Методика преподавания наглядной геометрии учащимся 5–6 классов

Программа курса

№ газеты	Учебный материал
17	Лекция 1. Проблема пропедевтики изучения геометрии и анализ путей ее решения в прошлом и настоящем
18	Лекция 2. Особенности психического развития детей 10–12 лет в связи с обучением геометрии
19	Лекция 3. Содержание курса наглядной геометрии и основа методики его изучения Контрольная работа № 1
20	Лекция 4. Геометрическая деятельность: учим наблюдать и развиваем пространственное воображение
21	Лекция 5. Геометрическая деятельность: обучаем графическим действиям, навыкам конструирования, формируем метрические представления
22	Лекция 6. Методика организации геометрической деятельности учащихся на примере формирования представлений о симметрии Контрольная работа № 2
23	Лекция 7. Приоритетные формы организации учебной работы и формы контроля учебных достижений
24	Лекция 8. Компьютерные технологии при изучении наглядной геометрии Итоговая работа

Лекция 6

Методика организации геометрической деятельности учащихся на примере формирования представлений о симметрии

В содержание курса наглядной геометрии входит формирование представления о таком феномене (не только чисто математическом), как симметрия. Изучение осевой, центральной и зеркальной симметрии позволяет учащимся получить достаточно широкое представление о симметрии, причем не только на плоскости, но и в пространстве.

Сформулируем сначала основные цели изучения темы, они таковы: дать представление о симметрии в окружающем мире; познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве; научить изображать симметричные фигуры; расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанными с симметрией; показать возможности использования симметрии для геометрических построений. При описании методики работы мы будем опираться на учебный комплект «Математика, 6» под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина (издательство «Просвещение», учебник и рабочая тетрадь).

На изучение темы в соответствии с общим планированием курса математики отводится 9 часов.

Учебный материал распределим следующим образом:

осевая симметрия — 2 ч;
ось симметрии фигуры — 3 ч;
центральная симметрия — 3 ч;
зеркальная симметрия — 1 ч.

Введение в тему

С понятием «симметрия» учащиеся знакомы из повседневной жизни, занятий рисованием, моделированием и т.п., поэтому, прежде чем переходить к математическому его толкованию, необходимо вычленить в сознании учащихся общекультурное понимание этого феномена. Демонстрируя учащимся различные фотографии и слайды, рисунки и репродукции картин с изображениями проявлений симметрии в природе (бабочка, снежинка, кристалл минерала), в продуктах человеческой деятельности (народные орнаменты, древнегреческие амфоры, исторические и современные здания), учитель формирует представление о симметрии как гармонии, соразмерности, порядке.

Осевая симметрия

Формирование представления об осевой симметрии осуществим в несколько шагов.

1 шаг — первые представления об осевой симметрии. Здесь используем физический эксперимент, который заключается в предметном моделировании конфигурации «две точки, симметричные относительно некоторой прямой». Предложим учащимся взять в руки лист бумаги, провести на нем прямую, перегнуть лист по этой прямой и проткнуть его иглой. Развернув лист, учащиеся обнаружат две точки, расположенные по разные стороны от линии сгиба. Здесь учитель может сообщить, что такие точки называют симметричными относительно проведенной прямой. Учащиеся должны внимательно рассмотреть полученную ими модель, чтобы зафиксировать зрительно особенности расположения точек, мысленно повторить проделанные действия. Цель выполненных действий — создать визуальный образ двух точек, симметричных относительно прямой, и уяснить предметное действие (перегибание листа бумаги), лежащее в его основе.

2 шаг — исследование свойств точек, симметричных относительно прямой, и построение точки, симметричной данной относительно прямой. Продолжим работу с полученной нами моделью. Предложим учащимся провести прямую через две симметричные точки. После чего они сначала визуально подмечают, что проведенная прямая перпендикулярна линии сгиба, а затем фиксируют это свойство с помощью угольника. Следующее свойство, которое подмечают учащиеся, — равенство расстояний от каждой из этих точек до линии сгиба. Визуальное представление должно быть подтверждено измерениями с помощью циркуля или линейки.

