Тема урока «Трапеция и ее свойства»

• формировать умения оперативно принимать решения в условиях дефицита времени, развивать гибкость, экономичность мышления;
• организовать повторение и объединить большой объем теории в одну укрупненную единицу;
• показать многообразие и красоту математических решений, создать ситуацию успеха, радости от самостоятельного преодоления трудностей.

Формы организации учебной деятельности: парная и групповая.

Ученикам необходимо прослушать следующие высказывания и выяснить, о какой фигуре пойдет речь на уроке, свой ответ надо обосновать:

— фигура представляет собой выпуклый многоугольник;

— сумма ее внутренних углов равна 360 °;

— существует сторона такая, что сумма внутренних углов, прилежащих к ней, равна 180°;

— данная фигура хорошо разбивается на параллелограмм и треугольник.

После обсуждения учитель прикрепляет на доску магнитом «королеву урока» — трапецию.

Ученики в течение 5–7 минут отвечают в парах на вопросы, которые появляются на экране. Хорошо, если пары учащихся будут разноуровневыми, тогда один из учеников является консультантом и помогает вспомнить нужный материал товарищу в случае затруднения.

— Дайте определение трапеции.

— Перечислите виды и свойства трапеции.

— Как разбить трапецию на параллелограмм и треугольник?

— Что нужно провести в трапеции, чтобы получить подобные треугольники?

— Как разбить трапецию на два прямоугольных треугольника и прямоугольник?

— Дайте определение средней линии трапеции, перечислите ее свойства.

— Как найти площадь трапеции?

Учитель предлагает ребятам записать в тетрадях ответы на задания устного теста, который затем проверяется самопроверкой.

1.  Выберите трапеции.

Ответ: А, Б, Г.

2.  Выберите прямоугольные треугольники.

Ответ: А, В, Г.

3.  Вычислите площади предложенных трапеций.

Ответ: а) 34 см²; б) 25 см²; в) 12 см².

Ученикам предлагается решить задачу:

Найти площадь трапеции с основаниями 10 см и 20 см и боковыми сторонами 6 см и 8 см.

Класс предварительно делится на четыре группы, одинаковые по силам. Каждой группе дается время на поиск и обсуждение способов решения задачи. Учитель выступает в качестве консультанта, если нужно, направляет и корректирует процесс ее решения. Каждая группа выбирает одно из решений и оформляет его в тетради. У доски демонстрируются планы решения задачи представителями групп.

Решение. Способ I. 1. Проведем ВН АD и СK АD, тогда четырехугольник HВСK — прямоугольник.

h ² = 6² – x², h² = 8² – (10 – x)².

Составляя и решая уравнение, получим, что h = 4,8 см.

3. Тогда

Способ II. 1. Проведем СН АD и СK АВ, тогда АВСK — параллелограмм. Следовательно,

АK = ВС = 10 см и АВ = KС = 6 см.

2. Рассмотрим треугольник KСD, в котором

KС = 6 см, СD = 8 см, KD = 10 см.

Так как KD² = KС² + СD², то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник KСD — прямоугольный.

3. Можно найти высоту по формуле:

4. Площадь трапеции находим так же, как и в первом способе решения.

Способ III. 1. Продолжим АВ до пересечения с СD в точке Е, проведем СK АВ.

2. Устанавливаем, что АВСK — параллелограмм и треугольник KСD — прямоугольный.

3. Треугольники AЕD и KСD подобны по первому признаку (D — общий, KСD = АЕD по свойству параллельных прямых), коэффициент подобия k = 2, так как

4. Отсюда АЕ = KC·k = 12 см, DE= DC·k = 16 см.

5. Так как треугольники AЕD и KСD — прямоугольные, то

Площадь треугольника AЕD можно было найти через отношение площадей подобных треугольников: S_AED = 4·S_KCD. Теперь можно найти площадь трапеции:

S = S_AED – S_KCD = 96 – 24 = 72 см².

Способ IV. 1. Проведем СK АВ и соединим точки K и B отрезком.

2. Нетрудно доказать, что треугольники АВK, ВKС, KСD равные и прямоугольные.

3.  

После анализа всех решений приходим к выводу, что самым рациональным и оригинальным является четвертый способ, а наиболее естественным и привычным — первый.

После обсуждения способов решения ребятам предлагаются задания на изменение фигуры. Можно предложить ответить на вопросы исследовательского характера:

1.  Всегда ли трапецию можно разбить на три равных треугольника?

Выясняется, что это можно сделать, только если одно основание в два раза больше другого.

2.  Может ли трапеция быть составлена из трех равных треугольников другого вида?

Трапецию можно составить из трех правильных треугольников, равнобедренных и произвольных треугольников.

3.  Сохранятся ли способы решения в этих случаях? Какие способы будут наиболее рациональными?

Перед учащимися встает новая проблема: нужно проанализировать способы решения по измененному чертежу, а также вспомнить формулы для вычисления площади правильного и произвольного треугольников. Для правильного треугольника используется формула

для произвольного треугольника — формула Герона:

Имеет смысл предложить ребятам для упрощения вычислений длины сторон взять равными 13, 14 и 15 см, чтобы за технической стороной не потерялась идея решения.

После исследования задачи на изменение фигуры, можно предложить изменить длины оснований трапеции так, чтобы они не отличались друг от друга в два раза. Тогда очевидно, что трапецию невозможно разбить на три равных треугольника. И наш «красивый» способ решения использовать невозможно.

В качестве домашней работы можно предложить следующие задачи.

1.  Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны имеют длины 25 см и 11 см, а непараллельные — 13 см и 15 см.

2.  Составьте трапецию из трех равнобедренных треугольников, выберите самостоятельно длины сторон и вычислите площадь трапеции.

При подведении итогов урока следует сделать акцент на всем объеме материала, который был использован на уроке. Можно предложить ребятам перечислить основные теоремы, которые применялись при решении задач.

Одной из форм уроков по систематизации и обобщению нескольких тем может служить урок решения одной задачи. Основная цель – показать многообразие подходов при решении одной задачи, развивать исследовательские навыки, формировать умение видеть рациональные способы решения. Однако увлекаться этой формой не следует. Такие уроки станут наиболее эффективными, если их проводить один или два раза в четверть. Тогда можно подобрать такую задачу, при решении которой действительно применялся бы большой объем теории.

Маркелова С.