этом задании клетчатая бумага используется в качестве измерительного инструмента. Учащиеся последовательно определяют, что конфигурация состоит из окружности и двух полуокружностей; радиус большой окружности равен четырем клеточкам, радиусы меньших окружностей — двум клеточкам; центры окружностей расположены на одной прямой; центры меньших окружностей расположены слева и справа от центра большой окружности на расстоянии, равном двум клеточкам.

Пример 7. Постройте такой же «цветок», как на рисунке 7.

Рисунок задан на нелинованной бумаге, поэтому учащиеся могут выбирать числовые данные по своему усмотрению или произвести измерения на рисунке. Сначала они должны увидеть «серединку цветка» и шесть окружностей, образующих его «лепестки». Затем, сравнивая центральную окружность с одним из «лепестков», учащиеся устанавливают их равенство и особенности взаимного расположения — центр «лепестка» расположен на центральной окружности. На этом этапе можно начать выполнять построения: учащиеся проводят центральную окружность и строят один из «лепестков». Далее они снова возвращаются к анализу рисунка и определяют, что центром соседнего «лепестка» является точка пересечения центральной окружности и построенного «лепестка». Аналогичным образом строятся и остальные окружности.

Наибольшие трудности среди всех задач на построение представляет построение изображения по описанию, так как это предполагает создание сначала зрительного образа на основе вербального описания, а затем способа его построения. Здесь поможет такой прием, как достраивание изображения на готовом чертеже, которые, как правило, даются в рабочих тетрадях.

Пример 8. Отрезки АВ и АС — стороны четырехугольника АВОС (рис. 8). Известно, что угол С равен 90 °, а сторона ВО параллельна стороне АС. Достройте этот четырехугольник.

Результатом построений является прямоугольная трапеция, самостоятельное построение которой по описанию вызвало бы у учащихся серьезные затруднения.

Пример 9. У многогранника, изображенного на рисунке 9, пять вершин, но одна вершина не нарисована. Придумайте несколько многогранников с разным числом ребер.

При выполнении этого задания учащиеся могут пользоваться моделями: сначала попытаться найти среди них многогранник с заданными свойствами, а затем уже изобразить.

Конструирование

Под детским конструированием принято подразумевать создание разных конструкций и моделей из строительного материала и деталей конструкторов, изготовление поделок. Мы будем говорить о конструировании, имея в виду создание предметных моделей геометрических объектов. Эти действия естественным образом реализуются через задачи:

• на пространственное моделирование;
• на построение фигуры с помощью перегибания листа бумаги;
• на разрезание и складывание.

Хотите узнать больше?

Термин «конструирование» произошел от латинского слова construere, что означает — создание модели, построение, приведение в определенный порядок и взаимоотношение различных отдельных предметов, частей, элементов.

Выбор именно этих видов моделирования определяется их доступностью для использования на уроке и дома, наличием у учащихся необходимых навыков, однако учителя активно используют, например, и такой вид математического конструирования, как оригами.

Хотите узнать больше?

Вот что говорит об оригами японский математик и дизайнер оригами Адзума Хидэаки: «Разверните фигурку оригами и посмотрите на складки – вы увидите лишь обилие многоугольников, соединенных друг с другом. В сложенном виде оригами представляет собой многогранник, фигуру с множеством плоских поверхностей, а когда фигура разложена и показаны все складки, мы, математики, называем ее двухмерным множеством. Если предположить, что произведение оригами является множеством, можно открыть немало интересного. Именно это побудило меня заняться оригами».

Об оригами в учебном процессе:

Белим С.Н. Учебно-методический комплект элективного курса «Геометрия и оригами»;
Шеремет Г.Г. Оригами помогает изучать математику;
Весновская О.В. Программа спецкурса «Геометрия и оригами» для учащихся 5—8 классов;
Кормышова Е.Л., Ханина О.А. Учебный проект «Геометрия оригами».

Перегибание листа бумаги является для учащихся операцией, знакомой по выполнению различных поделок из бумаги. Однако, повторяя за учителем последовательность требуемых от него действий, учащийся не осознает их геометрической сущности. Здесь ему предлагается решить геометрическую задачу, но путем перегибания и привлекая имеющиеся геометрические знания.