Теперь перед учащимися можно поставить задачу: «Каким образом можно построить точку, симметричную данной относительно проведенной прямой, не прибегая к перегибанию?» Учащиеся обязательно заметят, что можно провести через данную точку прямую, перпендикулярную заданной прямой, и по другую сторону от нее отметить точку — на том же расстоянии от прямой, что и данная точка. Таким образом, найденные свойства используются учащимися в качестве ориентировочной основы для действий по построению. Чтобы каждый этап построения зафиксировать в сознании учащихся, учитель может предложить им рассмотреть рисунок в учебнике (рис. 1) и прочесть алгоритм, содержащий названные этапы построения, соотнося рисунки и описание. Здесь же он обращает их внимание на то, с помощью каких инструментов можно произвести требуемые построения.

«Пусть дана прямая l и точка М (рис. 1,а), построим точку, симметричную точке М относительно прямой l. Для этого:

— проведем через точку М прямую, перпендикулярную l (рис. 1,б);

— отметим на ней точку К, расположенную на таком же расстоянии от прямой l, что и точка М (рис. 1,в).

Точка К симметрична точке М относительно прямой l».

После этого целесообразно выполнить упражнение 1.

Упражнение 1 (выполняется на нелинованной бумаге). Проведите прямую и отметьте точку, не лежащую на этой прямой. Постройте точку, симметричную ей относительно проведенной прямой.

Проверить свои построения учащиеся могут, снова прибегнув к перегибанию.

Следующий важный момент связан с выполнением построений на клетчатой бумаге с использованием ее свойств. Предложим учащимся провести в тетради прямую, проходящую по одной из линий сетки, и в узле сетки отметить точку. Далее они должны вспомнить, какими свойствами обладает квадратная сетка, и догадаться, как они могут быть использованы для построения точки, симметричной отмеченной ими точке относительно проведенной прямой. На основе выделенных свойств сетки и анализа своего рисунка учащиеся приходят к выводу, что искомая точка лежит на той же линии сетки, что и данная точка, но по другую сторону от прямой, расстояние же можно отсчитывать по узлам сетки. После этого они и выполняют необходимые построения.

3 шаг — фигуры, симметричные относительно прямой. Большинство учащихся уже вполне готовы к тому, чтобы обойтись без предметных действий, заменив их мысленными. Предложим им рассмотреть рисунок из учебника (рис. 2), на котором изображены два четырехугольника, симметричные относительно прямой.

Пусть они мысленно перегнут лист по прямой k.
При этом надо зафиксировать их внимание на том, что четырехугольники при перегибании совместятся. Из этого они смогут сделать вывод о равенстве симметричных фигур. Затем предложим учащимся «понаблюдать» (снова мысленно) за тем, какие вершины, стороны, углы четырехугольников совместятся при перегибании. Отметим, что в случае необходимости можно снова прибегнуть к предметному моделированию, аналогичному тому, которое уже было проделано для двух точек.

Упражнение 2. Являются ли фигуры (рис. 3) симметричными относительно прямой?

При выполнении упражнения учащиеся должны помнить о равенстве симметричных фигур (рис. 3,а), о равноудаленности фигур от прямой (рис. 3,б), о расположения фигур относительно прямой (рис. 3,в).

Целью выполнения упражнений 3–5 является овладение учащимися построением фигуры, симметричной данной относительно прямой: на клетчатой бумаге (упр. 3); на гладкой бумаге (упр. 4); от руки (упр. 5).

Упражнение 3. Скопируйте рисунок 4,а в тетрадь. Постройте треугольник, симметричный треугольнику АВС относительно прямой а.

Для учащихся, успешно справляющихся с заданием, предлагаются более сложные конфигурации: прямая пересекает фигуру (рис. 4,б), прямая проходит под углом 45° к линиям сетки (рис. 4,в).

Упражнение 4 (выполняется на готовом чертеже из рабочей тетради). Постройте фигуру, симметричную данной относительно проведенной прямой (рис. 5).

Упражнение 5. Нарисуйте от руки фигуру, симметричную изображенной на рисунке 6 букве русского алфавита. Какую букву латинского алфавита вы получили?

Упражнения 6 и 7 являются для учащихся более сложными, так как требуют решения обратной задачи — по двум данным фигурам построить прямую, относительно которой они симметричны.

Упражнение 6. Перенесите рисунок 7 в тетрадь и постройте прямую, относительно которой симметричны точки А и В.

Упражнение 7. Начертите на гладкой бумаге две пересекающиеся прямые. Покажите на рисунке, как расположена прямая, относительно которой они симметричны.

4 шаг — ось симметрии фигуры. В основе создания этого представления снова лежат предметные действия по перегибанию листа бумаги. Предложите учащимся сложить лист пополам, провести на нем какую-нибудь линию, ориентируясь на рисунок в учебнике (рис. 8) или аналогичные действия учителя, разрезать лист по проведенной линии и развернуть его. Здесь можно сообщить им, что линия сгиба — это ось симметрии фигуры.

