Главная страница «Первого сентября» • Главная страница журнала «Математика» • Содержание №22/2009

Признаки равенства треугольников

Из школьного курса геометрии хорошо известен признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, а именно:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 1).

Естественно поставить вопрос о том, будут ли равны треугольники, если соответствующие равные углы в треугольниках не заключены между равными сторонами. Верно ли, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Оказывается это неверно. Приведем пример. Рассмотрим окружность и ее хорду AB (рис. 2). С центром в точке A проведем другую окружность, пересекающую первую окружность в некоторых точках C и C1. Тогда в треугольниках ABC и ABC1 AB — общая сторона, AC = AC1, С = С1, однако треугольники ABC и ABC1 не равны.

В формулировки признаков равенства треугольников можно включать не только стороны и углы, но и другие элементы треугольников. Рассмотрим несколько формулировок признаков равенства треугольников по трем элементам, включающим стороны, углы, высоты, биссектрисы и медианы треугольников. Выясним справедливость соответствующих признаков.

Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 С = С1, AB = A1B1, высота AH равна высоте A1H1 (рис. 3). Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.

Прямоугольные треугольники ABH и A1B1H1 равны по катету и гипотенузе. Значит, B = B1. Учитывая, что С = С1, имеем равенство A = A1. Таким образом, в треугольниках ABC и A1B1C1

AB = A1B1, A = A1, B = B1.

Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, прилежащую к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника (рис. 4).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов треугольников не достаточно для равенства самих треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A1B1H1 (H = H1 = 90o), в которых

AB = A1B1, B = B1, AH = A1H1

(рис. 5). На продолжениях сторон BH и B1H1 отложим неравные отрезки HC и H1C1. Тогда в треугольниках ABC и A1B1C1

AB = A1B1, B = B1,

высоты AH и A1H1 равны, однако сами треугольники не равны.

Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.

 Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1

AC = A1C1, BC = B1C1,

медиана СM равна медиане С1M1 (рис. 6). Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.

Продолжим медианы и отложим отрезки MD = CM и M1D1 = C1M1 (рис. 6).

Четырехугольники ACBD и A1С1B1D1 — параллелограммы. Треугольники ACD и A1C1D1 равны по трем сторонам. Следовательно,

ACD = A1C1D1.

Аналогично, треугольники BCD и B1C1D1 равны по трем сторонам. Следовательно,

BCD = B1C1D1.

Значит, С = С1 и треугольники ABC и A1B1C1 равны по двум сторонам и углу между ними.

Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника (рис. 7).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Рассмотрим окружность с центром в точке M (рис. 8). Проведем два диаметра AB и A1B1. Через точки A, A1, M проведем еще одну окружность и выберем на ней точку C, как показано на рисунке. В треугольниках ABC и A1B1C

AB = A1B1, A = A1,

медиана СM — общая. Однако треугольники ABC и A1B1C не равны.

Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1AB = A1B1, медиана AM равна медиане A1M1, медиана BK равна медиане B1K1 (рис. 9). Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.

Точки O и O1 пересечения медиан данных треугольников делят медианы в отношении 2 : 1, считая от вершины. Значит, треугольники ABO и A1B1O1 равны по трем сторонам. Следовательно,

BAO = B1A1O1,

значит, треугольники ABM и A1B1M1 равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

ABC = A1B1C1.

Аналогично доказывается, что

BAC = B1A1C1.

Таким образом, треугольники ABC и A1B1C1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Пусть угол и две медианы, проведенные к его сторонам, одного треугольника соответственно равны углу и двум медианам другого треугольника (рис. 10).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Для этого рассмотрим две равные окружности с центрами в точках O1 и O2, касающиеся друг друга в точке M (рис. 11).

Проведем в одной из них хорду AB и прямую AM, пересекающую вторую окружность в некоторой точке C. Проведем отрезок BC. Получим треугольник ABC. Проведем в нем медиану CK и обозначим O точку, делящую ее в отношении 2 : 1, считая от вершины C. Проведем окружность с центром в точке O, радиуса OC, пересекающую вторую окружность в точке C1. Проведем прямую C1M и обозначим A1 ее точку пересечения с первой окружностью. Обозначим K1 точку пересечения хорды A1B и прямой C1O. В треугольниках ABC и A1BC1 A = A1, медианы CK и C1K1 равны, медиана BM — общая. Однако треугольники ABC и A1BC1 не равны.

Ели две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1

AC = A1C1, BC = B1C1,

биссектриса CD равна биссектрисе С1D1. Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.

Продолжим стороны AC и A1C1 и отложим на их продолжениях отрезки CE = BC и C1E1 = B1C1 (рис. 12). Тогда

Треугольники BCE и B1C1E1 равны по трем сторонам. Значит, E = E1 и BE = B1E1. Треугольники ABE и A1B1E1 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = A1B1. Таким образом, треугольники ABC и A1B1C1 равны по трем сторонам.

Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса, проведенная к другой стороне, прилежащей к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника (рис. 13).

Пример треугольников ABC и ABC1, изображенных на рисунке 14, показывает, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Действительно, в треугольниках ABC и ABC1 B — общий, AB — общая сторона, биссектрисы AD и AD1 равны. Однако треугольники ABC и ABC1 не равны.

Пусть сторона, медиана и высота, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника (рис. 15).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Для этого рассмотрим окружность и угол с вершиной в центре A этой окружности (рис. 16). Отложим на его стороне отрезок AB, больший диаметра, и через его середину K проведем прямую, параллельную другой стороне угла, и пересекающую окружность в некоторых точках M и M1. Проведем прямые BM, BM1 и точки их пересечения со стороной угла обозначим соответственно C и C1. Тогда в треугольниках ABC и ABC1 сторона AB — общая, высота BH — общая, медианы AM и AM1 равны, однако треугольники ABC и ABC1 не равны.

Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 AC = A1C1, медианы CM и C1M1 равны, высоты CH и C1H1 равны (рис. 17). Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.

Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A1C1H1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, F A = F A1 и AH = A1H1. Прямоугольные треугольники CMH и C1M1H1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, MH = M1H1, откуда AM = A1M1, значит, AB = A1B1. Таким образом, треугольники ABC и A1B1C1 равны по двум сторонам и углу между ними.

Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 соответственно равны медианы AK и A1K1, BL и B1L1, CM и C1M1 (рис. 18). Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.

Пусть O и O1 — точки пересечения медиан данных треугольников. Заметим, что медианы OM и O1M1 треугольников ABO и A1B1O1 равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных треугольников.

По признаку равенства треугольников, доказанному нами под номером 3, треугольники ABO и A1B1O1 равны, значит, AB = A1B1.

Аналогично доказывается, что BC = B1C1 и AC = A1C1. Таким образом, треугольники ABC и A1B1C1 равны по трем сторонам.

Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 соответственно равны высоты AH и A1H1, BG и B1G1, CF и C1F1 (рис. 19). Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.

Обозначим стороны треугольников соответственно a, b, c и a1, b1, c1, а соответствующие высоты ha, bb, hc и h1a, h1b, h1c. Имеют место равенства aha = bhb = chc и a1h1a = b1h1b = c1h1c. Разделив почленно первые равенства на вторые, получим равенства из которых следует, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны. Так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только подобны, но и равны.

Смирнов В., Смирнова И.