Пример 10. Перегибая лист бумаги, постройте ромб.

Построение основано на свойстве диагоналей ромба и равенстве его сторон. Учащиеся дважды перегибают лист так, чтобы образовался прямой угол, а затем загибают его. Развернув лист, они обводят карандашом линии сгиба, образующие ромб.

Пространственное моделирование выполняет часто вспомогательную функцию изготовления моделей пространственных тел, необходимых в процессе изучения их свойств. Например, для изучения свойств симметрии в пространстве каждому учащемуся необходимо вылепить из пластилина модели шара, конуса, цилиндра, куба. Эти модели помогают при изучении сечений пространственных тел. При изучении развертки куба и для овладения навыками оперирования мысленными образами учащиеся должны иметь несколько фигур, из которых можно свернуть куб и из которых куб свернуть нельзя. Они изготавливают их самостоятельно по данным им разверткам и рисункам. Помимо этого, учащиеся решают и собственно конструктивные задачи, где им нужно, опираясь на мысленный образ моделируемого тела, выделить особенности конструкции, задать самостоятельно или определить его размеры, изготовить развертку. Вот примеры таких заданий.

Пример 11. Изготовьте из картона куб объемом 1 дм³.

Пример 12. Модель треугольной пирамиды можно сделать из трубочек, например, для коктейля (см. фото). Соединить трубочки можно, продев внутрь нить или тонкую проволоку. Возьмите необходимое количество трубочек одинаковой длины и сделайте из них модель треугольной пирамиды.

Разрезание и складывание фигур служит развитию и углублению представлений о геометрических фигурах, обнаружению существующих между ними связей. Так, квадрат можно разрезать на два равных прямоугольника (по оси симметрии, перпендикулярной сторонам квадрата), на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника (по одной диагонали), на четыре равных квадрата и т.п.

Пример 13. Возьмите квадрат и разрежьте его по диагоналям. Сложите из получившихся фигур прямоугольник.

Пример 14. Возьмите прямоугольник, одна из сторон которого вдвое больше другой. Разрежьте его на две части так, чтобы из них можно было составить равнобедренный треугольник.

Ценность полученных навыков заключается в том, что в дальнейшем разрезание и достраивание используется в качестве приема: на основе действий по перекраиванию можно находить площади параллелограмма и треугольника; составление паркетов из равных треугольников позволяет «увидеть», что сумма углов треугольника равна 180° и пр.

Пример 15. Вырежьте из листа бумаги параллелограмм и перекроите его в прямоугольник. Чему равна площадь параллелограмма?

Можно использовать в учебных целях и такую хорошо известную игру-головоломку, как «Танграм».

Действия измерения

Действия измерения состоят из операций по измерению геометрических величин и усвоению эталонов длины, площади, объема и градусной меры угла. Используются они в ходе выполнения упражнений, требующих:

• выполнения измерений с помощью инструментов;
• выбора и преобразования единиц измерения;
• измерения величины на глаз;
• сопоставления величин непосредственно воспринимаемых объектов;
• выполнения вычислений геометрических величин.

Овладение практическими измерениями включает в себя осознание самого процесса измерения, знание устройства используемого измерительного инструмента, его шкалы, умение им пользоваться. Измерение длины отрезка знакомо учащимся из начальной школы, поэтому здесь необходимо, во-первых, уточнить, насколько осознанно учащиеся его выполняют, во-вторых, расширить круг применения, например, для измерения длины ломаной, произвольной кривой, расстояния между двумя точками, от точки до прямой, между двумя параллельными прямыми. Можно поговорить и об измерении расстояния от точки до фигуры. Ну и, конечно, полезны практические измерения, которые можно выполнять в классе: попросите учащихся измерить длину и ширину стола, высоту стула, размеры двери, найти расстояние между двумя столами, ширину прохода между рядами и пр. Аналогичные задания можно выполнить и при изучении площади. Все это естественным образом подходит для организации лабораторных или проектных работ, для использования групповых форм работы, которые так нравятся учащимся.