Далее учащиеся могут выполнить упражнение 8, где на основе анализа различных случаев полученное представление о симметрии фигуры уточняется. Они обратят внимание на то, что две «половинки» фигуры должны быть не только равны, но и расположены таким образом, чтобы совместиться при перегибании. На основе сформированного представления можно выполнить упражнение 9.

Упражнение 8. Является ли проведенная прямая осью симметрии фигуры (рис. 9)?

Упражнение 9 (выполняется на готовом чертеже). Восстановите фигуру (рис. 10) по ее части и оси симметрии.

Следующая серия упражнений связана с исследованием симметрии известных и наиболее часто встречающихся фигур. Первой среди них является равнобедренный треугольник. Экспериментальным путем учащиеся находят ось симметрии вырезанного из бумаги равнобедренного треугольника. Затем, анализируя выполненные действия и полученную модель, последовательно устанавливают, что ось проходит через середину основания (основание треугольника «сложено» пополам), перпендикулярна ему (линия сгиба и основание образуют прямой угол), делит противолежащий основанию угол пополам (боковые стороны равнобедренного треугольника совпали).

После этого можно предложить учащимся рассмотреть рисунок из учебника (рис. 11), на котором выделены все свойства оси симметрии равнобедренного треугольника, найденные ими экспериментальным путем.

Упражнение 10 (выполняется на нелинованной бумаге). Постройте равнобедренный треугольник, опираясь на свойства оси симметрии.

При выполнении этого упражнения учащиеся используют только что установленные свойства равнобедренного треугольника: они изображают основание треугольника, находят его середину, проводят через построенную точку перпендикулярную прямую, отмечают на ней некоторую точку — третью вершину треугольника.

Аналогичным образом можно организовать и исследование симметрии квадрата и прямоугольника: учащиеся, используя модели, вырезанные из бумаги, устанавливают количество осей симметрии и их свойства; проверяют, что диагонали прямоугольника не являются его осями симметрии; чертят фигуры в тетради и проводят все оси симметрии.

Особое внимание следует уделить симметрии окружности. Перегибая круг по диаметрам, учащиеся осознают, что окружность и круг имеют бесконечно много осей симметрии, осью симметрии является любая прямая, проходящая через центр.

5 шаг — построения, выполняемые циркулем и линейкой. Здесь свойство симметрии окружности нашло применение при выполнении классических геометрических построений, выполняемых циркулем и линейкой. Данный вид построений целесообразно рассмотреть лишь в сильном классе или при индивидуальной работе с хорошо подготовленными учащимися. Опорой для построений служит конфигурация, состоящая из двух пересекающихся окружностей равных радиусов (рис. 12). Предложите учащимся рассмотреть рисунок, обращая внимание на симметрию конфигурации: на равенство окружностей; на симметрию двух окружностей относительно прямой, проходящей через точки пересечения окружностей; на симметрию фигуры из двух окружностей относительно прямой, проходящей через их центры. Проведя визуальный анализ конфигурации и создав на основе его алгоритм построения, учащиеся могут приступить к ее воспроизведению.

Следующим упражнением, которое может быть выполнено с опорой на рассмотренную конфигурацию, является построение серединного перпендикуляра к отрезку. Последовательность необходимых действий в виде вербального и наглядного описаний (рис. 13) задана в учебнике.

При анализе алгоритма построения от учащихся требуется вычленить каждый шаг визуальной последовательности (рис. 13), осмыслить его и воспроизвести. Учащимся, успешно справившимся с этим заданием и не испытавшим при его выполнении значительных трудностей, можно предложить самостоятельно найти способ построения прямой, перпендикулярной данной прямой и проходящей через заданную точку, опорой для этого также должна послужить рассмотренная конфигурация. Тем же учащимся, которые менее уверенно выполняли задание, можно предложить рассмотреть описанный в учебнике пример построения точки, симметричной данной относительно прямой.

Центральная симметрия

Формирование представления о центральной симметрии целесообразно осуществлять по той же схеме, что и формирование представления об осевой симметрии:

1 шаг — наглядное представление о центральной симметрии на основе предметного моделирования, в качестве которого используется поворот точки вокруг центра на 180^о с помощью циркуля;

2 шаг — свойства точек, симметричных относительно центра, и построение точки, симметричной данной относительно некоторой точки;

3 шаг — фигуры, симметричные относительно точки;

4 шаг — центрально-симметричные фигуры.

