Две картошки

Две картошки

Даны две картофелины произвольной формы и размера. Докажите, что по поверхности каждой из них можно проложить по проволочке так, что получатся два изогнутых колечка (не обязательно плоских), одинаковых по форме и размеру.

Г. Гальперин

Решение. Эта замечательная задача на пространственное воображение была предложена Г. Гальпериным для Турнира имени Ломоносова, который проходил в 2009 году. В первый момент может показаться, что решение задачи очевидно, — ну конечно, можно взять небольшое колеч­ко и надеть и на одну, и на другую картофелину.
Но это не так! Не очень сложно найти две картошки такие, что надеть одинаковые (плоские) колечки на них не получится. Однако доказать этот факт будет уже не так просто, как экспериментально убедиться в невозможности это сделать.
После этого может показаться, что совсем неясно, как вообще подступиться к решению задачи, особенно школьнику, который не знает топологии. А решение-то, оказывается, лежит на поверхности, причем не только в переносном, но и буквальном смысле слова!
Возьмем две картофелины и будем мысленно «сдвигать» их навстречу друг другу. Сначала они коснутся друг друга, и у них будет одна общая точка, а сдвинув еще чуть-чуть — пересечение их поверхностей станет как раз изогнутой окружностью, по которой и можно проложить проволочку. Формально говоря, в этом (верном, в отличие от первого наброска) решении тоже есть небольшая шероховатость: так же, как в первый момент, картошки могли «коснуться», например, в двух точках, так и далее — их пересечение может оказаться состоящим из нескольких частей (связных компонент). Но, немного «пошевелив» картошки, эту проблему можно устранить.
Конечно, может показаться, что строгости в приведенном доказательстве не хватает. Но это скорее проблема даже не рассуждения, а отсутствия формального определения картошки! И если брать строго необходимые определения, то можно придать совсем строгую форму и приведенным аргументам. Но это уже делается, как правило, в вузе, в курсе топологии. При этом радость открытия основной идеи решения этой задачи доступна даже шестикласснику!