Пример 16. Проведите на листе нелинованной бумаги две параллельные прямые и найдите расстояние между ними.

В этом задании выполнению измерений предшествует дополнительное построение прямой, перпендикулярной двум проведенным прямым. Кроме того, учащиеся должны понимать, что расстояние между двумя параллельными прямыми есть длина отрезка перпендикулярной прямой, заключенного между ними.

Пример 17. По рисунку 10 определите длину отрезка АВ.

В данном случае способность найти выход из нестандартной ситуации говорит о понимании сути процесса измерения.

В отличие от измерения длины отрезка, измерение величины угла — новый вид измерений. Помочь учащимся им овладеть призваны задания, которые выполняются на изображениях транспортира (рис. 11).

В них учащимся не надо для измерения угла прикладывать транспортир, это уже изображено на рисунке. Они должны выполнить только ту часть действий, которая включает определение величины угла по шкале. При этом они привыкают к правильному расположению транспортира, их внимание фиксируется на том, какой шкалой удобно пользоваться. Первые построения угла заданной градусной меры также полезно осуществлять на рисунках, где дано изображение транспортира и проведена одна из сторон угла (рис. 12).

Овладев навыками измерения, учащиеся имеют возможность использовать их для поиска геометрических закономерностей. Так, измерение углов треугольника подводит к «открытию» факта, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Понятно, что это возможно только в том случае, если учащиеся выполняют измерения транспортиром не только правильно, но и достаточно точно.

Полезно использовать в качестве измерительного инструмента и циркуль — для откладывания равных отрезков или нахождения ближайшей точки прямой.

Овладение практическими измерениями невозможно без знания единиц измерения. Решение любой практической задачи включает выбор единиц измерения или преобразование заданных. Достаточно, чтобы учащиеся хорошо знали соотношения между линейными метрическими величинами и на их основе осуществляли преобразование единиц площади и объема.

Пример 18. В каких единицах измеряют: а) расстояние от дома до школы; б) длину отреза ткани при покупке; в) расстояние между городами; г) площадь квартиры?

Пример 19. Какие измерения надо провести, чтобы определить, какую примерно площадь занимает территория вашей школы? Сравните эти площади с 1 соткой и 1 гектаром. Задание полезно выполнить практически.

Научиться осознанно, не формально, преобразовывать единицы измерения можно только тогда, когда эти преобразования сначала выполнены практически. Можно предложить учащимся начертить квадрат со стороной 1 дм и определить его площадь в квадратных дециметрах; затем разбить его на квадраты со стороной 1 см и подсчитать число квадратов. Они получили, что площадь квадрата равна 1 дм² или 100 см². Отсюда и следует зависимость между квадратным дециметром и квадратным сантиметром. Осознанные действия постепенно переходят во внутренний план, но в памяти остаются и могут быть повторены при необходимости.

Пример 20. Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 см и выстроили в один ряд. Какой длины получился ряд?

Это пример сложного задания, требующего от учащихся свободного владения не только единицами длины и единицами объема, но и понимания сущности измерений. Выполняя его, более сильные учащиеся вполне могут рассуждать формально: в 1 м³ содержится 100 ∙100∙100 = 100³ = 1000000см³, значит, столько и будет кубиков длиной 1 см; а длина ряда равна 1 000 000 см = 10 000 м = 10 км. Тот, кто не готов к формальным действиям, может использовать воображение и разрезать куб мысленно, сначала на слои, а затем выстраивая каждый слой в один ряд.

Измерение величины на глаз является достаточно важным практическим умением, которое часто оказывается востребованным в жизни. А умение определить, что выполненное изображение не соответствует условию задачи, полезно при изучении геометрии. Это становится возможным только в случае сформированности мысленных эталонов меры, поэтому задачи такого рода можно ставить перед учащимися тогда, когда они уже освоились с основными понятиями, приобрели некоторые навыки построения и измерения, накопили необходимые зрительные образы. Основная цель овладения умением оценивать геометрические величины на глаз — использование этого умения для самоконтроля над выполненными действиями, для анализа достоверности зрительной информации.