Отличием от предшествующего этапа является то, что предметные действия здесь целесообразно использовать и на шаге 3, и на шаге 4, и связано это с тем, что действия поворота выполняются учащимися с большими трудностями, чем действия перегибания. Кроме того, учитель должен оставлять на усмотрение учащегося выбор способа построения: в развернутом виде (поворотом циркуля) или свернутом (построение на прямой точки, равноудаленной заданной точке), причем так долго, как это ему необходимо. Как и на предыдущем этапе, построения здесь следует выполнять как на клетчатой бумаге, так и на нелинованной, часть заданий — на готовых чертежах; следует предлагать задания на достраивание фигуры по ее части и центру симметрии, на нахождение центра симметрии фигуры.

Обобщение представлений о симметрии на плоскости

С целью систематизации представлений о свойствах фигур, связанных с симметрией, полезно предложить учащимся выполнить упражнения, в которых одновременно рассматриваются и осевая, и центральная симметрии. Можно попросить их назвать фигуры, имеющие и ось, и центр симметрии, они назовут окружность, квадрат, прямоугольник. Надо обратить их внимание на то, что у этих фигур не одна ось симметрии: у окружности — бесконечно много, у прямоугольника — две, а у квадрата — две пары взаимно перпендикулярных осей симметрии.

Упражнение 11. Квадрат разрежьте по одной из диагоналей. Из двух получившихся треугольников сложите фигуры, имеющие: а) ось симметрии; б) центр симметрии.

Сложив фигуру, удовлетворяющую условию, учащиеся обязательно должны зарисовать ее в тетради.

Упражнение 12. Начертите фигуру со следующими свойствами: а) фигура имеет и центр, и ось симметрии; б) фигура имеет центр симметрии, но не имеет оси симметрии; в) фигура имеет ось, но не имеет центра симметрии.

Учащиеся изображают знакомые фигуры, обладающие требуемым свойством, например, в задании «а» — это квадрат. Дополнительно учитель может предложить преобразовать изображенный квадрат в другую фигуру, не нарушая его симметрии. Задания «б» и «в» выполняются аналогично.

Упражнение 13 (выполняется на готовом чертеже). Постройте фигуру В, симметричную фигуре А относительно прямой k, и фигуру С, симметричную фигуре В относительно прямой m (рис. 14). Как еще можно получить фигуру С из фигуры А?

Последовательно выполнив необходимые по условию построения, учащиеся обнаружат, что последняя фигура оказалась симметричной относительно точки пересечения прямых. Учитель может предложить нарисовать другую фигуру и повторить эти построения и с ней. Придя к такому же результату, учащиеся могут продолжить исследование: поменять порядок отражения от прямых, изменить место расположения исходной фигуры Таким образом они еще раз столкнутся со связью между центральной и осевой симметриями, уже обнаруженной ими при сравнении симметрий квадрата и прямоугольника.

Зеркальная симметрия

Изучение этого раздела не только позволяет сформировать достаточно полное представление о симметрии, но и «выйти в пространство», продолжить формирование пространственного воображения. Для изучения темы необходимо, чтобы каждый учащийся имел несколько пространственных тел, вылепленных из пластилина. Это должны быть конус, куб, цилиндр, шар.

Напомните учащимся, что есть еще один вид симметрии, с которым они сталкиваются ежедневно, глядя на себя в зеркало. Это зеркальная симметрия. Здесь полезно провести аналогию между осевой и зеркальной симметриями: ось и плоскость симметрии, симметричные фигуры равны (правда, в пространстве равенство проверить наложением нельзя). Учащиеся догадаются, что аналогично кругу на плоскости, имеющему бесконечно много осей симметрии, в пространстве бесконечно много плоскостей симметрии имеет шар.

