Как вычислять интеграл без первообразной

Худолеев М.Ф.

Об интегрировании при вычислении площадей криволинейных трапеций без интегралов или о собственном прямоугольнике при отыскании квадратур. — М.: МАКС Пресс, 2007.

Как известно, вычисление площадей криволинейных трапеций в школьном курсе математики сводится к вычислению определенных интегралов, что в свою очередь сводится к отысканию первообразной и использованию формулы Ньютона–Лейбница. При этом таблица первообразных составляется угадыванием.

В рассматриваемой книге излагается другой способ вычисления площадей криволинейных трапеций, основанный на том, что для криволинейной трапеции можно подобрать прямоугольник, площадь которого будет равна площади данной трапеции. Такой прямоугольник называется собственным. При этом нахождение собственного прямоугольника и вычисление его площади производится по явно выписанным алгебраическим правилам, без угадывания.

Пусть дана криволинейная трапеция DNC (см. рис.), ограниченная сверху дифференцируемой функцией y = f(x), справа — ее ординатой DC, слева — точкой N, точкой пересечения кривой y = f(x) с осью абсцисс, снизу отрезком оси абсцисс ND.

Для того, чтобы определить численную величину площади этой трапеции, криволинейная трапеция DNC заменяется собственным прямоугольником DMBC, площадь которого равна численной величине площади S криволинейной трапеции DNC, причем высотой собственного прямоугольника DMBC обязательно является только правая ордината DC = f(x), и задача вычисления площади S сводится к нахождению длины отрезка MD. С учетом равенства где α  — величина угла между основанием прямоугольника и диагональю МС, получим, что

В книге обоснована эта формула и с ее помощью вычислены все основные табличные интегралы.

В изданной работе не используются первообразная и переход к пределам.

«Такой подход на пути к интегралам очень полезен и интересен как школьникам, студентам, так и всем, кто занимается самообразованием», — таково заключение в аннотации к книге ее рецензентов: В.И. Ильина, академика РАН, заведующего кафедрой общей математики факультета ВМиК МГУ им. Ломоносова, и преподавателя кафедры, кандидата физико-математических наук, доцента А.Б. Будака.

Книгу можно приобрести у автора, Худолеева Михаила Федоровича (109341, Москва, ул. Новомарьинская, д. 5, кв. 124, телефон: 8-495-345-06-22). Цена по себестоимости — 180 р. (без учета почтовых расходов).