Пример 21. На рисунке изображен угол. Учащиеся должны определить величину этого угла на глаз.

Какие действия необходимо для этого выполнить? 1) Мысленно сравнить данный угол с прямым углом; 2) сравнить его с половиной прямого угла; 3) например, данный угол меньше угла в 90°, но больше угла в 45°; необходимо определить, к какому из этих двух углов ближе его градусная мера и прикинуть величину этой разницы; 4) прибавить или отнять величину разницы от ближайшего эталона (в данном случае эталонами служат углы в 90° и 45°). Неоднократное выполнение описанных действий постепенно приводит к формированию нового эталона — угла в 60°.

Однако нельзя научиться оценивать геометрические величины на глаз, если не было опыта сопоставления величин непосредственно воспринимаемых объектов. Так, выполнению предыдущего упражнения, рассмотренного в примере 21, как легко понять, предшествует непосредственное сравнение различных углов с прямым углом, с углом в 45°.

Пример 22. Вырежьте из листа бумаги квадрат со стороной 1 дм. Используя его в качестве эталона, определите на глаз площадь тетрадного листа, поверхности стола.

Пример 23. Назовите отрезки в порядке возрастания их длин (рис. 13).

Пример 24. Какие отрезки можно закрыть кругом (рис. 14)?

Сравнивать различные геометрические объекты приходится при решении многих задач, например, внимательное сравнение изображений двух аквариумов из примера 25 позволяет найти более рациональное и красивое решение.

Пример 25. Из двух одинаковых листов стекла вырезают заготовки для двух аквариумов, изображенных на рисунке 15. В каком случае площадь обрезков будет больше?

Это решение основывается на том, что аквариумы представляют собой один и тот же параллелепипед, с одной отсутствующей гранью. Значит, чтобы ответить на вопрос задачи, надо сравнить площади этих отсутствующих граней. Там, где площадь грани меньше, площадь обрезков будет больше. Интересно оно и последним логическим ходом.

При решении задач на вычисление геометрических величин выделяются три аспекта: владение понятиями, формальными правилами вычисления и свойством аддитивности.

Новым понятием для учащихся 5—6-х классов является понятие объема, с понятием площади они уже знакомы. Целесообразно первоначально геометрические величины находить в абстрактных единицах — ввести понятия единицы длины, квадратной единицы, кубической единицы; фигуры разбиваются на квадраты, площади которых приняты за 1 кв. ед., а уже затем осуществляется переход к метрическим единицам.

Пример 26. Объем каждого кубика равен 1 куб. ед. Чему равен объем тела (рис. 16)?

Пример 27. Нарисуйте фигуру той же площади, что и фигура, изображенная на рисунке 17.

Необходимо учитывать, что неоправданно быстрый переход к формальному правилу (вычисление площади прямоугольника, объема параллелепипеда) приводит часто к его отрыву от усвоенного понятия и затрудняет практическое применение. Этот переходный этап должен быть обеспечен адекватным содержанием. Например, такими заданиями:

Пример 28. Начертите в тетради прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Разбейте прямоугольник на квадраты со стороной 1 см и определите его площадь.

Учитель предлагает учащимся закрасить один из квадратов площадью 1 см². Важно, чтобы учащиеся считали квадраты сначала одного ряда, а затем считали число рядов. Учитель еще раз обращает внимание учащихся на то, что число квадратов в ряду равно длине одной из сторон прямоугольника, а число рядов — длине другой стороны. И здесь не приходится рассчитывать на то, что понятие площади и правило вычисления площади прямоугольника были сформированы в начальной школе. Это объективно трудный материал, и не надо требовать от учащихся невозможного.

Пример 29. Определите площадь прямоугольника, часть которого залита краской (рис. 18).

При выполнении этого упражнения учащиеся уже не могут просто пересчитать квадратики, так как часть из них не видна. Они вынуждены определять число квадратов с помощью умножения. Что нам и надо.

Пример 30. Постройте на нелинованной бумаге прямоугольник, выполните необходимые измерения и вычислите его площадь.

