Тема урока «Решение тригонометрических уравнений различными способами»

Установление равнозначности записи числовых множеств

Цели урока:

• повторение методов решения тригонометрических уравнений: сведение к однородному уравнению; понижение порядка тригонометрического уравнения; сведение к неполному квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции;
• актуализация навыков преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции;
• формирование навыков установления равенства между числовыми множествами, заданными различными способами, при решении тригонометрических уравнений.

Ход урока

Работа учащихся по рядам

Перед учащимися ставится задача: решить уравнение 4sin² x + 7cos 2x = 1. При этом учащимся первого ряда предлагается решить это уравнение методом сведения к однородному уравнению второго порядка, учащимся второго ряда — методом понижения порядка уравнения, третьего — методом сведения к неполному квадратному уравнению относительно sin x.

Результаты записываются на доску учителем (или, в зависимости от учебной ситуации в классе, представителями рядов).

Решение первого ряда (рис. 1).

4sin² x + 7cos 2x = 1

4sin² x + 7(cos² x – sin² x) = sin² x + cos² x

4sin² x – 6cos² x = 0

Решение второго ряда.

4sin² x + 7cos 2x = 1

2 – 2cos 2x + 7cos 2x = 1 5cos 2x = –1

Решение третьего ряда (рис. 2).

4sin² x + 7cos 2x = 1

4sin² x + 7(1 – 2sin² x) = 1

4sin² x + 7 – 14sin² x = 1

Сравнение результатов

При решении заданного уравнения получены следующие множества корней:

1-й ряд
2-й ряд
3-й ряд

Вопрос. Это одно и то же числовое множество или все эти множества различны?

Как установить, что числа, соответствующие на числовой окружности точкам A₁ и A₃, представляют собой одно и то же множество?

Требуется проверить равенство

Рассмотрим равенство

1. Так как то

2. Пусть

тогда

Так как то то есть

Оказалось, что

следовательно,

а поскольку на промежутке функция y = sin x монотонная, то из равенства

следует равенство

Итак, равенство верное.

Так как то числовые множества (соответствует точке A₁), и (соответствует точке A₃), равны. Следовательно, равны и числовые множества, соответствующие точкам A₁, C₁ и A₃, C₃.

Постановка дальнейших задач

Для того чтобы доказать, что при решении уравнения были получены одинаковые множества корней, нужно:

1. Проверить равенство откуда в случае положительного ответа будет следовать равенство числовых множеств, соответствующих точкам B1 и B3 и, следовательно, B1, D1 и B3, D3. Значит, в этом случае будет установлено, что множества равны. 2. Установить равенство множества чисел либо множеству либо множеству

Самсонов П.