Далее учитель может переходить к обсуждению свойств шара, конуса, цилиндра и куба, связанных с симметрией. Учащиеся при этом работают с имеющимися у них моделями. Они сначала визуально определяют и обсуждают, как должна проходить плоскость симметрии, а затем проверяют это, разрезав модель. На проекционный чертеж (выполненный на доске или интерактивной доске) один из учащихся наносит плоскость симметрии. Далее обсуждается, есть ли еще плоскости симметрии у этого тела, как они расположены; найденные плоскости также наносятся на чертеж. Когда все плоскости найдены, учитель должен обратить внимание учащихся на то, какие фигуры получились в сечении, образованном плоскостью симметрии, какую вообще форму могут иметь сечения данного тела. При рассмотрении цилиндра учитель может предложить учащимся подумать, всегда ли плоскость, разделившая тело на две равные части, является его плоскостью симметрии. В качестве ответа на этот вопрос учащиеся могут разрезать необходимым образом имеющуюся у каждого из них модель. Можно выполнить и такое упражнение: после исследования куба учитель выкладывает из равных кубов многогранник, а учащиеся определяют, есть ли у него плоскости симметрии и как они расположены; затем можно предложить им мысленно составить из трех кубов фигуру, обладающую симметрией, и зарисовать ее в тетради.

Завершая рассмотрение темы, учитель задает вопросы обобщающего характера: У каких тел бесконечно много плоскостей симметрии? Сечением каких тел может быть круг? квадрат? треугольник? прямоугольник?

Параллелограмм

Мы уже говорили (см. лекцию № 3) о формировании представлений о параллелограмме, которые опираются на две системы представлений: параллельность и центральная симметрия, носителем которых он является. Обратимся к этой фигуре еще раз.

Напомню, что параллелограмм «возникает» перед учащимися в результате построения двух пар параллельных прямых. А вот следующий шаг уже связан с тем, что параллелограмм — центрально-симметричная фигура. В своем исследовании учащиеся опираются на практическое действие поворота фигуры на 180°: они копируют параллелограмм на лист прозрачной бумаги и, скрепив два параллелограмма булавкой в точке пересечения диагоналей, поворачивают копию относительно оригинала вокруг центра симметрии (рис. 15). При этом они внимательно наблюдают каждый раз за одним элементом параллелограмма и определяют, как изменилось его положение.

Поворот относительно центра на 180° может выполняться не в практическом плане, а мысленно. Но при этом учитель должен провести предварительную работу при изучении центральной симметрии: учащиеся должны неоднократно проделать этот поворот практически при определении центра симметрии различных фигур, а учителю необходимо убедиться, что это действие может быть перенесено в умственный план всеми учащимися.

Таким образом учащиеся открывают для себя следующие свойства параллелограмма: равенство противолежащих сторон и углов; равенство треугольников, на которые делится параллелограмм диагональю; диагонали делятся в точке пересечения пополам. Последнее свойство дает еще один способ построения параллелограмма (рис. 16).

Закрепление и контроль

На каждом этапе обучения для закрепления сформированных навыков в качестве домашних заданий учащимся могут быть предложены упражнения не только аналогичные рассмотренным в классе, но и исследовательского характера. Приведем пример такого задания.

Упражнение 14. Поставьте два зеркала под углом 120° друг к другу и положите перед ним ластик. Сколько ластиков вы видите? Повторите опыт, сделав угол между зеркалами, равным 90°, 60°, 45°. Сколько ластиков в каждом случае? Попробуйте поставить зеркала так, чтобы перед вами «появились» 5 ластиков. Чему при этом равен угол между зеркалами?

Завершая изучение темы, учитель может предложить следующую проверочную работу (выполняется она на нелинованной бумаге):

1. Проведите прямую с и отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. Постройте точку В, симметричную точке А относительно прямой с.

2. Начертите от руки квадрат и проведите его оси симметрии.

3. Отметьте две точки и обозначьте их буквами К и О. Постройте точку М, симметричную точке К относительно точки О.

4. Начертите отрезок АВ. С помощью циркуля и линейки постройте прямую, перпендикулярную этому отрезку и проходящую через его середину.

Отметка «3» может быть выставлена в случае правильного выполнения заданий 1—2, отметка «4» — заданий 1—3, отметка «5» — заданий 1—4.

Литература

1.  Гильде В. Зеркальный мир. — М.: Мир, 1982.

2.  Математика: учебник для 6 кл./ Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. — М.: Просвещение, 2004.

3.  Математика: рабочая тетрадь для 6 кл./ Е.А. Бунимович, К.А. Краснянская, Л.В. Кузнецова и др. — М.: Просвещение, 2005.

4.  Рослова Л.О., Шарыгин И.Ф. Симметрия. — М.: Изд-во гимназии «Открытый мир», 1995.

5.  Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир. — М.: Просвещение, 1982.

6.  Узоры симметрии / Под ред. М. Сенешаль и Дж. Флека. — М.: Мир, 1980.

Рослова Л.