Это задание усложняется тем, что вряд ли длины сторон построенного прямоугольника будут выражаться «хорошими» — круглыми числами, что привычно, скорее всего, в результате выполненных измерений учащиеся получат что-то вроде 5 см 3 мм, значит, им придется выражать длины сторон в миллиметрах, а затем находить произведение двузначных чисел. Это именно тот тип заданий, перед которым наши учащиеся, как показывают результаты международных исследований, пасуют.

Пример 31. По данным прямоугольника, представленным в таблице, найдите недостающие данные.

№	Длина	Ширина	Площадь	Периметр
1	5 см	3 см	...... см2	...... см
2	8 мм	...... мм	40 мм2	...... мм
3	10 м	......	......	40 м

Когда правило усвоено, полезно решать не только прямые задачи, но и обратные – по заданной площади и стороне прямоугольника находить другую его сторону. А также одновременно находить периметр и площадь, — известно, что учащиеся путаются этих понятий.

Важный понятийный вопрос — свойство аддитивности площади (объема) хотя в явном виде и не обсуждается, но широко используется: аддитивность площади — при вычислении величин фигур, составленных из прямоугольников, аддитивность объема — при вычислении величин тел, составленных из параллелепипедов.

Пример 32. Определите площадь фигуры (рис. 19).

При решении этой задачи целесообразно подвести учащихся к осознанию двух способов решения: первый — путем разрезания исходной фигуры на два прямоугольника, второй — путем ее достраивания до прямоугольника.

Пример 33. Из кубиков с ребром 2 см сложили параллелепипед (рис. 20). Чему равен его объем?

И здесь следует обсудить два решения: первое, когда определяются измерения параллелепипеда и применяется правило вычисления объема параллелепипеда; второе, когда вычисляется объем одного куба, подсчитывается число кубов и применяется свойство аддитивности.

Завершая разговор о действиях, составляющих геометрическую деятельность, следует сказать о том, что отнесение той или иной задачи к определенной группе является достаточно условным. Понятно, что ее выполнение только в редких случаях основано, например, только на действиях восприятия, чаще оно требует совместной работы восприятия, воображения и мышления и, соответственно, выполнения различных действий. Мы уже приводили примеры таких заданий, рассмотрим еще один.

Пример 34. Сколько прямоугольников на рисунке 21?

Успешному решению этого задания способствуют:

а) метод упорядоченного перебора, сводящийся в данном случае к последовательному перебору всех прямоугольников, состоящих из «маленьких» прямоугольников и их комбинаций;

б) воображение, позволяющее создать необходимые образы и доказать отсутствие прямоугольников, сложенных из трех маленьких прямоугольников;

в) процесс восприятия, дающий возможность на основе образов, созданных воображением, выделить из данной конфигурации все прямоугольники, составленные из 1, 2 и 4 маленьких прямоугольников.

Методический практикум

1. Подберите в литературе или составьте самостоятельно несколько задач, направленных на формирование графических действий, навыков конструирования, действий измерения.

2. Охарактеризуйте действия, которые выполняются при решении следующей задачи: Вырежьте из одного и того же круга два неравных сектора. Сверните каждый сектор в конус. Какой конус оказался выше: полученный из большего сектора или из меньшего?

Литература

1. Венинджер М. Модели многогранников. — М.: Мир, 1974.
2. Давыдов В.В., Варданян А.У. Учебная деятельность и моделирование. — Ереван: Луйс, 1981.
3. Кордемский Б.А., Русалев Н.В. Удивительный квадрат. — М.: СТОЛЕТИЕ, 1994.
4. Лебег Г. Об измерении величин / Под ред. А.Н. Колмогорова. — М.: Учпедгиз, 1938.
5. Линдгрен Г. Занимательные задачи на разрезание / Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.
6. Формирование и развитие пространственных представлений у учащихся. — М.: Просвещение, 1964.
7. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. — М.: Дрофа, 2008.
8. Яглом И.М. Как разрезать квадрат? — М.: Наука, 1968.

Рослова Л.